Transmissão em Banda Base: Modulação e Detecção de Sinais

Unidade 02 Transmissão em Banda Base AL0313 Sistemas de Comunicação II Prof Ricardo Bohaczuk Venturelli email ricardoventurelliunipampaedubr Universidade Federal do Pampa Campus Alegrete Engenharia de Telecomunicações Introdução Dígitos binários são abstrações Necessitamos de algo físico como pulsos elétricos para representar esses dígitos 2 88 Exemplo 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 T 0 3 88 Formas de Onda em Banda Base Quando uma modulação de pulso é aplicada a um símbolo binário a forma de onda binária resultante é chamada de forma de onda de modulação por código de pulso PCM Quando a modulação de pulso é aplicada a um símbolo não binário a forma de onda resultante é chamada de forma de onda de modulação de pulso Mária Categorias de formas de onda PCM Sem retorno a zero Nonreturntozero NRZ Com retorno a zero Returntozero RZ Fase codificada Phase encoded Binário multinível Multilevel binary 4 88 NRZL NRZM NRZS RZ BiphaseL BiphaseM BiphaseS Differential Manchester Bipolar Parâmetros de análise Componente DC Facilidade de sincronização Detecção de erros Eficiência na largura de banda Codificação diferencial Imunidade a ruído 6 88 Espectro das formas de onda PCM 7 88 Detecção de Sinais Binários na Presença de Ruído Gaussiano A cada T segundos será transmitido o bit 0 ou 1 de acordo com sit s1t 0 t T se bit 1 s2t 0 t T se bit 0 No receptor o sinal recebido será rt sit hct nt em que hct é a resposta ao impulso do canal nt é o ruído AWGN additivewhiteGaussiannoise ou seja um processo Gaussiano com média nula e branco Considerando um canal sem distorções ie hct δt o sinal recebido é simplificado para rt sit nt i 1 2 0 t T A estrutura do receptor é apresentada abaixo sit i 1 2 nt AWGN rt sit nt Filtro Linear zt zT aiT n0T Decisao ˆsit t T Amostragem ht 9 88 Dado o filtro linear ht temos que zt ht rt ait n0t portanto ait sit ht e n0t nt ht Como ht é linear então n0t pode ser visto como um processo Gaussiano assim como nt Além disso amostras do ruído nos instante múltiplos de T são descorrelacionados o que por ser Gaussiana implica em serem independentes Notação simplificada zT z aiT ai e n0T n0 10 88 Após a amostragem temos z ai n0 Como n0 é um processo Gaussian sua pdf é dada por pn0 1 2πσ0 expn0² 2σ0² em que σ0² é a variância do ruído Note que z é uma variável aleatória Gaussiana com média ai A pdf condicional de z pode ser expressada como pzsi 12πσ0 exp12zaiσ0² Ou seja pzsi é a densidade de probabilidade condicionada de z dado que si foi transmitido A função pzsi é chamada de função de verossimilhança likelihood function Critérios de Decisão Critério de Máxima a Posteriori MAP Utiliza Psiz probabilidade de si ter sido transmitido dado que z foi recebido O Critério MAP consiste no seguinte teste de hipóteses Ps1z H1 H2 Ps2z em que Hi representa da hipótese i ou seja a hipótese do sinal si ter sido transmitido O critério MAP é aquele que minimiza a probabilidade de erro 13 88 Pela Regra de Bayes Psiz psi z pz pzsiPsi pz i 1 2 em que Psi é a probabilidade a priori de si ser transmitido Assim o critério MAP pode ser escrito como pz s1Ps1 H1 H2 pz s2Ps2 ou pzs1 pzs2 H1 H2 Ps2 Ps1 A relação pzs1 pzs2 é conhecida como razão de verossimilhança 14 88 Critério de Máxima Verossimilhança No caso em que Ps1 Ps2 12 o MAP se reduz ao Critério de Máxima Verossimilhança Maximum Likelihood ML pzs1pzs2 H1 H2 Substituindo pelas funções de verossimilhança temos 12πσ0 exp12za1²σ0² exp12σ0²za2²za1² H1 H2 Aplicando logaritmo dos dois lados e simplificando z2 2a2z a2 2 z2 2a1z a2 1 H1 H2 0 e assim 2za1 a2 H1 H2 a2 1 a2 2 z H1 H2 a1 a2 2 Definindo um limiar de decisão threshold γ0 como γ0 a1 a2 2 O critério ML pode ser resumindo em Se z γ0 então ˆsit s1t para 0 t T Se z γ0 então ˆsit s2t para 0 t T 16 88 Para o critério ML qual a probabilidade da decisão estar incorreta ou seja qual a probabilidade de erro Vamos supor que s1 tenha sido transmitido Pes1 Pz γ0s1 γ0 pzs1dz Vamos supor que s2 tenha sido transmitido Pes2 Pz γ0s2 γ0 pzs2dz De modo geral a probabilidade de erro de bit é Pb Pes1Ps1 Pes2Ps2 Se s1 e s2 forem equiprováveis teremos Pb Pes1 Pes2 2 Além disso como pzs1 e pzs2 são simétricas Pes1 Pes2 Pb Portanto Pb γ0 1 2πσ0 exp1 2 za2σ02dz Função Q A função Q fornece a área da cauda da pdf de uma variável aleatória Gaussiana de média nula e variância unitária x Qx 12816 101 23263 102 30902 103 37190 104 42649 105 47534 106 51993 107 56120 108 59978 109 63613 1010 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 107 106 105 104 103 102 101 100 Qx 12expx²2 A função Qx 1 2ex22 decresce com x Qx 1 Qx 21 88 Fazendo a seguinte substituição u za2σ0 E note que quando z γ0 a1a2σ0 temos u γ0a2σ0 a1a2 2σ0 Δ x Assim Pb x 12π expu2 2 du Qx De forma resumida temos Pb Qa₁ a₂2σ₀ OBJETIVO Projetar ht para maximizar a relação sinalruído signaltonoise ratio SNR ou SN no instante de amostragem t T ou seja A potência do ruído na saída do filtro é σ0² Gn0fdf N₀2 Hf²df Fazendo A SNR máxima é obtida com o filtro X1f k X 2f ou seja Hf kS i fej2πfT Usando a transformada inversa de Fourier temos ht ksiT t 0 t T que é a resposta ao impulso do Filtro Casado Note que ht é causal 0 t sit T 0 t ht siT t T 26 88 Pergunta Qual a diferença entre a correlação e a convolução entre dois sinais xt e yt com suporte em 0 T O sinal recebido é rt sit nt zt rt ht sit ht 0t siτht τdτ zt rt ht sit ht ₀ᵗ siτht τdτ O resultado da convolução é t 0 zt T 2T E A2T 3 Integral da correlacao convolucao correlator filtro casado Em t T os dois resultados correspondem à energia de sit A energia é proporcional ao quadrado da amplitude e é linear em T 30 88 Sistemas equivalentes Aplicação do Filtro Casado Em t T a SNT na saída do filtro será SNT a1 a2²σ0² 2EdN0 em que Ed T0 s1t s2t² dt é a energia do sinal diferença ou distância Euclidiana quadrática A probabilidade de erro minimizada com o filtro será PB Qa1 a22σ0 Q2EdN02 ou PB QEd2N0 Probabilidade de Erro com Filtro Casado Caso Unipolar Considere o caso particular em que s1t A 0 t T p o bit 1 s2t 0 0 t T p o bit 0 O sinal diferença será dt s1t s2t A 0 A 0 t T e a energia do sinal diferença será Ed T0 s1t s2t² dt T0 A² dt A²T Assim a probabilidade de erro será PB QEd2N0 QA²T2N0 A energia média por bit é obtida por Eb E1 Probbit 1 E0 Probbit 0 T0 s1²t dt 12 T0 s2²t dt 12 A²T2 Assim a PB para o sinal unipolar em função da relação EbN0 é dada por PB QEbN0 Para determinarmos o limiar de decisão ótimo γ₀ fraca₁ a₂2 devemos obter a₁ a₁T s₁t ht tT mas ht s₁T t s₁t Assim s₁t ht e teremos a₁ A²T Como s₂t 0 teremos a₂ 0 e o limiar ótimo é γ fracA²T 02 fracA²T2 O receptor ótimo para o caso unipolar é rt s₁t s₂t A Caso Bipolar Considere o caso particular em que s₁t A 0 t T p o bit 1 s₂t A 0 t T p o bit 0 Neste caso dt s₁t s₂t A A 2A 0 t T e a energia do sinal diferença será Ed int0T s₁t s₂t² dt int0T 2A² dt 4A²T Assim a probabilidade de erro será PB Q left sqrtfracEd2N0 right Q left sqrtfrac4A2T2N0 right Q left sqrtfrac2A2TN0 right A energia média por bit é obtida por Eb E1 cdot Probbit 1 E0 cdot Probbit 0 A2T cdot frac12 A2T cdot frac12 A2T Assim a PB para o sinal bipolar em função da relação EbN0 é dada por PB Q left sqrtfrac2EbN0 right Bit error probability PB dB EbN0 dB Para determinarmos o limiar de decisão ótimo gamma0 fraca1 a22 devemos obter a1 s1t ht bigtT a2 s2t ht bigtT assim gamma0 0 e o receptor ótimo para o caso bipolar é s1t A Se quiser usar o filtro casado com s1t s2t 2A 0 t T temos 0 t ht T 2A Veremos mais adiante a equivalência entre o caso bipolar e a modulação BPSK 42 88 Exercício 1 Considere um sistema de comunicações binárias que recebe sinais equiprováveis s1t e s2t mostrados abaixo além do ruído AWGN Suponha que o filtro de recepção seja um filtro casado MF e que a densidade espectral de potência do ruído N0 seja igual a 1012 WHz Utilize os valores de tensão e de tempo mostrados abaixo para determinar a probabilidade de erro de bit t µs s1t mV 0 1 2 3 1 2 t µs s2t mV 0 1 2 3 1 2 Resposta Pb Q 12 3 104 43 88 Considerando Funções Bases Ao invés de utilizar os sinais sit como referência no correlator podemos usar o conceito de funções bases Para os casos unipolar e bipolar apenas uma função é necessária para descrever a base φt 1 T 0 t T E assim s1t a1φt e s2t a2φt 44 88 Para o caso unipolar a1 AT e a2 0 Para o caso bipolar a1 AT e a2 AT A energia média de bit é Eb A2T 2 A2T caso unipolar caso bipolar O Filtro Casado é dado por ht ϕT t 1T 0 t T Assim a1T s1t ht tTa1 2Eb caso unipolar Eb caso bipolar e a2T s2t ht tTa2 0 caso unipolar Eb caso bipolar Limiar de decisão γ0 Eb 2 0 caso unipolar caso bipolar Transmissão Multinível Problema Como podemos aumentar a taxa de transmissão sem expansão espectral Resposta Adotando sinais com vários níveis Ex Considere uma transmissão binária unipolar a uma taxa Rs símbolos ou bits por segundo 0 t s1t Tb 1 0 t s2t Tb 0 t Tb 1 2Tb 3Tb 4Tb 1 1 0 1 1 1 0 1 1 5Tb 6Tb 7Tb 8Tb 9Tb Rs Rb 1 Tb Ts Tb 47 88 0 t s1t T s 1 0 t s0t T s 0 t s7t T s 7 0 t Tb 2Tb 3Tb 4Tb 101 5 111 7 011 3 5Tb 6Tb 7Tb 8Tb 9Tb T s 2T s 3T s 0 t Tb 2Tb 3Tb 101 5 111 7 011 3 T s 2T s 3T s R s 1 T s Rs k R b Rb R s 1 T s Rs k R s Rs R b kRb T s 3Tb T s Tb M 2k nıveis k 3 M 8 48 88 Benefícios da Transmissão Multinível Para Rb fixo a transmissão multinível ocupa uma faixa de frequência k vezes menor Para Rs faixa fixa a taxa de bits é k vezes maior Qual o preço pago pelos benefícios É necessária uma maior energia no esquema multinível para manter a mesma probabilidade de erro 0 t s1t T s 1 0 t s0t T s 0 t s7t T s 7 R s 1 T s Rs k M 2k nıveis k 3 M 8 49 88 Interferência Intersimbólica Sistema TransmissorReceptor Completo T T nt AWGN Decisao ˆxk t kT Filtro Transmissor Canal Filtro Receptor x1 x2 x3 Htf Hcf Hrf Propriedade da Convolução A convolução entre um pulso de largura A com um pulso de largura B é um pulso de largura A B O filtro do canal hct pode provocar um espalhamento temporal nos pulsossímbolos transmitidos causando interferência intersimbólica 50 88 Sistema TransmissorReceptor Completo T T nt AWGN Decisao ˆxk t kT Filtro Transmissor Canal Filtro Receptor x1 x2 x3 Htf Hcf Hrf Interferência Intersimbólica ISI Intersymbol Interference é a interferência entre símbolos adjacentes devida ao alargamento temporal dos pulsos transmitidos por causa das distorções introduzidas pelo canal hct δt Nosso Objetivo Conhecendo as características do canal Hcf queremos projetar Htf e Hrf de modo que a ISI seja ZERO na saída de Hrf em particular em t kT 51 88 Estratégia Ignorar o ruído e considerar o filtro conjunto Hf Htf Hcf Hrf T T Decisao ˆxk t kT Filtro Conjunto x1 x2 x3 Hf Objetivo Projetar Hf para ter ISI ZERO na saída do filtro em t kT 52 88 Proposta inicial para Hf O Pulso de Nyquist 0 f Hf 1 2T T 1 2T No domínio do tempo a resposta ao impulso p T 1 é t 4 3 2 1 0 1 2 3 4 04 02 0 02 04 06 08 1 53 88 T Decisao ˆxk t kT Filtro Conjunto x1 x2 x3 Hf pT 1 t 2 1 0 1 2 3 4 1 08 06 04 02 0 02 04 06 08 1 54 88 T Decisao ˆxk t kT Filtro Conjunto x1 x2 x3 Hf pT 1 t 2 1 0 1 2 3 4 15 1 05 0 05 1 15 O filtro de Nyquist produz ISI ZERO 55 88 Eficiência Espectral mede quantos bits por segundo podem ser enviados por cada Hz da faixa de frequências disponível Pulso de Nyquist 0 f Hf 1 2T T 1 2T Temos Rb 1 T bitss e W 1 2T Hz Assim Rb W 1T 12T 2 bitssHz 56 88 Empacotamento de Taxa de Símbolo semelhante à eficiência espectral mede quantos símbolos e não bits por segundo podem ser enviados por cada Hz da faixa de frequências disponível Caso Binário é igual à eficiência espectral Rs W Rb W simbsHz Caso Multinível M 2k níveis Rb k Rs alta eficiência espectral Para discutir sobre ISI e largura de faixa vamos preferir falar em Rs e não Rb e empacotamento de taxa de símbolo e não eficiência espectral Rs W 1T 12T 2 simbsHz 57 88 Pergunta É possível transmitir Rs 1 T simbs com faixa de frequência menor que W 1 2T Rs 2 Hz 0 f Hf 1 2T T 1 2T Nyquist mostrou que não Para Rs simbs devemos ter W Rs 2 banda base 58 88 Condição para ISI Zero O Critéio de Nyquist Para ISI ZERO devemos ter hkT 1 k 0 0 k 0 ou ht k St kT δt Tomandose a transformada de Fourier Hf 1T k δf kT 1 e resolvendo a convolução k Hf kT T Critéio de Nyquist O Filtro de Nyquist satisfaz o Critério de Nyquist Qualquer filtro c W 12T Rs2 não satisfaz o Critério de Nyquist Característica Espectral de Hf p satisfazer o Critério de Nyquist Característica Espectral de Hf p satisfazer o Critério de Nyquist Hf kT T k Característica Espectral de Hf p satisfazer o Critério de Nyquist Hf kT T k Característica Espectral de Hf p satisfazer o Critério de Nyquist Hf kT T k Característica Espectral de Hf p satisfazer o Critério de Nyquist Característica Espectral de Hf p satisfazer o Critério de Nyquist Família dos Cossenos Levantados Filtro Cosseno Levantado RaisedCosine Filter Hf em que W é a faixa utilizada W0 12T é a faixa de Nyquist mínima e r WW0W0 é o fator de rolloff A resposta ao Impulso ht sinc2W0t cos2πWW0t116WW02t2 sinctT cosπrtT14r2t2T2 O cosseno levantado produz ISI ZERO Um valor de r maior leva a uma maior robustez a erros de sincronização Eficiêcia Espectral do Cosseno Levantado Como r WW0 W0 temos W 1 rW0 1 rRs 2 ou Banda base Rs W 2 1 r simbsHz Passafaixa Rs W 1 1 r simbsHz 71 88 Exemplo Para Rb 2400 bitss e uma modulação com M 2k 4 níveis temos uma taxa de símbolo Rs Rb k Rb 2 2400 2 1200 simbs Assim para um excesso de faixa de 100 rolloff r 1 temos W 1 21 r1200 1 21 11200 1200 Hz Banda base ou uma eficiência Rs W 1 simbsHz 72 88 Filtro Raiz do Cosseno Levantado Temos que Hf HtfHcfHrf em que Hf é o filtro cosseno levantado Considerando um canal com largura de banda de pelo menos W Hz podemos simplificar a equação em Hf HtfHrf Como hrt htt o atraso para tornar o filtro causal foi ignorado temos que Hf HtfH t f Htf2 Htf Hf12 Hf12 é chamado de filtro raiz do cosseno levantado RRC root raised cosine 73 88 Diagrama de Olho Uma forma de avaliar o grau de ISI é através do diagrama de olho Sobreposição de vários intervalos de duração T ou kT do sinal na saída do filtro de recepção com o instante de amostragem no centro Quando maior a ISI mais fechado estará o olho e menor a imunidade a ruído ou maior a probabilidade de erro Qualquer desvio do instante ótimo de amostragem introduz ISI piorando a qualidade da decisão 74 88 Binary Data Padrão de Olho com Limitação de Banda Modulação Binária 76 88 Padrão de Olho com Limitação de Banda Modulação Mária M 4 77 88 Combatendo a ISI com Equalização de Canal Podemos adotar um filtro equalizador para mitigar as distorções da ISI nt AWGN Filtro Transmissor Canal Filtro Receptor Htf Hcf Hrf Filtro Equalizador Hef Considerando o filtro conjunto Hf Htf Hcf Hrf o equalizador de forçagem a zero ZF ZeroForcing é dado por Hef 1 Hf Outros filtros equalizadores MMSE DFE etc e métodos MLSE alg de Viterbi não serão estudados neste curso 78 88 Sistemas de Resposta Parcial Quando introduzida em pequenas doses e de forma controlada a ISI pode ser explorada e trazer benefícios O segredo está no fato de que como a ISI introduzida é conhecida seu efeito pode ser levado em consideração na decisão A técnica é conhecida por Sinalização de Resposta Parcial RP Há vários modelos de sistemas RP com características espectrais variadas Aqui estudaremos o mais simples o Sistema Duobinário 79 88 O Sistema Duobinário Adam Lender 1963 mostrou que é possível transmitir Rs simbs com uma faixa W Rs 2 faixa de Nyquist ou seja com eficiência Rs W 2 simbsHz porém usando um filtro Hf fisicamente realizável Diagrama equivalente para análise do Duobinário T xk dados nt AWGN Decisao ˆxk t kT Atraso T seg T yk xk xk1 xk1 0 1 2T 1 2T f Filtro de Nyquist r 0 ˆyk Note que se xk 1 então yk 0 2 Daí o nome duobinário 80 88 Decodificação do Duobinário Como yk xk xk1 a decisão é dada por ˆxk ˆyk ˆxk1 em que ˆxk é a decisão atual sobre xk ˆxk1 é a decisão sobre o símbolo anterior xk1 e ˆyk é a saída observação do amostrador Ex Sem ruído k 0 k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6 bk 0 0 1 0 1 1 0 xk 1 1 1 1 1 1 1 yk 2 0 0 0 2 0 ˆyk 2 0 0 0 2 0 ˆxk 1 1 1 1 1 1 ˆbk 0 1 0 1 1 0 81 88 Decodificação do Duobinário Como yk xk xk1 a decisão é dada por ˆxk ˆyk ˆxk1 em que ˆxk é a decisão atual sobre xk ˆxk1 é a decisão sobre o símbolo anterior xk1 e ˆyk é a saída observação do amostrador Ex Com ruído k 0 k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6 bk 0 0 1 0 1 1 0 xk 1 1 1 1 1 1 1 yk 2 0 0 0 2 0 ˆyk 2 2 0 0 2 0 ˆxk 1 1 1 1 1 1 ˆbk 0 0 1 0 1 0 Em geral o erro se propaga até que apareça um símbolo 2 ou 2 livre de erro 82 88 É usada como artifício para se evitar a propagação de erros Regra de Decisão com Precodificação A partir de Se yk 2 α β 1 ck1 1 ˆbk 0 Se yk 2 α β 1 ck1 0 ˆbk 0 Se yk 0 α 1 β 1 ck1 0 ˆbk 1 Se yk 0 α 1 β 1 ck1 1 ˆbk 1 temos Se yk 2 ˆbk 0 Se yk 0 ˆbk 1 A decisão atual não depende de decisões anteriores Portanto não há propagação de erro 84 88 A Função de Transferência Equivalente do Duobinário xk Atraso T seg xk1 0 1 2T 1 2T f Filtro de Nyquist H1f H2f Hequivf Temos Hequiv H1f H2f Para o filtro discreto temos h1k δk δk 1 ou h1t δt δt T Assim H1f 1 ej2πfT ou ainda H1f 1 ej2πfT ejπfT ejπfT ejπfT 2 cosπfT ejπfT 85 88 H1f 2 cosπ f T ej π f T Filtro com mesma faixa de Nyquist porém com função de transferência suave e fácil de ser implementado No domínio do tempo a resposta ao impulso do filtro duobinário é hequivt sin πt T πt T sin πtT T πtT T Considerando interferência intersimbólica controlada sistemas de resposta parcial apresentam vantagens