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Cálculo 2
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Integração por frações parciais Se fx ax² bx c é uma função quadrática então 1 Se 0 então fx possui duas raízes reais distintas x₁ e x₂ Nesse caso podemos reescrever fx como fx ax x₁x x₂ 2 Se 0 então fx possui uma raiz real repetida x₁ Nesse caso podemos reescrever fx como fx ax x₁x x₁ ax x₁² 3 Se 0 então fx não possui raízes reais e não temos como escrever fx como o produto de dois polinômios reais de primeiro grau Observação x² a² x ax a 1x k dx lnx k C Exercício 5xx² 3x 4 dx Qx x² 3x 4 a 1 b 3 c 4 b² 4ac 3² 414 9 16 25 Raízes x b 2a 3 252 3 52 x₁ 3 52 4 x₂ 3 52 1 Qx ax x₁x x₂ 1x 4x 1 x 4x 1 5xx² 3x 4 5xx 4x 1 Ax 4 Bx 1 5x Ax 1 Bx 4 Ax 1 Bx 4 Ax 1 Bx 4 5x 0 cxA B A 4B A B 5 1 A 4B 0 2 A 4B substituindo A 4B em 1 4B B 5 5B 5 B 1 A 4 5xx² 3x 4 4x 4 1x 1 5xx² 3x 4 dx 4x 4 dx 1x 1 dx 4lnx 4 lnx 1 C Exercício 2 x³ x dx 2 x³ x Ax² A Bx² Bx Cx² Cx Se na fatoração de Qx aparecem apenas fatores lineares porém alguns podem ser repetidos Exemplo Se fx x³ 4x 1 x 2² x 1² x 3⁴ então fx Ax B x 2² Cx D x 2 Ex³ Fx² Gx H x 3⁴ Se n 1 1 x kⁿ dx 1 n 1x kⁿ¹ C Em particular se n 2 1 c k² dx 1 2 1x k C 1 x k C 1 x k² dx 1 x k C Ex 1 x 3² dx 1 x 3 C Ex 1 x 4² dx 1 x 4 C Ex 1 x² dx 1 x C Exemplo Calcule 2x² 3x 4 x³ 2x² x dx Qx x³ 2x² x xx² 2x 1 xx 1² 2² 411 4 4 0 Raiz x 2 0 21 1 Qx xx² 2x 1 xx 1² 2x² 3x 4 A x Bx C x 1² Ax 1² Bx Cx xx 1² Ax² 2x 1 Bx² Cx x³ 2x² x 2x² 3x 4 Ax² 2x 1 Bx² Cx x²A B x2A C A 2x² 3x 4 A B 2 1 2A C 3 2 A 4 A 4 em 1 B 2 4 6 B 6 Substituindo A 4 em 2 24 C 3 8 C 3 C 5 6x 5 6x 6 1 6x 1 1 2x² 3x 4 4 6x 5 xx 1² 4 lnx 6 lnx1 C Qx x3x²2x1 x3x1² 2x 4 Ax3 Bx Cx 1² frac12 lnx3 frac12 lnx1 2 frac1x1 C Exercício Calcule int frac3x4 4x3 3x2 dx quad Resposta int frac3x4 4x3 3x2 dx frac43 lnx frac1x frac32 lnx1 frac16 lnx3 C A frac43 A 2 quad 3 cdot leftfracA 4 A3right 32 quad 3A 4 A 6 quad 4A 4 6 quad 4A 6 4 quad 4A 2 quad A 2 frac14 quad B A rightarrow B frac12 quad C frac43 A frac43 frac12 frac43 frac12 quad frac8 16 frac96 frac32 quad frac12 cdot frac1x3 frac12 cdot fracx 3x12 EX 3x²5x3 AxBCx²4 Cx1 Exemplo Calcule 1x³4xdx Qx x³4x C0 4A1 AB0 BA Qx 3x² 2x² 1 A 3C 12 B 3D 0 A 2C 10 B 2D 0
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