Análise de Máximos e Mínimos de Funções: Derivadas e Exemplos

y fx não tem máximo global máximo local mínimo local Se fc 0 e fc 0 então não podemos afirmar nada sobre fc à partir da derivada de segunda ordem Nesse caso para determinar se fc é ponto de máximo local mínimo local ou nenhum dos dois temos que analisar o sinal de fx próximo de x c mínimo global a Se o sinal da derivada fx mudar de positivo para negativo em c então fc é um máximo local pois a função passou de crescente para decrescente em c e portanto o ponto c fc é um pico do gráfico de fx y fx não mínimo global c Se a derivada fx não mudar de sinal em c então fc não é nem máximo local nem mínimo local pois a função não mudou de comportamento em c e portanto ou ela era crescente antes de c e continuou crescente depois de c ou ela era decrescente antes de c e continuou decrescente depois de c A y mínimo local e global Exemplo Em cada caso determine os máximos e mínimos da função fx dada a fx 2x³ 3x² 36x 2 fx 2x³ 3x² 36x 2 23x² 32x 36 fx 6x² 6x 36 fx 0 6x² 6x 36 0 x² x 6 0 Δ b²4ac 1² 416 1 24 25 x bΔ 125 152 x₁ 152 3 x₂ 152 2 Possíveis candidatos a máximos e mínimos locais são os pontos do gráfico decorrendo x3 e x2 fx não tem mínimo global 1ª forma de resolver fx 6x² 6x 36 f3 63² 63 36 54 18 36 36 0 f2 62² 62 36 16 12 72 2 46 fx 6x² f0 60² 60 36 36 0 Máximo local de fx f2 22³ 32² 362 2 16 12 72 2 46 Mínimo local de fx f3 23³ 33² 363 2 54 27 108 2 79 y fx fx x³ 6x² 5 fx x² 6x² 5 3x² 6x fx 0 3x² 12x 0 x3x 12 0 3x 12 0 3x 12 x 4 fx 3x² 12x 6x 12 f0 60 12 12 0 f0 0³ 60² 5 5 é máximo local de fx f4 4³ 64² 5 64 96 5 37 é mínimo local nos pontos de máximo ou mínimo locais fx 0 fx x4 20x3 4 Máximos e mínimos de uma função fx 3x5 5x3 X exercício Seja c um ponto do domínio da função fx fx 32x2 x 32x2 x 1 Dizemos que o número fc é o máximo global da função fx se fx fc para todo x Domf ou seja se fc é o maior valor assumido pela função fx A otimização consiste em traduzir o problema de maximizar ou minimizar alguma coisa para o problema de calcular o máximo ou o mínimo de uma função Por exemplo qual é a maior área que eu consigo cobrir com uma certa quantidade de cerca Quais dimensões devem ter uma lata de certo volume afim que minimizar o material gasto na produção da lata Exemplo 1 Suponha que você tem 200 metros de arame farpado Se você tem uma fazenda e você quer cercar a maior área retangular possível para guardar suas ovelhinhas fofinhas então quais devem ser as dimensões do seu cercado Área xy Perímetro 2x2y 200 m 2x2y200 xy100 y100x 2 Dizemos que o número fc é o mínimo global da função fx se fx fc para todo x Domf ou seja se fc é o menor valor assumido pela função fx Ax x100x 100x x² Queremos determinar a área máxima e portanto determinar o máximo de Ax Ax 100 2x A50 0 1002x0 1002x x50 Ax 1002x022 A50 2 0 A50 1005050²500025002500 m² x50 y100x1005050 50 m Obs A área de um retângulo de perímetro fixo é sempre um quadrado 3 Dizemos que o número fc é um máximo local da função fx se fx fc para todo x I onde I é um intervalo aberto contendo c ou seja se fc é o maior valor assumido pela função fx quando tomamos x próximo de c tanto à direita quanto à esquerda de c Exemplo 2 Suponha que você tem 240 metros de cerca e que você quer cercar um campo retangular que está na margem de um rio reto para sua plantação Se você não precisa de cerca ao longo do rio então quais devem ser as dimensões do seu cercado para cobrir a maior área possível Quantidade de cerca gasta 2xy240 y2402x Área A xy Ax x2402x240x2x² Ax2404x Ax0 2404x0 2404x x60 Ax2404x0440 A6024060260²1440072007200 m² 4 Dizemos que o número fc é um mínimo local da função fx se fx fc para todo x I onde I é um intervalo aberto contendo c ou seja se fc é o menor valor assumido pela função fx quando tomamos x próximo de c tanto à direita quanto à esquerda de c Exemplo suponha que você quer vercar a maior área retangular possível dividida em 3 partes iguais com 120m de cerca Ax 30 x Ax 0 30 x 0 x 30m Ax 30x 0 1 1 0 Exemplo Suponha que você quer projetar um container no formato de um paralelepípedo reto retângulo com capacidade para 36m³ e que você quer que a altura do seu container seja o triplo da largura do container como aparece na figura abaixo Quais devem ser as dimensões do container para que você gaste a menor quantidade de material possível para fabricálo Área x3x 3x² Qx 6x² 96x¹