Integração por Partes e Funções Quadráticas

Integração por partes Para calcularmos uma integral utilizando a regra de integração por partes vamos seguir o seguinte passo a passo Exemplo Em cada caso calcule a integral dada a x² ln x dx ux ln x ux 1 1 ux ln x vx x² ln x dx ln x 1 dx 2 ux ln x 1x 01 xex dx 3 vx dx x² dx x²121 x³3 C ₀¹ xeˣ dx F1 F0 0 1 1 4 vx x³3 Para trabalharmos com a nossa próxima técnica de integração será importante relembrarmos que se fx ax² bx c é uma função quadrática então 1 Se Δ 0 então fx possui duas raízes reais distintas x₁ e x₂ Nesse caso podemos reescrever fx como fx ax x₁x x₂ 2 Se Δ 0 então fx possui uma raiz real repetida x₁ Nesse caso podemos reescrever fx como fx ax x₁x x₁ ax x₁² 3 Se Δ 0 então fx não possui raízes reais e não temos como escrever fx como o produto de dois polinômios reais de primeiro grau Ex fx x² 3x 4 5 uxvx ln xx³3 Ex fx x² 2x 1 Δ 2² 411 Raízes x b Δ2a fx 1x 1² x 1² Ex fx 3x² 4x 1 Δ 4² 431 Raízes x b Δ2a x₁ 46 23 x₂ 26 13 Obs fx x² a² x ax a 6 uxvx dx 1xx³3 dx x²3 dx 13x² dx 1313x³ x³9 C Ex x² 1 x 1x 1 7 x² ln x dx uxvx uxvx dx x³3ln x x³9 C Ex 1x k dx onde k é uma constante real Ex fx 3x² 4x 1 Ax 3 Bx 4 Cx 5 fracx3x23x2 dx x3 Ax1 Bx2 frac1x2x21 dx J Ax2 1 Bx2 3x 2 Cx2 x 2 A frac23 B frac16 C frac12 Qx x2 4x 3 3x4 AxA Bx3B x²4x3 3x4 dx 52 1x3 dx 12 1x1 dx