Movimento de Partículas e Taxas Relacionadas

Exercício Uma partícula se desloca ao longo de uma reta e a função que descreve a posição dessa partícula ao longo do tempo é dt t³ 5t² 7m onde t é medido em minutos a Determine a posição e a velocidade da partícula depois de 5 minutos t5 d5 5³55²7 5³7 7 m velocidade vt dt t³ 5t² 7 3t² 10t v5 35²105 32550 25 mmin b Determine a posição a velocidade e a aceleração da partícula depois de 7 minutos t7 d7 7³57²7 3432457 105 m v7 37²107 14770 77 mmin Aceleração at vt 5t²10t 52t10 a7 10710 7010 60 mmin² Taxas relacionadas Imagine que você possui duas grandezas variando com o tempo e essas duas grandezas estão relacionadas por alguma equação A ideia em um problema de taxas relacionadas é computar a taxa de variação com relação ao tempo de uma grandeza em termos da taxa de variação da outra que pode ser medida mais facilmente O que fazemos nesse caso é derivar os dois lados da equação que relacione as duas grandezas com relação ao tempo e com isso achar a derivada e consequentemente a taxa de variação desejada Exemplo Um tanque cilíndrico possui o formato de um cilindro circular reto com raio de 5 m Se estivermos bombando água dentro do tanque a uma taxa de 3 m³min encontre a taxa na qual o nível da coluna dágua está aumentando sabendo que o volume do cilindro de raio da base r e altura h é V πr²h r5m V π5²h V 25πh Vt 25πht Vt 25πht 3 25πht ht 325π Exemplo Suponha que estamos bombeando água em uma caixa dágua cúbica de 7 metros de lado Suponha que a água só pode ser bombeada por no máximo 4 minutos para não queimar a bomba e que a taxa de vazão da água ao longo do tempo é de 16 t²m³min a Determine a taxa de variação da altura da coluna dágua depois de 2 minutos que a bomba foi ligada V 77h 49h t2min h2 V 49 h Vt 49 ht Vt 49ht Vt 16t² m³min Vt 162² 12 d h2 V2 1249 Vt 6 t² m³min V3 49 h3 7 49 h3 h3 17 014 mmin 14 mmmin Relação entre as derivadas de uma função e o comportamento desta função Como o comportamento de uma função fx próximo ao ponto a fa é semelhante ao comportamento da reta tangente ao gráfico da função fx neste ponto então Se fa 0 então a reta tangente ao gráfico de fx em a fa possui coeficiente angular positivo Consequentemente esta reta tangente é crescente e portanto a função fx também é crescente próximo de x a Se fa 0 então a reta tangente ao gráfico de fx em a fa possui coeficiente angular negativo Consequentemente esta reta tangente é decrescente e portanto a função fx também é decrescente próximo de x a Com isso podemos concluir que 1 Se fx 0 para todo x em um intervalo real então a função fx é crescente neste intervalo 2 Se fx 0 para todo x em um intervalo real então a função fx é decrescente neste intervalo Se fc 0 então dizemos que c é um ponto crítico de fx Se quisermos determinar em quais intervalos reais a função fx é crescente e em quais intervalos ela é decrescente precisamos Determinar os pontos críticos de fx pois é neles que a função fx poderia trocar de sinal uma vez que se a função fx for contínua em um intervalo então ela nunca vai trocar o sinal de positivo para negativo ou viceversa sem antes assumir o valor zero Fazer o estudo de sinal da derivada fx Nos intervalos em que fx 0 a função fx é crescente Nos intervalos em que fx 0 a função fx é decrescente Exemplo Em cada caso determine quando a função fx é crescente e quando ela é decrescente a fx x³ 9x² 24x 7 fx x³ 9x² 24x 7 3x² 92x 24 fx 0 3x² 18x 24 0 x 18 b 18 c 24 onde Δ 18² 4324 324288 x 36 x 18366 x 1866 x 4 fx x 1866 12 2 x 0 f0 30² 180 24 24 0 x 3 f3 33³ 183 24 27 54 24 3 0 x 5 f5 35² 185 24 75 90 24 9 0 fx é crescente se x 2 ou x 4 e decrescente se 2 x 4 b fx x³ 3x² 1 fx x³ 3x² 1 3x² 32x 0 3x² 6x fx 0 3xx 2 3x x 2 0 3x 0 ou x 2 0 x 0 x 2 f3 33² 63 39 18 27 0 f1 31² 61 31 6 3 0 f1 31² 61 3 6 9 0 fx é crescente se x 2 ou x 0 fx é decrescente se 2 x 0 Obs Nos pontos em que fx 0 a reta tangente ao gráfico de fx é horizontal pois seu coeficiente angular é zero fx x4 4x3 Em x 0 a função apenas muda a forma com que ela decresce mas ela continua numa decrescente fx 3x⁴ 4x³ 12x² 5 y fx Ex 5x³ 25x² 5x 5xx² 5x 1