Linearização e Comportamento de Funções Côncavas

Determ ine a linearização da função fx x em x 9 e utilize essa linearização para obter valores aproximados para 9001 e 899 fx 2xx3 1 2xx3 1 Dizemos que o gráfico de fx é côncavo para cima em um intervalo real se o gráfico de fx estiver acima de todas as suas retas tangentes neste intervalo Neste caso o gráfico da função fx tem um comportamento semelhante ao de uma parábola virada para cima 2 Se fx 0 para todo x em um intervalo real então a derivada fx é decrescente neste intervalo Consequentemente as inclinações das retas tangentes ao gráfico de fx vão diminuindo e portanto o gráfico de fx é côncavo para baixo neste intervalo Concluímos assim que se fx 0 em um intervalo então o gráfico da função fx é côncavo para cima neste intervalo e se fx 0 em um intervalo então o gráfico da função fx é côncavo para baixo neste intervalo Se quisermos determinar em quais intervalos reais o gráfico da função fx é côncavo para cima e em quais intervalos ele é côncavo para baixo precisamos determinar os valores de x nos quais fx 0 pois é nesses pontos que a função fx poderia trocar de sinal uma vez que se a função fx for contínua em um intervalo então ela nunca vai trocar o sinal de positivo para negativo sem antes assumir o valor zero Ex fx 3x² 4x 3 fx 3x² 4x 3 32x 41 0 6x 4 fx 6x 4 6x 4 6 fx 0 para todo x ℝ O gráfico de fx é côncavo para cima OBS fx 0 6x 4 0 6x 4 x 46 23 OBS fx ax² bx c a 0 fx a2x b1 0 2ax b fx 2a1 0 2a a 0 fx 0 ℑ a 0 Exemplo Em cada caso determine quando o gráfico de fx é côncavo para cima e quando ele é côncavo para baixo a fx x³ 3x² 4x 3 fx x³ 3x² 4x 3 3x² 6x 4 Δ 0 fx 3x² 6x 4 3x² 6x 32x 6 fx 0 6x 6 0 6x 6 x 66 1 f0 60 6 0 f2 62 6 12 6 6 0 fx 0 se x 1 e fx 0 se x 1 O gráfico de fx é côncavo para baixo se x 1 fx 3x4 4x3 6x2 fx 60x3 240x fx 0 se x 2 ou 0 x 2 e fx 0 se x 2 ou 0 x 2 fx x4 8x3 18x2 1 fx x4 8x3 18x2 1 4x3 24x2 36x fx 4x3 24x2 36x 43x2 242x 36 fx0 se x1 ou x3 e fx0 se 1x3 o gráfico de fx é côncavo para cima se x1 e côncavo para baixo se 1x3 y fx fx 2x³ 15x² 36x fx 12x 30 fx 2x3 15x2 36x y bx fx x4 8x3 2 O gráfico de fx é côncavo para cima se x 4 ou x 0 e côncavo para baixo se 4 x 0 y fx