Números Índices: Conceitos e Cálculos

1 10 08 2023 Números Índices Números Índices são usados para indica variações relativas em quantidades preços ou valores de um objeto durante um período de tempo Exemplo a O preço da maçã hoje em relação ao preço de um ano atrás b O preço do pacote de um item da cesta básica arroz ou de feijão em relação ao preço de um mês atrás c Índices de crescimento de setores da economia d Índices demográficos natalidade fecundidade etc e Meteorológicos pluviométrico temperaturas etc Temos dois tipos de números Índices a Números índices simples só um objeto é averiguado por exemplo numa análise de inflação de um produto em um determinado período de tempo b Número índice composto quando um grupo de artigos é avaliado num determinado espaço de tempo Exemplo variação de preços da cesta básica em um ano Tipos de índices muito usados pelos economistas a Índice de preços indicador que reflete uma variação de preços de um bem ou de um conjunto de bens eou serviços da economia b Índice de quantidade representa as variações das quantidades de um bem ou de um conjunto de bens eou serviços da economia c Índice de valor é um indicador que representa a variação dos preços em relação às quantidades em momentos diferentes do tempo É um conceito relativo O montante de unidades monetárias dinheiro gasto na compra de bens eou serviços em um período comparado a outro pode variar dependendo das unidades compradas e em função das mudanças de preços unitários dos mesmos Cálculo de números índices Variáveis p preço q quantidade e v 𝑝 𝑞 valor 2 Convencionalmente usamos a notação 0 época básica ou época de referência t época atual ou época a ser comparada 𝑝0 Preço do produto ou serviço no tempo 0 𝑝𝑡 Preço do produto ou serviço no tempo t 𝑞0 Quantidade do produto ou serviço no tempo 0 𝑞𝑡 Quantidade do produto ou serviço no tempo t 𝑣0 𝑝0 𝑞0 Valor do produto ou serviço no tempo 0 𝑣𝑡 𝑝𝑡 𝑞𝑡 Valor do produto ou serviço no tempo t Fórmulas Básicas a Índices relativos de preços 𝑝0𝑡 𝑝𝑡 𝑝0 100 Exemplo Um produto custava R12000 em 2016 e passou a R13800 em 2017 𝑝0𝑡 𝑝𝑡 𝑝0 100 𝑝17 𝑝16 100 13800 12000 100 115 100 115 O número índice é 115 100 115 Ou ainda 115 100 15 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 ℎ𝑜𝑢𝑣𝑒 𝑢𝑚 𝑎𝑐𝑟é𝑠𝑐𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 15 𝑛𝑜 𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 b Índices relativos de quantidade 𝑞0𝑡 𝑞𝑡 𝑞0 100 Exemplo As exportações de automóveis em 2019 foram de 3000 unidades e em 2020 caíram para 2400 𝑞0𝑡 𝑞𝑡 𝑞0 𝑞20 𝑞19 100 2400 3000 100 080 100 80 O número índice é 80 Ou ainda 80 100 20 indicando que houve um decréscimo de 20 nas exportações em 2020 c Índices relativos de valor 𝑣0𝑡 𝑉𝑡 𝑉0 100 𝑝𝑡𝑞𝑡 𝑝0 𝑞0 100 Exemplo Um pais importou 5 mil barris de petróleo em 2010 e 6 mil em 2011 O preço médio do barril era U 7113 por barril em 2010 e U9704 por barril em 2011 𝑣0𝑡 𝑣𝑡 𝑣0 100 𝑝𝑡𝑞𝑡 𝑝0𝑞0 100 6000 9704 5000 7113 100 163709 100 163709 O índice é 163709 O pais elevou suas importações de petróleo em termos de valor em 163709 100 63709 Faremos agora um exercício calculando os três índices preço quantidade e valor para os anos de 2019 2020 2021 e 2022 com base fixa em 2019 3 Exercício Uma siderúrgica produz chapas de aço No ano de 2019 a chapa custava R4500 a tonelada em 2020 a chapa custava R 4750 a tonelada em 2021 a chapa custava R 4800 e em 2022 a chapa custava R 4950 Em 2019 a empresa produziu 1500 toneladas em 2020 a empresa produziu 1567 toneladas em 2021 a empresa produziu 1800 toneladas e em 2022 a empresa produziu 1892 toneladas Calcular os números índices de preço quantidade e valor para a produção de chapas de aço tomando o ano de 2019 como base base fixa Resumo dos dados na tabela abaixo Ano Preço Quantidade tonelada Valor dinheiro 2019 4500 p0 1500 q0 4500 x 1500 67 50000 2020 4750 pt 1567 qt 4750 x 1567 74 43250 2021 4800 pt 1800 4800 x 1800 86 40000 2022 4950 pt 1892 4950 x 1892 93 65400 Solução O período base 0 é 2019 Já o período atualt é 2020 2021 ou 2022 conforme o caso Então a Índice de preço de 2020 base 2019 𝑝0 4500 𝑝𝑡 4750 𝑝0𝑡 𝑝𝑡 𝑝0 100 4750 4500 100 10556 Então 𝑝20192020 10556 Houve um aumento de 556 10556 100 556 nos preços da chapa de aço de 2019 para 2020 b Índice de preço de 2021base 2019 𝑝0 45 𝑝𝑡 4800 𝑝0𝑡 𝑝𝑡 𝑝0 100 4800 4500 100 10667 Então 𝑝20192021 10667 Houve um aumento de 667 10667 100 667 nos preços da chapa de aço de 2019 para 2021 c Índice de preço de 2022 base 2019 𝑝0 45 𝑝𝑡 4950 𝑝0𝑡 𝑝𝑡 𝑝0 100 4950 4500 100 110 Então 𝑝20192022 110 Houve um aumento de 10 110 100 10 nos preços da chapa de aço de 2019 para 2022 d Índice de quantidade de 2020 𝑞0 1500 𝑞𝑡1567 𝑞0𝑡 𝑞𝑡 𝑞0 100 1567 1500 100 10447 Houve um aumento de 447 10447 100 nas quantidades de chapas produzidas de 2019 para 2020 4 e Índice de quantidade de 2021base 2019 𝑞0 1500 𝑞𝑡 1800 𝑞0𝑡 𝑞𝑡 𝑞0 100 1800 1500 100 120 Houve um aumento de 20 120100 nas quantidades de chapas produzidas de 2019 para 2021 f Índice de quantidade de 2022base 2019 𝑞0 1500 𝑞𝑡 1892 𝑞0𝑡 𝑞𝑡 𝑞0 100 1892 1500 100 12613 Houve um aumento de 2613 12613 100 nas quantidades de chapas produzidas de 2019 para 2022 g Índice de valor de 2020 base 2019 𝑣0𝑡 𝑣𝑡 𝑣0 100 𝑝𝑡 𝑞𝑡 𝑝0 𝑞0 100 4750 1567 4500 1500 100 11027 Houve um aumento de 1027 𝑛os valores de venda das chapas de aço de 2019 para 2020 h Índice de valor de 2021base 2019 𝑣0𝑡 𝑣𝑡 𝑣0 100 𝑝𝑡𝑞𝑡 𝑝0 𝑞0 100 4800 1800 4500 1500 128 𝐻𝑜𝑢𝑣𝑒 𝑢𝑚 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 28 128 100 𝑛𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑐ℎ𝑎𝑝𝑎𝑠 𝑑𝑒 2019 𝑝𝑎𝑟𝑎 2021 i Índice de valor de 2022base 2019 𝑣0𝑡 𝑣𝑡 𝑣0 100 𝑝𝑡𝑞𝑡 𝑝0 𝑞0 100 4900 1892 4500 1500 13735 𝐻𝑜𝑢𝑣𝑒 𝑢𝑚 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 3735 13735 100𝑛𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑐ℎ𝑎𝑝𝑎𝑠 𝑑𝑒 2019 𝑝𝑎𝑟𝑎 2022 E resumiríamos assim Ano Índice de preços base fixa em 2019 Índice de quantidade Índice de valor 2019 10000 10000 10000 2020 10556 10447 11027 2021 10667 12100 12800 2022 11000 12613 13735 Provavelmente devido à cultura inflacionária existente no Brasil não costumamos encontra índices em valores absolutos tais como fizemos acima É bastante comum nos depararmos com os Números Índices relativos de Ligação que sintetizam as variações econômicas entre dois períodos consecutivos Quando o IBGE divulga o IPCA de determinado mês é apresentada apenas a variação percentual em relação ao mês imediatamente anterior Para obter os números índices relativos de ligação de um período basta dividir o índice do período de interesse pelo do período imediatamente anterior 5 Encontre os índices relativos de ligação para a tabela a seguir Resumo da variação Mês Variação Janeiro Fevereiro 15 Março 089 Abril 477 Exercício 1 Encontre os índices relativos de ligação para os índices de preços da tabela a seguir Ano Índice de preços base fixa em 2019 Índice de preço relativo de ligação Variação 2019 10000 2020 10556 10556100 x100 10556 556 2021 10667 1066710556 x100 10105 105 2022 11000 11010667 x100 10312 312 b Encontre os índices relativos de ligação para os índices de quantidade da tabela a seguir Ano Índice de quantidade base fixa em 2019 Índice de quantidade relativo de ligação Variação 2019 10000 2020 10447 10447100X10010447 447 2021 12100 12110447X10011582 1582 2022 12613 12613121x100 10423 423 Acréscimo de 447 em 2020 em relação a 2019 Acréscimo de 1582 em 2021 em relação a 2020 Acréscimo de 423 em 2022 em relação a 2021 c Encontre os índices relativos de ligação para os índices de valor da tabela a seguir Ano Índice de quantidade base fixa em 2019 Índice de valor relativo de ligação Variação 6 2019 10000 2020 11027 11027100 x 10011027 102701027 2021 12800 1280011027 X 10011607 160701607 2022 13735 1373512800 X 10010730 730 0073 010271 X 10011027 Soma 1 e multiplica por 100 Variaçao Indice Indice multiplicado por 100 Ago 100 100 Set 00185 100 x 10018510185 10185 Out 00150 10185 x 10015010338 10338 Nov 00279 10338 x 1027910626 10626 Dez 00189 10626 x 100189 10827 10827 Jan 00459 10827 x 100459 11324 11324 Fev 00005 11324 x 100005 11330 11330 Mar 00104 11330 x 100104 11448 11448 Números índices agregativos compostos Os números índices compostos expressam as variações no preço quantidade ou valor de um grupo de indices 7 Os índices agregativos ponderados atribuem ponderações diferentes para os itens o que pode permitir dar maior enfase às variações em determinado item Indice de Laspeyres No indice de Laspeyres a ponderaçao é feita em função dos preços ou quantidades do periodo base Por causa disto ele tende a exagerar a alta por considerar preçosou quantidades do periodo base Indice de preços 𝐿0𝑡 𝑝𝑡𝑞0 𝑝0𝑞0 100 Indice de quantidades 𝐿0𝑡 𝑞𝑡𝑝0 𝑞0𝑝0 100 Exemplo 1 Com os dados da tabela abaixo e usando 2018 como base obter os indices de Laspeyres de preço e quantidade Artigos 2018 2019 2020 Preçosp0 Qtdeq0 Preçospt Qtde qt Preços pt Qtde qt A 2 4 2 5 3 6 B 3 3 4 2 6 3 C 5 2 6 5 8 6 a Indice de preços de Laspeyres de 2019 Base 2018 Os cálculos podem ser feitos na tabela envolvendo os dados de 2018 e 2019 Artigos 2018 2019 Preçosp0 Qtdeq0 Preçospt Qtde qt poqo ptqo A 2 4 2 5 8 8 B 3 3 4 2 9 12 C 5 2 6 5 10 12 soma 27 32 8 Ou então resolvendo diretamente 𝐿0𝑡 𝑝𝑡𝑞0 𝑝0𝑞0 24 4362 243352 100 32 27 100 𝟏𝟏𝟖 𝟓𝟐 𝑳𝟏𝟖 𝟏𝟗 𝟏𝟏𝟖 𝟓𝟐 Os preços dos artigos aumentaram 1852 11852100 de 2018 a 2019 b Indice de preços de Laspeyres de 2020 Usando a tabela para fazer os cálculos Artigos 2018 2020 Preçosp0 Qtdeq0 Preços pt Qtde qt ptqo poqo A 2 4 3 6 12 8 B 3 3 6 3 18 9 C 5 2 8 6 16 10 Soma 46 27 Ou diretamente 𝐿0𝑡 𝑝𝑡𝑞0 𝑝0𝑞0 100 3 4 6 3 8 2 2 4 3 3 5 2 100 𝟏𝟕𝟎 𝟑𝟕 𝑳𝟏𝟖 𝟐𝟎 𝟏𝟕𝟎 𝟑𝟕 Os preços dos arigos aumentaram 7037 17037 100 de 2018 a 2020 c Indice de quantidades de Laspeyres de 2019 𝐿0𝑡 𝑞𝑡𝑝0 𝑞0𝑝0 100 5 2 2 3 5 5 4 2 3 3 2 5 100 𝟏𝟓𝟏 𝟖𝟓 𝑳𝟏𝟖 𝟏𝟗 𝟏𝟓𝟏 𝟖𝟓 𝑨s quantidades dos arquivos aumentaram 51 85 15185 100de 2018 a 2019 d Indice de quantidades de Laspeyres de 2020 𝐿0𝑡 𝑞𝑡𝑝0 𝑞0𝑝0 100 6 2 3 3 6 5 4 2 3 3 2 5 100 𝟏𝟖𝟖 𝟖𝟗 𝑳𝟏𝟖 𝟐𝟎 𝟏𝟖𝟖 𝟖𝟗 As quantidades dos arquivos aumentaram 8889 18889 100de 2018 a 2020 Indice de Paache No indice de Paache a ponderaçao é feita em função dos preços ou quantidades do periodo atual Por causa disto ele tende a exagerar a alta por considerar preçosou quantidades do periodo base Indice de preços 𝐿0𝑡 𝑝𝑡𝑞𝑡 𝑝0𝑞𝑡 100 9 Indice de quantidades 𝐿0𝑡 𝑞𝑡𝑝𝑡 𝑞0𝑝𝑡 100 Exemplo 1 Com os dados da tabela abaixo e usando 2018 como base obter os indices de Paache Artigos 2018 2019 2020 Preçosp0 Qtdeq0 Preçospt Qtde qt Preços pt Qtde qt A 2 4 2 5 3 6 B 3 3 4 2 6 3 C 5 2 6 5 8 6 a Indice de preços de Paache de 2019 𝑃0𝑡 𝑝𝑡𝑞𝑡 𝑝0𝑞𝑡 254265 253255 100 𝟏𝟏𝟕 𝟎𝟕 𝑷𝟏𝟖 𝟏𝟗 𝟏𝟏𝟕 𝟎𝟕 Os preços dos artigos aumentaram 1707 11707100 de 2018 a 2019 b Indice de preços de Paache de 2020 𝑃0𝑡 𝑝𝑡𝑞𝑡 𝑝0𝑞𝑡 100 3 6 6 3 8 6 2 6 3 3 5 6 100 𝟏𝟔𝟒 𝟕𝟏 𝑷𝟏𝟖 𝟐𝟎 𝟏𝟔𝟒 𝟕𝟏 Os preços dos arigos aumentaram 6471 16471 100 de 2018 a 2020 c Indice de quantidades de Paache de 2019 BASE 2018 𝑃0𝑡 𝑞𝑡𝑝𝑡 𝑞0𝑝𝑡 100 5 2 2 4 5 6 4 2 3 4 2 6 100 15000 P181915000 As quantidades dos arquivos aumentaram 5000 15000 100de 2018 a 2019 d Indice de quantidades de Paache de 2020 𝑃0𝑡 𝑞𝑡𝑝0 𝑞0𝑝0 100 6 3 3 6 6 8 4 3 3 6 2 8 100 18261 P182018261 As quantidades dos arquivos aumentaram 8261 18261 100de 2018 a 2020 Resumo Ano 2018 2019 2020 Laspeyres Preços 100 11852 17037 Laspeyres Qtde 100 15185 18889 10 Paache Preço 100 11707 16471 Paache QTde 100 15000 18261 No Brasil são utilizados inúmeros índices de preços que são escolhidos de acordo com os propósitos em consideração Relacionamos no quadro abaixo os valores do IGP Índice Geral de Preços conceito disponibilidade interna da FGV referentes aos meses de maio a dezembro de determinado ano Mes Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez IGP 64979 70358 80031 90379 100967 115263 135379 157656 Pela evolução desses índices de preços pode ser constatado como os preços gerais da economia variaram no período Para tanto relacionase o índice do final do período com o índice do início do período Informação Adicional Calendário do IGPM 2023 Confira as datas das divulgações do IGPM pela Fundação Getúlio Vargas em 2023 Janeiro dia 30 Fevereiro dia 27 Março dia 30 Abril dia 27 Maio dia 30 Junho dia 29 Julho dia 28 Agosto dia 30 Setembro dia 28 Outubro dia 30 Novembro dia 29 Dezembro dia 28 11 Exemplo 1 A taxa de inflação do segundo semestre que vai de 1 julho até 31 de dezembro medida pelo IGP está refletida na evolução apresentada entre o índice de junho início do semestre e o índice de dezembro fim do semestre 𝑰𝒏𝒇𝒍𝒂çã𝒐 𝒅𝒐 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐 𝒔𝒆𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒆 𝒊𝒏𝒅𝒊𝒄𝒆 𝒅𝒆 𝒅𝒆𝒛𝒆𝒎𝒃𝒓𝒐 𝒊𝒏𝒅𝒊𝒄𝒆 𝒅𝒆 𝒋𝒖𝒏𝒉𝒐 100 157656 70328 100 22414 100 12414 Os preços neste período indicam uma evolução de 12414 Exemplo 2 A inflação do trimestre outubrodezembro começa em 1 de outubro até 31 de dezembro O índice de outubro só sai no final do mês de outubro por este motivo usase o índice de setembro 𝑰𝒏𝒇𝒍𝒂çã𝒐 𝒅𝒐 𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒆 𝒐𝒖𝒕 𝒅𝒆𝒛 𝒊𝒏𝒅𝒊𝒄𝒆 𝒅𝒆 𝒅𝒆𝒛𝒆𝒎𝒃𝒓𝒐 𝒊𝒏𝒅𝒊𝒄𝒆 𝒅𝒆 𝒔𝒆𝒕𝒆𝒎𝒃𝒓𝒐 𝟏𝟎𝟎 157656 100967 100 15615 𝑜𝑢 𝑎𝑐𝑟é𝑠𝑐𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 5615 Exemplo 3 A inflação do mês de outubro 𝑰𝒏𝒇𝒍𝒂çã𝒐 𝒅𝒆 𝒐𝒖𝒕 𝒊𝒏𝒅𝒊𝒄𝒆 𝒅𝒆 𝒐𝒖𝒕𝒖𝒃𝒓𝒐 𝒊𝒏𝒅𝒊𝒄𝒆 𝒅𝒆 𝒔𝒆𝒕𝒆𝒎𝒃𝒓𝒐 𝟏𝟎𝟎 115263 100967 100 11416 100 1416 Dessa maneira a taxa de inflação a partir de índices de preços pode ser medida pela seguinte expressão 𝐼 𝑃𝑛 𝑃𝑛𝑡 100 100 onde 𝐼 taxa de inflação obtida a partir de determinado índice de preços 𝑃 índice de preços utilizado para o cálculo da taxa de inflação 𝑛 𝑛 𝑡 Data de determinação da taxa de inflação e o período anterior considerado 12 Exercícios Resolvidos 1 Abaixo são transcritos alguns valores possivelmente fictícios divulgados do IGP Di Índice Nacional de Preços disponibilidade interna Dez 2002 JUN2003 Nov2003 Dez2003 IGPDi 10000 70838 135379 157656 Atenção O valor do índice IGP Di é sempre disponibilizado no final do mês Assim o índice de DEZ 2002 vale do final de dezembro2002 até que seja calculado e disponibilizado o índice de janeiro2003 a Um bem que custava R 500000 no início do ano 2003 quanto deve valer ao final deste ano dez 2003 se for corrigido pela variação do IGP Solução Valor corrigido do imóvel pelo IGP 500000 157656 10000 78 82800 b Admitindo que o proprietário tenha vendido este imóvel por R 90 00000 determinar o lucro real auferido Solução O lucro real é dado pelo preço de venda menos o valor de compra corrigido Lucro real pelo IGP R 90 00000 R 78 82800 R 11 17200 2 Um investidor aplicou R 100 00000 e obteve ao final de um ano rendimentos de juros de R 12 00000 Sabese que no período da aplicação a inflação da economia atingiu 56 a Calcular o ganho real 13 Solução Rendimento Nominal quanto vc acha que ganhou 𝑅 12 00000 Inflação do período 56 𝑅 100 00000 𝑅 560000 Ganho do investidor acima da inflação ganho real 𝑅 6 40000 b Valor da aplicação corrigido para o final do ano Capital corrigido 𝑃𝑉1 𝐼 100 𝑅 100 00000 1056 𝑅 105 60000 c Retorno nominal relação entre o Ganho Nominal e o valor histórico do capital investido Retorno Nominal Ganho Nominal Capital Investido 𝑅 12 00000 𝑅 100 00000 012 𝑜𝑢 12 d Retorno real relação entre o ganho real e o capital investido corrigido pela inflação Retorno Real ganho real capital corrigido 𝑅 6 40000 𝑅 105 60000 00606 𝑜𝑢 606 Exercício 1 Um investidor aplicou R 150 00000 e obteve ao final de um ano rendimentos de juros de R 18 20000 Sabese que no período da aplicação a inflação da economia atingiu 65 a Calcular o ganho real Solução 14 Rendimento Nominal Inflação do período Ganho do investidor acima da inflação ganho real b Valor da aplicação corrigido para o final do ano Capital corrigido c Retorno nominal relação entre o ganho Nominal e o valor histórico do capital investido Retorno Nominal d Retorno real relação entre o ganho real e o capital investido corrigido pela inflação 𝑅𝑒𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑅𝑒𝑎𝑙