Séries de Pagamentos Iguais com Termos Postecipados: Cálculo do Montante Futuro

05 09 2022 Séries de Pagamentos Iguais com Termos Postecipados ou Séries Uniformes Séries de Pagamentos Iguais com Termos Postecipados Série Uniforme é uma sequência de pagamentos ou recebimentos iguais efetuados em intervalos de tempos iguais Cada pagamento ou recebimento efetuado recebe o nome de termo da série Termo prestação parcela pagamento Os vencimentos dos termos de uma série uniforme podem ocorrer No final de cada período termos postecipados No início de cada período termos antecipados Ao término de um período de carência termos diferidos Montante FV para Séries de pagamentos Iguais com Termos Vencidos ou Postecipados Calcular o montante de uma série uniforme postecipada significa determinar seu valor em uma data futura Notação FV Montante ou valor Futuro Future Value PV Principal valor atual valor presente Present Value PMT cada termo da série cada pagamento cada prestação ou cada recebimento PayMenT n número de prestações i taxa de juros coerente com a unidade de tempomês trimestre ano etc Usaremos um exemplo para calcular a expressão que nos dá o cálculo do valor futuro Problema Calcular o valor do montante no final do quinto mês de uma série de 5 aplicações mensais iguais e consecutivas de R 10000 cada uma a uma taxa de 4 ao mês sendo que a primeira parcela é aplicada no final do primeiro mês ou seja 30 dias da data tomada como base momento zero e que a última no final do quinto mês é coincidente com o momento em que é pedido o montante Solução Observe o fluxo de caixa abaixo 𝑃𝑀𝑇 𝑃𝑉 10000 i 4 004 𝑛 5 Usando apenas resultados conhecidos para calcular o montante e a fórmula 𝐹𝑉 𝑃𝑉1 𝑖𝑛 temos 𝐹𝑉 100001044 100001043 100001042 100001041 100001040 Como o valor 10000 é constante em todos os termos pode ser colocado em evidencia 𝐹𝑉 100001044 1043 1042 1041 1040 O termo entre colchetes é uma progressão geométrica de razão 𝑎1 1040 1 𝑞 104 𝑒 𝑛 5 cuja soma é dada por 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑎1 𝑞𝑛 𝑎1 𝑞 1 Assim o montante 𝐹𝑉 10000 1 1045 1 104 1 10000 1045 1 004 Chegamos então à formula do Montante i i PMT FV n 1 1 1 Com ela você calcula o quanto acumula de capital ao longo do tempo FV conhecendose o valor das prestações PMT a taxa i e o número de prestações n Por esta razão o fator i i n 1 1 leva o nome de FAC Fator de Acumulação de Capital Aplicação Quanto você acha que teria no final de um ano e três meses se depositasse todo o final de mês a quantia de R 30000 em uma aplicação que paga 2 am Solução Dados n 1 ano e três meses 15 meses i 2 am PMT 30000 FV 518803 02 0 1 0 02 1 00 300 15 FV Cálculo do Valor do Pagamento PMT conhecido o Valor Futuro O problema é determinar o valor dos pagamentos em séries de pagamentos iguais postecipadas para que determinado montante seja acumulado Basta extrair da fórmula 1 acima o valor de PMT 1 1 i n i FV PMT 2 em que o fator entre colchetes é chamado com muita lógica de Fator de Formação de Capital FFC Calculase assim o valor das prestações que permitirão formar um valor futuro Exemplo de aplicação Para que você possa comprar um carro que custa R 12 00000 daqui a dois anos quanto deve poupar de acordo com o conceito de séries postecipadas se o banco paga uma taxa de 15 am pelo seu dinheiro Solução Dados FV R 12 00000 n 2 anos 24 meses i 15 am PMT Substituindo os dados na fórmula 1 1 i n i FV PMT 41909 003492 00 12000 4295 0 0015 00 12000 1 0015 1 0015 00 12000 24 PMT PMT PMT R41909 Exercício 1 Quanto uma pessoa deverá aplicar mensalmente num fundo de renda fixa durante 5 anos para que possa resgatar R 200 00000 no final de 60 meses sabendo que o fundo proporciona rendimento de 2 ao mês Resposta aproximadamente R 175400 2 Uma pessoa irá necessitar de R 700000 daqui a 10 meses Quanto deverá depositar mensalmente num fundo de poupança que rende 17 am de juros Resposta Aproximadamente R 64810 Cálculo do Valor Presente PV para Séries de Pagamentos Iguais Postecipadas Para calcular o valor atual ou o valor presente de uma série uniforme postecipada basta recorrer mais uma vez à fórmula 1 Tome a expressão𝐹𝑉 𝑃𝑀𝑇 1𝑖𝑛1 𝑖 e substituir 𝐹𝑉 𝑃𝑉 1 𝑖𝑛 Assim 𝑃𝑉 1 𝑖𝑛 𝑃𝑀𝑇 1 𝑖𝑛 1 𝑖 Isolando o valor presente 𝑃𝑉 𝑃𝑀𝑇 1𝑖𝑛1 𝑖1𝑖𝑛 3 Esta fórmula você deduz rapidinho e nem precisa decorar O fator entre colchetes você é capaz de adivinhar o nome dele Fator de Valor Atual FVA pois calcula o valor do empréstimo ou da aplicação PV dado o valor dos pagamentos PMT a taxa i e o prazo n Exemplo de aplicação 1 Um microcomputador pode ser comprado para ser pago em 12 pagamentos de R 31535 sendo um mês após a compra o vencimento do primeiro deles Se a loja cobra juros de 5 ao mês qual o seu valor à vista Solução Dados n 12 i 5 PMT 31535 PV Substituindo direto na expressão 3 acima temos 𝑃𝑉 𝑃𝑀𝑇 1 𝑖𝑛 1 𝑖 1 𝑖𝑛 31535 10512 1 005 10512 𝑃𝑉 31535 07959 008979 31535 886357 279513 Exercício Um produto cujo preço à vista é de R 180000 está sendo vendido em 3 pagamentos mensais de 65000 Estando atualmente em 33 am as taxas de juros de mercado pedese avaliar a melhor alternativa de compra Resolução Vou calcular o PV da venda a prazo para comparar com a venda à vista e decidir qual a melhor opção 𝒏 𝟑 Meses 𝑷𝑴𝑻 𝟔𝟓𝟎 𝟎𝟎 𝒊 𝟑 𝟑 𝒂 𝒎 𝑃𝑉 𝑃𝑀𝑇 1 𝑖𝑛 1 𝑖 1 𝑖𝑛 65000 10333 1 0033 10333 PV 182804 Resposta 𝑷𝑽 𝑹 𝟏𝟖𝟐𝟖 𝟎𝟒 Interessa compra à vista Resumo das fórmulas 1 Cálculo de FV i i PMT FV n 1 1 2 Cálculo do pagamento PMT conhecendo o valor futuro FV 1 1 i n i FV PMT 3 Cálculo do valor à vista PV conhecendo o valor dos pagamentos PMT 𝑃𝑉 𝑃𝑀𝑇 1𝑖𝑛1 𝑖1𝑖𝑛 4 Cálculo do PMT conhecendo o valor à vista PV Digite a equação aqui