P1 - Cálculo 2 2021-2

Avalia¸c˜ao 1 de C´alculo II (ACH5512) Curso BioTecnologia - Prof. Antˆonio Calixto de Souza Filho Nome do aluno n´umero USP Instru¸c˜oes GERAL A resolu¸c˜ao da avalia¸c˜ao dever´a ser manuscrita, rubricada em cada folha e assinada ao final do documento. I1 Esta avalia¸c˜ao ´e composta por 7 quest˜oes, com 8 p´aginas. Cada quest˜ao ´e composta por 7 itens-problema (IP) (varia¸c˜oes dos dados da quest˜ao). A cada nusp ´e indicado, para cada quest˜ao, o item com os dados para resolu¸c˜ao da quest˜ao: vamos checar, para os presentes, se o n´umero USP consta da lista. I2 Parte da avalia¸c˜ao ter´a dura¸c˜ao de 100 minutos. Em seguida, a avalia¸c˜ao poder´a ser prosseguida enviando at´e `as 18 horas do dia 31/10/2021 para o e-mail ach5512calculoii@gmail.com, em ´UNICO arquivo pfd, identificado por: NOMEXYZA1 em que XYZ s˜ao as iniciais do sobrenome, se necess´ario e A1 relativo a Avalia¸c˜ao I, nesta ordem, sem hifens ou outras s´ımbolos que n˜ao sejam as letras. I3 Est˜ao selecionados na ´ultima p´agina da avalia¸c˜ao, na ordem das quest˜oes, ao lado do n´umero usp, quais IP’s o aluno dever´a formular a solu¸c˜ao e enviar at´e a data/hora m´aximas. I4 Assim a linha 5240499 (5,7,1,6,4,2,3) significa que o aluno de n´umero usp 5240499, dever´a responder os com os dados dos IP’s 1.5, 2.7, 3.1, 4.6, 5.4, 6.2, 7.3. I* Identifiquem-se segundo o formato NOMEXYZA1 e quando forem resolver a quest˜ao INDIQUEM o item de sua quest˜ao na forma quest˜ao 3.1:´e a quest˜ao 3, item 1. Uma vez que os arquivos, quando manuscritos, s˜ao fotografados, observe se a foto ficou leg´ıvel e a ordem das quest˜oes. Relembro arquivo ´unico em PDF. I** N˜ao esque¸cam de colocar o nome na prova escrita I*** Novamente! ANTES DA RESOLUC¸ ˜AO DA QUEST˜AO, INDIQUE NO INICIO DA SOLUC¸ ˜AO QUAL O SEU ITEM AVALIAC¸ ˜AO 1 Q1 A quest˜ao aborda aspectos b´asicos do assuntos vistos nesta primeira parte: (a) Resolva a EDO y′ = g(t) e represente geometricamente y′(n), sobre gr´afico de y, se ocorre que y(t0) = y0 (b) Resolva a EDO y′ = f(t), identificando o seu m´etodo de resolu¸c˜ao. (c) Explique se o conjunto S ´e gerador e calcule o vetor ⃗u como combina¸c˜ao linear dos vetores do conjunto. 1.1 g(t) = t − 4, n = 2, t0 = 2, y0 = 3, f(t) = −3x+3 2x2−2x+5, S = {(1, 2, 3), (−1, 2, −3), (1, 2, 1), ( 3 5, √ 2, π)}, ⃗u = (2, 3, 1) 1.2 g(t) = 3t − 2, n = −2, t0 = −1, y0 = 3, f(t) = 5x+2 3x2+2x+5, S = {(2, 1, 3), (1, −2, 3), (1, 2, 1), ( 3 5, √ 2, π)}, ⃗u = (2, 2, 3) 1.3 g(t) = 5t − 1, n = 1, t0 = −2, y0 = 3, f(t) = −2x+4 5x2−2x+5, S = {(2, 1, 3), (1, −2, 3), (3, 1, 2), ( 3 5, √ 2, π)}, ⃗u = (3, 2, 3) 1.4 g(t) = −3t + 1, n = −1, t0 = 3, y0 = 3, f(t) = −2x+1 7x2−2x+5, S = {(2, 1, 3), (−2, 3, 3), (2, 2, 1), ( 3 5, √ 3, π)}, ⃗u = (−2, 2, −3) 1.5 g(t) = −t + 5, n = 3, t0 = 1, y0 = 3, f(t) = 3x−2 5x2−3x+5, S = {(1, 3, −3), (1, −2, 3), (1, 2, 1), ( 3 7, √ 2, 2π)}, ⃗u = (−1, 2, 4) 1.6 g(t) = −5t + 2, n = −3, t0 = 3, y0 = 3, f(t) = −7x+3 3x2−x+2 S = {(2, 3, −3), (1, −2, −3), (1, 2, 1), ( 4 7, √ 5, −π)}, ⃗u = (−1, 2, 4) 1.7 g(t) = −t − 3, n = 2, t0 = −2, y0 = 3, f(t) = 2x−4 3x2−5x+1, S = {(2, 1, 3), (−2, 3, 3), (−2, 3, −1), ( 3 5, √ 3, π)}, ⃗u = (2, −2, 1) 1 Q2 Resolva as EDOS a seguir, identificando no item i o tipo de EDO. 2.1 i. (y′)2 = 1 − t2; ii. y′′ − 4y′ + 4y = 2sen(2t) − 3cos(t), quando y( 3π 2 ) = −2 e y( 2π 3 ) = 1. 2.2 y′ − 2y = 3t, ii. y′′ − 2y′ + 2y = 3sen(2t) − 2cos(t), quando y( π 2 ) = −2 e y( 3π 4 ) = 1. 2.3 (3t − y)y′ = 3y − t, ii. y′′ − 6y′ + 9y = 3sen(2t) − 4cos(t), quando y( π 3 ) = −2 e y( 3π 2 = 1). 2.4 t(2y + 3)y′ = y(3 + y), ii. y′′ − 6y′ + 9y = 4sen(2t) − 2cos(t), quando y( π 2 ) = −2 e y( 2π 5 ) = 1. 2.5 2(t2 + 1)y′ + 2ty = 1, ii. y′′ − 8y′ + 16y = −4sen(2t) − 3cos(t), quando y( π 2 ) = −2 e y( 2π 3 ) = 1. 2.6 dy dx − 2xy = 2x, ii. y′′ + 8y′ + 16y = 2sen(2t) − 5cos(t), quando y(3 π 2 ) = −2 e y( 2π 3 ) = 1. 2.7 dy dx = y x − x y , ii. y′′ + 2y′ + 2y = −5sen(2t) − 3cos(t), quando y( π 2 ) = −2 e y( 5π 6 ) = 1. 2 Q 3 Uma substˆancia C ´e sintetizada a partir das substˆancias A e B, na propor¸c˜ao de m partes de A e n partes de B formam m + n de C. Sabendo-se que a ´e quantidade inicial de A e b ´e a quantidade inicial de B a reagir, segundo o modelo: a taxa de varia¸c˜ao da forma¸c˜ao de C, denotada por x′, ´e proporcional a quantidade de A e B presentes na rea¸c˜ao e que ainda n˜ao reagiram. Se ap´os um instante t h´a c da substˆancia C, calcule: (a) Se x ´e quantidade produzida de C, explique e apresente qual a quantidade de A e B necess´arias e determine express˜ao de x(t) a massa sintetizada de C como fun¸c˜ao do tempo. (b) (meio) Determine a constante de proporcionalidade do modelo. (c) (meio) O tempo τ para que p% da quantidade total a ser formada de C ter´a sido obtido? (d) Calcule a velocidade de sintese de C no instante τ. 3.1 m = 5g, n = 7g, a = 900g, b = 630g, t = 45min, c = 100g, p = 85. 3.2 m = 6g, n = 8g, a = 900g, b = 640g, t = 20min, c = 80g, p = 90. 3.3 m = 8g, n = 7g, a = 640g, b = 840g, t = 40min, c = 120g, p = 95. 3.4 m = 8g, n = 5g, a = 1024g, b = 1200g, t = 30min, c = 150g, p = 85. 3.5 m = 6g, n = 9g, a = 942g, b = 720g, t = 40min, c = 90g, p = 90. 3.6 m = 8g, n = 7g, a = 800g, b = 1050g, t = 40min, c = 120g, p = 95. 3.7 m = 8g, n = 5g, a = 720g, b = 850g, t = 40min, c = 120g, p = 95. 3 Q4 Um problema bastante comum est´a relacionado a incidˆencia entre dois objetos espaciais. Por exemplo, determinar se um ponto faz parte de um certo conjunto ou n˜ao. Quando se trata de verificar se o ponto encontra-se em uma reta, ou um plano verificamos se o ponto satisfaz a equa¸c˜ao definida por estes objetos. A seguir, no entanto, queremos saber se um certo ponto se encontra no interior de uma certa regi˜ao do espa¸co. (a) Sejam os pontos A, B, C, D. Verifique que estes pontos determinam um s´olido. (b) Explique sua compreens˜ao da afirma¸c˜ao: no caso de um triˆangulo de v´ertices A, B, C, definindo-se ⃗u = Y −X e ⃗v = Z − X, com X, Y, Z = {A, B, C}, se ocorrer que um ponto P, cujo vetor P − X = a⃗u + b⃗v, tenha a ou b negativos, ou a ou b maiores que 1, ent˜ao P ´e externo ao triˆangulo. Analogamente para uma regi˜ao definida por 4 pontos n˜ao coplanares, um dos pontos X fixado, P um ponto do espa¸co, o vetor P − X e escrito como combina¸c˜ao linear dos 3 vetores. Se algum escalar negativo ou maior que 1, ent˜ao P est´a fora do s´olido definido pelos 4 pontos. (c) Explique se o ponto E ´e interior ao s´olido definido por A, B, C, D. (d) A partir da posi¸c˜ao relativa do ponto em rela¸c˜ao ao s´olido definido por um conjunto de v´ertices, calcule o volume definido pelos pontos A, B, C, D, X, sendo X ∈ {E, F}. Explicando seu c´alculo. 4.1 A = (2, 3, 4), B = (−3, 1, −2), C = (5, 3, 7), D = (3, 2, 4), E = (0.8, 2.8, 2.8), F = (2.1, 2.1, 3.4) 4.2 A = (3, 4, 2), B = (−3, 2, −4), C = (7, 3, 5), D = (4, 2, −3), E = (2.4, 3.8, 2.4), F = (3.6, 2.8, 0) 4.3 A = (4, 2, 3), B = (−4, −1, 1), C = (3, 5, 7), D = (2, −2, 4), E = (0.8, 8.2, 10.4), F = (1.4, 1.4, 4.5) 4.4 A = (2, 4, 2), B = (−1, −2, 6), C = (5, 7, 3), D = (5, 3, −1), E = (0.2, 2.4, 3.2), F = (2.9, 2.8, 2.6) 4.5 A = (3, 2, 4), B = (6, −1, −2), C = (3, 7, 5), D = (2, 5, 6), E = (3.8, 1.8, 2.6), F = (3.2, 3.6, 3.8) 4.6 A = (4, 3, 2), B = (−3, −1, 6), C = (7, 5, 3), D = (−3, 4, 5), E = (5.2, 2.8, 4.6), F = (0.1, 1.3, 3.4) 4.7 A = (6, 3, 1), B = (−1, −4, 5), C = (2, 4, 8), D = (4, 5, −1), E = (4.2, 1.4, 3.6), F = (3.2, 2.4, 2.6) 4 Q5 Seja R um tanque que encontra-se com uma mistura de certa substˆancia, num volume inicial V0. Suponha que h´a uma massa y(0) = m dissolvida na solu¸c˜ao e que ser´a adicionada uma nova solu¸c˜ao cuja concentra¸c˜ao seja c(t) a uma vaz˜ao de φe e a vaz˜ao de sa´ıda seja φs. Determine: (a) A massa y(t) dissolvida no tanque. (b) O instante τ que atinge V de volume. (c) A massa da substˆancia neste instante τ. (d) Se ao atingir o volume V , a concentra¸c˜ao de entrada ficar constante e a vaz˜ao de sa´ıda ficar igual a vaz˜ao de entrada, calcule, se existir, limt→∞ y(t). 5.1 V0 = 6ml, m = 25mg, c(t) = 0, 03tg/l, φe = 0, 3ml/min, φs = 0, 25ml/min, V = 200ml 5.2 V0 = 4ml, m = 30mg, c(t) = 0, 02tg/l, φe = 0, 4ml/min, φs = 0, 3ml/min, V = 300ml 5.3 V0 = 3ml, m = 10mg, c(t) = 0, 025tg/l, φe = 0, 2ml/min, φs = 0, 15ml/min, V = 100ml 5.4 V0 = 5ml, m = 35mg, c(t) = 0, 04tg/l, φe = 0, 45ml/min, φs = 0, 25ml/min, V = 180ml 5.5 V0 = 7ml, m = 25mg, c(t) = 0, 01tg/l, φe = 0, 25ml/min, φs = 0, 10ml/min, V = 250ml 5.6 V0 = 8ml, m = 40mg, c(t) = 0, 03tg/l, φe = 0, 35ml/min, φs = 0, 25ml/min, V = 250ml 5.7 V0 = 5ml, m = 30mg, c(t) = 0, 04tg/l, φe = 0, 3ml/min, φs = 0, 20ml/min, V = 300ml 5 Q6 Considere um sistema de mistura formado por dois tanques. No tanque A, de volume VA, ´e despejada ´agua a uma vaz˜ao ϕA e do tanque B, de volume Vb, ´e retirada a mistura `a mesma vaz˜ao de entrada. Suponha que os tanques estejam ligados por dois dutos no qual em um deles a mistura do tanque B, a uma vaz˜ao ϕBA, ´e despejada no tanque A e pelo outro duto a mistura do tanque A, a uma vaz˜ao ϕAB, ´e despejada em B. Se o tanque A inicia com uma massa MA e o tanque B com uma massa MB, responda: (a) Qual ser´a a taxa de varia¸c˜ao da quantidade da massa do soluto em cada tanque? (b) Qual a massa nos tanques A e B, ap´os um tempo τ de opera¸c˜ao? (c) Calcule os valores m´aximos da massa em cada reservat´orio e o instante que ocorrem. (d) Esboce o gr´afico da massa de cada tanque ao longo do tempo, indicando os pontos extremos. 6.1 VA = 10ml, VB = 30ml, ϕA = 3, 25l/h, ϕBA = 0, 75l/h, ϕAB = 4l/h, MA = 4, MB = 12g, τ = 6h. 6.2 VA = VB = 0, 7l, ϕA = 35ml/h, ϕBA = 28ml/h, ϕAB = 63ml/h, MA = 4g, MB = 12g, τ = 5h. 6.3 VA = VB = 200l, ϕA = 60l/min, ϕBA = 20l/min, ϕAB = 80l/min, MA = 10kg, MB = 35kg, τ = 8min. 6.4 VA = 450ml, VB = 1200ml, ϕA = 25ml/min, ϕBA = 5ml/min, ϕAB = 30ml/min, MA = 80g, MB = 100g, τ = 40min. 6.5 VA = 10ml, VB = 30ml, ϕA = 3, 25l/h, ϕBA = 0, 75l/h, ϕAB = 4l/h, MA = 3, MB = 7g, τ = 8h. 6.6 VA = VB = 500ml, ϕA = 0, 09l/h, ϕBA = 0, 03l/h, ϕAB = 0, 12l/h, MA = 4, MB = 12, τ = 5h. 6.7 VA = 10ml, VB = 30ml, ϕA = 3, 25l/h, ϕBA = 0, 75l/h, ϕAB = 4l/h, MA = 3, MB = 7g, τ = 8h. 6 Q7 Seja ABCDEFGH um paralelep´ıpedo de arestas {AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE, AE, BF, CG, DH}, em que B = A + ⃗u, D = A + ⃗v e E = A + ⃗w. Sejam ⃗m = v − u e ⃗n = ⃗w ∧ ⃗m. Considere o prisma P definido pelos v´ertices BDHFQRST e arestas {BD, DH, HF, FB, QR, RS, ST, TQ, BQ, DR, HS, FT}, de modo que 3⃗n = B − Q = F − R e 2⃗n = D − T = H − S. Determine, quando poss´ıvel: (a) O vetor B − A como combina¸c˜ao linear dos vetores R − A, T − A e E − R. (b) A norma do vetor H − Q. (c) O vetor normal ao plano definido pelos pontos AQR, e a an´alise do paralelismo entre os planos definidos por EST e AQR. (d) O volume do prisma P. 7.1 ⃗u = (1, 0, 2), ⃗v = (1, 2, 1) e ⃗w = (1, 2, 3) 7.2 ⃗u = (0, 2, 1), ⃗v = (−1, −2, −1) e ⃗w = (1, 3, 2) 7.3 ⃗u = (2, 1, 0), ⃗v = (2, 1, 2) e ⃗w = (2, 1, 3) 7.4 ⃗u = (3, 1, 0), ⃗v = (−2, 1, −2) e ⃗w = (2, 3, 1) 7.5 ⃗u = (1, 3, 0), ⃗v = (1, −1, 2) e ⃗w = (3, 1, 2) 7.6 ⃗u = (0, 3, 1), ⃗v = (1, 2, −2) e ⃗w = (3, 2, 1) 7.7 ⃗u = (2, 0, 1), ⃗v = (−1, 2, −2) e ⃗w = (1, −2, 3) 7 quest˜oes nusp (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) 12718117 (2, 1, 2, 6, 1, 7, 7) 12527066 (3, 6, 1, 4, 3, 4, 2) 12527215 (4, 6, 6, 4, 2, 5, 5) 12733320 (6, 2, 4, 4, 5, 3, 4) 12527372 (1, 5, 6, 1, 3, 7, 3) 12527257 (7, 1, 4, 1, 6, 5, 6) 12527386 (1, 1, 6, 5, 2, 7, 5) 12750708 (1, 3, 6, 5, 7, 2, 5) 11223994 (1, 5, 2, 4, 1, 7, 2) 11839910 (7, 3, 6, 3, 7, 5, 1) 12430228 (3, 5, 7, 4, 3, 1, 7) 12424433 (6, 1, 3, 3, 7, 2, 3) 11779816 (2, 1, 2, 6, 3, 7, 5) 12690855 (7, 1, 7, 3, 2, 1, 5) 12606280 (3, 2, 5, 1, 3, 1, 4) 12702475 (4, 3, 5, 7, 1, 2, 5) 12527222 (3, 2, 4, 6, 4, 7, 6) 9360068 (4, 7, 6, 3, 5, 7, 4) 11779802 (6, 4, 6, 5, 5, 1, 2) 12730907 (2, 1, 7, 4, 5, 3, 5) 12606300 (5, 1, 2, 6, 4, 3, 6) 11779841 (6, 6, 3, 7, 5, 2, 5) 12527160 (2, 4, 5, 3, 7, 4, 1) 12684361 (1, 6, 4, 7, 3, 7, 1) 12527240 (2, 5, 3, 5, 6, 6, 3) 12689860 (7, 2, 2, 5, 2, 7, 4) 12527302 (2, 4, 7, 2, 4, 6, 5) 12527149 (3, 7, 2, 4, 1, 1, 2) 12691602 (7, 5, 2, 3, 1, 6, 7) 12683680 (5, 4, 1, 5, 1, 2, 5) 11839799 (1, 6, 1, 1, 2, 7, 2) 11880469 (2, 3, 1, 4, 3, 2, 4) 11914406 (3, 7, 2, 1, 1, 2, 4) 10781780 (4, 7, 1, 2, 2, 3, 5) 12527319 (2, 5, 7, 3, 4, 5, 1) 12527153 (3, 1, 47, 1, 2, 7) 12822271 (2, 6, 3, 1, 4, 7, 5) 12527390 (4, 1, 7, 3, 7, 2, 1) 12527344 (1, 5, 4, 3, 6, 2, 1) 12527299 (6, 5, 4, 3, 2, 2, 7) 12733636 (2, 7, 5, 2, 7, 4, 3) 12681010 (2, 5, 3, 2, 7, 5, 1) 12527091 (6, 2, 6, 7, 6, 3, 5) 11806361 (6, 3, 2, 2, 6, 3, 1) 12527132 (5, 1, 4, 7, 3, 5, 6) 11917542 (4, 3, 6, 1, 4, 3, 2) 12527070 (3, 2, 6, 3, 5, 2, 5) 12527087 (1, 3, 6, 7, 5, 7, 7) 12606317 (4, 3, 7, 4, 1, 6, 6) 11882284 (1, 7, 2, 2, 1, 1, 4) 12565201 (7, 5, 2, 5, 3, 6, 4) 12718009 (7, 3, 6, 3, 6, 7, 4) 11769395 (3, 5, 6, 2, 4, 6, 5) 5364221 (1, 2, 3, 7, 5, 4, 7) 12527174 (3, 1, 2, 4, 5, 6, 2) 12527045 (4, 5, 2, 4, 5, 3, 2) 12527282 (5, 3, 4, 2, 1, 6, 3) 12776631 (4, 2, 5, 6, 3, 1, 7) 12684545 (6, 3, 3, 7, 7, 5, 6) 12527195 (2, 1, 5, 6, 6, 5, 2) 12527201 (4, 3, 2, 5, 7, 6, 1) 8