Questões - Cálculo 2 2021-2

Q4 Um problema bastante comum est´a relacionado a incidˆencia entre dois objetos espaciais. Por exemplo, determinar se um ponto faz parte de um certo conjunto ou n˜ao. Quando se trata de verificar se o ponto encontra-se em uma reta, ou um plano verificamos se o ponto satisfaz a equa¸c˜ao definida por estes objetos. A seguir, no entanto, queremos saber se um certo ponto se encontra no interior de uma certa regi˜ao do espa¸co. (a) Sejam os pontos A, B, C, D. Verifique que estes pontos determinam um s´olido. (b) Explique sua compreens˜ao da afirma¸c˜ao: no caso de um triˆangulo de v´ertices A, B, C, definindo-se ⃗u = Y −X e ⃗v = Z − X, com X, Y, Z = {A, B, C}, se ocorrer que um ponto P, cujo vetor P − X = a⃗u + b⃗v, tenha a ou b negativos, ou a ou b maiores que 1, ent˜ao P ´e externo ao triˆangulo. Analogamente para uma regi˜ao definida por 4 pontos n˜ao coplanares, um dos pontos X fixado, P um ponto do espa¸co, o vetor P − X e escrito como combina¸c˜ao linear dos 3 vetores. Se algum escalar negativo ou maior que 1, ent˜ao P est´a fora do s´olido definido pelos 4 pontos. (c) Explique se o ponto E ´e interior ao s´olido definido por A, B, C, D. (d) A partir da posi¸c˜ao relativa do ponto em rela¸c˜ao ao s´olido definido por um conjunto de v´ertices, calcule o volume definido pelos pontos A, B, C, D, X, sendo X ∈ {E, F}. Explicando seu c´alculo. 4.1 A = (2, 3, 4), B = (−3, 1, −2), C = (5, 3, 7), D = (3, 2, 4), E = (0.8, 2.8, 2.8), F = (2.1, 2.1, 3.4) 4.2 A = (3, 4, 2), B = (−3, 2, −4), C = (7, 3, 5), D = (4, 2, −3), E = (2.4, 3.8, 2.4), F = (3.6, 2.8, 0) 4.3 A = (4, 2, 3), B = (−4, −1, 1), C = (3, 5, 7), D = (2, −2, 4), E = (0.8, 8.2, 10.4), F = (1.4, 1.4, 4.5) 4.4 A = (2, 4, 2), B = (−1, −2, 6), C = (5, 7, 3), D = (5, 3, −1), E = (0.2, 2.4, 3.2), F = (2.9, 2.8, 2.6) 4.5 A = (3, 2, 4), B = (6, −1, −2), C = (3, 7, 5), D = (2, 5, 6), E = (3.8, 1.8, 2.6), F = (3.2, 3.6, 3.8) 4.6 A = (4, 3, 2), B = (−3, −1, 6), C = (7, 5, 3), D = (−3, 4, 5), E = (5.2, 2.8, 4.6), F = (0.1, 1.3, 3.4) 4.7 A = (6, 3, 1), B = (−1, −4, 5), C = (2, 4, 8), D = (4, 5, −1), E = (4.2, 1.4, 3.6), F = (3.2, 2.4, 2.6) 4 Q7 Seja ABCDEFGH um paralelep´ıpedo de arestas {AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE, AE, BF, CG, DH}, em que B = A + ⃗u, D = A + ⃗v e E = A + ⃗w. Sejam ⃗m = v − u e ⃗n = ⃗w ∧ ⃗m. Considere o prisma P definido pelos v´ertices BDHFQRST e arestas {BD, DH, HF, FB, QR, RS, ST, TQ, BQ, DR, HS, FT}, de modo que 3⃗n = B − Q = F − R e 2⃗n = D − T = H − S. Determine, quando poss´ıvel: (a) O vetor B − A como combina¸c˜ao linear dos vetores R − A, T − A e E − R. (b) A norma do vetor H − Q. (c) O vetor normal ao plano definido pelos pontos AQR, e a an´alise do paralelismo entre os planos definidos por EST e AQR. (d) O volume do prisma P. 7.1 ⃗u = (1, 0, 2), ⃗v = (1, 2, 1) e ⃗w = (1, 2, 3) 7.2 ⃗u = (0, 2, 1), ⃗v = (−1, −2, −1) e ⃗w = (1, 3, 2) 7.3 ⃗u = (2, 1, 0), ⃗v = (2, 1, 2) e ⃗w = (2, 1, 3) 7.4 ⃗u = (3, 1, 0), ⃗v = (−2, 1, −2) e ⃗w = (2, 3, 1) 7.5 ⃗u = (1, 3, 0), ⃗v = (1, −1, 2) e ⃗w = (3, 1, 2) 7.6 ⃗u = (0, 3, 1), ⃗v = (1, 2, −2) e ⃗w = (3, 2, 1) 7.7 ⃗u = (2, 0, 1), ⃗v = (−1, 2, −2) e ⃗w = (1, −2, 3) 7