Questões - Cálculo 2 2021-2

18. Estude os contornos das funções: (a) f(x,y) = x + y (b) f(x,y) = x^2 - y^2 (c) f(x,y) = x^2 + y^2 (d) f(x,y) = x^2 + y^2 - 4x + 2 (e) f(x,y) = y^2 (f) f(x,y) = sqrt(x) 31. Seja f a função definida por f(x,y) = 2 - x^2 - y^2. (a) Determine a curva gamma definida pela imagem de f sobre a reta (x,y) = (-1 + 2t, 2 - 3t), t pertence R. (b) Calcule a derivada de gamma em t = 0. (c) Calcule a derivada direcional de f no ponto (-1, 2) e na direção (2, -3), verificando que o resultado é o mesmo do item anterior e represente esta derivada geometricamente. 1. Considere o espaços: R a reta real e R^2 o plano cartesiano. Identifique, geometricamente, os objetos seguir e em qual espaço podem ser considerados. (a) O conjunto {x pertence R, -2 < x <= 3} (b) O conjunto dos números reais x tais que |x| < 2 (c) O conjunto dos números reais x tais que |x + 1| < 2 (d) O conjunto {(1, y), 1 <= y <= 2} (e) O conjunto [-1, 2]x]0, 3[ (f) O gráfico (y^2 + 2y + 3, y) quando -3 < y < 2 (g) A região 2x + 4y < 1, quando x é um número positivo. (h) A região 2 < x < 4 quando y é um número real (i) A curva x^2 + y^2 = 25 (j) A curva x^2 + (y - 1)^2 > 1 (k) Os pontos da região x^2 + y^2 - 4 > 0 (l) Os pontos da região x^2 + y^2 - 4 < 0 (m) Os pontos da região xy < 1 (n) O domínio da função 1/(2-x) (o) O domínio sqrt(x^2 - 5x - 6) 6. Calcule o gradiente das funções (a) f(x,y,z) = \frac{x+y+z}{x^2+y^2+z^2} (b) f(x,y,z) = \frac{x+y+z}{x^2+y^2+z^2} , sobre a esfera unitária. (c) g(x,y) = xe^{x^2+y^2} - ye^{x^2+y^2}. (d) g(x,y) = yxe^{-x^2+y^2}. (e) f(x,v,z) = lnx^2 + y^2 + z^2(y,z,x), sobre a esfera x^2+y^2+z^2=4. (f) f(x,y) = (x+y)(sen(xy) - xycos(x+y), restrita ao plano x = -y (g) Para as superfícies a seguir, determine a equação do plano tangente e a direção de crescimento máximo no ponto P_0. 5. Calcule o rotacional das funções: (a) \vec{F}(x,y) = \frac{x\vec{i}+y\vec{j}}{(x^2+y^2)}. (b) \vec{F}(x,y) = \frac{y\vec{i}-x\vec{j}}{x^2+y^2}. (c) \vec{F}(x,y,z) = \frac{y\vec{i}+x\vec{j}+z\vec{k}}{x^2+y^2+z^2} (d) \vec{F}(x,y) = \frac{y\vec{i}-x\vec{j}}{ln(x^2+y^2)}. (e) \left(\frac{y-z}{x^2+y^2+z^2}\vec{i}, \frac{-x-z}{x^2+y^2+z^2}\vec{j}, \frac{-x+y}{x^2+y^2+z^2}\vec{k}\right), sobre a esfera x^2+y^2+z^2=9. (f) \vec{F}(x,y) = (ycos(xy), -xsen(xy)) 6. Calcule o divergente das funções (a) f(x,y,z) = x^2yz\vec{i} + xy^2z\vec{j} + xyz^2\vec{k}. (b) g(x,y) = xc^{x^2+y^2}\vec{i} - yc^{x^2+y^2}\vec{j}. (c) g(x,y) = ye^{x^2+y^2}\vec{i} - xe^{x^2+y^2}\vec{j}. (d) f(x,v,z) = (x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k})ln(x^2+y^2+z^2), sobre a esfera x^2+y^2+z^2=4. (e) f(x,y) = (x+y)(sen(xy)\vec{i} - cos(xy)\vec{j}). 20. Calcule o volume definido pelo interior do conjunto formado pelos pontos A, B, e C e a função f e esboce graficamente o sólido correspondente. (a) f(x,y) = 3x^2 + 4xy, A \equiv (1,2,0), B \equiv (3,4,0), C \equiv (2,5,0) (b) f(x,y) = 2x^2 + 3y^2, A \equiv (2,1,0), B \equiv (4,3,0), C \equiv (5,2,0) (c) f(x,y) = 2y^2 + 3xy, A \equiv (2,4,0), B \equiv (3,2,0), C \equiv (1,5,0) (d) f(x,y) = 3x+2xy^2, A \equiv (3,1,0), B \equiv (4,2,0), C \equiv (5,3,0) (e) f(x,y) = 4x+6xy^2, A \equiv (4,5,0), B \equiv (2,3,0), C \equiv (1,4,0) (f) f(x,y) = 6y + x^2y, A \equiv (1,5,0), B \equiv (3,4,0), C \equiv (4,3,0) (g) f(x,y) = 2y + 6xy^2, A \equiv (2,5,0), B \equiv (4,3,0), C \equiv (1,2,0) 26. Sobre cálculo de volumes, resolva: (a) Seja f uma função de duas variáveis integrável e B a região x^2/a^2 + y^2/b^2 ≤ 1. Mostre que ∫∫_B f(x,y)dxdy = ∫0^2π ∫0^1 ρf((aρcos(θ), bρsen(θ))dρdθ. (b) Calcule o volume do paraboloide elíptico f(x,y) = −(9x^2 + 4y^2) + 36 sobre a região x^2/22 + y^2/32 ≤ 1. (c) Seja B a região x^2/9 + y^2/16 ≤ 1 calcule ∫∫_B dxdy, a partir da mudança de variável φ(u,v) = (3ρcos(θ), 4ρsen(θ)), 0 ≤ ρ ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ 2π. (d) Sejam as funções f(x,y) = x^2 + y^2 e g(x,y) = −(x^2 + y^2). Esboce a região delimitada pelos gráficos de f e g e calcule o volume desta região sobre o conjunto x^2 + y^2 = 4. (e) Verifique se o volume V do paraboloide f(x,z) = x^2+z^2 sobre o círculo (x−1)^2+(z+2)^2 ≤ 4 é ∫0^2π ∫0^2π ρ^3dθdp + ∫0^2π ∫0^2π ρ^2(2cos(θ) − 4sen(θ)dθdp + ∫0^2π ∫0^2π 5ρdθdp. (f) Calcule o volume do elipsoide 2x^2 + 3y^2 + z^2 = 1. (g) Calcule o volume da região delimitada por B{(x,y), 1 ≤ x^2 + x^2 ≤ 9} e a superfície da imagem de f(x,y) = x^2. 4. Para o campo vetorial F e a curva γ, calcule a integral de linha ∫γ Fdr (a) f(x,y,z) = xi + yj + zk e γ(t) = (cos(t), sen(t), t), 0 ≤ t ≤ 1. (b) f(x,y,z) = (x + y + z)k, γ(t) = (t, t, 1 − t^2), t ∈ [−2, 1]. (c) f(x,y,z) = x^2i + y^2j + z^2k e γ(t) = (2cos(t), 3sen(t), t), 0 ≤ t ≤ 2π (d) f(x,y) = xi + yj e γ a curva definida pelas retas que ligam os pontos (1,2),(2,1) e (3,3). (e) Verifique que ∫γ Pdx + Qdy = ∫∫ (∂Q/∂x − ∂P/∂y)dxdy, sendo B o triângulo de vértices (0,0), (1,0) e (1,1) e γ a fronteira de B, orientada no sentido horário, nos casos: i. P(x,y) = x^2 − y e Q(x,y) = x^2 + y ii. P,Q são de classe C^1 num aberto Ω ⊃ B. iii. F(x,y) = y^2i + 2xyj, sendo B o triângulo de vértices (−1, 2), (2, 1) e (3, 4) e γ a fronteira de B, orientada no sentido horário, 5. Seja o campo vetorial F : ω ⊂ R^2, ω ⊂ R^2 definida por F(x, y) = P(x,y)i + Q(x,y)j e γ : [a, b] ⊂ Ω definida por γ(t) = (x(t), y(t)) de classe C^1. Calcule a integral de linha do campo F sobre a curva γ. 15. Calcule as integrais de linha: (a) ∫(2,2)_(1,1) ydx + xdy (b) ∫γ ydx + x^2dy, sendo γ uma curva cuja imagem é o segmento de extremidade (1,1) e (3,6) orientado de (1,1) para (3,6). (c) ∫γ −y/x^2+y^2 dx + x/x^2+y^2 dy sendo γ : [0,1] → R^2, uma curva contida no semiplano y > 0, tal que γ(0) = (1, 1) e γ(0) = (−3, 2). (d) ∫(1,0)_(−1,0) x/x^2+y^2 dx + y/x^2+y^2 dy (e) ∫γ (sen(xy) + xycos(xy))dx + x^2cos(xy))dy, onde γ(t) = (t^2−1, t^2+1), −1 ≤ t ≤ 1 16. Calcule ∮ Fdr: (a) F(x,y) = (4x^3y^3, 3x^4y^2+5x) e γ a fronteira do retângulo de vértices (−1,−1), (−1,1), (1,1), (1,−1). Qual seria este valor sobre o segmento de reta definido pelos extremos (−1,−1), (−1,1) (b) F(x,y) = (x^4−y^3, x^3+y^5) e γ a fronteira do disco x^2+y^2 ≤ 1. Qual seria este valor sobre o hipérbole (x, 1/x), no intervalo [1, 2]. (c) Calcule a integral de linha do campo vetorial (2xy−2y^2, 2x^2y−3x+2), sobre o segmento de reta (t, 2t−1), no intervalo [0,1]. Em seguida determine a integral de linha do campo sobre o triângulo de vértices (0,-1), (1,1), (-2,3). (d) F(x,y) = (y, 2x) e γ a fronteira do triângulo de vértices (−1,−2), (1,4), (3,1) (e) F(x,y) = (2x, 2y) e γ fronteira do retângulo de vértices (−1,−1), (−1,1), (1,1), (1,−1) (f) F(x,y) = (2y, 2x) e γ fronteira do retângulo de vértices (−1,−1), (−1,1), (1,1), (1,−1) (g) F(x,y) = (−2x/x^2+y^2, −2y/x^2+y^2) e γ a fronteira do triângulo de vértices (−1,−2), (1,4), (3,1) (h) F(x,y) = (2y, 2x)