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Cálculo 2

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Q2 Para as superfícies a seguir: (a) Determine a equação do plano tangente e a direção de crescimento máximo no ponto P0 = (x0, y0, z0). (b) Determine a direção de menor crescimento (em módulo) em P0 e interprete este resultado. (c) Determine uma estimativa para k ≠ 0 da coordenada z = z0 + k de um ponto (x0 + h, y0 − 2h, z), quando h é um número real próximo de 0. 2.2 −2x2 + 3y4 − z2 − 3yz = −3, P0 = (−2, 1, 2). Q3 Para os campos vetoriais V, F e U (a) Represente geometricamente V sobre a região R. (b) Calcule o rotacional de F e responda se é irrotacional? (c) Calcule o divergente de U. 3.5 V(x, y) = i + (x2 + y3)j, sobre os pontos da circunferência R:x2 + y2 = 2, F(x, y, z) = (xcos(x2yz) ysen(x2yz) ycos(xz2), U(x, y, z) = x y2z3 x2yz + y2z3 + x+y +z, Q4 Considere, segundo seu item a função f o retângulo A e o domínio Ω. (a) Calcule a integral dupla V = ffAf (x, y), explicando se V é o volume definido pela região entre A e a superfície de f. (b) Esboce a região Ω e calcule a sua área. 4.1 f(x, y) = (x − y)3 + (x − y)2 + 4 e A = [−3, 2] × [−2, 2]; Ω = {(x, y), x ∈ [−3, 3], y entre as curvas f1(x) = −4x + 2 e f2(x) = x2 − 3x}. Q5 Integração em triângulos , área e CG (a) Calcule o volume da região delimitada pelo triangulo de vértices A, B, C e a superfície de f. (b) Para a região Ω, calcule as coordenadas do centro de gravidade. 5.3 f(x, y) = 2y2 + 3xy, A ≡ (2,4,0), B ≡ (4,2,0), C ≡ (1,5,0) Ω = {(x, y), entre as curvas x2 + 2x − 3 e −x2 − 2x + 3} Q6 Coodenadas polares (a) (meio) Calcule o volume interno do parabolóide x = z2 + y2, sobre o interior da região Ω = {(x, y)/z = h}. (b) (meio) Calcule explicitamente ff f (x, y)dxdy sobre o interior da região Ω1 = {(x, y)/f (x, y) = h}, quando f é definido pelo cone elípitico f(x, y) = vx2+uy2. (c) (meio) Considere o parabolóide w = (x − 2)2 + (y + 1)2. Qual deverá ser a altura deste parabolóide, para que seu volume interno tenha o mesmo do cone f sobre Ω1? 6.1 h = 3, r = 2, u = 3, v = 2. Q7 Integral de linha Func. potencial e Teor de Green (a) Calcule a integral de linha de G(x, y) = (3xy2 − 4x2)i + (3xy + 4y)j sobre Ω, o triângulo de vértices A, B e C e a fronteira de Ω, orientada no sentido horário. (b) Calcule ffPr(x, y)dx + Qr(x, y)dy ou ff FPrr(x, y)dx + Qr(x, y)dy + R(x, y)dz para o campo vetorial F(x, y, z) = (6x2 − 3y)i + 4x + 2yjx nu2 + 3yjx nu + my + γ) + γ e a interseção do parabolóide f(x, y) = c − x2 − y2 com o plano nu + my + z = d. (c) Sabendo-se que o campo vetorial F(x, y) = (ry3−x/ry3−rz ny ) é conservativo em um certo domínio Ω, calcule ff f, FdΓ, sendo γ a curva diferencial definida no intervalo 1 ≤ s ≤ s dado por γ(t) = (γ1(t), γ2(t)). 7.4 A = (5, −2), B = (3, 1) e C = (4,3), m = 2, n = 3, d = 4, c = 4, r = 2 i = 2,s=3, γ(t) = t2 − 2t − 1, γ2(t) = t2 + t + 2