Aula 11 - Análise de Regressão Pt2

11. Análise de regressão: Modelo linear de 1º grau; Modelo de 2º grau: Estudo em esquemas fatoriais com fatores quantitativos. Giovana Fumes Ghantous Universidade de São Paulo - USP Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos Curso de Engenharia de Alimentos ZAB 0363 - Estatística Experimental 30 de Junho de 2021. Análise de Regressão, Fumes-Ghantous G. Introdução Nos experimentos fatoriais pode-se ter um ou mais fatores compostos por níveis quantitativos. Neste caso, pode-se fazer um estudo de regressão dentro dos níveis de um ou de outro fator. Assim, deve-se considerar a possibilidade de ocorrência ou não de interação significativa entre os fatores. Análise de Regressão, Fumes-Ghantous G. Estudo de regressão para níveis de fatores quantitativos, com interação não significativa Considere os dados de um experimento fatorial 3 × 3, com os fatores: Diâmetro (D) e Altura (A) dos tubetes de papel, usados na formação de mudas de eucalipto. Os Diâmetros foram: D1=3,5 cm, D2=5,0 cm e D3=6,5 cm, e as Alturas foram: A1=10 cm, A2=12 cm e A3=14 cm. Os tratamentos foram distribuídos em três blocos casualizados. Os resultados obtidos para alturas médias (cm) das mudas, 75 após a semeadura, são apresentados na tabela abaixo. Blocos Tratamentos 1 2 3 Totais 1 − D1A1 3,2 14,0 6,7 23,9 2 − D1A2 2,5 3,0 7,5 13,0 3 − D1A3 2,0 2,7 3,2 7,9 4 − D2A1 7,9 10,6 16,3 34,8 5 − D2A2 6,7 16,9 6,4 30,0 6 − D2A3 7,9 6,2 11,2 25,3 7 − D3A1 18,1 27,1 20,5 65,7 8 − D3A2 17,0 31,5 24,8 73,3 9 − D3A3 11,7 12,5 36,0 60,2 Totais 77,0 124,5 132,6 334,1 Análise de Regressão, Fumes-Ghantous G. Somas de quadrados Blocos Tratamentos 1 2 3 Totais 1 − D1A1 3,2 14,0 6,7 23,9 2 − D1A2 2,5 3,0 7,5 13,0 3 − D1A3 2,0 2,7 3,2 7,9 4 − D2A1 7,9 10,6 16,3 34,8 5 − D2A2 6,7 16,9 6,4 30,0 6 − D2A3 7,9 6,2 11,2 25,3 7 − D3A1 18,1 27,1 20,5 65,7 8 − D3A2 17,0 31,5 24,8 73,3 9 − D3A3 11,7 12,5 36,0 60,2 Totais 77,0 124,5 132,6 334,1 C = 334, 12 27 = 4134, 18 SQTotal = (3, 22 + 14, 02 + · · · + 36, 02) − C = 2215, 89 SQBlocos = 1 9 (77, 02 + 124, 52 + 132, 62) − C = 200, 49 SQTratamentos = 1 3 (23, 92 + 13, 02 + · · · + 60, 22) − C = 1488, 21 SQResíduos = SQTotal − SQBlocos − SQTratamentos = 527, 19 Análise de Regressão, Fumes-Ghantous G. Esquema fatorial - Quadro auxiliar Blocos Tratamentos 1 2 3 Totais 1 − D1A1 3,2 14,0 6,7 23,9 2 − D1A2 2,5 3,0 7,5 13,0 3 − D1A3 2,0 2,7 3,2 7,9 4 − D2A1 7,9 10,6 16,3 34,8 5 − D2A2 6,7 16,9 6,4 30,0 6 − D2A3 7,9 6,2 11,2 25,3 7 − D3A1 18,1 27,1 20,5 65,7 8 − D3A2 17,0 31,5 24,8 73,3 9 − D3A3 11,7 12,5 36,0 60,2 Totais 77,0 124,5 132,6 334,1 A1 A2 A3 Totais de D D1 23, 9(3) 13, 0(3) 7, 9(3) 44, 8(9) D2 34, 8(3) 30, 0(3) 25, 3(3) 90, 1(9) D3 65, 7(3) 73, 3(3) 60, 2(3) 199, 2(9) Totais de A 124, 4(9) 116, 3(9) 93, 4(9) 334, 1(27) Análise de Regressão, Fumes-Ghantous G. Esquema fatorial - Quadro auxiliar A1 A2 A3 Totais de D D1 23, 9(3) 13, 0(3) 7, 9(3) 44, 8(9) D2 34, 8(3) 30, 0(3) 25, 3(3) 90, 1(9) D3 65, 7(3) 73, 3(3) 60, 2(3) 199, 2(9) Totais de A 124, 4(9) 116, 3(9) 93, 4(9) 334, 1(27) SQD = 1 9(44, 82 + 90, 12 + 199, 22) − C = 1399, 79 SQA = 1 9(124, 42 + 116, 32 + 93, 42) − C = 57, 45 SQDxA = SQTratamentos − SQD − SQA = 30, 97 Análise de Regressão, Fumes-Ghantous G. Análise de variância em esquema fatorial Tabela: Análise de acordo com o esquema fatorial 3 × 3. CV GL SQ QM Fcal Ftab Diâmetros 2 1399,79 699,90 21, 24∗ 3,63 Alturas 2 57,45 28,73 0, 87NS 3,63 Interação DxA 4 30,97 7,74 0, 23NS 3,01 (Tratamentos) (8) (1488,21) Blocos 2 200,49 100,25 3, 04NS 3,63 Resíduos 16 527,19 32,95 Total 26 2215,89 A interação DxA não foi significativa (P > 0, 05), o que indica que os efeitos dos fatores Diâmetro do tubete (D) e Altura do tubete (A) agem de modo independente sobre a altura média das mudas. Como os fatores Diâmetro (D) e Altura (A) são compostos por níveis quantitativos, pode- se fazer um estudo de regressão, tanto dentro dos níveis de D, como dentro dos níveis de A. Análise de Regressão, Fumes-Ghantous G. Estudo de regressão a) Estudo de regressão dentro dos níveis de Diâmetro (D) A1 A2 A3 Totais de D D1 23, 9(3) 13, 0(3) 7, 9(3) 44, 8(9) D2 34, 8(3) 30, 0(3) 25, 3(3) 90, 1(9) D3 65, 7(3) 73, 3(3) 60, 2(3) 199, 2(9) Totais de A 124, 4(9) 116, 3(9) 93, 4(9) 334, 1(27) Coeficientes n=3 níveis Valores de X para D Totais de D C1i C2i 3,5 TD1 = 44, 8 -1 1 5,0 TD2 = 90, 1 0 -2 6,5 TD3 = 199, 2 +1 1 K 2 6 M 1 3 Análise de Regressão, Fumes-Ghantous G. Estudo de regressão a) Estudo de regressão dentro dos níveis de Diâmetro (D) Coeficientes n=3 níveis Valores de X para D Totais de D C1i C2i 3,5 TD1 = 44, 8 -1 1 5,0 TD2 = 90, 1 0 -2 6,5 TD3 = 199, 2 +1 1 K 2 6 M 1 3 YRL = −1TD1 + 0TD2 + 1TD3 ˆYRL = −1(44, 8) + 0(90, 1) + 1(199, 2) = 154, 4cm SQRL = (ˆYRL)2 rK1 = (154, 4)2 9 × 2 = 1324, 41 YRQ = 1TD1 − 2TD2 + 1TD3 ˆYRQ = 1(44, 8) − 2(90, 1) + 1(199, 2) = 63, 8cm SQRQ = (ˆYRQ)2 rK2 = (63, 8)2 9 × 6 = 75, 38 SQRL + SQRQ = 1324, 41 + 75, 38 = 1399, 79 = SQD Análise de Regressão, Fumes-Ghantous G. Estudo de regressiio (1) Ho: B61 =0| Bo esta no modelo H; : Bi #0] Bo esta no modelo (ii) Ho: B2=O0| Bo, B1 estao no modelo H; : B2 #0] Bo, B1 estao no modelo CV GL SQ QM Fal Fiab (Diametros) (2) (1399,79) Regressao Linear 1 1324,41 1324.41 40,19° 4,49 (i) Regressdo Quadratica 1 75,38 75,38 2,29NS 4,49 (ii) Residuos 16 527,19 32,95 Para os niveis de D, 6 possivel estabelecer uma relacdo funcional entre a altura média das plantas (Y) e o diametro do tubete (X). Essa relagao é uma equacao de 1° grau. Estudo de regressiio y= Y + ByM;P; — 334,1 _ — Ya 154,4 _ Y= = 12,3741 By = iK, = 9x2 = 8,5778 M, =1 P; =x Y = Y + B,M,P, = 12,3741 + (8,5778)(1)x = 12,3741 + 8,5778x Mas X-X 5 3,54+5,04+6,5 _ _ _X-5 x= X= 5 gat5 X= 7,5 Entao X-5 Y = 12,3741 +8,5778(——) ¥Y =-16,2185+5,7185X, (3,5<X<6,5) emque Y éa altura média das mudas (cm) e X é 0 didmetro do tubete. Estudo de regressão Nível de D Valores de X Yobs = ¯D Yesp = ˆY D1 3,5 4,98 3,80 D2 5,0 10,01 12,37 D3 6,5 22,13 20,95 Somatório 37,12 37,12 Análise de Regressão, Fumes-Ghantous G. Estudo de regressão Graficamente: 3 4 5 6 7 0 5 10 15 20 25 Diâmetro dos Tubetes (cm) Alturas Médias das Mudas (cm) Análise de Regressão, Fumes-Ghantous G. Estudo de regressão b) Estudo de regressão dentro dos níveis de Altura (A) A1 A2 A3 Totais de D D1 23, 9(3) 13, 0(3) 7, 9(3) 44, 8(9) D2 34, 8(3) 30, 0(3) 25, 3(3) 90, 1(9) D3 65, 7(3) 73, 3(3) 60, 2(3) 199, 2(9) Totais de A 124, 4(9) 116, 3(9) 93, 4(9) 334, 1(27) Coeficientes n=3 níveis Valores de X para A Totais de A C1i C2i 10 TA1 = 124, 4 -1 1 12 TA2 = 116, 3 0 -2 14 TA3 = 93, 4 +1 1 K 2 6 M 1 3 Análise de Regressão, Fumes-Ghantous G. Estudo de regressão b) Estudo de regressão dentro dos níveis de Altura (A) Coeficientes n=3 níveis Valores de X para A Totais de A C1i C2i 10 TA1 = 124, 4 -1 1 12 TA2 = 116, 3 0 -2 14 TA3 = 93, 4 +1 1 K 2 6 M 1 3 YRL = −1TA1 + 0TA2 + 1TA3 ˆYRL = −1(124, 4) + 0(116, 3) + 1(93, 4) = −31, 0cm SQRL = (ˆYRL)2 rK1 = (−31, 0)2 9 × 2 = 53, 39 YRQ = 1TA1 − 2TA2 + 1TA3 ˆYRQ = 1(124, 4) − 2(116, 3) + 1(93, 4) = −14, 8cm SQRQ = (ˆYRQ)2 rK2 = (−14, 8)2 9 × 6 = 4, 06 SQRL + SQRQ = 53, 39 + 4, 06 = 57, 45 = SQA Análise de Regressão, Fumes-Ghantous G. Estudo de regressiio (1) Ho: B61 =0| Bo esta no modelo H; : Bi #0] Bo esta no modelo (ii) Ho: B2=O0| Bo, B1 estao no modelo H;:B2 #0] Bo, 61 estao no modelo CV GL SQ QM Feal Ftab (Alturas) (2) (57,45) Regressao Linear 1 53,39 53,39 1,62%5 4,49 (i) Regressdo Quadratica 1 406 4,06 0,12‘S 4,49 (ii) Residuos 16 527,19 32,95 Para os niveis de A, nao é possivel estabelecer uma relacgao funcional entre a altura média das plantas (Y) e a altura do tubete (X). Estudo de regressão para níveis de fatores quantitativos, com interação significativa Considere os dados de um experimento fatorial 2 × 4, com 2 Variedades (V1 e V2) e 4 níveis de Adubação (A0 = 0 kg/ha, A1 = 100 kg/ha, A2 = 200 kg/ha, A3 = 300 kg/ha), num experimento com 4 blocos casualizados, cujos resultados estão na tabela abaixo. Blocos Tratamentos 1 2 3 4 Totais 1 − V1A0 1,65 1,68 2,12 1,68 7,13 2 − V1A1 2,14 1,36 1,31 3,13 7,94 3 − V1A2 1,40 2,16 2,00 2,00 7,56 4 − V1A3 2,32 2,42 3,43 2,46 10,63 5 − V2A0 4,22 3,50 3,80 3,05 14,57 6 − V2A1 2,21 2,78 2,30 2,34 9,63 7 − V2A2 2,30 2,00 2,16 1,72 8,18 8 − V2A3 3,43 3,18 3,30 2,90 12,81 Totais 19,67 19,08 20,42 19,28 78,45 Análise de Regressão, Fumes-Ghantous G. Estudo de regressão para níveis de fatores quantitativos, com interação significativa Blocos Tratamentos 1 2 3 4 Totais 1 − V1A0 1,65 1,68 2,12 1,68 7,13 2 − V1A1 2,14 1,36 1,31 3,13 7,94 3 − V1A2 1,40 2,16 2,00 2,00 7,56 4 − V1A3 2,32 2,42 3,43 2,46 10,63 5 − V2A0 4,22 3,50 3,80 3,05 14,57 6 − V2A1 2,21 2,78 2,30 2,34 9,63 7 − V2A2 2,30 2,00 2,16 1,72 8,18 8 − V2A3 3,43 3,18 3,30 2,90 12,81 Totais 19,67 19,08 20,42 19,28 78,45 C = 78, 452 32 = 192, 33 SQTotal = (1, 652 + 1, 682 + · · · + 2, 902) − C = 209, 76 − C = 17, 43 SQBlocos = 1 8 (19, 672 + 19, 082 + 20, 422 + 19, 282) − C = 0, 1312 SQTratamentos = 1 4 (7, 132 + 7, 942 + · · · + 12, 812) − C = 12, 6902 SQResíduos = SQTotal − SQTratamentos − SQBlocos = 4, 6086 Análise de Regressão, Fumes-Ghantous G. Montagem do quadro auxiliar Blocos Tratamentos 1 2 3 4 Totais 1 − V1A0 1,65 1,68 2,12 1,68 7,13 2 − V1A1 2,14 1,36 1,31 3,13 7,94 3 − V1A2 1,40 2,16 2,00 2,00 7,56 4 − V1A3 2,32 2,42 3,43 2,46 10,63 5 − V2A0 4,22 3,50 3,80 3,05 14,57 6 − V2A1 2,21 2,78 2,30 2,34 9,63 7 − V2A2 2,30 2,00 2,16 1,72 8,18 8 − V2A3 3,43 3,18 3,30 2,90 12,81 Totais 19,67 19,08 20,42 19,28 78,45 O quadro auxiliar que relaciona os níveis de V com os níveis de A é dado por: A0 A1 A2 A3 Totais de V V1 7, 13(4) 7, 94(4) 7, 56(4) 10, 63(4) 33, 26(16) V2 14, 57(4) 9, 63(4) 8, 18(4) 12, 81(4) 45, 19(16) Totais de A 21, 70(8) 17, 57(8) 15, 74(8) 23, 44(8) 78, 45(32) Análise de Regressão, Fumes-Ghantous G. Estudo de regressão para níveis de fatores quantitativos, com interação significativa O quadro auxiliar que relaciona os níveis de V com os níveis de A é dado por: A0 A1 A2 A3 Totais de V V1 7, 13(4) 7, 94(4) 7, 56(4) 10, 63(4) 33, 26(16) V2 14, 57(4) 9, 63(4) 8, 18(4) 12, 81(4) 45, 19(16) Totais de A 21, 70(8) 17, 57(8) 15, 74(8) 23, 44(8) 78, 45(32) SQAdubações = 1 8(21, 702 + 17, 572 + 15, 742 + 23, 442) − C = 4, 7719 SQVariedades = 1 16(33, 262 + 45, 192) − C = 4, 4476 SQA×V = SQTratamentos − SQAdubações − SQVariedades = 3, 4707 Análise de Regressão, Fumes-Ghantous G. Estudo de regressão para níveis de fatores quantitativos, com interação significativa Tabela: Análise de variância com esquema fatorial 2 × 4. CV GL SQ QM Fcal Ftab Blocos 3 0,1312 0,0437 0, 20NS 3,07 (Tratamentos) (7) (12,6902) Adubações (A) 3 4,7719 1,5906 7, 25∗ 3,07 Variedades (V) 1 4,4476 4,4476 20, 26∗ 4,32 Interação A × V 3 3,4707 1,1569 5, 27∗ 3,07 Resíduos 21 4,6086 0,2195 Total 31 17,4300 A Interação A × V foi significativa (P < 0, 05), indicando que os fatores Adubações e Variedades agem de modo dependente sobre a produção. Desse modo, a Interação A × V deve ser desdobrada, o que pode ser feito de duas maneiras: • Para estudar os efeitos das Adubações em cada Variedade; • Para estudar os efeitos das Variedades em cada Adubação. Análise de Regressão, Fumes-Ghantous G. Estudo de regressão para níveis de fatores quantitativos, com interação significativa a) Estudo dos efeitos das Adubações em cada Variedade A0 A1 A2 A3 Totais de V V1 7, 13(4) 7, 94(4) 7, 56(4) 10, 63(4) 33, 26(16) V2 14, 57(4) 9, 63(4) 8, 18(4) 12, 81(4) 45, 19(16) Totais de A 21, 70(8) 17, 57(8) 15, 74(8) 23, 44(8) 78, 45(32) SQAdentroV1 = 1 4(7, 132 + 7, 942 + 7, 562 + 10, 632) − 33, 262 16 = 1, 8685 SQAdentroV2 = 1 4(14, 572 + 9, 632 + 8, 182 + 12, 812) − 45, 192 16 = 6, 3741 SQAdentroV1 + SQAdentroV2 = 1, 8685 + 6, 3741 = 8, 2426 = 4, 7719 + 3, 4707 = SQA + SQVxA Análise de Regressão, Fumes-Ghantous G. Estudo de regressão para níveis de fatores quantitativos, com interação significativa CV GL SQ QM Fcal Ftab AdentroV1 3 1,8685 0,6228 2, 84NS 3,07 AdentroV2 3 6,3741 2,1247 9, 68∗ 3,07 Resíduos 21 4,6086 0,2195 Verifica-se que não há efeito significativo (P>0,05) das adubações para a Vari- edade 1, mas há efeito significativo (P<0,05) das Adubações para a Variedade 2. A regressão independe da significância do teste F. Aqui deve ser realizado um estudo de regressão para os níveis de Adubação, tanto dentro da Variedade 1 como dentro da Variedade 2. Análise de Regressão, Fumes-Ghantous G. Estudo de regressão para níveis de fatores quantitativos, com interação significativa Valores Adubações Adubações Coeficientes para n=4 níveis de X dentro de V1 dentro de V2 1º Grau (C1i) 2º Grau (C2i) 3º Grau (C3i) 0 TV1A0 = 7, 13 TV2A0 = 14, 57 -3 +1 -1 100 TV1A1 = 7, 94 TV2A1 = 9, 63 -1 -1 +3 200 TV1A2 = 7, 56 TV2A2 = 8, 18 +1 -1 -3 300 TV1A3 = 10, 63 TV2A3 = 12, 81 +3 +1 +1 K 20 4 20 M 2 1 10/3 Estudo de regressão para os níveis de Adubação dentro da Variedade 1 ˆYRL = −3TV1A0 − 1TV1A1 + 1TV1A2 + 3TV1A3 = ˆYRL = −3(7, 13) − 1(7, 94) + 1(7, 56) + 3(10, 63) = 10, 12 SQRL = (ˆYRL)2 rK1 = (10, 12)2 4 × 20 = 1, 2802 Análise de Regressão, Fumes-Ghantous G. Estudo de regressão para níveis de fatores quantitativos, com interação significativa Valores Adubações Adubações Coeficientes para n=4 níveis de X dentro de V1 dentro de V2 1º Grau (C1i) 2º Grau (C2i) 3º Grau (C3i) 0 TV1A0 = 7, 13 TV2A0 = 14, 57 -3 +1 -1 100 TV1A1 = 7, 94 TV2A1 = 9, 63 -1 -1 +3 200 TV1A2 = 7, 56 TV2A2 = 8, 18 +1 -1 -3 300 TV1A3 = 10, 63 TV2A3 = 12, 81 +3 +1 +1 K 20 4 20 M 2 1 10/3 Estudo de regressão para os níveis de Adubação dentro da Variedade 1 ˆYRQ = +1TV1A0 − 1TV1A1 − 1TV1A2 + 1TV1A3 = ˆYRQ = +1(7, 13) − 1(7, 94) − 1(7, 56) + 1(10, 63) = 2, 26 SQRQ = (ˆYRQ)2 rK2 = (2, 26)2 4 × 4 = 0, 3192 Análise de Regressão, Fumes-Ghantous G. Estudo de regressão para níveis de fatores quantitativos, com interação significativa Valores Adubações Adubações Coeficientes para n=4 níveis de X dentro de V1 dentro de V2 1º Grau (C1i) 2º Grau (C2i) 3º Grau (C3i) 0 TV1A0 = 7, 13 TV2A0 = 14, 57 -3 +1 -1 100 TV1A1 = 7, 94 TV2A1 = 9, 63 -1 -1 +3 200 TV1A2 = 7, 56 TV2A2 = 8, 18 +1 -1 -3 300 TV1A3 = 10, 63 TV2A3 = 12, 81 +3 +1 +1 K 20 4 20 M 2 1 10/3 Estudo de regressão para os níveis de Adubação dentro da Variedade 1 ˆYRC = −1TV1A0 + 3TV1A1 − 3TV1A2 + 1TV1A3 = ˆYRC = −1(7, 13) + 3(7, 94) − 3(7, 56) + 1(10, 63) = 4, 64 SQRC = (ˆYRC)2 rK3 = (4, 64)2 4 × 20 = 0, 2691 Note que: SQRL + SQRQ + SQRC = 1, 2802 + 0, 3192 + 0, 2691 = 1, 8685 = SQAdentroV1 Análise de Regressão, Fumes-Ghantous G. Estudo de regressão para níveis de fatores quantitativos, com interação significativa Estudo de regressão para os níveis de Adubação dentro da Vari- edade 1 Tabela: Estudo de regressão para os níveis de Adubações d. Variedade 1. CV GL SQ QM Fcal Ftab Regressão Linear d.V1 1 1,2802 1,2802 5, 83∗ 4,32 Regressão Quadrática d.V1 1 0,3192 0,3192 1, 45NS 4,32 Regressão Cúbica d.V1 1 0,2691 0,2691 1, 23NS 4,32 Resíduos 21 4,6086 0,2195 Verifica-se que para a Variedade 1 existe uma relação linear entre a quantidade de Adubação e a produção (Y). Análise de Regressão, Fumes-Ghantous G. Estudo de regressão para níveis de fatores quantitativos, com interação significativa Estudo de regressão para os níveis de Adubação dentro da Vari- edade 1 Determinação da equação de regressão ˆY = ¯Y + B1M1P1 ¯Y = 33, 26 16 = 2, 0788 B1 = ˆYRL rK1 = 10, 12 4 × 20 = 0, 1265 M1 = 2 P1 = x (tabela) ˆY = ¯Y + B1M1P1 = 2, 0788 + (0, 1265)(2)(x) = 2, 0788 + 0, 2530x Análise de Regressão, Fumes-Ghantous G. |i Aa RANSOM UE LCE LOOM LCL ee COT MIA gene Tea Ti etlare Estudo de regressao para os niveis de Adubacao dentro da Vari- edade 1 Mas: xa X% x — 0+100 + 200 + 300 _ 4.4 gq = 100 q 4 x = %=189 entao ~ 100 Y = 2,0788 + 0,2530x = 2,0788 + 0, 2530(~—1") 100 Y = 1,6993 + 0,0025X (0 < X < 300) Estudo de regressão para níveis de fatores quantitativos, com interação significativa Graficamente: 0 50 100 150 200 250 300 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 Adubação Produtividade (t/ha) Análise de Regressão, Fumes-Ghantous G. Estudo de regressão para níveis de fatores quantitativos, com interação significativa Valores Adubações Adubações Coeficientes para n=4 níveis de X dentro de V1 dentro de V2 1º Grau (C1i) 2º Grau (C2i) 3º Grau (C3i) 0 TV1A0 = 7, 13 TV2A0 = 14, 57 -3 +1 -1 100 TV1A1 = 7, 94 TV2A1 = 9, 63 -1 -1 +3 200 TV1A2 = 7, 56 TV2A2 = 8, 18 +1 -1 -3 300 TV1A3 = 10, 63 TV2A3 = 12, 81 +3 +1 +1 K 20 4 20 M 2 1 10/3 Estudo de regressão para os níveis de Adubação dentro da Variedade 2 ˆYRL = −3TV2A0 − 1TV2A1 + 1TV2A2 + 3TV2A3 = ˆYRL = −3(14, 57) − 1(9, 63) + 1(8, 18) + 3(12, 81) = −6, 73 SQRL = (ˆYRL)2 rK1 = (−6, 73)2 4 × 20 = 0, 5662 Análise de Regressão, Fumes-Ghantous G. Estudo de regressão para níveis de fatores quantitativos, com interação significativa Valores Adubações Adubações Coeficientes para n=4 níveis de X dentro de V1 dentro de V2 1º Grau (C1i) 2º Grau (C2i) 3º Grau (C3i) 0 TV1A0 = 7, 13 TV2A0 = 14, 57 -3 +1 -1 100 TV1A1 = 7, 94 TV2A1 = 9, 63 -1 -1 +3 200 TV1A2 = 7, 56 TV2A2 = 8, 18 +1 -1 -3 300 TV1A3 = 10, 63 TV2A3 = 12, 81 +3 +1 +1 K 20 4 20 M 2 1 10/3 Estudo de regressão para os níveis de Adubação dentro da Variedade 2 ˆYRQ = +1TV2A0 − 1TV2A1 − 1TV2A2 + 1TV2A3 = ˆYRQ = +1(14, 57) − 1(9, 63) − 1(8, 18) + 1(12, 81) = 9, 57 SQRQ = (ˆYRQ)2 rK2 = (9, 57)2 4 × 4 = 5, 7241 Análise de Regressão, Fumes-Ghantous G. Estudo de regressão para níveis de fatores quantitativos, com interação significativa Valores Adubações Adubações Coeficientes para n=4 níveis de X dentro de V1 dentro de V2 1º Grau (C1i) 2º Grau (C2i) 3º Grau (C3i) 0 TV1A0 = 7, 13 TV2A0 = 14, 57 -3 +1 -1 100 TV1A1 = 7, 94 TV2A1 = 9, 63 -1 -1 +3 200 TV1A2 = 7, 56 TV2A2 = 8, 18 +1 -1 -3 300 TV1A3 = 10, 63 TV2A3 = 12, 81 +3 +1 +1 K 20 4 20 M 2 1 10/3 Estudo de regressão para os níveis de Adubação dentro da Variedade 2 ˆYRC = −1TV2A0 + 3TV2A1 − 3TV2A2 + 1TV2A3 = ˆYRC = −1(14, 57) + 3(9, 63) − 3(8, 18) + 1(12, 81) = 2, 59 SQRC = (ˆYRC)2 rK3 = (2, 59)2 4 × 20 = 0, 0839 Note que: SQRL + SQRQ + SQRC = 0, 5662 + 5, 7241 + 0, 0839 = 6, 3742 ≈ SQAdentroV2 Análise de Regressão, Fumes-Ghantous G. Estudo de regressão para níveis de fatores quantitativos, com interação significativa Estudo de regressão para os níveis de Adubação dentro da Vari- edade 2 Tabela: Estudo de regressão para os níveis de Adubações d. Variedade 2. CV GL SQ QM Fcal Ftab Regressão Linear d.V2 1 0,5662 0,5662 2, 58NS 4,32 Regressão Quadrática d.V2 1 5,7241 5,7241 26, 08∗ 4,32 Regressão Cúbica d.V2 1 0,0839 0,0839 0, 38NS 4,32 Resíduos 21 4,6086 0,2195 Verifica-se que para a Variedade 2 existe uma relação quadrática en- tre a quantidade de Adubação e a produção (Y). Análise de Regressão, Fumes-Ghantous G. |i Aa RANSOM UE LCE LOOM LCL ee COT MIA gene Tea Ti etlare Estudo de regress@o para os niveis de Adubagao dentro da Variedade 2 Determinacao da equacao de regressao Y= VY By M; P; + BoMo Po = 45,19 _ — Ya _ -6,73 Y= e~ =2,8244 By = 7K, = 4x20 = 0,0841 M,=2 P;,=x (tabela) _ Yaa _ 9,57 _ Bo = Ke = 4x4 = 0,5981 2 2 _ 9 m-1 5 44-1 5 15 Mz2=1 Po=x FT. =x Fz =x’ 12 (tabela) ¥ = ¥ + ByM;P; + BoMpPo = 2,8244 + (-0,0841)(2)(x) + (0, 5981)(1)(x? - 2) ¥ = 2,0768 — 0, 1682x + 0,5981x* |i Aa RANSOM UE LCE LOOM LCL ee COT MIA gene Tea Ti etlare Estudo de regressao para os niveis de Adubacao dentro da Vari- edade 2 Mas: xa X% x — 0+100 + 200 + 300 _ 4.4 gq = 100 q 4 x = X21 entao ~ 100 a . 2 _ X - 150 X - 150)? Y = 2,0768-0, 1682x+0,5981x* = 2,0768-0, 1 682(—_ = }+0, 5981(———— 00 ¥ = 3,6749 -0,0196X +0,00006X2. (0 < X < 300) Estudo de regressão para níveis de fatores quantitativos, com interação significativa Determinação do valor de X mínimo e de ˆY mínimo esperado: ˆY = 3, 6749 − 0, 0196X + 0, 00006X 2 d ˆY dX = −0, 0196 + 0, 00012x d2 ˆY d2X = 0, 00012 (mínimo) Ponto de mínimo: d ˆY dX = −0, 0196 + 0, 00012x = 0 então X = 163kg Valor de ˆY mínimo esperado: ˆY(163) = 3, 6749 − 0, 0196(163) + 0, 00006(163)2 = 2, 07 Análise de Regressão, Fumes-Ghantous G. Estudo de regressão para níveis de fatores quantitativos, com interação significativa Graficamente: 0 50 100 150 200 250 300 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 Adubação Produtividade (t/ha) Análise de Regressão, Fumes-Ghantous G. Estudo de regressão para níveis de fatores quantitativos, com interação significativa b) Estudo dos efeitos das Variedades em cada Adubação A0 A1 A2 A3 Totais de V V1 7, 13(4) 7, 94(4) 7, 56(4) 10, 63(4) 33, 26(16) V2 14, 57(4) 9, 63(4) 8, 18(4) 12, 81(4) 45, 19(16) Totais de A 21, 70(8) 17, 57(8) 15, 74(8) 23, 44(8) 78, 45(32) SQVdentroA0 = 1 4 (7, 132 + 14, 572) − 21, 702 8 = 6, 9192 SQVdentroA1 = 1 4 (7, 942 + 9, 632) − 17, 572 8 = 0, 3570 SQVdentroA2 = 1 4 (7, 562 + 8, 182) − 15, 742 8 = 0, 04805 SQVdentroA3 = 1 4 (10, 632 + 12, 812) − 23, 442 8 = 0, 59405 SQVdentroA0 + SQVdentroA1 + SQVdentroA3 + SQVdentroA4 = = 6, 9192+0, 3570+0, 04805+0, 59405 = 7, 9183 = 4, 4476+3, 4707 = SQV+SQVxA Análise de Regressão, Fumes-Ghantous G. Estudo de regressão para níveis de fatores quantitativos, com interação significativa CV GL SQ QM Fcal Ftab VdentroA0 1 6,9192 6,9192 31, 52∗ 4,32 VdentroA1 1 0,3570 0,3570 1, 63NS 4,32 VdentroA2 1 0,04805 0,04805 0, 22NS 4,32 VdentroA3 1 0,59405 0,59405 2, 71NS 4,32 Resíduos 21 4,6086 0,2195 Verifica-se que há efeito significativo (P<0,05) das Variedades apenas para a Adubação 0. Análise de Regressão, Fumes-Ghantous G. |i Aa RANSOM UE LCE LOOM LCL ee COT MIA gene Tea Ti etlare b) Estudo dos efeitos das Variedades em cada Adubacao Comparacao de médias gs%(2,21)~2,93 QMRes=0,2195 r=4 A= gy es = 2,93 x pe = 0,6864 Ao Ai Az Ag Vv, 1,78b 1,99a 1,89a 2,66a V. 3,64a 241a 2,05a 3,20a a,b- Médias seguidas de mesma letra em cada coluna nao diferem entre si (P>0,05).