Slide - Análise de Covariância 2022-1

1 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos hart ZAB0229 – ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL ANÁLISE DE COVARIÂNCIA (ANCOVA) 2 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP 1. INTRODUÇÃO A análise de covariância é uma técnica estatística que busca compa- rar os resultados obtidos em diferentes grupos de uma variável qua- litativa, 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑑𝑜 as possíveis diferenças existentes entre os gru- pos utilizando informações de outras variáveis auxiliares que pos- sam afetar o resultado. Neste tipo de estudo as variáveis quantitativas (discretas ou contí- nuas) adicionais são chamadas covariáveis ou variáveis auxiliares. As covariáveis são avaliadas simultaneamente com a variável res- posta e devem ser incluídas e mantidas no modelo se forem altamen- te correlacionadas com a variável resposta. Além das pressuposições da ANOVA, precisamos supor também que o efeito da covariável é o mesmo em todos os tratamentos. 3 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Exemplo: Na comparação do ganho de peso (variável resposta) de suínos submetidos a diferentes rações comerciais, podemos utilizar as informações sobre o peso inicial e idade (covariáveis) dos suínos para corrigir possíveis diferenças entre os animais, com a finalidade de tornar os grupos comparáveis. Segundo STEEL & TORRIE (1981) o uso adequado da ANCOVA pode auxiliar a controlar o erro e a aumentar a precisão do experimento. Pimentel Gomes (1978) afirmou que a ANCOVA complementa o con- trole local exercido pelos blocos e pode até substituí-los em algumas ocasiões. 4 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Exemplo: Ao invés de organizarmos blocos de vacas leiteiras com base na produção na lactação anterior, podemos adotar essa produ- ção como uma covariável a ser utilizada para corrigir os dados expe- rimentais obtidos no ensaio. Isto será bastante útil particularmente se a escassez de animais não permitir a organização de blocos homo- gêneos. Numa visão mais ampla, a análise de covariância é uma metodologia usada para comparar uma série de modelos de regressão, ou seja, ela trata da combinação entre uma ANOVA e uma análise de regressão linear. 5 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP 2. UM EXEMPLO Vamos iniciar com o modelo de ANOVA para o caso de um fator de tratamento em um delineamento inteiramente casualizado: 𝑦𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝑡𝑖 + 𝑒𝑖𝑗 (1) cujos termos e significados nós já conhecemos. Na ANCOVA nós adicionamos ao modelo (1) um termo que reflete a possível relação linear entre a variável resposta (𝑦) e uma covariável (𝑥). O novo modelo pode ser representado por: 𝑦𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝑡𝑖 + 𝛽(𝑥𝑖𝑗 − 𝑥̅••) + 𝑒𝑖𝑗 (2) Em que 𝛽 é o coeficiente da regressão para a relação linear entre 𝑦 e 𝑥; 𝑥𝑖𝑗 é o valor da covariável na 𝑗-ésima parcela que recebeu o 𝑖-ési- mo tratamento e 𝑥̅•• é a média aritmética da covariável. 6 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Quanto maior (mais forte) for a relação de dependência linear (posi- tiva ou negativa) entre as variáveis 𝑦 e 𝑥, melhor será o ajuste por covariância. Pode-se perceber isso, escrevendo o modelo (2) como: 𝑦𝑖𝑗 − 𝛽(𝑥𝑖𝑗 − 𝑥̅••) = 𝜇 + 𝑡𝑖 + 𝑒𝑖𝑗 (3) Ou seja, retirando da variável resposta (𝑦) a influência da covariável (𝑥), devemos diminuir o tamanho do erro experimental e com isso, melhorar a qualidade das inferências feitas na análise de variância. Ao invés de apresentar as fórmulas de cálculo da ANCOVA, que são mais complicadas que as fórmulas da ANOVA, vamos apresentar um exemplo de aplicação, que mostra que a inclusão da covariável foi significativa e melhorou os resultados da análise. 7 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Exemplo de aplicação. Vamos analisar um ensaio de controle de pra- gas do feijoeiro (Pimentel-Gomes, 2000). Nesse experimento instalado num delineamento casualizado em blo- cos com 8 repetições, foram comparados cinco tratamentos: Teste- munha, Disyston, Ekatin, Keltane e Diazinon, que são inseticidas or- ganofosforados. Além da produção (𝑦), em g/parcela, determinou-se também o nú- mero de plantas de feijoeiro de cada parcela (𝑥). Os dados estão apresentados na tabela seguinte. 8 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Produção (𝑦) em g/parcela e número de plantas Tratamento Bloco 1 2 3 4 5 6 7 8 Diazinon 𝑥 8 8 9 9 6 8 9 9 𝑦 95 41 80 86 35 49 39 60 Disyton 𝑥 7 8 5 8 6 8 9 8 𝑦 58 67 40 58 29 64 55 47 Ekatin 𝑥 9 9 9 9 8 8 8 9 𝑦 84 48 49 64 67 51 15 29 Keltane 𝑥 6 9 8 9 7 7 8 8 𝑦 41 62 77 92 57 55 59 32 Testemunha 𝑥 9 9 8 9 9 9 6 8 𝑦 74 51 60 62 60 47 14 19 9 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Quadro de ANOVA (sem a covariável) Fonte gl SQ QM F 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟-𝑝 Bloco 7 6320,00 902,86 3,31 0,011 Trat 4 934,40 233,60 0,86 0,502 Residuo 28 7640,00 272,86 Total 39 14894,40 𝑦̅•• = 54,3 𝑠 = 16,52 𝐶𝑉 = 30,4% A hipótese 𝐻0 = 𝜇1 = 𝜇2 = 𝜇3 = 𝜇4 = 𝜇5 não foi rejeitada, pois 𝐹𝑐𝑎𝑙𝑐 = 0,86 resultou não significativo (𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟-𝑝 = 0,502). Outro aspecto importante é o alto valor do 𝐶𝑉, indicando que o experimento não foi bem conduzido e que não controlou bem os fatores estranhos ao experimento. 10 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP No gráfico de dispersão percebe-se um aumento de produção (𝑦) à medida que aumenta o número de plantas (𝑥) da parcela. 9.0 7.5 6.0 9.0 7.5 6.0 100 75 50 25 0 9.0 7.5 6.0 100 75 50 25 0 Diazinon x: Nplantas y: Producao Disyston Ekatin Keltane Test Gráfico de Dispersão de y: Producao versus x: Nplantas 11 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Quadro de ANCOVA (com a covariável) Fonte GL SQ QM F valor-P 𝑥_Nplantas 1 4219,97 4219,97 33,32 0,000 Bloco 7 6736,13 962,30 7,60 0,000 Trat 4 2310,23 577,56 4,56 0,006 Resíduo 27 3420,03 126,67 Total 39 14894,40 𝑦̅•• = 54,3 𝑠 = 11,25 𝐶𝑉 = 20,7% Note que: • A inclusão da covariável diminuiu a 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 de 7640,00 para 3420,03 e o 𝐶𝑉 de 30,4% para 20,7%, indicando uma melhora no controle dos fatores estranhos ao experimento. 12 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP • A hipótese 𝐻0: 𝛽 = 0 foi rejeitada na ANCOVA indicando que foi significativa a inclusão da covariável no modelo. • Uma estimativa deste coeficiente é 12,40 indicando que a cada au- mento de 1 unidade no número de plantas (𝑥) ocorre um aumento de produção (𝑦) de 12,40 g/parcela. • As médias dos tratamentos podem ser corrigidas para um mesmo número de plantas por parcela, utilizando a covariável: 𝑦̅𝑖 ∗ = 𝑦̅𝑖 − 𝛽̂(𝑥𝑖𝑗 − 𝑥̅••) Note na tabela seguinte que as produções médias originais e as corrigidas pela covariável são bem diferentes. 13 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Trat Produção original Número de plantas Produção corrigida Diazinon 60,63 8,250 58,46 Disyston 52,25 7,375 60,93 Ekatin 50,88 8,625 44,06 Keltane 59,38 7,750 63,40 Test 48,38 8,375 44,66 Note que: Quando o número médio de plantas é alto, a média do tra- tamento é corrigida para baixo e quando o número de plantas é baixo, a média do tratamento é corrigida para cima. 14 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Utilizando o teste de Tukey para comparar as produções médias cor- rigidas tem-se: Trat Média Keltane 63,40 a Disyston 60,93 ab Diazinon 58,46 ab Test 44,66 b Ekatin 44,06 b Médias que não compartilham uma letra são significativamente diferentes. 15 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Se quisermos comparar as médias dos tratamentos com a testemu- nha, utilizando o teste de Dunnett tem-se: Trat Média Test (Controle) 44.6553 a Keltane 63.4046 b Disyston 60.9292 b Diazinon 58.4552 a Ekatin 44.0556 a Médias que não compartilham uma letra são significativamente diferentes do tratamento controle. 16 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Comentários finais: • A covariável pode ser uma variável discreta ou contínua, mas não pode sofrer o efeito dos tratamentos a serem comparados. • Podemos incluir diversas covariáveis no modelo, mas um estudo minucioso deve ser feito para manter no modelo somente aquelas que interferem significativamente na resposta. • Cada covariável incluída no modelo impõe a diminuição de 1 grau de liberdade no resíduo. • A rejeição da hipótese 𝐻0: 𝛽 = 0 indica que a redução na 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠 foi mais significativa que a redução no seu número de graus de liberdade. 17 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP • Como as covariáveis não fazem parte do planejamento do experi- mento, elas podem ser incluídas ou excluídas do modelo indepen- dentemente do delineamento experimental utilizado.