Slide - Experimento Fatorial Duplo Com Trat Adicional 2022-1

1 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos hart ZAB0229 – ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL EXPERIMENTO FATORIAL DUPLO COM TRATAMENTO ADICIONAL 2 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP INTRODUÇÃO Um tratamento controle ou testemunha em uma pesquisa serve co- mo referência para os tratamentos que precisam ser comparados no trabalho. Para fatores quantitativos, em geral, o tratamento testemunha ou controle é o nível zero do fator, como visto em experimentos envol- vendo níveis de adubação nitrogenada e em doses de fungicida, por exemplo. Em outros casos, o tratamento testemunha pode ser um valor de re- ferência, como a dose recomendada comercialmente de um compo- nente da ração, ou a variedade de milho que tradicionalmente é plan- tada na região. 3 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Os experimentos fatoriais duplos com inclusão de uma testemunha ou controle aparecem na literatura como fatoriais 𝑎×𝑏 + 1. Exemplo: Zeviani (2011) apresentou um fatorial (55+1) em que os níveis do primeiro fator são doses de um determinado adubo (50, 75, 100, 125 e 150 kg/ha), o segundo fator são cultivares (B, C, D, E e F) e o tratamento adicional é um cultivar comercial (A) típico da região em que a dose recomendada é 100 kg/ha. [ver ilustração na página 26 da tese do Marcos André Braz Vaz, 2013] https://teses.usp.br/teses/disponiveis/11/11134/tde-13032013- 103223/pt-br.php 4 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Exemplo: Consideremos um experimento fatorial com duas doses de adubo (10 e 20 kg/ha) e duas fontes de aplicação (A e B) e um trata- mento adicional (testemunha) que representa a dose 0 e nenhuma fonte de aplicação. Tabela 1. Ilustração de um fatorial 22+1 com uma testemunha co- mo tratamento adicional Dose (kg/ha) Fonte 0 10 20 Controle Testemunha Fonte A A10 A20 Fonte B B10 B20 5 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Observe que neste caso o tratamento adicional (testemunha) indica um valor de nulidade ou ausência de efeitos. Na análise dos dados resultantes de um fatorial 𝑎×𝑏 + 1 alguns au- tores sugerem o uso de contrastes para: • Comparar a média do tratamento testemunha com a média dos tratamentos resultantes das 𝑎×𝑏 combinações dos níveis dos fa- tores. • Calcular as SQ´s associadas aos efeitos principais dos fatores e da interação entre eles. A seguir veremos como analisar os dados de um fatorial 2×3 + 1 de duas formas diferentes. 6 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Exemplo de um Fatorial (𝟐 × 𝟑) + 𝟏 O estudo envolveu a aplicação de doses de fertirrigação de Yogen (1, 3 e 5 g/litro) e dois diferentes substratos (Casca de coco e Plantmax, que é um substrato comercial) no crescimento de mudas de pimen- tão em bandejas. O tratamento controle foi a não aplicação do produ- to em mudas plantadas em bandejas com solo do tipo Latossolo ver- melho distroférrico. Utilizou-se um delineamento inteiramente ca- sualizado com 4 repetições e a variável resposta analisada foi a altu- ra média das plantas de pimentão (cm). Os dados foram adaptados de um experimento realizado em casa de vegetação na Universidade Federal da Grande Dourados, MS. 7 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Dose Substrato 1 3 5 Casca de Coco 2.98 5.40 4.58 2.15 4.25 5.70 2.08 3.67 4.25 2.23 3.00 3.88 Plantmax 8.23 11.75 6.12 8.50 11.28 5.80 8.62 9.88 5.40 7.40 9.10 6.23 Testemunha 3.25 3.37 3.88 3.25 8 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP As médias dos tratamentos do fatorial 3×2+1 foram: Substrato Dose Trat Médias 1 T1 2,3600(4) Casca de coco 3 T2 4,0800(4) 5 T3 4,6025(4) 1 T4 8,1875(4) Plantmax 3 T5 10,5025(4) 5 T6 5,8875(4) Testemunha T7 3,4375(4) Usando os dados originais e essas médias podemos obter as 𝑆𝑄´s: 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 208,7455 (27 𝑔𝑙) 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 = 197,1553 (6 𝑔𝑙) 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 = 11,5902 (21 𝑔𝑙) 9 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Quadro de ANOVA C. Variação 𝑔. 𝑙. 𝑆𝑄 𝑄𝑀 𝐹 Tratamento 6 197,1553 32,8592 59,54 Resíduo 21 11,5902 0,5519 Total 27 208,7455 𝑦̅ = 5,58 𝑠2 = 0,5519 𝐶𝑉 = 13,3% Como 𝐹𝑐𝑎𝑙𝑐 = 59,54 > 𝐹(6,21) = 2,57, rejeitamos a hipótese 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 = ⋯ = 𝜇7 e concluímos que pelo menos duas médias de trata- mentos diferem entre si. Note que temos 3 × 2 + 1 = 7 tratamentos ⇒ 6 graus de liberdade ⇒ 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 pode ser particionada usando 6 contrastes ortogonais. 10 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Vamos usar um contraste para comparar a média da testemunha (T7) com a média dos tratamentos resultantes das 3×2 combinações dos níveis dos dois fatores: 𝜇7 = 𝜇1 + 𝜇2 + 𝜇3 + 𝜇4 + 𝜇5 + 𝜇6 6 ⇒ o contraste fica: 𝑌1 = 𝜇1 + 𝜇2 + 𝜇3 + 𝜇4 + 𝜇5 + 𝜇6 − 6𝜇7. Para testar 𝐻01: 𝑌1 = 0 usamos 𝑆𝑄(𝑌1) = (4)(14,995)2 42 = 21,4143 ⇒ como 𝐹𝑐𝑎𝑙𝑐 = 21,4143 0,5519 = 38,80 > 𝐹(1,21) = 4,32 rejeitamos 𝐻01 e concluímos que a altura média das mudas do tratamento controle é inferior à altura média das mudas tratadas. 11 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Os 6 – 1 = 5 graus de liberdade restantes ficarão associados às com- parações envolvendo as médias dos Substratos (𝑆), das Doses (𝐷) e da interação 𝑆 × 𝐷. (1) As 𝑆𝑄’s associadas a esses termos podem ser obtidas da maneira usual, usando a tabela com as médias: Dose Substrato 1 3 5 Todos Casca de Coco 2,3600(4) 4,0800(4) 4,6025(4) 3,6808(12) Plantmax 8,1875(4) 10,5025(4) 5,8875(4) 8,1925(12) Todos 5,2737(8) 7,2913(8) 5,2450(8) 5,9367(24) 𝑆𝑄(𝑆) = 122,1308 𝑆𝑄(𝐷) = 22,0221 𝑆𝑄(𝑆 × 𝐷) = 175,7410 − 122,1308 − 22,0221 = 31,5881 12 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Importante: Como as 𝑆𝑄´𝑠 são independentes podemos conferir que 𝑆𝑄(𝑇𝑟𝑎𝑡) = 𝑆𝑄(𝑌1) + 𝑆𝑄(𝑆) + 𝑆𝑄(𝐷) + 𝑆𝑄(𝑆 × 𝐷) 197,1553 = 21,4143 + 122,1308 + 22,0221 + 31,5881 Nota: Esta abordagem de análise é análoga à utilizada nos experi- mentos fatoriais, com a novidade da comparação da média da Teste- munha com a média das parcelas tratadas (fatorial 2×3). Vamos montar o quadro de ANOVA e realizar os testes adequados. 13 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Quadro de ANOVA final C. Variação 𝑔. 𝑙. 𝑆𝑄 𝑄𝑀 F Test ×Fatorial 1 21,4143 21,4143 38,80 Substrato (𝑆) 1 122,1308 122,1308 21,29 Dose (𝐷) 2 22,0221 11,0111 19,95 Interação 𝑆×𝐷 2 31,5881 15,7941 28,62 (Tratamento) (6) (197,1553) − − Resíduo 21 11,5902 0,5519 Total 27 208,7455 − 𝑦̅ = 5,58 𝑠2 = 0,5519 𝐶𝑉 = 13,3% 14 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Para testar a hipótese 𝐻02: não existe interação entre os níveis de Dose e Substrato usamos 𝐹𝑐𝑎𝑙𝑐 = 28,62, que é superior a 𝐹(2, 21) = 3,47, levando a re- jeição de 𝐻02 e à conclusão que a interação S×D foi significativa. Podemos continuar a análise realizando os desdobramentos da inte- ração S×D usando as informações do quadro de médias: Dose Substrato 1 3 5 Todos Casca de Coco 2,3600(4) 4,0800(4) 4,6025(4) 3,6808(12) Plantmax 8,1875(4) 10,5025(4) 5,8875(4) 8,1925(12) Todos 5,2737(8) 7,2913(8) 5,2450(8) 5,9367(24) 15 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Para testar 𝐻0: 𝜇𝐶𝑎𝑠𝑐𝑎 = 𝜇𝑃𝑙𝑎𝑛𝑡𝑚𝑎𝑥 em cada uma das Doses: C. Variação 𝑔. 𝑙. 𝑆𝑄 𝑄𝑀 𝐹 𝑆. 𝑑. (𝐷𝑜𝑠𝑒 = 1) 1 67,9195 67,9195 123,06 𝑆. 𝑑. (𝐷𝑜𝑠𝑒 = 3) 1 82,4970 82,4970 149,48 𝑆. 𝑑. (𝐷𝑜𝑠𝑒 = 5) 1 3,3025 3,3025 5,98 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 21 11,5902 0,5519 Como os 𝐹𝑐𝑎𝑙𝑐’s são superiores ao valor tabelado 𝐹(1; 21) = 4,32, as hipóteses de igualdade das médias de Substrato são rejeitadas e con- cluímos as alturas médias das mudas com o Substrato Plantmax fo- ram mais altas que aquelas com Casca de coco. 16 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Para testar 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇3 = 𝜇5 para cada substrato usamos: C. Variação 𝑔. 𝑙. 𝑆𝑄 𝑄𝑀 𝐹 𝐷𝑜𝑠𝑒. 𝑑. (𝐶𝑎𝑠𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑐𝑜) 2 11,0136 5,5068 9,98 𝐷𝑜𝑠𝑒. 𝑑. (𝑃𝑙𝑎𝑛𝑡𝑚𝑎𝑥) 2 42,5966 21,2983 38,59 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 21 11,5902 0,5519 Como os 𝐹𝑐𝑎𝑙𝑐’s são superiores ao valor tabelado 𝐹(2; 21) = 3,47, as hipóteses de igualdade das médias de Dose são rejeitadas e concluí- mos que as alturas médias das mudas que receberam Doses crescen- tes de Yogen não são iguais entre si, tanto no Substrato Casca de coco quanto no Plantmax. 17 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Para finalizar a análise devemos realizar os testes de tendência para escolher o grau do polinômio que explique melhor o comportamento da altura das mudas em função do aumento da Dose de Yogen, para os dois substratos, separadamente. 2) Uma análise alternativa pode ser realizada utilizando contrastes ortogonais no cálculo das 𝑆𝑄’s associadas a 𝑆𝑢𝑏𝑠𝑡𝑟𝑎𝑡𝑜, 𝐷𝑜𝑠𝑒 e a inte- ração 𝑆 × 𝐷. Apesar de ser um processo mais trabalhoso, ele é utilizado nos pro- gramas estatísticos e merece atenção. Para introduzir essa ideia vamos rever um exemplo de análise envol- vendo contrastes ortogonais na decomposição da 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡. 18 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Exemplo 2.5. Com o intuito de avaliar o efeito da administração de raízes e tubérculos como suplementação de inverno na alimentação de vacas em lactação utilizou-se um delineamento inteiramente ca- sualizado com 4 tratamentos e 6 repetições por tratamento. As pro- duções médias diárias (kg) de leite a 4% de gordura das vacas que receberam os tratamentos foram: Tratamento Testemunha Mandioca Araruta Batata doce Média (kg) 22,2(6) 27,8(6) 32,2(6) 22,8(6) Sabendo-se que 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 = 396,60 e 𝑠2= 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 = 12,467 com 20 𝑔. 𝑙. e que a ANOVA indicou a rejeição de 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 = 𝜇3 = 𝜇4, vamos testar se os contrastes ortogonais são nulos: 𝑌1 = 3𝜇1 − 𝜇2 − 𝜇3 − 𝜇4, 𝑌2 = 2𝜇3 − 𝜇2 − 𝜇4 e 𝑌3 = 𝜇2 − 𝜇4 19 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP A soma de quadrados associada a um contraste de médias é calcula- da pela fórmula: 𝑆𝑄(𝑌) = 𝑛(𝑌̂)2 ∑ 𝑐𝑖 2 𝑖 (2) Testemunha Mandioca Araruta Batata Contrastes 22,2 27,8 32,2 22,8 ∑ 𝑐𝑖 2 𝑌̂ 𝑆𝑄(𝑌𝑖) 𝑌1 3 -1 -1 -1 12 -16,20 131,22 𝑌2 0 -1 2 -1 6 13,80 190,44 𝑌3 0 1 0 -1 2 5,00 75,00 Soma 396,66 Note que: ∑ 𝑆𝑄(𝑌𝑖) = 396,66 = 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡, ou seja, a 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡, que tem 3 g.l., foi decomposta em três 𝑆𝑄′s associadas aos três contrastes ortogonais. 20 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Isso acontece porque utilizamos 3 contrastes ortogonais que quando igualados a zero reproduziram 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 = 𝜇3 = 𝜇4. Verificando: 𝑌3 = 𝜇2 − 𝜇4 = 0 ⇒ 𝜇2 = 𝜇4 𝑌2 = 2𝜇3 − 𝜇2 − 𝜇4 = 0 ⇒ 2𝜇3 − 𝜇2 − 𝜇2 = 0 ⇒ 𝜇2 = 𝜇3 𝑌1 = 3𝜇1 − 𝜇2 − 𝜇3 − 𝜇4 = 0 ⇒ 3𝜇1 − 𝜇2 − 𝜇2 − 𝜇2 = 0 ⇒ 𝜇1 = 𝜇2 Impondo que todos os contrastes são nulos (𝑌1 = 𝑌2 = 𝑌3 = 0) re- produzimos 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 = 𝜇3 = 𝜇4 ⇒ as 𝑆𝑄´s associadas a estes contrastes servem para particionar 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 = 𝑆𝑄𝑌1 + 𝑆𝑄𝑌2 + 𝑆𝑄𝑌3 Nota: Esta decomposição da 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 não é única! 21 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Podemos encontrar outros conjuntos de três contrastes ortogonais que, quando igualados a zero, reproduzam 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 = 𝜇3 = 𝜇4, como por exemplo: 𝑌1 = 3𝜇1 − 𝜇2 − 𝜇3 − 𝜇4 𝑌2 = 2𝜇2 − 𝜇3 − 𝜇4 𝑌3 = 𝜇3 − 𝜇4 Após essa apresentação, vamos montar contrastes ortogonais para decompor a 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 do fatorial 2 × 3 + 1, que tem 6 graus de liber- dade, em 𝑆𝑄(𝑌1) + 𝑆𝑄(𝑆) + 𝑆𝑄(𝐷) + 𝑆𝑄(𝑆 × 𝐷) com 1 + 1 + 2 + 2 = 6 graus de liberdade. 22 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Relembrando: O estudo envolveu a aplicação de Doses de Yogen (1, 3 e 5 g/litro) e dois diferentes substratos (Casca de coco e Plantmax) no crescimento de mudas de pimentão em bandejas. O tratamento controle foi a não aplicação do produto em mudas plantadas em ban- dejas com solo do tipo Latossolo vermelho distroférrico. Vamos numerar os tratamentos para facilitar a interpretação dos contrastes: Substrato Casca de coco Plantmax Dose 1 3 5 1 3 5 Testemunha Trat T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 23 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Para testar 𝐻02: 𝜇𝐶𝑎𝑠𝑐𝑎 = 𝜇𝑃𝑙𝑎𝑛𝑡𝑚𝑎𝑥 usamos um contraste entre as médias dos tratamentos 1, 2 e 3 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 4, 5 e 6, ou seja: 𝜇1+𝜇2+𝜇3 3 = 𝜇4+𝜇5+𝜇6 3 ⇒ 𝜇1+𝜇2+𝜇3 3 − 𝜇4+𝜇5+𝜇6 3 = 0 O contraste para testar 𝐻02: 𝜇𝐶𝑎𝑠𝑐𝑎 = 𝜇𝑃𝑙𝑎𝑛𝑡𝑚𝑎𝑥 pode ser escrito por: 𝑌2 = 3𝜇1 + 3𝜇2 + 3𝜇3 − 3𝜇4 − 3𝜇5 − 3𝜇6 Ou 𝑌2 = 𝜇1 + 𝜇2 + 𝜇3 − 𝜇4 − 𝜇5 − 𝜇6 Substrato Casca de coco Plantmax Dose 1 3 5 1 3 5 Testemunha Trat T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 𝑌2 1 1 1 −1 −1 −1 0 24 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Para testar 𝐻03: 𝜇𝐷1 = 𝜇𝐷3 = 𝜇𝐷5 precisamos montar dois contrastes ortogonais. Vamos usar os contrastes: 𝜇𝐷1 = 𝜇𝐷3+𝜇𝐷5 2 e 𝜇𝐷3 = 𝜇𝐷5 O primeiro contraste fica: 𝑌3 = 2(𝜇1 + 𝜇4) − (𝜇2 + 𝜇5) − (𝜇3 + 𝜇6) ou 𝑌3 = 2𝜇1 − 𝜇2 − 𝜇3 + 2𝜇4 − 𝜇5 − 𝜇6 O segundo contraste fica: 𝑌4 = 𝜇2 + 𝜇5 − 𝜇3 − 𝜇6 ou 𝑌4 = 𝜇2 − 𝜇3 + 𝜇5 − 𝜇6 25 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Podemos indicar estes dois contrastes no quadro com os 7 trata- mentos: Substrato Casca de coco Plantmax Dose 1 3 5 1 3 5 Test Trat T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 𝑌3 2 −1 −1 2 −1 −1 0 𝑌4 0 1 −1 0 1 −1 0 Para montar os contrastes relativos à interação (𝑌5 e 𝑌6) vamos usar os coeficientes dos contrastes já montados para os fatores Substrato (𝑌2) e Dose (𝑌3 e 𝑌4): 26 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP 1) Os coeficientes do contraste 𝑌5 são resultantes dos produtos dos coeficientes dos contrastes 𝑌2 e 𝑌3. Trat T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 𝑌2 1 1 1 −1 −1 −1 0 𝑌3 2 −1 −1 2 −1 −1 0 𝑌5 2 −1 −1 −2 1 1 0 ⇒ 𝑌5 = 2𝜇1 − 𝜇2 − 𝜇3 − 2𝜇4 + 𝜇5 + 𝜇6 27 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP 2) Os coeficientes de 𝑌6 são resultantes dos produtos dos coeficien- tes dos contrastes 𝑌2 e 𝑌4. Trat T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 𝑌2 1 1 1 −1 −1 −1 0 𝑌4 0 1 −1 0 1 −1 0 𝑌6 0 1 −1 0 −1 1 0 ⇒ 𝑌6 = 𝜇2 − 𝜇3 − 𝜇5 + 𝜇6 Concluindo: os contrastes 𝑌5 e 𝑌6 são ortogonais entre si e ortogonais a todos os outros contrastes e servirão para testar 𝐻02: não existe interação entre os níveis de Substrato e Dose. 28 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Montando uma planilha com os coeficientes de todos contrastes e as médias dos tratamentos podemos calcular as 𝑆𝑄´s que precisamos. Trat T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 Média 2,3600 4,0800 4,6025 8,1875 10,5025 5,8875 3,4375 𝑌̂𝑖 ∑ 𝑐𝑖 2 𝑆𝑄 𝑌1 1 1 1 1 1 1 −6 14,995 42 21.41 𝑌2 1 1 1 −1 −1 −1 0 -13,535 6 122.13 𝑌3 2 −1 −1 2 −1 −1 0 -3,978 12 5.27 𝑌4 0 1 −1 0 1 −1 0 4,093 4 16.75 𝑌5 2 −1 −1 −2 1 1 0 -3,948 12 5.19 𝑌6 0 1 −1 0 −1 1 0 -5,138 4 26.39 𝑆𝑄(𝑌1) = 21,41 (já calculado anteriormente) 𝑆𝑄(𝑆) = 122,13 𝑆𝑄(𝐷) = 5,27 + 16,75 = 22,02 𝑆𝑄(𝑆 × 𝐷) = 5,19 + 26,39 = 31,58 29 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Nota: Somando essas 𝑆𝑄´s reproduzimos a 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 = 197,1553. Para realizar os desdobramentos da interação, que sabemos ser sig- nificativa, também podemos usar contrastes ortogonais. 1º Desdobramento: Para testar 𝐻0: 𝜇𝐶𝑎𝑠𝑐𝑎 = 𝜇𝑃𝑙𝑎𝑛𝑡𝑚𝑎𝑥 em cada uma das Doses usamos os três contrastes Y7a, Y7b e Y7c: Substrato Casca de coco Plantmax Dose 1 3 5 1 3 5 Test. Trat T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 Média 2.3600 4.0800 4.6025 8.1875 10.5025 5.8875 3.4375 Y7a 1 0 0 -1 0 0 0 Y7b 0 1 0 0 -1 0 0 Y7c 0 0 1 0 0 -1 0 30 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP 2º Desdobramento: Para testar 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇3 = 𝜇5 para cada substra- to usamos os contrastes: Substrato Casca de coco Plantmax Dose 1 3 5 1 3 5 Test. Trat T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 Média 2.3600 4.0800 4.6025 8.1875 10.5025 5.8875 3.4375 Y8a 2 -1 -1 0 0 0 0 Y8b 0 1 -1 0 0 0 0 Y9a 0 0 0 2 -1 -1 0 Y9b 0 0 0 0 1 -1 0 31 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Usando a fórmula 𝑆𝑄(𝑌) = 𝑛(𝑌̂)2 ∑ 𝑐𝑖 𝑖 2 para o cálculo das 𝑆𝑄´s associadas a todos os desdobramentos indicados nos dois quadros anteriores, obteremos os mesmos resultados obtidos na abordagem inicial. Importante: Esta última abordagem será vantajosa quando utilizar- mos algum software estatístico, como o SAS, por exemplo, para analisar fatoriais duplos com tratamento adicional.