Slide - Experimentos em Parcelas Subdiv 2022-1

1 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos hart ZAB0229 – ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS (𝑆𝑝𝑙𝑖𝑡-𝑝𝑙𝑜𝑡 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑛𝑠) 2 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP 1. INTRODUÇÃO O termo “parcela subdividida” surgiu na experimentação agronômi- ca onde o nível de um fator (ou tratamento) é aplicado a uma parcela relativamente grande de terra (𝑤ℎ𝑜𝑙𝑒 𝑝𝑙𝑜𝑡) e todos os níveis de um segundo fator são aplicados às subparcelas (𝑠𝑝𝑙𝑖𝑡-𝑝𝑙𝑜𝑡𝑠) desta par- cela maior. Os tratamentos primários são distribuídos às parcelas de acordo com um delineamento escolhido (DIC, DBC, DQL 𝑒𝑡𝑐.). Os tratamentos secundários são distribuídos às subparcelas de for- ma aleatória (ao acaso, por sorteio). 3 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP EXEMPLO 1. Experimento em parcelas subdivididas com 2 trata- mentos primários (Fator A) aplicados às parcelas de acordo com um delineamento casualizado em blocos com 3 repetições e 3 tratamen- tos secundários (Fator B) aplicados às subparcelas. 1ª Etapa 2ª Etapa (DCB e Fator A com 2 níveis) (Fator B com 3 níveis) Bloco 1 Bloco 2 Bloco 3 Bloco 1 Bloco 2 Bloco 3 A1 A2 A2 A1 B1 A2 B3 A2 B1 A1 B3 A2 B2 A2 B3  A1 B2 A2 B1 A2 B2 A2 A1 A1 A2 B2 A1 B1 A1 B2 A2 B3 A1 B2 A1 B1 A2 B1 A1 B3 A1 B3 4 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP O experimento em parcelas subdivididas representa uma restrição à casualização completa que existe num ensaio fatorial envolvendo os mesmos fatores e níveis. No esquema fatorial as seis combinações de níveis A1 e A2 do fator A com os níveis B1, B2 e B3 do fator B são designadas aleatoriamente (sem qualquer restrição de casualização) às parcelas de cada bloco. Bloco 1 Bloco 2 Bloco 3 A1B1 A1B3 A2B1 A2B3 A2B2 A1B3 A2B2 A1B1 A1B2 A1B2 A2B1 A2B2 A1B3 A1B2 A1B1 A2B1 A2B3 A2B3 5 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP O uso do experimento em parcelas subdivididas é desejável se: • Os tratamentos associados com os níveis de um ou mais fatores exigem maiores quantidades de material experimental em uma mesma unidade experimental (parcela) que outros tratamentos. • Um fator adicional vai ser incorporado ao experimento após sua instalação com o intuito de aumentar a sua abrangência. Principal vantagem: • Permite utilizar fatores que requerem quantidades relativamen- te grandes de material experimental e outros fatores que reque- rem quantidades menores de material experimental combinados num mesmo experimento. 6 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Principais desvantagens: • Geralmente, o erro associado às parcelas é maior que o erro as- sociado às subparcelas. Assim os efeitos de tratamentos primá- rios, ainda que sejam notáveis (grandes), podem não ser signifi- cativos, enquanto os efeitos de tratamentos secundários, ainda que muito pequenos, podem ser estatisticamente significativos. • Para diferentes comparações entre médias de tratamentos (pri- mários ou secundários) existem diferentes variâncias, o que tor- na a análise mais trabalhosa, principalmente se precisarmos des- dobrar a interação significativa entre os fatores primários e se- cundários. 7 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP No quadro de ANOVA de um experimento em parcelas subdivididas as Fontes de Variação que fazem parte da variação entre as parcelas (Fator-A e Blocos, por exemplo) são agrupadas separadamente da- quelas Fontes que fazem parte da variação dentro das parcelas (Fa- tor-B e interação A×B). Por conta desta separação teremos dois resíduos distintos: um refe- rente às parcelas – 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜(𝑎) e outro referente às subparcelas – 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜(𝑏). Como existem dois resíduos distintos, também devemos calcular dois coeficientes de variação: um associado às parcelas e outro, às subparcelas. Suas fórmulas serão apresentadas oportunamente. 8 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP 2. ANÁLISE DE VARIÂNCIA Vamos apresentar alguns quadros de ANOVA com a partição dos graus de liberdade de um experimento em parcelas subdivididas com 𝒂 tratamentos primários 𝒃 tratamentos secundários 𝒓 repetições por tratamento instalado em diferentes delineamentos experimentais (DIC, DCB e DQL) para os tratamentos aplicados às parcelas. 9 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP (𝑖) Experimento em parcelas subdivididas com 𝑎 tratamentos primá- rios em um delineamento inteiramente casualizado (DIC) com 𝑟 repetições e 𝑏 tratamentos secundários. C. Variação g.l. Parcelas Fator A (𝑎– 1) Resíduo (a) 𝑎(𝑟– 1) (Parcelas) (𝑎𝑟– 1) Fator B (𝑏– 1) Subparcelas A×B (𝑎– 1)(𝑏– 1) Resíduo (b) 𝑎(𝑟– 1)(𝑏– 1) Subparcelas 𝑎𝑏𝑟– 1 10 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP (𝑖𝑖) Experimento em parcelas subdivididas com 𝑎 tratamentos primá- rios em um delineamento casualizado em blocos (DCB) com 𝑟 repe- tições e 𝑏 tratamentos secundários. C. de Variação g.l. Parcelas Blocos (𝑟– 1) Fator A (𝑎– 1) Resíduo (a) (𝑎– 1)(𝑟– 1) (Parcelas) (𝑎𝑟– 1) Fator B (𝑏– 1) Subparcelas A×B (𝑎– 1)(𝑏– 1) Resíduo (b) 𝑎(𝑟– 1)(𝑏– 1) Subparcelas 𝑎𝑏𝑟– 1 11 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP (𝑖𝑖𝑖)Experimento em parcelas subdivididas com 𝑎 tratamentos primá- rios em um delineamento em quadrado latino com 𝑟 repetições e 𝑏 tratamentos secundários. C. de Variação g.l. Parcelas Linhas (𝑎– 1) Colunas (𝑎– 1) Fator A (𝑎– 1) Resíduo (a) (𝑎– 1)(𝑎– 2) (Parcelas) (𝑎2– 1) Fator B (𝑏– 1) Subparcelas A×B (𝑎– 1)(𝑏– 1) Resíduo (b) 𝑎(𝑎– 1)(𝑏– 1) Subparcelas 𝑎2𝑏– 1 12 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP 2.1. MODELO MATEMÁTICO O modelo de um experimento em parcelas subdivididas com 𝑎 tra- tamentos primários em delineamento casualizado em blocos com 𝑟 repetições e 𝑏 tratamentos secundários, pode ser escrito como: 𝑦𝑖𝑗𝑘 =  + 𝛽𝑘 + 𝐴𝑖 + 𝛾𝑖𝑘 + 𝐵𝑗 + (𝐴𝐵)𝑖𝑗 + 𝜀𝑖𝑗𝑘 (1) em que: 𝑦𝑖𝑗𝑘 é a observação feita no 𝑘-ésimo bloco, no 𝑖-ésimo tratamento primário e 𝑗-ésimo tratamento secundário;  é uma constante comum a todas as observações; 𝛽𝑘 é o efeito do 𝑘-ésimo bloco, para 𝑘 = 1, , 𝑟. 𝐴𝑖 é o efeito do 𝑖-ésimo tratamento primário, para 𝑖 = 1, , 𝑎. 13 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP 𝛾𝑖𝑘 é o erro experimental associado às parcelas, 𝛾𝑖𝑘 ~ 𝑁(0, 𝜎𝛾 2) 𝐵𝑗 é o efeito do 𝑗-ésimo tratamento secundário, para 𝑗 = 1, , 𝑏. (𝐴𝐵)𝑖𝑗 é o efeito da interação entre o 𝑖-ésimo tratamento primário e o 𝑗-ésimo tratamento secundário. 𝜀𝑖𝑗𝑘 é o erro experimental associado às subparcelas, 𝜀𝑖𝑗𝑘~𝑁(0, 𝜎𝜀 2) Para facilitar os cálculos das 𝑆𝑄’s associadas a cada fonte de varia- ção do modelo, construiremos quadros auxiliares com as médias: 𝑖) dos níveis de Blocos e do Fator A (parcelas) 𝑖𝑖) dos níveis do Fator A e do Fator B (subparcelas) indicando entre parêntesis os números de unidades experimentais que deram origem a cada uma das médias. 14 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Quadro 1. Médias de parcelas – combinações Bloco  Fator A Bloco Níveis do fator A Geral 1 2  𝑎 1 𝑦̅1•1 (𝑏) 𝑦̅2•1 (𝑏)  𝑦̅𝑎•1 (𝑏) 𝑦̅••1 (𝑎𝑏) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑟 𝑦̅1•𝑟 (𝑏) 𝑦̅2•𝑟 (𝑏)  𝑦̅𝑎•𝑟 (𝑏) 𝑦̅••𝑟 (𝑎𝑏) Geral 𝑦̅1•• (𝑏𝑟) 𝑦̅2•• (𝑏𝑟)  𝑦̅𝑎•• (𝑏𝑟) 𝑦̅••• (𝑎𝑏𝑟) Em que as médias das parcelas, 𝑦̅𝑖•𝑘, são calculadas com 𝑏 valores; as médias dos níveis de A, 𝑦̅𝑖••, são calculadas com 𝑏𝑟 valores; as médias dos blocos, 𝑦̅••𝑘, são calculadas com 𝑎𝑏 valores e a média geral, 𝑦̅•••, é calculada com 𝑎𝑏𝑟 valores. 15 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP SOMAS DE QUADRADOS ASSOCIADAS ÀS PARCELAS E BASEADAS NAS MÉDIAS: • 𝑆𝑄𝑃𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠 = ∑ ∑ ∑ (𝑦̅𝑖•𝑘 − 𝑦̅•••) 𝑘 𝑗 2 𝑖 • 𝑆𝑄𝐵𝑙𝑜𝑐𝑜𝑠 = ∑ ∑ ∑ (𝑦̅••𝑘 − 𝑦̅•••) 𝑘 2 𝑗 𝑖 • 𝑆𝑄(𝐴) = ∑ ∑ ∑ (𝑦̅𝑖•• − 𝑦̅•••) 𝑘 2 𝑗 𝑖 • 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜(𝑎) = 𝑆𝑄𝑃𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠 – 𝑆𝑄𝐵𝑙𝑜𝑐𝑜𝑠 – 𝑆𝑄(𝐴) Importante: No exemplo numérico ilustraremos como calcular cada uma dessas 𝑆𝑄’s. 16 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Com essas 𝑆𝑄′s podemos montar a primeira parte do quadro de ANOVA, com as fontes de variação associadas às parcelas: Quadro parcial de ANOVA (parcelas) C. de Variação g.l. SQ Blocos (𝑟– 1) 𝑆𝑄𝐵𝑙𝑜𝑐𝑜𝑠 A (𝑎– 1) 𝑆𝑄𝐴 Resíduo(a) 𝑛𝑎 = (𝑎– 1)(𝑟– 1) 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜(𝑎) (Parcelas) (𝑎𝑟– 1) 𝑆𝑄𝑃𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠 Numa segunda etapa montamos um quadro com as médias dos ní- veis dos fatores de tratamentos, A e B, associados às subparcelas: 17 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Quadro 2. Médias de subparcelas (Fator A  Fator B) Fator A Fator B Total 1 2  𝑏 1 𝑦̅11• (𝑟) 𝑦̅12• (𝑟)  𝑦̅1𝑏• (𝑟) 𝑦̅1•• (𝑏𝑟) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎 𝑦̅𝑎1• (𝑟) 𝑦̅𝑎2• (𝑟)  𝑦̅𝑎𝑏• (𝑟) 𝑦̅𝑎•• (𝑏𝑟) Total 𝑦̅•1• (𝑎𝑟) 𝑦̅•2• (𝑎𝑟)  𝑦̅•𝑏• (𝑎𝑟) 𝑦̅••• (𝑎𝑏𝑟) Em que as médias dos tratamentos, 𝑦̅𝑖𝑗•, são calculadas com base em 𝑟 valores; as médias dos níveis de A, 𝑦̅𝑖••, são calculadas com 𝑏𝑟 va- lores; as médias dos níveis de B, 𝑦̅•𝑗•, são calculadas com 𝑎𝑟 valores e a média geral, 𝑦̅•••, é calculada com 𝑎𝑏𝑟 valores. 18 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP SOMAS DE QUADRADOS ASSOCIADAS ÀS SUBPARCELAS E BASEA- DAS NAS MÉDIAS: • 𝑆𝑄𝑆𝑢𝑏𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠 = 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∑ ∑ ∑ (𝑦𝑖𝑗𝑘 − 𝑦̅•••) 2 𝑘 𝑗 𝑖 • 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 = ∑ ∑ ∑ (𝑦̅𝑖𝑗• − 𝑦̅•••) 𝑘 2 𝑗 𝑖 • 𝑆𝑄(𝐵) = ∑ ∑ ∑ (𝑦̅•𝑗• − 𝑦̅•••) 𝑘 2 𝑗 𝑖 • 𝑆𝑄(𝐴×𝐵) = 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 − 𝑆𝑄(𝐴) − 𝑆𝑄(𝐵), • 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜(𝑏) = 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 – 𝑆𝑄𝑃𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠 – 𝑆𝑄(𝐵) – 𝑆𝑄(𝐴×𝐵) Depois de calcular todas as somas e quadrados, construímos o qua- dro geral de análise de variância: 19 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Quadro geralde ANOVA geral C. de Variação g.l. SQ Blocos (𝑟– 1) 𝑆𝑄𝐵𝑙𝑜𝑐𝑜𝑠 A (𝑎– 1) 𝑆𝑄𝐴 Resíduo (a) 𝑛𝑎 = (𝑎– 1)(𝑟– 1) 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜(𝑎) (Parcelas) (𝑎𝑟– 1) (𝑆𝑄𝑃𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠) B (𝑏– 1) 𝑆𝑄𝐵 A×B (𝑎– 1)(𝑏– 1) 𝑆𝑄(𝐴 × 𝐵) Resíduo (b) 𝑛𝑏 = 𝑎(𝑏– 1)(𝑟– 1) 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜(𝑏) Subparcelas 𝑎𝑏𝑟– 1 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 20 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Para facilitar a apresentação das estatísticas 𝐹 e as fórmulas das es- tatísticas dos métodos de comparações múltiplas, a variância asso- ciada às parcelas é calculada por 𝑠𝑎 2 = 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜(𝑎) = 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜(𝑎)/𝑛𝑎 a variância associada às subparcelas é calculada por 𝑠𝑏 2 = 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜(𝑏) = 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜(𝑏)/𝑛𝑏 em que 𝑛𝑎 = (𝑎– 1)(𝑟– 1) e 𝑛𝑏 = 𝑎(𝑏– 1)(𝑟– 1) são os números de graus de liberdade associados ao 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜(𝑎) e 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜(𝑏), respectivamente. 21 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP STEEL e TORRIE (1980) definiram o coeficiente de variação associa- do às parcelas por 𝐶𝑉(𝑎) = 100 √𝑠𝑎2/𝑟 𝑦̅••• e o coeficiente de variação associado às subparcelas por 𝐶𝑉(𝑏) = 100 √𝑠𝑏 2 𝑦̅••• % Importante: A mesma análise sobre a grandeza dos valores dos 𝐶𝑉’s deve ser feita em nível das parcelas e em nível das subparcelas. 22 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP EXEMPLO 2. Para estudar o efeito de três níveis de adubação (A) e de dois espaçamentos (E) na altura (em centímetros) de certo tipo de plantas, planejou-se um experimento em parcelas subdivididas num delineamento casualizado em blocos com 4 repetições. Os tratamentos primários correspondem aos dois espaçamentos (E1 e E2) e os tratamentos secundários, aos três níveis de adubação (A0, A1 e A2). Os blocos (I, II, III, IV) foram usados com o intuito de controlar a fer- tilidade do solo. As alturas das plantas das 24 unidades experimentais são apresen- tadas na tabela a seguir. 23 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Alturas de plantas (em cm) por bloco, espaçamento e nível de adubação. Bloco E1 E2 A0 A1 A2 A0 A1 A2 I 58 85 66 44 59 54 II 77 90 93 59 68 75 III 38 73 67 30 45 53 IV 52 77 64 34 55 48 Total 225 325 290 167 227 230 Usando a fórmula usual calculamos a 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 como: 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑆𝑄𝑆𝑢𝑏𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠 = ∑ ∑ ∑ (𝑦𝑖𝑗𝑘 − 𝑦̅••• 𝑘 ) 𝑗 𝑖 2 = 6592,00 24 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP A partir dos dados originais construímos tabelas de totais ou de mé- dias associadas às parcelas e às subparcelas, para facilitar o cálculo das 𝑆𝑄’s, lembrando que temos (4)(2) = 8 parcelas e (4)(2)(3) = 24 subparcelas. Totais de alturas por espaçamento (E) e bloco (parcelas) Espaçamento Bloco Total I II III IV E1 209(3) 260(3) 178(3) 193(3) 840(12) E2 157(3) 202(3) 128(3) 137(3) 624(12) Total 366(6) 462(6) 306(6) 330(6) 1464(24) 25 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Médias de alturas por espaçamento (E) e bloco (parcelas) Espaçamento Bloco Média I II III IV E1 69,67(3) 86,67(3) 59,33(3) 64,33(3) 70,00(12) E2 52,33(3) 67,33(3) 42,67(3) 45,67(3) 52,00(12) Média 61,00(6) 77,00(6) 51,00(6) 55,00(6) 61,00(24) Para calcular 𝑆𝑄𝑃𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠 usamos as médias das (2)(4) = 8 combi- nações dos níveis de Espaçamento e Bloco (interior da tabela), que foram calculadas a partir de 3 valores: 𝑆𝑄𝑃𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠 = ∑ ∑ ∑ (𝑦̅𝑖•𝑘 − 𝑦̅•••) 𝑘 𝑗 2 𝑖 = 4302,69 26 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Para obter 𝑆𝑄𝐵𝑙𝑜𝑐𝑜 usamos as quatro médias dos blocos, calculadas a partir de 6 valores: 𝑆𝑄𝐵𝑙𝑜𝑐𝑜𝑠 = ∑ ∑ ∑ (𝑦̅••𝑘 − 𝑦̅•••) 𝑘 2 𝑗 𝑖 = 2352,00 Para obter 𝑆𝑄(𝐸) usamos as médias dos dois espaçamentos, calcu- ladas a partir de 12 valores: 𝑆𝑄(𝐸) = ∑ ∑ ∑ (𝑦̅𝑖•• − 𝑦̅•••) 𝑘 2 𝑗 𝑖 = 1944,00 A 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜(𝑎) associada às parcelas é obtida por: 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜(𝑎) = 𝑆𝑄𝑃𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠 – 𝑆𝑄𝐵𝑙𝑜𝑐𝑜𝑠 – 𝑆𝑄(𝐸) = 6,69 27 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP O quadro de ANOVA para as parcelas fica: Causa da Variação g.l. SQ QM F Bloco 3 2352,00 784,00 - Espaçamento (E) 1 1944,00 1944,00 871,75 Resíduo (a) 3 6,69 2,23 (Parcelas) (7) 4302,69 – Deixamos para realizar testes somente após completarmos o quadro de ANOVA, com as informações associadas às subparcelas. 28 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Na segunda etapa vamos calcular as somas de quadrados associadas às subparcelas. Totais de alturas por espaçamento (E) e nível de adubação (A) Fator E Fator A Total A0 A1 A2 E1 225(4) 325(4) 290(4) 840(12) E2 167(4) 227(4) 230(4) 624(12) Total 392(8) 552(8) 520(8) 1464(24) A partir dessas informações calculamos as respectivas médias: 29 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Médias de alturas por espaçamento (E) e nível de adubação (A) Fator E Fator A Média A0 A1 A2 E1 56,25(4) 81,25(4) 72,50(4) 70,00(12) E2 41,75(4) 56,75(4) 57,50(4) 52,00(12) Média 49,00(8) 69,00(8) 65,00(8) 61,00(24) Para obter a 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 usamos as médias das combinações 𝐸 × 𝐴, cal- culadas a partir de 4 valores: 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 = ∑ ∑ ∑ (𝑦̅𝑖𝑗• − 𝑦̅•••) 𝑘 2 𝑗 𝑖 = 3863,00 30 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Para obter 𝑆𝑄(𝐴𝑑𝑢𝑏𝑜) usamos as médias do fator Adubação, calcu- ladas a partir de 8 valores: 𝑆𝑄(𝐴𝑑𝑢𝑏𝑜) = ∑ ∑ ∑ (𝑦̅•𝑗• − 𝑦̅•••) 𝑘 2 𝑗 𝑖 = 1792,00 Já sabemos que 𝑆𝑄(𝐸) = 1944,00. Como nos ensaios fatoriais, a 𝑆𝑄 da interação é calculada como: 𝑆𝑄(𝐸×𝐴) = 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 − 𝑆𝑄(𝐸) − 𝑆𝑄(𝐴𝑑𝑢𝑏𝑜) = 3863,00 – 1944,00 – 1792,00 = 127,00 Finalmente calculamos: 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜(𝑏) = 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 – 𝑆𝑄𝑃𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 – 𝑆𝑄(𝐴) – 𝑆𝑄(𝐸×𝐴) = 6592,00 – 4302,69 –1792,00 – 127,00 = 370,31 31 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Quadro geral de ANOVA do Exemplo 2 (altura de plantas) Causa da Variação g.l. SQ QM F Bloco 3 2352,00 784,00 - Espaçamento (E) 1 1944,00 1944,00 875,75 Resíduo (a) 3 6,69 2,23 (Parcelas) (7) 4302,69 – Adubação (A) 2 1792,00 896,00 29,03 Interação E×A 2 127,00 63,50 2,06 Resíduo (𝑏) 12 370,31 30,86 Total 23 6592,00 𝐶𝑉(𝑎) = 100 √2,22/4 61,0 = 1,22% 𝐶𝑉(𝑏) = 100 √30,86 61,0 = 9,07% 32 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Comentário: Podemos perceber que os dois coeficientes de variação são baixos, indicando um bom controle dos fatores externos ao experimento, tanto em nível de parcelas, quanto de subparcelas. TESTES DE HIPÓTESES DA ANOVA De forma análoga ao realizado na análise de dados de experimentos fatoriais, o primeiro teste a ser realizado na ANOVA é sobre a intera- ção: 𝐻0(1): Não existe interação entre os níveis dos fatores A e B 𝐻𝑎(1): Existe interação entre os níveis dos fatores A e B Estatística: 𝐹1 = 𝑄𝑀(A×B)/𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜(𝑏), que tem distribuição F- Snedecor com (𝑎– 1)(𝑏– 1) e 𝑛𝑏 graus de liberdade. 33 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Caso 1: Se a hipótese 𝐻0(1) for aceita e concluirmos que não existe in- teração entre os fatores A e B, devemos realizar os testes para os efeitos principais dos fatores A e B, separadamente, como segue: (𝑖) Comparação das médias dos tratamentos primários (A): 𝐻0(2): 𝜇1• = 𝜇2• … = 𝜇𝑎• 𝐻𝑎(2): pelo menos duas médias de A diferem entre si. Estatística: 𝐹2 = 𝑄𝑀𝐴/𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜(𝑎), que tem distribuição F com (𝑎– 1) e 𝑛𝑎 graus de liberdade. 34 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP (𝑖𝑖) Comparação das médias dos tratamentos secundários (B): 𝐻0(3): 𝜇•1 = 𝜇•2 … = 𝜇•𝑏 𝐻𝑎(3): pelo menos duas médias de B são diferentes entre si. Estatística: 𝐹3 = 𝑄𝑀𝐵/𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜(𝑏), que tem distribuição F com (𝑏– 1) e 𝑛b graus de liberdade. 35 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Voltando ao Exemplo 2, vamos interpretar os resultados da ANOVA. 1º Teste: Interação E×A. 𝐻0(1): Não existe interação entre os níveis dos fatores E e A 𝐻𝑎(1): Existe interação entre os níveis dos fatores E e A Como o valor da estatística 𝐹𝑐𝑎𝑙𝑐 = 2,06 < 𝐹(2; 12; 5%) = 3,89, nós não rejeitamos 𝐻0(1) e concluímos que não existe a interação entre os níveis dos fatores Espaçamento e Adubação. Sem interação, continuamos a análise comparando as médias dos tratamentos primários e dos secundários, separadamente. 36 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP 2º Teste: Comparar as médias dos níveis de Espaçamento (E) 𝐻0(2): 𝜇1• = 𝜇2• 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝐻𝑎(2): 𝜇1• ≠ 𝜇2• Como 𝐹𝑐𝑎𝑙𝑐 = 1944,00/2,22 = 875,78 > 𝐹(1; 3; 5%) = 10,13, nós rejeitamos 𝐻0(2) e concluímos que as alturas médias das plantas sub- metidas aos dois níveis de espaçamento são diferentes, ou ainda que 𝜇1• > 𝜇2•, porque 𝑦̅1• = 70,0 cm e 𝑦̅2• = 52,0 cm. 3º Teste: Comparar as médias dos níveis de adubação (A) 𝐻0(3): 𝜇•0 = 𝜇•1 = 𝜇•2 𝐻𝑎(3): pelo menos duas médias são diferentes. Como 𝐹𝑐𝑎𝑙𝑐 = 896,00/30,86 = 29,03 > F(2; 12; 5%) = 3,89 nós re- jeitamos 𝐻0(3) e concluímos que pelo menos dois níveis de adubação proporcionam plantas com alturas médias diferentes. 37 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP • Como temos três níveis de adubação, precisamos utilizar algum teste de comparações múltiplas para identificar o nível de Aduba- ção que proporcionou plantas mais altas. 38 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP CASO 2. Se a hipótese 𝐻0(1): Não existe interação entre os níveis dos fatores A e B for rejeitada e concluirmos que existe interação entre os níveis dos fatores A e B, precisamos realizar os desdobramentos da interação, como realizado nos experimentos fatoriais. Importante: Ficar atento à escolha do denominador da estatística F. Desdobramento 1: Comparar as médias dos níveis do fator B em cada nível do fator A, ou seja, para cada nível 𝑖 = 1, , 𝑎 do fator A vamos testar: 𝐻0(4): 𝜇𝑖1 = 𝜇𝑖2 = ⋯ = 𝜇𝑖𝑏 𝐻𝑎(4): pelo menos duas médias de B diferem entre si. 39 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP • Calcular 𝑆𝑄(𝐵 𝑑. 𝐴𝑖), para 𝑖 = 1, 2,  𝑎, que tem (𝑏 −1) graus de liberdade. • Estatística: F = 𝑄𝑀(𝐵 𝑑. 𝐴𝑖)/𝑠𝑏 2, que tem distribuição F com (𝑏–1) e 𝑛𝑏 graus de liberdade. Note que 𝑠𝑏 2 = 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜(𝑏). Desdobramento 2: Comparar as médias dos níveis do fator A em cada nível de B, ou seja, para cada nível 𝑗 = 1, , 𝑏 do fator B va- mos testar: 𝐻0(5): 𝜇1𝑗 = 𝜇2𝑗 = ⋯ = 𝜇𝑎𝑗 𝐻𝑎(5): pelo menos duas médias de A diferem entre si. 40 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP • Calcular 𝑆𝑄(𝐴𝑑.𝐵𝑗) para 𝑗 = 1,, 𝑏, com (𝑎 − 1) graus de liber- dade. • Estatística: F = 𝑄𝑀(𝐴 𝑑. 𝐵𝑗)/𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜(∗), que tem distribuição F com (𝑎–1) e 𝑛(∗) graus de liberdade, em que: 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜(∗) = 1 𝑏[𝑠𝑎 2 + (𝑏–1)𝑠𝑏 2] que tem um número de graus de liberdade estimado por: 𝑛(∗) = [𝑠𝑎2+(𝑏−1)𝑠𝑏 2] 2 (𝑠𝑎2)2 𝑛𝑎 + [(𝑏−1)𝑠𝑏 2] 2 𝑛𝑏 (Fórmula de Satterthwaite) 41 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP COMPARAÇÕES ENTRE MÉDIAS DE TRATAMENTOS Após realizarmos os testes de hipóteses da ANOVA nós podemos comparar as médias dos tratamentos primários (A), dos secundários (B) ou as médias dos desdobramentos da interação (A×B), utilizan- do algum método de comparação múltipla, como o teste 𝑡 para con- trastes, o teste de Tukey, Duncan 𝑒𝑡𝑐. 1º Caso: Comparação de médias dos níveis do fator A • Para testar 𝐻0: 𝑌 = 0, em que 𝑌 = 𝑐1𝜇1• + ⋯ + 𝑐𝑎𝜇𝑎•, é um con- traste escolhido 𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖 e 𝜇𝑖• é a média do 𝑖-ésimo tratamento primário, para 𝑖 = 1, 2, …, 𝑎 usamos a estatística 𝑡-Student: 𝑡 = Ŷ √𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜(𝑎) 𝑏𝑟 ∑ 𝑐𝑖 2 𝑖 , com 𝑛𝑎 graus de liberdade. 42 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP • Para testar 𝐻0: 𝜇𝑖• = 𝜇𝑖•∗, para 𝑖 = 1, … , 𝑎 e 𝑖 ≠ 𝑖∗ podemos usar os testes de Tukey: 𝑑𝑚𝑠 = 𝑞(𝑎, 𝑛𝑎) √𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜(𝑎) 𝑏𝑟 ou Duncan: D = 𝑧(𝑚, 𝑛𝑎) √𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜(𝑎) 𝑏𝑟 em que 𝑞(𝑎, 𝑛𝑎) e 𝑧(𝑚, 𝑛𝑎), para 𝑚 = 𝑎, 𝑎–1, , 2 tratamentos en- volvidos na comparação, são constantes encontradas em tabelas apropriadas. 43 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP 2º Caso: Comparação de médias dos níveis do fator B • Para testar 𝐻0: 𝑌 = 0, em que 𝑌 = 𝑐1𝜇•1 + ⋯ + 𝑐𝑏𝜇•𝑏 é um con- traste escolhido 𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖 e 𝜇•𝑗 é a média do 𝑗-ésimo tratamento secundário, para 𝑗 = 1, 2, , 𝑏, usamos a estatística t-Student: 𝑡 = Ŷ √𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜(𝑏) 𝑎𝑟 ∑ 𝑐𝑖 2 𝑖 , com 𝑛𝑏 graus de liberdade. • Para testar 𝐻0: 𝜇•𝑗 = 𝜇•𝑗∗, 𝑗 = 1, … , 𝑏 e 𝑗 ≠ 𝑗∗ usamos os testes de Tukey: 𝑑𝑚𝑠 = 𝑞(𝑏, 𝑛𝑏) √𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜(𝑏) 𝑎𝑟 ou Duncan: 𝐷 = 𝑧(𝑚, 𝑛𝑏) √𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜(𝑏) 𝑎𝑟 44 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Em que 𝑞(𝑏, 𝑛𝑏) e 𝑧(𝑚, 𝑛𝑏), para 𝑚 = 𝑏, 𝑏 − 1, , 2 tratamentos envolvidos na comparação, são constantes encontradas em tabe- las apropriadas. IMPORTANTE: Se a interação 𝐴 × 𝐵 resultar significativa precisare- mos realizar os desdobramentos e posteriormente, comparar as médias dos tratamentos secundários em cada tratamento primá- rio (𝐵. 𝑑. 𝐴𝑖) ou as médias dos tratamentos primários em cada tra- tamento secundário (𝐴. 𝑑. 𝐵𝑗). 45 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP 3o Caso: Comparação entre médias dos tratamentos secundários, B, em um mesmo tratamento primário, A. • Para testar 𝐻0: 𝑌 = 0, em que 𝑌 = 𝑐1𝜇𝑙1 + ⋯ + 𝑐𝑏𝜇𝑙𝑏 é um contras- te escolhido 𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖 e 𝜇𝑙𝑗 é a média do 𝑗-ésimo tratamento 𝐵 em um tramento 𝑙 de 𝐴, para 𝑗 = 1, 2,, 𝑏, nós usamos a estatística t- Student: 𝑡 = Ŷ √𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜(𝑏) 𝑟 ∑ 𝑐𝑖 2 𝑖 , com 𝑛𝑏 graus de liberdade. • Para testar 𝐻0: 𝜇𝑙𝑗 = 𝜇𝑙𝑗∗, 𝑗 = 1, … , 𝑏, 𝑗 ≠ 𝑗∗ e 𝑙 é um dos tratamen- tos primários usamos os testes de Tukey: 𝑑𝑚𝑠 = 𝑞(𝑏, 𝑛𝑏) √𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜(𝑏) 𝑟 46 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Ou Duncan: 𝐷 = 𝑧(𝑚, 𝑛𝑏) √𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜(𝑏) 𝑟 Em que 𝑞(𝑏, 𝑛𝑏) e 𝑧(𝑚, 𝑛𝑏), para 𝑚 = 𝑏, 𝑏–1,, 2 médias envolvi- das na comparação são constantes encontradas em tabelas apro- priadas. 4o Caso: Comparação entre as médias dos tratamentos primários, A, em um mesmo tratamento secundário, B. • Para testar 𝐻0: 𝑌 = 0, em que 𝑌 = 𝑐1𝜇1𝑙 + ⋯ + 𝑐𝑏𝜇𝑏𝑙 é um contras- te escolhido 𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖 e 𝜇𝑖𝑙 é a média do 𝑖-ésimo tratamento 𝐴 em um tratamento 𝑙 de 𝐵, para 𝑖 = 1, 2, …, 𝑎, nós usamos a estatística 𝑡-Student: 47 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP t = Ŷ √𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜(∗) 𝑟 ∑ 𝑐𝑖 2 𝑖 , com 𝑛(∗) graus de liberdade Em que: 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜(∗) = 1 𝑏[𝑠𝑎 2 + (𝑏–1)𝑠𝑏 2] e 𝑛(∗) = [𝑠𝑎2+(𝑏−1)𝑠𝑏 2] 2 (𝑠𝑎2)2 𝑛𝑎 + [(𝑏−1)𝑠𝑏 2] 2 𝑛𝑏 (Fórmula de Satterthwaite) • Para testar 𝐻0: 𝜇𝑖𝑙 = 𝜇𝑖∗𝑙, 𝑖 = 1, … , 𝑎, 𝑖 ≠ 𝑖∗ e 𝑙 é um dos tratamen- tos secundários usamos os testes de 48 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Tukey: 𝑑𝑚𝑠 = 𝑞(𝑎, 𝑛∗)√𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜(∗) 𝑟 ou Duncan: 𝐷 = 𝑧(𝑚, 𝑛∗)√𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜(∗) 𝑟 Em que os valores de 𝑞(𝑎, 𝑛∗) e 𝑧(𝑚, 𝑛∗), para 𝑚 = 𝑎, 𝑎–1,, 2, médias envolvidas no contraste são constantes encontradas em tabelas apropriadas e 𝑛∗ é o número de graus de liberdade calcula- do pela fórmula de Satterthwaite. Continuando a análise do Exemplo 2 em que a interação 𝑬 × 𝑨 resul- tou não significativa, vamos comparar as médias das alturas das plantas submetidas aos três níveis de adubação independente do Es- paçamento usado. 49 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Geralmente Adubação é um fator quantitativo, mas neste exemplo, como desconhecemos seus níveis vamos comparar suas médias pelo Teste de Tukey: 𝑑𝑚𝑠 = 𝑞(3,12,5%) √ 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜(𝑏) 𝑎𝑟 = 3,77√ 30,86 8 = 7,40 Alturas médias (em cm) das plantas submetidas a diferentes níveis de adubação. Adubação Média 𝐴0 49,0 𝑏 𝐴1 69,0 𝑎 𝐴2 65,0 𝑎 Médias seguidas por letras diferentes diferem entre si pelo Teste de Tukey (α = 5%) 50 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Conclusão: Independente do espaçamento utilizado, as plantas que receberam os níveis 𝐴1 e 𝐴2 de adubação tiveram alturas médias iguais entre si e superiores àquelas que receberam o nível 𝐴0 de adu- bação. Como o teste 𝐹 da ANOVA já indicou diferença entre as duas médias de espaçamento, podemos concluir que as mudas do Espaçamento 𝐸1 são mais altas que as mudas do Espaçamento 𝐸2, independente do nível de adubação utilizado. Espaçamento Média 𝐸1 70,0 𝑎 𝐸2 52,0 𝑏 Médias seguidas por letras diferentes diferem entre si pelo teste 𝐹 (α = 5%) 51 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Exemplo 3. Um experimento foi realizado com o objetivo de com- parar os três sistemas de preparo de solo na cultura do milho, bem como determinar a melhor dentre as três cultivares. Utilizou-se o de- lineamento casualizado em blocos com quatro repetições, com os tratamentos dispostos no esquema de parcelas subdivididas, sendo que os níveis do fator Sistema foram aplicados às parcelas e os níveis do fator Cultivar, aplicado às subparcelas. Pede-se: 𝑎) Desenhe um croqui do experimento. 𝑏) Escreva o modelo linear com as suas pressuposições. 𝑐) Realize uma análise de variância completa, com todos os desdo- bramentos e interpretações. Se for necessário, utilize o teste de Tukey para comparar as médias. 𝑑) Apresente os resultados obtidos na forma de tabelas ou gráficos para facilitar o entendimento e visualização dos resultados. 52 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP As produções de grãos (t/ha) foram: Sistema Cultivar Bloco I II III IV S1: Aração A 4,2 4,6 4,5 4,4 B 4,5 4,7 4,3 4,7 C 5,2 5,0 6,8 5,8 S2: Aração+Gradagem A 3,8 4,4 4,8 3,9 B 3,7 3,5 3,1 3,7 C 3,5 3,1 3,4 3,3 S3: Subsolagem A 4,2 4,2 5,2 5,1 B 4,0 3,8 3,7 4,1 C 3,9 3,9 3,7 4,0 Vamos montar as tabelas de totais e médias para auxiliar no cálculo das somas de quadrados. 53 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Totais de parcelas (Sistema  Bloco) Sistema Bloco Total I II III IV S1 13,9(3) 14,3(3) 15,6(3) 14,9(3) 58,7(12) S2 11,0(3) 11,0(3) 11,3(3) 10,9(3) 44,2(12) S3 12,1(3) 11,9(3) 12,6(3) 13,2(3) 49,8(12) Total 37,0(9) 37,2(9) 39,5(9) 39,0(9) 152,7(36) Médias de parcelas (Sistema  Bloco) Sistema Bloco Total I II III IV S1 4,633(3) 4,767(3) 5,200(3) 4,967(3) 4,892(12) S2 3,667(3) 3,667(3) 3,767(3) 3,633(3) 3,683(12) S3 4,033(3) 3,967(3) 4,200(3) 4,400(3) 4,150(12) Total 4,111(9) 4,133(9) 4,389(9) 4,333(9) 4,242(36) 54 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP A partir dessas médias podemos calcular as 𝑆𝑄′𝑠 associadas às par- celas: 𝑆𝑄𝐵𝑙𝑜𝑐𝑜 = 0,5304 𝑆𝑄𝑃𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 = 9,8271 𝑆𝑄𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = 8,9213 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜(𝑎) = 9,8271 − 8,9213 − 0,5304 = 0,3754 Quadro de ANOVA parcial do Exemplo 3 (parcelas) Causa da Variação g.l. SQ QM F Bloco 3 0,5304 0,1768 2,82 Sistema (S) 2 8,9213 4,4607 71,26 Resíduo (a) 6 0,3754 0,0626 - (Parcelas) (11) 9,8271 - - 55 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Totais de subparcelas (Sistema  Cultivar) Sistema Cultivar Total A B C S1 17,7(4) 18,2(4) 22,8(4) 58,7(12) S2 16,9(4) 14,0(4) 13,3(4) 44,2(12) S3 18,7(4) 15,6(4) 15,5(4) 49,8(12) Total 53,3(12) 47,8(12) 51,6(12) 152,7(36) Médias de subparcelas (Sistema  Cultivar) Sistema Cultivar Total A B C S1 4,425(4) 4,550(4) 5,700(4) 4,892(12) S2 4,225(4) 3,500(4) 3,325(4) 3,683(12) S3 4,675(4) 3,900(4) 3,875(4) 4,150(12) Total 4,442(12) 3,983(12) 4,300(12) 4,242(36) 56 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP A 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 é calculada da mesma forma que nos exemplos anterio- res, obtendo-se: 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 20,5275. Com base nos valores (totais ou médias) apresentados nas tabelas anteriores obtemos: 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 = 16,3400 𝑆𝑄𝐶𝑢𝑙𝑡𝑖𝑣𝑎𝑟 = 1,3253 𝑆𝑄(𝑆×𝐶) = 16,3400 − 8,9213 − 1,3253 = 6,0934 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜(𝑏) = 20,5275 − 9,8271 − 1,3253 − 6,0934 = 3,2817 Com todos as 𝑆𝑄’s calculadas podemos montar o quadro de ANOVA final. 57 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Quadro de ANOVA do Exemplo 3 - Produção de grãos de milho Causa da Variação g.l. SQ QM F Bloco 3 0,5304 0,1768 2,82 Sistema (S) 2 8,9213 4,4607 71,26 Resíduo (a) 6 0,3754 0,0626 - (Parcelas) (11) 9,8271 - - Cultivar (C) 2 1,3253 0,6627 3,64 Interação S×C 4 6,0934 1,5234 8,36 Resíduo (𝑏) 18 3,2817 0,1823 - Total 35 20,5275 - - 𝑦̅••• = 4,242 𝑡/ℎ𝑎 𝑠𝑎 2 = 0,0626 𝑠𝑏 2 = 0,1823 𝐶𝑉(𝑎) = 100 √0,0626/4 4,242 = 2,95% 𝐶𝑉(𝑏) = 100 √0,1823 4,242 = 10,07% 58 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Teste da interação: 𝐻0: não existe interação entre os níveis dos fatores 𝑆 e 𝐶 𝐻1: existe interação entre os níveis dos fatores 𝑆 e 𝐶 Como o valor 𝐹𝑐𝑎𝑙𝑐 = 8,36 é superior ao valor 𝐹𝑡𝑎𝑏(4; 18) = 2,93, nós rejeitamos 𝐻0, ao nível de significância de 5% e concluímos que existe interação entre os Sistemas de preparo de solo e as Cultiva- res. (1) Desdobramento para comparar as três Cultivares em cada um dos Sistemas de preparo do solo (S1, S2 e S3). Vamos testar: 𝐻02: 𝜇𝐴 = 𝜇𝐵 = 𝜇𝐶 𝐻𝑎2: pelo menos duas médias diferem entre si 59 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Médias de subparcelas (Sistema  Cultivar) Sistema Cultivar Total A B C S1 4,425(4) 4,550(4) 5,700(4) 4,892(12) S2 4,225(4) 3,500(4) 3,325(4) 3,683(12) S3 4,675(4) 3,900(4) 3,875(4) 4,150(12) Total 4,442(12) 3,983(12) 4,300(12) 4,242(36) Utilizando a tabela de médias de subparcelas obtemos: 𝑆𝑄𝐶𝑑𝑆1 = 3,9517 𝑆𝑄𝐶𝑑𝑆2 = 1,8217 𝑆𝑄𝐶𝑑𝑆3 = 1,6550 60 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Quadro de ANOVA auxiliar F. variação g.l. SQ QM F Cultivar d.(S1) 2 3,9517 1,9759 10,84 * Cultivar d.(S2) 2 1,8217 0,9109 5,00 * Cultivar d.(S3) 2 1,6550 0,8275 4,54 * 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜(𝑏) 18 3,2817 0,1823 - Conclusão: Como 𝐹𝑐𝑎𝑙𝑐 > 𝐹𝑡𝑎𝑏(2;18) = 3,55 para S1, S2 e S3, rejeita- mos 𝐻02 e concluímos que a produção média de grãos de pelo me- nos duas cultivares diferem entre si em cada um dos três Sistemas de preparo do solo. Para realizar o teste de Tukey: 𝑑𝑚𝑠 = 3,61√ 0,1823 4 = 0,771 61 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Sistema Cultivar S1 S2 S3 A 4,425 𝑏 4,225 𝑎 4,675 𝑎 B 4,550 𝑏 3,500 𝑎𝑏 3,900 𝑏 C 5,700 𝑎 3,325 𝑏 3,875 𝑏 Médias seguidas por letras distintas na mesma coluna diferem entre si pelo teste de Tukey (5%) Conclusões: A cultivar C apresentou maior produção média de grãos no sistema S1 (Aração) e a cultivar A, no sistema S3 (Subsolagem). Já no sistema S2 (Aração + Gradagem), a produção média da cultivar A só foi melhor que a da cultivar C. Também podemos apresentar esses resultados do teste de Tukey em gráficos de colunas (se possível, incluir barras de erros). 62 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Médias de produção das cultivares em cada sistema de preparo de solo 63 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP (2) Desdobramento para comparar os três sistemas de preparo de solo para cada uma das Cultivares: 𝐻03: 𝜇𝑆1 = 𝜇𝑆2 = 𝜇𝑆3 𝐻𝑎3: pelo menos duas médias diferem entre si Médias de subparcelas (Sistema  Cultivar) Sistema Cultivar Total A B C S1 4,425(4) 4,550(4) 5,700(4) 4,892(12) S2 4,225(4) 3,500(4) 3,325(4) 3,683(12) S3 4,675(4) 3,900(4) 3,875(4) 4,150(12) Total 4,442(12) 3,983(12) 4,300(12) 4,242(36) 64 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Utilizando a tabela de médias de subparcelas obtemos: 𝑆𝑄𝑆𝑑𝐶𝐴 = 0,4067 𝑆𝑄𝑆𝑑𝐶𝐵 = 2,2467 𝑆𝑄𝑆𝑑𝐶𝐶 = 12,3650 Com 𝑠𝑎 2 = 0,0626, 𝑠𝑏 2 = 0,1823, 𝑛𝑎 = 6 e 𝑛𝑏 = 18, temos que: 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜(∗) = 1 3 [0,0626 + (3 − 1)0,1823] = 0,1424 𝑛∗ = [0,0626+(3−1)0,1823]2 (0,0626)2 6 +[(3−1)0,1823]2 18 = 0,1825 0,0080 = 22,81 ≅ 23 graus de liberdade 65 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Quadro de ANOVA auxiliar F. variação g.l. SQ QM F Sistema d.(A) 2 0,4067 0,2034 1,43 𝑛𝑠 Sistema d.(B) 2 2,2467 1,1234 7,89 * Sistema d.(C) 2 12,3650 6,1825 43,42 * 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜(∗) 23 - 0,1424 𝐹𝑡𝑎𝑏(2; 23) = 3,42 A hipótese 𝐻03 não é rejeitada para a cultivar A, indicando que para esta cultivar, as produções médias de grãos nos três sistemas são iguais. Já para as cultivares B e C, o teste F indica que pelos menos dois sistemas apresentam produções médias distintas. 66 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Vamos comparar as produções médias dos três sistemas para as cultivares B e C com o teste de Tukey: 𝑑𝑚𝑠 = 3,53√ 0,1424 4 = 0,666 Cultivar Sistema A B C Aração 4,225 𝑎 4,550 𝑎 5,700 𝑎 Aração+Gradagem 4,425 𝑎 3,500 𝑏 3,325 𝑏 Subsolagem 4,675 𝑎 3,900 𝑎𝑏 3,875 𝑏 Médias seguidas por letras distintas na mesma coluna diferem entre si pelo teste de Tukey (5%) 67 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Conclusões: • A Aração foi o sistema que apresentou uma maior produção média para a cultivar C. • Para a cultivar B a Aração apresentou uma maior produção média que Aração+Gradagem. • Já para a cultivar A os três sistemas proporcionaram a mesma produção média de grãos. Também podemos apresentar os resultados dos testes de Tukey em um gráfico de colunas. 68 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Médias de produção dos sistemas de preparo de solo em cada cultivar Cultivar Sistema C B A S3 S2 S1 S3 S2 S1 S3 S2 S1 6 5 4 3 2 1 0 Prod uçã o de g rã os (t/ha) b b a ab b a a a a 69 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Exercício. Experimentos em que se avalia uma variável resposta ao lon- go do tempo nas mesmas unidades experimentais são chamados experi- mentos longitudinais ou experimentos com medidas repetidas no tempo. Os dados gerados por esses experimentos podem ser analisados como de um experimento em parcelas subdivididas (no tempo). Um experimento foi conduzido para estudar o efeito de 3 diferentes dro- gas no batimento cardíaco de bovinos de corte. Depois de administrada cada droga, o número de batimentos cardíacos de cada animal foi medido de 5 em 5 minutos durante 20 minutos. Admitiu-se um delineamento casualizado em blocos com 8 repetições por tratamento e um esquema de parcelas subdivididas no tempo, onde droga (D, com os níveis I, II e III) é o tratamento primário aplicado às parcelas e tempo (T, com os níveis 5, 10, 15 e 20) é o tratamento secundário associa- do às subparcelas. 70 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP As 𝑆𝑄´𝑠 e algumas informações sobre os números de graus de liberdade são apresentadas no quadro de ANOVA: Causas de variação g.l. SQ QM F Blocos 7 462,29 Droga (D) 2 1251,65 Resíduo (a) 1828,02 (Parcelas) (3541,96) Tempo (T) 3 228,04 Interação DxT 492,77 Resíduo (b) 489,19 Total 95 4751,96 71 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Pede-se: a) Complete o quadro de ANOVA, realize os testes de hipóteses que julgar necessário e comente sobre os resultados obtidos. b) Calcule os CV´s e comente. c) Se a interação 𝐷 × 𝑇 resultar significativa, realize o desdobramento vi- sando comparar os tempos em cada uma das drogas. A seguir, faça um estudo completo de regressão, separado para cada droga, para explicar a variação do número de batimentos em função do tempo após a admi- nistração da droga. d) Verifique se há diferença entre as médias do número de batimentos das três drogas somente no final do experimento (Tempo=20). Utilize as informações da tabela seguinte que apresenta os totais de ba- timentos por droga e por tempo. 72 Material preparado pelo Prof. Dr. César Gonçalves de Lima – FZEA/USP Totais do número de batimento por tempo e por droga Tempo Droga 5 10 15 20 Total I 582 579 572 570 2303 II 654 657 637 638 2586 III 564 644 648 585 2441 Total 1800 1880 1857 1793 7330