Notas de Análise Matemática 2021-2

Notas de Analise Eduardo Hernandez, Michelle Pierri 1 Ementa Programa: Fun¸c˜oes de v´arias vari´aveis reais a valores reais: Revis˜ao dos t´opicos, via c´alculos e exemplos elaborados, de limite de fun¸c˜oes, fun¸c˜oes cont´ınuas, opera¸c˜oes entre fun¸c˜oes cont´ınuas; fun¸c˜oes diferenci´aveis, derivada parcial, derivada direcional, gradiente, teorema do valor m´edio e suas aplica¸c˜oes, regras de deriva¸c˜ao, regra da cadeia e aplica¸c˜oes. Introdu¸c˜ao `a otimiza¸c˜ao: fun¸c˜oes cˆoncavas, convexas, quase-cˆoncavas, quase convexas, pseudo-cˆoncavas, pseudo-convexas e exemplos. F´ormula de Taylor com aplica¸c˜oes `a teoria de m´aximos e m´ınimos de fun¸c˜oes de v´arias vari´aveis a valores reais. Teorema da Fun¸c˜ao Impl´ıcita. Multi- plicadores de Lagrange e Lagrangeano. O problema geral de otimiza¸c˜ao, condi¸c˜oes de ´otimo local e global. Problemas de otimiza¸c˜ao com restri¸c˜oes de igualdade e desigualdade. T´opicos para semin´arios: teorema de Kuhn e Tucker; fun¸c˜oes em economia; fun¸c˜ao de Cobb Douglas: hist´oria, exemplos e aplica¸c˜oes; teorema do envelope; exemplos e diferen¸cas entre fun¸c˜oes convexas, quase convexas e pseudo-convexas. 1 2 Funcoes de varias varidveis reais com valores reais Nesta primeira segao, vamos supor que f : Dr C R™ +> R é uma fungao e que seu dominio Dy é um conjunto aberto. No espago R™ sempre usaremos a distancia usual, que é dada por ||z — yl, = oj), (% — ys)? se @ = (@1,...,%m) ey = (y1,---, Ym). Além disso, um vetor v € R™ sempre seré representado na forma v = (v1,...,Um) e B,[v, R™], B,[v, R™] sao os conjuntos definidos por B,(v,R”) = {x ER”: |x -v|| <1, B,[v,R"™] = {xe ER”: |x -v|| <r. (1) No que segue, vamos a fazer uma revisao de alguns conceitos basicos, incluindo conti- nuidade e diferenciabilidade. Iniciamos, com o conceito de fungao continua, incluindo varios exemplos, propriedades e exercicios. 3 Funcoes continuas Nesta secao iniciamos nossos estudos sobre funcoes de variavel vetorial e com valores reais. Comecamos considerando alguns elementos basicos da teoria de fungoes continuas. Definigao 2. Suponha que a € Dy. Dizemos que limz_,q f(x) = a se para todo € > 0 existe 5 >0 tal que | f(x) —a@ |< para todo x € Dy tal que ||x — all < 6. Definigao 3. Dizemos que f : Dp C R™ + R € continua ema € Dy, se limz4a f(x) = f(a), equivalentemente, se para todo € > 0 existe 6 > 0 tal que ||f(a) — f(y)|| < € sey € Dy e la — y|| < 6. Dizemos que f é continua (ou continua em Dy), se f & continua em cada elemento x € Dy. 3.1 Exercicios oe : sin(x?+y7) 1. Estude o limite lim(a.y)-+0 Toc0s(/a2+y? 2. Estude o limite lim,,,y).0 f(a, y) sendo f : R* > R dada por 1—cos(,/|xy]) fzy)= eo y #0, 0 xr=0. (a) Em particular, estude os limites lim x lim x lim x lim x Coy god | +Y); Capt y aot +); Coop ht co! +Y); Coat +Y) (b) O limite existe lim, ).0 f(x,y) existe ? limi y) 40 f(a, y) = 02. . . 2 . . 2 3. Estude se lim;_,9 limy_40 Page = limy+o limg_+0 wage: 4. Estude a seguinte afirmagao: Se f : Dy C R? +4 R é uma funcao continua em Dye a = (a1,a2) € Dy, entao lim,_,,, limy.a, f(v,y) = limya, limg4a, f(x,y). 5. Estude a seguinte afirmacdo: Se f,g : A C R? 4 R sao continuas, A aberto e a = (a1,@2) € Dy, entao limg-,a, limy+a, fe = limy-+a, limz-+a, fee ed xsin(=), 0, 6. Seja f : R? > R dada por f(z, y) = (3) uF 0 y =0. 9 (a) Estude se o limite lim(z) 40 f(@, y), (b) limg-,o limyo f(x, y) = limy-s0 limz-40 f(z, y).? 7. Suponha que f : Dy C R? > R 6 continua em a = (a1, a2) € Dy. Se €: (a, —€,a1 +€) é uma fungéo continua e (a1) = a2, prove que lim: 4a, f(t, €(t)) = f(a1, a2). 8. Estude se a funcao f : R? > R dada por a f(x y) _— rae (x,y) # 0, 0 (x,y) =0, é continua em 0. 9. Estude se a funcdo f : R? > R dada por a 3 f(x y) = ae (x,y) £0, 0 (x,y) =0, é continua em 0. 10. Estude se a funcao f : R? > R dada por sin(a?+y? fey) -) (x,y) #0, 0 (x,y) = 0, é continua em 0. 11. Existe a € R de modo que a funcao f : R? — R dada por xy? f(x,y) = 4 (241)? =1" ey) #0, a—4 (x, y) = 0, seja continua em 0. ? 12. Prove que a fungao f : R™ — R dada por f(x) = $7", 27 6 continua. 13. Estude se a fungao f : R™ — R dada por dada por fay -f Se (#0, 0 (x,y) =0, é continua em 0. 14. Estude se a fungao f : R™ — R dada por moet f(a) = 2aetiy, (x,y) £0, 0 (x,y) =0, é continua em 0. 15. Estude se a funcao f : R? > R dada por Te (x,y) #0 _ e2+y? ’ ’ ’ f(x,y) 0 (x,y) =0, é continua em 0. Q 16. Estude se a fungao f : R™ — R dada por Hj21 ei f(x) = ym, ae? (x,y) £0, 0 (x,y) =0, é continua em 0. 17. Sejam p€ Ncom p>3e7=1,...,m. Estude se a funcao f : R™ > R dada por v5 Wea igs Vi J a st FJ f(x) _— x? ’ (x,y) #0, 0 (x,y) = 0, é continua em 0. 18. Sejan EN. Estude se a funcao f : R? > R dada por xy” f(x,y) = azf+y2? (x,y) £0, 0 (x,y) = 0, é continua em 0. . b ~ . 19. Seja A = ( “ d ) € M(2,2) e f : R? = Ra funcao definida por f(x) = xAat. c Mostre que f(-) é continua. (x? = ( “1 ) se = (#1, %2)). v2 20. Seja A € M(n,n) e f : R" +R a funcao definida por f(z) = zAxr?. Mostre que f(-) é continua. 21. Seja f : IR” — Ra fungao definida no exercicio anterior. Estude o limite lim,_,9 Tl = . T lim,.-+0 a. 22. Suponha que \: Rt Re f : R” > R sao continuas. Mostre que a composicao 0 f é uma funcao continua. 23. Suponha que f : R? + R é uma funcao continua e que f(x,y) = 0 se x, y sao racionais. Mostre que f(-) 6 uma fungao constante. No que segue, provamos alguns resultados qualitativos sobre fungoes continuas. Proposigao 4. A fungao f é continua ema € Dz © (f(tn))nen > f(a) para toda sequéncia (tn)nen em Dy que converge para a. Prova: Suponha que f é continua em a € A e que (%p)nen 6 uma sequéncia formada por elementos de A que converge para a. Da definicgéo de fungao continua, para € > 0 existe N. € N tal que || f(a) — f(y)|| < €, quando y € Ae |la — y|| < 6. Como (a)nen converge para a, existe Ns € N tal que ||z, — x|| < d(€) para todo n > N,. Do anterior, temos que \|f(an) — f(x)|| < € para todo n > N,, 0 que prova que (f(%n))nen converge para > f(a). Suponha agora que (f(%n))nen > f(a) para toda sequéncia (2%n)nen formada por ele- mentos de A que converge para a. Se f nao é continua em x, entdo existe « > 0 tal que para cada n € N existe x, € A tal que ||x, — al| < 4 e ||f(zn) — f(a)|| = €. Do anterior vemos que (%n)nen Converge para a e que (f(2n))nen ndo converge para f(a), o que contradiz a hipotese. Portanto, f é continuaem a. Hf O préximo resultado esta relacionado com a questao da existéncia de maximos e minimos de fungoes continuas, assunto basico na teoria de otimizacao. Para isto é conveniente lembar dos conceitos de supremo é infimo. Nas proximas definigdes A é um subconjunto de R. A Defini¸c˜ao 5. Dizemos que α ∈ R ´e um cota superior de A se α ≥ a para todo a ∈ A. Similarmente, dizemos que β ∈ R ´e uma cota inferior de A se β ≤ a para todo a ∈ A. Defini¸c˜ao 6. Dizemos que A ⊂ R ´e limitado superiormente se existe uma cota superior de A. Dizemos que A ⊂ R ´e limitado inferiormente se existe uma cota inferior de A. Se A ⊂ R ´e limitado superiormente e inferiormente, diremos que A ´e limitado. Exemplo 7. Os conjuntos N = {1, 2, 3, . . . , N, ...}, [0, ∞), ∪n∈N[ n n+1 + 2n2 n+1] s˜ao limita- dos inferiormente, mas n˜ao superiormente. O conjunto dos n´umeros inteiros e o conjunto {(−1)n 2n2 n+1 : n ∈ N} n˜ao s˜ao limitados nem inferior, nem superiormente. Os intervalos da forma (a, b), [a, b], [a, b) sendo a, b n´umeros reais, s˜ao limitados. Defini¸c˜ao 8. Suponha que A ⊂ R ´e limitado superiormente. Dizemos que α ∈ R ´e m´aximo de A se α ≥ a para todo a ∈ A e α ∈ A. Un n´umero α ∈ R ´e chamado m´ınimo de A se β ≤ a para todo a ∈ A e α ∈ A. Defini¸c˜ao 9. (Supremo e ´ınfimo) Suponha que A ´e limitado superiormente. Dizemos que α ∈ R ´e o supremo de A se α ´e cota superior e se α ≤ β para todo β ∈ R cota superior de A. Similarmente, se a A ´e limitado inferioremente, dizemos que α ∈ R ´e o ´ınfimo de A se α ´e cota inferior e se α ≥ β para todo β ∈ R cota inferior de A. Observa¸c˜ao 10. O supremo (´ınfimo) de um conjunto A ser´a denotado por sup A (inf A) . Exerc´ıcio 11. Suponha que A ⊂ R ´e limitado superiormente. Prove que se o supremo de A existe, ent˜ao ´e ´unico. Da mesma forma, suponha que A ⊂ R ´e limitado e prove que o ´ınfimo de A, se existe, ´e ´unico. Exerc´ıcio 12. Suponha que A ⊂ R ´e limitado superiormente e que α = sup A existe. Prove que existe uma sequˆencia formada por elementos de A que converge para α. Prove um resultado similar para o ´ınfimo de um conjunto. O proximo resultado ´e uma carateriza¸c˜ao anal´ıtica do conceito de supremo. Lema 13. Um n´umero α ∈ R ´e supremo de A ⇔ α ´e cota superior de A e para cada ϵ > 0 existe x ∈ A tal que x > α − ϵ. Prova: Suponha que α = sup A. ´E obvio que α ´e cota superior. Se a segunda propriedade n˜ao ´e satisfeita, ent˜ao existe ϵ > 0 tal que A ∩ (α − ϵ, α) = ∅ o que implica que α − ϵ ≥ a para todo a ∈ A. Como α − ϵ < α, segue do anterior que α n˜ao pode ser o supremo de A. Seja β = sup A e suponha que α ∈ R ´e uma cota superior de A tal que para cada ϵ > 0 existe x ∈ A tal que x > α − ϵ. ´E obvio que β ≤ α. Se β < α, ent˜ao existe a ∈ A tal que (α − (α−β) 2 < a. Como a ≤ β, segue que (α − (α−β) 2 < β, o que implica α < β. Do anterior temos que β ≤ α e que a desigualdade β < α n˜ao pode acontecer. Portanto, β = α. A prova est´a completa. Se A ´e limitado superiomente (inferiormente), n˜ao temos nenhum argumento, nem re- sultado matem´atico anterior que nos permita afirmar que o supremo (o ´ınfimo) de A existe. Isto motiva introduzir um Axioma. Como j´a sabemos, um axioma matem´atico ´e um pro- priedade que aceitamos como verdadeira. Muitas vezes, um axioma ´e uma propriedade que pode parecer evidente, obvia, e ´e justamente essa obviedade, essa simplicidade o que n˜ao permite provar a propriedade. (A) Axioma 1: Se A ⊂ R ´e limitado superiormente, ent˜ao A possu´ı supremo. Uma das mais importantes consequˆencias do Axioma anterior, ´e apresentada na seguinte proposi¸c˜ao. Como esta propriedade ´e estudada na disciplina anterior de an´alise, n˜ao in- clu´ımos a prova. 5 Proposi¸c˜ao 14. Se (xn)n∈N ´e uma sequˆencia limitada de n´umeros reais, ent˜ao existe uma sub-sequˆencia de (xn)n∈N que ´e convergente. Exerc´ıcio 15. Suponha que A ⊂ R e que α = sup A. Prove que existe uma sequˆencia formada por elementos de A que converge para α. Prove um resultado similar para o ´ınfimo de um conjunto. Defini¸c˜ao 16. Dizemos que A ⊂ Rm ´e compacto se A ´e fechado e limitado. Para provar o pr´oximo resultado, precissamos dos seguites exercicios, os que seguem da teoria desenvolvida na disciplina de an´alise. Exerc´ıcio 17. Prove que A ⊂ Rm ´e fechado ⇔ toda sequˆencia convergente formada por elementos de A converge para um elemento de A. Exerc´ıcio 18. Se (xn)n∈N ´e uma sequˆencia limitada em Rm, ent˜ao (xn)n∈N possui uma sub-sequˆencia convergente. Proposi¸c˜ao 19. Seja A ⊂ Rm. O conjunto A ⊂ Rm ´e compacto ⇔ toda sequˆencia formada por elementos de A, possui uma subsequˆencia convergente a um ponto de A. Prova: Suponha que A ´e compacto. Seja (xn)n∈N uma sequˆencia formada por elementos de A. Como a A ´e limitado, (xn)n∈N ´e limitada e da teoria geral de sequˆencias sabemos que e existe uma subsequˆencia (xnj)j∈N de (xn)n∈N e x ∈ Rm tal que (xnj)j∈N → x. Usando agora que A ´e fechado, obtemos que x ∈ A. Suponha agora que toda sequˆencia formada por elementos de A, possui uma subsequˆencia convergente a um elemento de A. Se A n˜ao ´e limitado, para cada n ∈ N existe xn ∈ A tal que ∥xn∥ ≥ n, o que implica que (xn)n∈N diverge. Por outro lado, da hip´otese sabemos que a sequˆencia (xn)n∈N possui uma subsequˆencia, que notamos (xnj)j∈N que converge a alg´um x ∈∈ A. O anterior ´e absurdo. Logo, A ´e limitado. Para finalizar, mostremos que A ´e fechado. Seja (xn)n∈N uma sequˆencia formada por elementos de A e suponha que converge para x ∈ Rm. Pela hip´otese, existe uma subsequˆencia (xnj)j∈N de (xn)n∈N que converge a um elemento a ∈ A. Como toda subsequˆencia de (xn)n∈N converge para x ∈ Rm, segue que x = a ∈ A. Como a sequˆencia (xn)n∈N ´e arbitraria, do Exercicio 17 conclu´ımos que A ´e fechado. Proposi¸c˜ao 20. Suponha que f : Df ⊂ Rm → R uma fun¸c˜ao cont´ınua. Se K ⊂ Df ´e compacto, ent˜ao f(K) ´e compacto. Prova: Mostraremos o resultado usando a Proposi¸c˜ao 19. Suponha que (yn)n∈N ´e uma sequˆencia formada por elementos de f(K). Neste caso, para cada n ∈ N existe xn ∈ K tal que f(xn) = yn. Como (xn)n∈N ´e uma sequˆencia formada por elementos de K e K ´e compacto, temos que existe uma subsequˆencia(xnj)j∈N de (xn)n∈N e x ∈ K tal que (xnj)j∈N → x. Usando agora que f ´e cont´ınua, vemos que ynj = f(xnj) → f(x) ∈ f(K) quando j → ∞. Portanto, (yn)n∈N possui uma subsequˆenciaque converge a um elemento de f(K). Isto mostra que f(K) ´e compacto. Proposi¸c˜ao 21. Suponha que f : A ⊂ Rm → R ´e cont´ınua e que K ⊂ A ´e compacto. Ent˜ao existem x, y ∈ K tais que f(x) = supz∈K f(z) e f(y) = infz∈K f(z). Prova: Sabemos pelo Teorema anterior que f(K) ´e compacto, o que implica que ´e limitado e que α = supz∈K f(z) existe. Da defini¸c˜ao de supremo, para cada niN existe kn ∈ K tal que α − f(kn) ≤ 1 n. Como a sequˆencia (kn)n∈N est´a contida em K e K ´e compacto, da 6 Proposigao 19 sabemos que existe uma subsequéncia (kn, )j;en de (kn)nen e k € K tal que (kn; )jen + k se k + oo. Usando agora que f(-) é continua, vemos que . . 1 0<a-—f(k)=a-— lim f(k,,) < lim — =0, joo 4 jroo nj o que prova que a = f(k). A prova da existéncia de y é similar e a deixamos como exercicio. 3.2 Exercicios Prove os seguintes resultados. Proposigéo 22. Suponha que f(-) € continua e que K C Dy é compacto. Mostre que o problema Maximizarrer f(x) tem pelo menos uma solugao. Proposicgao 23. Suponha que f,g: Dp CR™ 4 R sao continuas, cE Re g7'(c) = {@ € Dy : g(x) = c} € compacto e nado vazio. Mostre que o problema Maximizarzeg-1(c) f(x), tem pelo menos uma solugao. Proposigao 24. Suponha que f,g: Dp CR” + R sao continuas, Dy é€ limitado, c € R e g '(c) = {a € Dy : g(x) = c} € fechado e nao vazio. Mostre que o problema Masximizarzeg-1(c)f (2), tem pelo menos uma solugao. 3.3. Exercicios 1. Estudar as seguintes afirmacoes. (a) Se f : R™ > R é uma fungao continua e B C R™ 6 limitado, entao f(B) é limitado. (b) Se Dy é aberto e limitado e f : Dp + R é continua, entao f(D) é limitado. (c) Se B C R™ é compacto e SC B é fechado entao S é compacto. 4 Funcoes diferenciaveis O objetivo desta secao é estudar algumas questoes basicas da teoria de fungoes diferenciai- ves. Em particular, estudaremos uma versao simplificada do Teorema da funcao implicita e alguns criterios sobre maximos é minimos. Comecamos introduzindo o conceito de derivada direcional. Definigao 25. Seja v € R™. A derivada direcional de f no ponto x € Dy na diregad de v é definida, se o limite existe, por hv) — an Ltt hv) ~ Fla) h—-0 h 7 Observagao 26. No que segue, no caso que a derivada direcional de f no ponto x na direcao de v exista, usaremos a notacao Sf (x) para o limite anterior. Se v = e; para algum i, entao escreveremos ZF (a). As derivada direcional 2 (x) é chamada de i-esima derivada parcial de f em zx. Observagao 27. Nos exercicios a seguir, apresentamos alguns fatos que sao importantes de considerar. 4.1 Exercicios 1. A existencia das derivadas parciais nao implica a existencia das derivadas direcionais. zy 0 Em relacao ao anterior, estude as funcdes f(z,y) = ¢ +’ (z,y) #0, e 0 (x,y) =0. _ f @+y r=0Vy=0), 2. A existencia das derivadas direcionais nao implica a continuidade de f em x. Em relacao ao anterior, estude a fungao ay flay =} ee (eu) A (28) 0 (x,y) = 0. 3. Se f é uma fungao constante, entao oF (xr) = 0 para todo x € Dy. 4. Se T: R™ + R é uma transformagao linear, entao oF (x) = T(v) para todo z € R™. Lema 29. (Valor médio) Suponha que x € Dp ev € R™, v £0 sao tais quex+vue€ Dy, a fungao f é€ continua em [x,x +] = {x + Ou : 0 © [0,1]} e que of (x) existe para todo y € («,x+0). Entdo existe 6 € (0,1) tal que f(x+v) — f(x) = of (ag + 0v). Prova: Seja € : [0,1] > R a fungao definida por €(t) = f(x +tv). A funcao € é continua em [0, 1] e €’(s) existe para todo s € (0,1). De fato, para s € (0,1) tem-se que h)- h)v) — ei(s) = tim $ELM=ES) pg, Let (5+ Ayo) = Fle +50) h—-0 h h—+0 h — iim f(a+su+ hv) — f(x t+ sv) h—+0 h O = clin + sv). (30) Usado agora o Teorema do valor medio para funcoes diferenciaveis, vemos que existe 6 € (0,1) tal que (1) — €(0) = €’(0) -1= f(x + 6v), o que completa a prova. Ml Corolario 31. Suponha que x € Ds, 6 >0 eve R™, v £0, sao tais que x + du € Ds, a fungao f é continua em [x,x + dv] = {x + Oou: 6 © [0,1]} e que of (er) existe para todo y € (,a+6v). Entao existe 6 € (0,1) tal que f(a+v) — f(x) = f(x + 06v)6. Prova: A prpva segue da prova do Lemma 29. Neste caso, definimos € : [0,6] > R por &(t) = f(a + tv). Como antes, €(-) é continua em [0,6] e €’(s) existe para todo s € (0,6). Além do anterior, do Teorema do valor medio para fung6es diferenciaveis de varidvel real com valores reais, sabemos que existe 6 € (0,6) tal que €(6) — €(0) = €'(0)6 = of (x + Ov)6, o que completa a prova. Corolario 32. Suponha que Dy € convexo e que of (x) = 0 para todo v € R™, v £0 e cada x ER”. Entao f € uma fungao constante. Q Prova: Sejam « € Dy. Como U é convexo, se y € Dy temos que {(1—)a+ty:t € (0,1)} Cc Dy;. Usando agora o lema anterior, vemos que para v = y — @, existe 0, € (0,1) tal que f(a+v)—f(2) = &L (x + Ov) = 0, 0 que implica que f(y) = f(w+v) = f(x). Como z é fixo e y € arbitrario, segue do anterior que f(-) 6 uma funcao constante. Mt Exercicio 33. 1. Seja f : R? + R a funcao dada por f(x,y) = \/| xy |. Estude se as derivadas parciais de f em (0,0) existem e se é continua em (0,0). As derivadas direcionais de f em (0,0) existem ?. 2. Calcule as derivadas parciais da fungéo f : R24 R dada por a? sin(=) + y* sin(;), xy £0, He.y) = x” sin(4) x#0,y =0, we y sin(;) y #0,2 =0, 0 y =0,2 =0, As funcoes gt e of sao continuas em (0,0) ?. 4.2 Funcoes diferenciaveis Introduzimos agora um dos conceitos mais importantes do calculo. Definigao 34. Dizemos que f é diferenciavel em x € Dy se existe uma transformagao linear df, :R™ — Re uma fungao r, : R™ — R tal que e ae — O0ash— 0. Se f(-) é diferenciavel em todo « € Dy, diremos que f(-) é diferenciavel em Dy, ou simplesmente, que f(-) é diferenciavel. Exercicio 35. Considere os seguintes exercicios sobre transformacoes lineares. 1. Prove que se T : R™ + R é uma transformacao linear, entao existem numeros reais Q1,.--,Am tais que T(v) = ie u;Q; para todo v = (v1,...,Um). Mais ainda, a; = T(e;) para cada i = 1,...m. 2. Se S,T : R™ + R sao transformagoes lineares e T(e;) = S(e;) para cada i = 1,...m, entéo T(x) = S(x) para todo x € R™. 3. Generalize o exercicio anterior para o caso de uma transformagao linear T : R™ + R”. 4. Prove que toda transformacao linear T : R™ +> R” é continua. Como consequéncia dos exercicios anteriores, vemos que a Definicao 34 é equivalente a seguinte. Definigao 36. Uma fungao f é diferenciavel em x € Dy se existem nuimeros reais Q1,...,m e uma fungao r, : R™ > R tal que m i=1 e ate >O0ash— 0. Exercicio 37. Considere os seguintes exercicios. 0) 1. Se F: R™ > R é tal que F(x) = c para todo «, entao F é diferenciavel, df,(h) =0e rz(h) = 0 para todo x e cada h. 2. Uma transformagao linear T : R” > R é diferenciavel. Além disso, dT,(h) = T(h) e rz(h) = 0 para todo x e cada h. 3. Sejai € {1,...,m}. A funcao f :R™ > R dada por f(21,...,%m) = x? é diferenciavel. De fato, note que para x,h € R™, f(a +h) — f(a) = (a +h)? — a? = 2ajhy +h? = dfyh + rz(h), sendo dfrh = 2xjhj e rx(h) = h?. E fazil ver que df, 6 uma transformacao linear e Iro(h)| _ __h? ja hj [m2 s como TAT = Jar he < Sam < jt hs —+ 0 se \|h|| nd 0, obtemos que f e diferenciavel. 4. Mostre que a fungao f : R” — R dada por f(x, 16+; 0m) = a? n EN, é diferenciavel, e que dfrh = na} thy e reh = yy a} hy. 5. Mostre que a fungao f : R™ — R dada por f(a1,...,%m) =e", n EN, é diferenciavel. Achar df,h e rah = 0, x Thi. 6. Estude a diferenciabilidade da funcgao wy fry) = FF ey) 2% (38) 0 (x,y) = 0. Calcule as derivadas parciais e direcionais. As derivadas parciais existem em (0,0) ? As derivadas parciais sao continuas em (0,0) ? A fungao é diferenciavel em zero ? No que segue sao estabelecidas algumas propriedades das funcoes diferenciaveis. Proposigao 39. Se f é diferenciavel em x, entao as funcoes df, rz na definigao de fungao diferenciavel sao unicas, ou seja, se onde df,,T, sao transformacoes lineares, ot —-O0e ot > 0 seh 0, entao df,(h) = Tz(h) € rz(h) = s2(h) para todo h = (hi,...,hm) tal quex+he Ds. Prova: Nas condigoes anteriores, para h = (0,...,0,2:,0,...,0) com +h € Dy vemos que Te(h) — S2(h) = dfx(h) — Tr(h) = dfx( > hje;) — 8e(D> hye;) j=l j=l Usando agora que ||h|| =| Ah; |, segue que hidfx ey) — hjSy ey Ter h — Sx h | dfe(es) — se(e) = Pe) eet) _ ral) aot, 0 | hi | ||| quando h - 0, o que implica que df,(e;) = 8,(e;) pois o lado esquerdo nao depende de h. Segue do anterior que df,(e;) = sz(e;) para todo j, o que implica que df,(v) = s,(v) para todo v € R™. No seguinte resultado vemos que uma fungao f : (a,b) > R é diferenciavel em x = f’(x) existe. Nn Proposigaéo 40. f : (a,b) — R é diferenciavel em c € (a,b) & a derivada de f'(c) existe. Neste caso, temos que df.w = f'(c)w para todo w € R. Prova: Suponha que f’(c) existe e defina a fungaéo R, por Re(h) = f(a +h) — f(x) — fh. é claro que com Re(h) + 0 as h > 0, o que implica que f é difereciavel em c. A prova da reciprova é similar. Proposigéo 41. Se f(-) é diferenciavel em x € Dy, entéo todas as derivadas direcionais of (x) existem. Mais ainda, of (x) = df,(v) =o, BE (a) vi. Prova: Da definicao (34), para v € R™, v £0, temos que fet he) fle) _ afew) | relhu) h 7 h h hdfz(v) | h| rz (hv) = A EN yy OD h h © "|| loll [Aly re(hv) = dfz(v) + =—|lv||—7—— h |r| de onde obtemos que of f(a + hv) — f(x) «ys Ta(hv) —(x) = lim ————_~_— _ = df, lim ——— = 0. ay (7) = Be, h f2(v) pois jim yO Como caso particular do anterior, temos que ZEf (2) = df,(e;). Mais ainda, notando que df,(-) € uma transformacao linear, para v = 7", vie; segue que Of mn “ Of 50") = Svidfe(ei) = 5, @) 7 i=1 i=l Proposigao 42. Se f(-) é diferenciavel em x € Dy, entao f(-) é continua em a. Prova: Seja ¢« > 0. Sejam df,(-) e r(-) como na Definigéo 34. Da Proposition 41, sabemos que df,v = oy", ZL (xu; para todo v € R™. Por outro lado, das propriedades da fungéo rz, temos que existe 6, > 0 tal que | rz(v) |< €||v|| para todo v € R™ tal que ||v|| < 61. Do anterior, para 6 = min{1,51,«(1+ 7, | 2£(2) |)-“t} ev € R™ com |lu|] < 6, temos que | fle+v)—flx)| < | dfe(v)|+|re(v) | < SLi lt ire) in (43) i=1 ° a) SDN js) elt rate) “, Of € < | > -() | sm oF t elle Xl an) |S TES < etellull o que implica que | f(a +v) — f(x) |< 2e se |lu|| < 6. Isto mostra que f é continua em «x. Observagao 44. Como foi notado na Observagao 27, as derivadas direcionais da funcao definida em (63) existem, mas a fungao f(-) nao é continua. Este fato e Proposigéo 42 nos permitem concluir que f(-) nao é diferenciavel em (0,0). 11 Do anterior, surge uma pergunta: existe alguma condicao generica sob as derivadas parciais que implique a diferenciabilidade. Na seguinte proposicao estudamos este assunto. Proposigao 45. Suponha que x € Dy, que as derivadas parciais ZL (.) existem em Dy e sao continuas em x. Entao, f é diferenciavel em x. Prova: Estudaremos 0 caso m = 2. Seja r > 0 tal que B,[z,R?] C Dy. Para provar o resultado, faremos uso do teorema do Valor médio para funcoes de variavel real com valores reais. Para comezar, para h € R? com |{h|| <r notamos que f(x +h) — f(z) = f((ti+hi,22 + h2)) — f((w1, £2) = f((w1 + hi, 22 + h2)) — f((e1 + hi, @2)) + f((@1 + hi, 22) — f((@1, 22)) = p(h2) — p(0) + k(h1) — k(0), Onde p: [—hg,h2] WH Rek: [-hi,hi] + R sao as fungoes definidas por p(s) = f((a1 + hi, v2 + s)) e k(s) = f((a1 + $,22)). A fungodes p(-), k(-) sao continuas e pelo Lemma ?? sabemos que as derivadas p’(-),k’(-) sao fungdes bem definidas em (—h2, hz) e (—h2, hz) e que p’(s) = BL (a + seg) e k'(s) = SL (a + se,). Mais ainda, do citado lemma, veja (??) temos que existe 0,42 € (0,1) tais que f(a+h)— f(z) = plh2) — p(0) + k(hi) — k(0) = p'(O;h2)he + k' (02h1)hy of of = — h Ozh2))ho + —— Oh h Diary OT + hi, £2 + Ogh2))he + Oxy ((x1 + 1h, ©2))h1 O O = SF (era) + A (er, 02))ha vy Ore of of — Oh -— h Er + Oatayce)) = SF (ea, 2))| ha of of — h O2h2))he - —— h + E ((%1 + hi, @2 + Agha) )h2 Oxy ((21,22)) 2 of of = — hy+— h 2 (h), 4 Dx, (P12) it Dang (PE 2) 2+7re(h) (46) onde definimos O O rth) = | PLC, + O1h,29)) - 22 ((e1,02))| ha Or, Ox 1 of of — h Ozh2))h2 - —— ha. 4 + ECan + hy, @2 + Ozh2))ho pent) 2 (47) Do anterior, para completar a provar, temos que mostrar que oan — 0 se ||h|| > 0. Como as derivadas parciais sao continuas em x, para € > 0 existe 0 < 6 <r tal que of of — Oh -_— < | Ox} ((a1 + 1 1, £2)) Ox ((1, @2)) I<, of of — h Ozh2))he - —— < 4 | Bpy (ri + 1,%2 + O2h2))he Dang (PE 2) IS, (48) para todo h € R? tal que se ||h|| < 6. Do anterior, para 0 < ||h|| < 6 temos que |ra2(h)| ha hg << ete Ke +e, (49) ||| hI] WA o que implica que limps pal = 0 e prova que f(-) é diferenciavel em az. 19 Proposigaéo 50. Suponha que Dy € convero, que f(-) € diferenciavel em Dy e que existe L > 0 tal que | SL (a) |< L para todo x € Dy e todoi=1,...,m. Entéo a funcao f(-) é Lipschitz. Prova: Sejam x,y € Dy. Usando v = y — x, do Lemma 29 e da representagao de of (x) temos que existe @ € (0,1) tal que of “Of FO) ~ FO = Gye +O IS SL Gee +H) Ia < S> L |v; | i=l < LY\ S60? < Lm}, i=1 \ j=1 oO que provao resultado. Os proximos resultados sao relativos a composicao de funcoes diferenciaveis. Proposigao 51. Suponha que x € Dy, f € diferenciavel em x, f(a) € (c,d) C R e que A: (c,d) CR>R € continua e que \'(f(x)) existe. Entao a fungdo 0 f é diferenciavel emx e L(x) = '(f(a)) 24 (2). Prova: Nesta prova usamos a notagdes rf e 7, para as funcées resto (da definigaéo de funcao diferenciavel) associadas as fungoes f(-) e A(-) nos pontos x e f(a) respectively. Usando esta notacao, para h € R™ com x + h € Dy vemos que Ao f(x+h)—Xo f(x) = AFlx) + (f(@ +h) — f(x))) — AF (@)) = N(f(x))[f(e+h) — f(x] +rr(fl@ +h) — f(x) = N(F(@)) (dp(x)h + rp(h)) +rr(F(@ +h) — f(x) = N(f(x))ds(a)h +r (F(@))rgs(h) +ry(f(@ +h) — f(a). Do anterior, para provar que a funcao Ao f é diferencidvel em z, é é suficiente mostrar que lim) plo Pi fr eto) = 0, pois lim) plo at = 0. Sejae > 0. Como ras) — 0 quando s — 0, temos que existe 6 > 0 tal que | r,(s) |< €| ¢ | se 0 <| s |< 6. Além disso, usando que f(-) é diferenciavel em x e que f(-) é continua em z, vemos que existe 0 < 4; tal que || f(a +h) — f(x)|| < de | rp(h) |< 1- |[Al| se | kh |< 6). Do anterior, para | h |< 6, temos que Ira(f(@+h)—f(x))| < «f(a +h) — f(z) < >) | Bn, (e) hel + | re) I) i=l : < «>>| Bn, 2) FMAM + Ald) i=1 ° < «0 | 9y, 2) | FINAL (52) i=1 ° de onde obtemos que I ra(f(a +h) — f(x) | “Of a < e(D_ | B(2) | m+ 1), (53) [al do! a; 12 se ||h|| < 6. Pela definigao de limite, isto implica que limy;,)-,o efron = 0, 0 que completa a prova. Proposigéo 54. Suponha que A : (—a,a) C R > Dy € continua, que X'(b) existe em b € (—a,a) e que f(-) é diferenciavel em X(b). Entdo a fungdo (fo A)'(b) existe (f oX)'(b) = ye FE (A(B)) AY (0). Prova: Suponha que A(t) = (Ai (t),...,Am(t)). Como X’(b) existe, cada fungao ,;(-) possui derivada en 6, ou seja, cada A;(-) é diferenciavel em b. Usando as notagoes rf e r,, para os restos (na definigdéo de fungao diferenciavel) associados as fungdes f(-) e A;(-), nos pontos A(b) e b respectivamente, temos que FAG + h)) — FAC) = f(A) + (A(B + h) — A(B))) — FAC) => Fan ACTA + h) — As(0)] + r¢(ACE + h) — A(b)) i=1 ~"" Of / => Das AO ACO)A + ra. (A) + re(AG + A) — A(b)) i=1 ~~" = s OF Ox) (oh + s 2F (yy (h) + rp(A(b+ h) — A(b)). (55) i=l Ox; ‘ i=l Ox; * , , Pela definigao de fungao diferenciavel, sabemos limp_,o rai) = 0. Assim, para provar a diferenciabilidade em b, é suficiente mostrar que TAF)“ AC) > 0seh— 0. Seja « > 0. Como we — 0 se ||v|| + 0, temos que existe 6 > 0 tal que | rp(v) |< ellv]| se ||v|| < 6. Mais ainda, como X(-) é continua em b, existe 6, > 0 tal que ||A(b) — X(s)|| < 6 de | s — b |< 49. Do anterior, para | h — b |< dg temos que ||A(b + h) — A(b)|| < de |rp(A(b +h) —A(d)) |< elA(+h) — AQ)| << g& S7Ou(d +h) — A;(0))? i=l < em) | Ai(b +h) — di(0) | i=1 < em) (| X(6) |h| +) ra,(h) |), i=1 o que implica que | re(A(o +h) = ACB) | ; an Ane | Pact(n) < fim, | < Himglem ) | As(6) | + < eno | Xb). (56) i=1 Como € > 0 é arbitradrio, de (56) obtemos que limp-,o rr A@Fh)- AO) = 0. Mais ainda, de (55) segue que (f © )'(b) = 2", ZE(A(b)) (0), © que completa a prova. Em relacao a tltima parte da prova, é interessante notar que esta pode ser simplificada. a 1A O seguinte resultado sobre composicao de fungdes com valores vetorias, fecha esta secao sobre a diferenciabilidade. Proposigao 57. Suponha que g : Dz C R? — R”™ € uma funcao continua, a € Dag, g(Dg) © Dy, 9(%) = (gi(a),---,Gm(a)) € que cada uma das fungdes coordenadas g;(-) é diferenciavel ema. Se f : Dp CR” > R € diferenciavel em g(a), entédo fog é diferenciavel ema e O(f og) _ “ Of 0g: ag) = a Bas 9D 55, Prova: Usando que f(-) e que cada uma das fungoes g;(-) sao diferenciaveis, para h € R? tal que a +h € D, temos que fogla+h)— fog(a) = f(gla) + (g(a+ h) — g(a)) — F(g(a)) => Fa Ia) Gila + h) — gila)) + rp(gla + h) — g(a) i=1 ~~" “Of “Ogi = So 5—(9(a)) | So 5 (@)hy + 1 4,(h) | + rp(gla +h) — g(a) i=1 Oar j=l Oy; “~ Of “Ogi Of = a DS By, Bs +L Ge, (ale) + ryCala +H) — ale) P m m of Ogi of -> (>: FL cto 20) hy +S > (gla))rg (h) + ry(glat h) —9(a)) j=1 \i=1 t i=l v OO ‘= on (a) =R(h) (<4 Of Ogi = (Ss) 72, IM) 5, (@) hy + R(h). j=l \i=1 ~"* Ys Do anterior, se mostramos que limp_5o aw = 0, entao fog(-) sera diferenciavel, e pela teoria desenvolvida teremos que o termo marcado com * sera de fato fed (a). Observe também, que para provar que lim;_,9 Te = 0, é suficiente provar que limp_,9 dine ees = 0 pois li Tg; (h) _ dai IMp~so “Tay = 0 para cada 2. No que segue, mostramos que limp_,9 Tie ean = 0 Seja e > 0. Como f(-) é diferenciavel em g(a), existe 61 > 0 tal que Ire(v) |S ellullam Se 0 < llullam < 41. Como g(-) é continua em ae ae — 0 se ||h||p» > 0, existe 0 < d2 tal que RP lla +h) —g(a)llpm S51 € | rg (h) IS llhll_p, t= 4,...,m, (58) hm se ||A||pp < 62. Do anterior, para 0 < ||h||p, < d2 segue que Ire(gla+h)—gla))| < ellgl(a+h)—g@) la» 1 m 2 <€ (>: | g(a + h) — gila) ') i=1 < evm (>: | gi(a + h) — gi(a) ) i=1 m p Agi < em ST S0| 52 @ | hy | 4) 79. (h) | i=1 \j=1 OY; m op dg; m < e¥m{ SOS 0| 5+) | Wee + 95 | ro: (P) | i=1 j=1 OY; i=l m p dg; m < e¥m{ S030 | 5 *@) | Wee +0 [lll (59) i=1 j=1 OY; i=l e m op Agi |rp(gla+h)—g(a))| < evm{S°S¢| By, | +m | |Allpe (60) i=1 j=1 J de onde segue que _ | re(g(at+h) — g(a) | A) OG: lim 22s NK em —(a)| +m]. 61 IIA] zn +0 [Pll 2d By; | ) (61) Finalmente, observando que «€ > 0 é arbitrario, da ultima desigualdade inferimos que lim);,||, 0 ene gel = 0, o que nos permite finalizar a prova. lf RP Exercicio 62. Considere os seguintes exercicios. 1. Estude a diferenciabilidade da funcao F : RY x RN = R?% +4 R dada por F(X,Y) = X AY? sendo A € M(N,N). Achar DF,x,y), $5 (X,Y) e SE(X,Y) para v £0. 2. Seja f : R? 4 Ra funcao dada por vty (x,y) £0 xy)= 4 Pe Oe 63 fev) ; een (63) Achar a matriz H(x) = (sacha isn € M(n xn). 3. Achar f : R? ++ R tal que vH;(0)v7 > 0 para todo v € R?. 4. Achar f : RN ++ R tal que vH;(0)v7 > 0 para todo v € RN. 5. Dar condigdes a f : R+> R de modo que vHy(0)v? > 0 para todo v € R% sendo F(a) = f(4,2?). 1é 5 Polinomio de Taylor Para desenvolver esta secao, é conveniente fazer algumas observacgoes sobre o Teorema de Taylor. Proposigao 64. Seja P: Rt) R um polinomio de graun ec € R. Entao n P)(c) . P(x) = P(e) +) ——(a-0), VreR. . J: j=l Corolario 65. Sejamn €N, c,a9,a1,...an nuimeros reais. Entao existe um tnico polino- mio P:R++R tal que Pi(c) =a; para j =0,...,n. Definicao 66. Sejam n € N, f : (a,b) 4 R uma funcado. Suponha que f(-) é de classe C”~! em (a,b), ¢ € (a,b) e que f”(c) existe. O polindmio de Taylor de ordem n de f(-) em c, € o polindmio dado por ” fH (Cc) Pr(x) = Soe - 0. j=0 Exemplo 67. Os polinémios de Taylor 1. de grau n da fungao f(x) = e? em c € R é dado por - c (x 7 cy P(x) = doe “a j=0 2. de grau 2n + 1 da fungao f(x) = sin(«#) em 0, é dado por (=)! 9; P(x) = at = arr il j=0 3. de grau 2n da fungao f(a) = cos(a) em 0, é dado por “(=1) 9; Pr(x) = x). , d (23)! Observamos que nos trés exemplos anteriores, as séries de pdtencias i! , ; ! ;)t A ary 2. i) sao convergentes em todo z € R. Mais ainda, da teoria de series de poténcias temos que cada uma dessas séries define uma funcao de classe C? em R. Teorema 68. (Férmula de Taylor de ordem n com resto de Lagrange) Suponha que f : (a,b) 4H R é uma fungdo de classe C, que f+ existe em (a,b) e que c € (a,b). Entdo, para cada x € (a,b) existe Eq,¢ € (a,x) tal que . fC) j fOTY (Eq «) n+1 r)= “(a4 —c)i + ——_2* (4# -€ . fa) = oe Teed 17 Exemplo 69. Seja f : (a,b) + R a funcao dada por f(x) = e® ec € (a,b). Do teorema anterior, para n € N ex € (a,b), _ “ (x _ c) fF (En,6) nt+1 e) = at ae 9) _ “(a — 0) e&e,c ntl Como lim | (we) |< tim —S—(b—gy4 = 0 (71) nso! (ntl 9% Fasc (neDI 9 de (70) e da convergencia da série x0 {ee segue que — (x — 9 e(z) = a Va € (a,b). (72) j=0 Exemplo 73. Usando 0 mesmo argumento do exemplo anterior, do Exemplo 67, segue que . — _(-1) Qj+1 — (=1)! 25 _ = Ve ER. sin(x) » (i+ pi e cos(z) » (ay)! x, Vane j=0 j=0 Definicao 74. Suponha que f : (a,b) 4 R é uma fungao de classe C™ e que c € (a,b). A sequéncia (Pfn,c)n onde Py n,¢ denota o polindmio de Taylor de ordem n € N de f(-) em c € (a,b), 6 chamada a Série de Taylor de f(-) em c. Em geral, esta série (se converge) é denotada por oo £9) eer. j=0 7 Exercicio 75. 1. Achar a serie de Taylor de f(x) = z+. no intervalo (—1,1) em c = 0. 2. Representar a fungao f(x) = In(1 +2) como uma série de pétencias centrada no zero. 3. Representar a fungao arctan f(x) como uma série de p6tencias centrada no zero. 4. Representar as fungoes Seno e Cosseno hiperbdlicos como series de potencias centradas no zero. Proposigao 76. Suponha que f : Df C R? > R uma funedo de classe C’+!. Para cada v = (v1, v2) € R® tal quea+vu € Dy existe 0, € (0,1) (que depende de a e v) tal que 2 2 2 Of 1 O* f f(at+v) = FO) + Yay OM 9 Lede Bis OPI 1 “ nr O” f n—-k,k tap ol Fake, Oka, OP % k=0 n+1 1 n+1 ont! f _ 6, n+1 k k +heD! d| k ) rte, ka, (a + Oyv)v; vj 12 Proposicgao 77. Se f : Dy C R™ > R é de classe C”*! e v € R™ € tal que a+vu€ Dy, entao existe 6, € (0,1) (que depende de a e v) tal que + » | S° Lee » dn, Onn (a)ui, Vi, 1 Ui, in =0tn—-1=0 41,=0 n 1 ++! Di. S> » vee » dn, Oz, (a+ Oyv)Vi, Yi, +++ Ui, in4+1=0in=0 41=0 n+1 1 Observagao 78. Note que se Hy(a) = (s-£ (a). 5 € M(m,m), entéo vH;(a)v? = Viet an o£ (a)uiv;. Usando esta notacgaéo, para n = 1, vemos que a representacao na Proposigao 77 pode-se re-escrever na forma 1 fla tv) = Fla) + VFlajo™ + SoH s(a + bv)e”, onde V f(a) = (Z£(a),..., PE(a)). Definigao 79. Seja f(-) como na Proposigao (77). O polinédmio de Taylor de grau n cen- trado em “a” € 0 polinédmio dado por TH » » > Dap np Min Minn +++ Ui,- (80) tn =0 in —1=0 41=0 m n-1 Observagao 81. Em geral, 0 polinomio de Taylor anterior é representado na forma Lay Hat v) = fa) + > Fay’, i=l - onde . . a AG-U fF mom m di f @) ga— 2 (e = es 9, . fO (av! = F(a) = » D> _ » Dar Oar (a)U;, Ui, , +++ Yi,- 1;=07;-1=0 4,=0 j j-1 Corolario 82. Suponha que f : Dp CR™ > R € de classe C™ e que existe L >O0 eneN tal que Leto <L para todoi>neveR™” comat+ve Dy. Entao Rm fla +») = fla) +2 A F%ae' — i! , para todo v € R™ comatve€ Dy. Exercicio 83. 1. Seja f : R? — R o polinémio dado por f(x,y) = Yio bjat Fy), Achar a representacao de Taylor de grau 5 com a = (0,0) e v = (v1, v2) = (a, y). 2. Suponha que f : R— R é um polinémio da forma f(x) = )0/_) ajx’. Represente f na forma f(x) = yi =0 b;(a — a)’. Quais sao os valores dos coeficientes b; ? 190 3. Seja f : R? > R o polinémio dado por f(x,y) = Yio x*-Jy), Represente f(-) na forma f(2,y) = 0;,5 Cig (@ — a1) (y — a2)’ sendo a = (a1, a2) € R?. 4, Seja f : R? — R o polindémio dado por f(x,y) = Yj=0 b;x* Jy). Represente f(-) na forma f(x,y) = Yo, ; ¢i,j(@ — a1)’ (y — a2)" sendo a = (a1, a2) € R?. 5. Seja f : R” > Ro polinémio f(x) = Yj =0 ajc}. Represente f(-) na forma f(x) = jo b;(%; — cj)’. Quais sao os valores dos coeficientes b; ? 6. Suponha que f : R™ — R é um polinémio da forma f(x) = Yj =0 ax} com nj € N. Represente f(-) na forma f(x) = 09 bj(a; — cj)’. Quais sao os valores dos coeficientes b; ? 7. Achar o polinédmio de Taylor de grau k centrado em (0,0) para f(x,y) = (a+ y)”. (Estude os casos de kk <n, k =n and k > n.) 8. Achar o polinédmio de Taylor de grau k centrado em (a1,a2) para f(x,y) = (x«+y)”. (Estude os casos de kk <n, k =n and k > n.) 9. Achar o polindmio de Taylor de grau 3 para f(x,y) = sin(w+y) e g(a, y) = sin(a?+y?). 10. Suponha que f : R? > R é de classe C* e seja g : R? > R dada g(x,y) = f(x? + y?). Achar o polinémio de grau 4 centrado em (a1, a2) de g(-). 11. Suponha que f : R? > R é de classe C* e seja g : R? > R dada g(x,y) = f(x" + y”) sendo n € N. Achar o polinémio de grau 4 de g(-). 12. Suponha g(-) a fungao do problema anterior. Achar H(a) e calcule o termo vH¢(a)u7 for v € R?, v #0. Pode estabelecer alguma condicao de modo que vi ¢ (a)v? > 0 para todo v £ 0. Estude o caso n = 2. 13. Suponha que f : R? + R é de classe C4 e seja g : R? > R dada g(2,y) = f(a + y)”) sendo n € N. Achar o polindmio de grau 4 de g(-). Achar Hy(a) e calcule o termo vH;(a)v" for v € R?, v 4 0. Pode estabelecer alguma condigaéo de modo que vH;(a)v? > 0 para todo v £ 0. Estude 0 caso n = 2. 14. Suponha que f : R? > R é da forma f(x,y) = g1(x)go(y) onde g; : R > R sao funcées de classe C™. Se a = (a1, a2) e existe M > 0 tal que | gs” (s) |< M parai=1,2e todo n EN. (a) Prove que SG) \@ aay Sy, \ (ya) f(a,y) = (So 9%? (ar) =o gp? (a2) =) ? — j! = j! j=0 n=0 (b) Achar uma formula para ETE Prove a formula usando indugao matematica. (c) se Py a série de Taylor de f dada por (Pr)(«,y) = 7,50 af” (a)v? sendo v = (x — a1, y — a2). Estude se Soy aay Say (yaa) (Pr(x,y) = So =F (au? = (Sg? (a) (Sg? (aa) ——* ). p>0 DP: j=0 J n=0 J ya) 15. Suponha que f : R* > R é uma fungao de classe C* e seja Hy (x,y) a matriz dada por fex(@,y) fey(@,Yy Se uv = (v1, v2) entao 2 2 af 2 2 T _ ¢(2) oe vu. d°f(x,y)u" =vHy(a,y)u> = f’(a,y)-v* = > Dar, (x, y)uju;....? (v? denota o vetor transposto). 16. Achar f : R? > R de classe C4 tal que vHy(zx,y)v’ > 0 para todo v € R? \ {(0,0)} e todo (x,y) € R?. (Considere fungées do tipo x?” + y?”) 17. Achar f : R” > R tal que vH;(x)v? > 0 para todo x € R"? e todo v € R” \ {(0,0)} (neste caso, Hy(x) é a matriz de ordem n x n dada por H¢(ax) = Cane [Lembre, i indica a fila e 7 a coluna. | 18. Achar f : R? > R de classe C* tal que vH (2, y)v? <0 para todo v € R? \ {(0,0)}. 19. Seja D C R” aberto e f : DC R” > R uma fungao. Defina os conceitos de maximo local, minimo global, maximo global e minimo local de f. 20. Seja D C R” aberto, f : D C R” — R uma funcao de classe C2? ea €C A. Seac Dé ponto de minimo (maximo) local de f, entaéo °f (a) = 0 para todo v £0.? 21. Sejan > 1, D C R” aberto, f : DC R” > R uma funcao de classe C? e a € A. Se a € D é tal que 9f (a) = 0 para todo v ¥ 0, entao a é ponto de minimo ou maximo local de f..? 22. Suponha que f : R? — R é uma funcao de classe C* e que a € R? é um ponto critico de f, ou seja 2f (a) = 0 para todo v £0. Se vHy(a,y)v? > 0 para todo v € R? \ {(0,0)}, que pode dizer de a (6 maximo local, 6 minimo local ? ) Se vHy(x,y)v? < 0 para todo v € R? \ {(0,0)}, que pode dizer de a ? 23. E possivel generalizar o resultado anterior para f : RR” — Rea€ R”. ? 6 Otimizacao 6.1 Maximos e minimos de funcgoes de m-variaveis com valores reais Nesta segao mantemos as notacdes das segdes anteriores. Em particular, f : Dp CR™ —R é uma funcaéo e Dy é um aberto. Como f(-) é uma fungaéo com valores reais, é possivel con- siderar o problema da existéncia de méximos e minimos de f(-). Para comegar introduzimos algumas definigoes. Definigao 84. Dizemos que a € Ds € um maximo local de f se existe r > O tal que f(a) => fly) para todo y € B,(a,R™). Dizemos que a € Dy E um minimo local de f se existe r > 0 tal que f(a) < f(y) para todo y € B,(a,R™). Definigao 85. Um ponto a € Dy € chamado mdzimo global de f em Dy (ou, maximo de f em Dy) se f(a) > f(y) para todo y € Dy. Dizemos que a € Dy € um minimo global de f em Dy (minimo de f em Dy) se f(a) < f(y) para todo y € Dy. 91 Lema 86. Suponha que f diferenciavel ema € Dy e que a é€ um ponto de mdzximo local (resp. minimo local) de f. Entao 2f (a) = 0 para todo v € R™. Prova: Sejam v € R” e 6 > 0 tal que a+ tu € Dy para todo t € (—6d,6). E fazil ver que a fungdo y : (—d,d) + R dada por y(t) = f(a + tv) tem um ponto de maximo local (resp. minimo local) em t = 0, de onde segue que y’(0) = 0. Isto prova o resultado pois a 54 (a) = ¢'(0). Definigao 87. Suponha que f é diferenciavel. Dizemos que a € Dy € um ponto critico de f se Pf (a) =0 parai = 1,...,m. O Lemma 87 estabelece uma condigao necessaria para que a € Dy seja um ponto de maximo ou de minimo local de f. Como no caso de funcoes de variavel real, podemos determinar quando um ponto critico 6 um ponto maximo ou de minimo a partir do estudo das derivadas de segunda ordem. Antes de enunciar os préximos resultados, introduzimos algumas definicgdes. No que segue denotamos por M(p,k) é 0 espaco das matrices de p filas e k colunas. Definigao 88. Seja A = (ai,;) € M(p,p). Dizemos que A é simétrica se aj; = aj, para todo i,j € {1,,m}. Na préxima definic&o, para uma matriz B = (b;,;) € M(p,k) usamos a notagao B7 para a transposta de B, a qual é dada por BT = (b;,;) € M(k,p). Definigao 89. Seja A = (a;,;) € M(p,p) e suponha que A uma simétrica. 1. Dizemos que A € positiva se xAx™ > 0 para todo x € R?\{0}. A matriz é dita ndo-negativa se xAx? > 0 para todo x € R?\{O0}. 2. Dizemos que A é negativa se xAx? < 0 para todo x € R'\{0}. A matriz é dita ndo-positiva se xAx? <0 para todo x € R?\{0}. 3. Dizemos que A é indefinida se existem x,y € RN\{0} tais quexAr? > 0 eyTA™ <0. Definicao 90. Suponha que f é wma fungdo de classe C? em Dy e quea€ Dy. A matriz Hessiana de f ema € Dy € a matriz Hy(a) € M(m,m) definida por H;(a) = (ZL (a))i. Note que do Teorema de Schwartz, temos que a matriz Hessiana Hy(a) é uma matriz simétrica. Lembre que das notacoes introduzidas na secao sobre o polindmio de Taylor, temos que vH;(x)v? = d?f(x)v? para todo v € R™. Agora podemos estabelecer nosso primeiro sobre as relacoes entre pontos criticos e pontos de maximo e minimo. Teorema 91. Suponha que f € de classe C*? em Dy e que a € Dy € ponto critico de f. (a) Se a matriz H;(a) é negativa, entdo a é um ponto de mézimo local de f. Mais ainda, a €um ponto de mdzimo local estrito, ou seja, existe r > 0 tal que f(a) > f(x) para todo x € B,(a,R™). (b) Se a matriz Hy(a) € positiva, entao a € um ponto de minimo local de f. Mais ainda, a € um ponto de minimo local estrito, ou seja, existe r > 0 tal que f(a) < f(x) para todo x € B,(a,R™). (ver exerctcio (4)) (c) Se a matriz Hy(a) € nado negativa (respectivamente, nado positiva) entéo a é um ponto de mdzimo local (respectivamente, minimo local). de f. (d) Se a matriz Hy(a) é indefinida, entéo a nao é ponto de maximo local nem de minimo local. (ver exercicio (5)) 99 Prova: Somente mostraremos (a). Seja x € D a}. Fazendo uso do Teorema de Taylor J f ior, para x € Dy tal que [a,x] C Dy sabemos que existe 6 € (0,1) tal que f(x)— f(a) = df(a)(w—a) +d’ f(a)(u — a)? +d? f(a + O(@ — a))(a — a) = df(a)(x—a)? +d? f(a+ (a — a))(x — a)? 2 3 r—a L-a = |r — al? f(a) + f(a + (0 — 0))- P= ha all Ilr — al I|z — al Como vH;(a)v? = d?f(a)v? < 0 para todo v € 0B,(0,R™), a funcdo v > d?f(a)v? é continua e o conjunto 0B,(0,R™) é compacto, temos que a funcao v > d?f(a)v? possui um maximo global em 0B1(0,R™). Seja vp € 0Bi(0, RY) tal que d? f(a)v? < d? f (a)v2 < 0 para todo v € 0B,(0,R¥). 3 3 Por outro lado, como Chet entered — 0 quando x —> a, podemos fizar r > 0 tal 3 1 que d3 f(a + O(a —a)) - ee, <| ql favo | para todo x € 0B,(0,R™). Nas condigdes anteriores, para x € 0B,(a,R™) vemos que (x — a)? 3 (x — a)? 2 f(a) — f(a) = lw — ald? f(a) - | —5 +d’ f(a + O(a — a) - | — gla — al Je —alP |e —alP 1 <_ |e —all?a? fla)ug + 5 | F(@)xollx — all? | 1 = jr alPe? Fla)e8 5 | a2 F(a)eB lx — al? <_ ||x — all?’ f(a)uo, , eos : . d* f(a)u2 0 que prova que a é um ponto de maximo local estrito de f pois —~~—* < 0. Os outros items do resultados sao provados de maneira similar, e deixamos as provas como exercicio. i Os préximos resultados sao provados usando as ideias da prova do tltimo Teorema. A idea basica é usar a representacao de Taylor até ordem dois. Proposicao 92. Suponha que f é de classe C? em Dy e que a € Dy € ponto critico de f. 1. Se existe r > 0 tal que Hy(x) é negativa para todo x € B,(a,R'), entéo a é um ponto de mdzimo local de f. Mais ainda, a é um ponto de mdaximo local estrito. 2. Se existe r > 0 tal que Hy(x) € positiva para todo x € B,(a,R'), entéo a € um ponto de minimo local de f. 3. Se e existe r > 0 tal que 52 (a) >O0e ee) = 0 para todo x € B,(a,RY) e i# Jj, entao entao a é um ponto de minimo local estrito f. 4. Se existe r > 0 tal que =o f(a) <Oe xo (2) = 0 para todo x € B,(a,R) ei 4 j, a a a J entao entado a € um ponto de maximo local estrito f. de f. Exercicio 93. 1. Seja h : R? — R? definida por h(x,y) = ax + by sendo (a,b) # Oe Dg Cc R? um aberto limitado. Mostre que h possui pontos de mdximo e minimo globais em Dy; .Mostre que sea€ D; é ponto de mdzimo (minimo) local de f em Dy entéo a € ODz. Generalizar o resultado para R™. 2. Sea T : R™ /& R uma tranformacdao linear nao nula. Mostre que T nao possut médzimo ou minimos locais. Mostre que se definimos T sobre uma bola fechada, qual- quer minimo ou mdzimo de T nesta bola, é um ponto da fronteira. 92 3. Estude os mdzimos e minimos de f(x,y) = ev +0” A matriz Hy € positiva em (0,0) ? A matriz Hy é positiva em (a,y) ? 4. Suponha que f :R—R é€ uma fune¢ao tal que 0 € ponto critico. De condigdes de modo que (0,0) seja um mdzximo local ( ou minimo local) de g(x,y) = f(x? + y?)). Pode estabelecer condig¢gdes de modo que Hy seja positiva em qualquer (x,y) ? Existem condigdes de modo que Hy seja negativa em qualquer (x,y) ? 5. Generalizar o problema similar para g(@1,,---,%m) = f(ove x;”)) eh(a1,,.--;%m) = f(a?) sendo p EN. 6. Estude os valores de mdzimo e minimo de f(x,y) = ev +" Determine regioes do plano P,, P_ e Px de modo que Hy(x,y) seja posttiva em P,, negativa em P_ é indefinida em Px. 7. Estude se (0,0) € maximo ou minimo de f(x,y) = xy + y?x. Definicao 94. Suponha que f é de classe C? em Dy e quea€ Dy. O ponto a é chamado ponto de sela de f se Hy(a) é indefinida. Os critérios apresentados no Teorema 91 sao usados para achar pontos de maximo e minimo locais, e nao consideram a questao de quando um ponto critico é maximo global ou minimo global. Como no caso de funcgoes de uma varidvel, a andlise da existéncia de extremos globais pode ser feita mediante o estudo da concavidade da fungao. Definigao 95. Suponha que U € um conjunto convexo. Dizemos que f é concava em U se f(t2+(1—t)y) > tf(x) + (1 —-t)f(y) para todo x,y € U e todo t € (0,1). Dizemos que f é conveca em U se f(ta+(1—t)y) <tf(x)+(1—-t)f(y) para todo x,y € U e todo t € (0,1). O préximo resultado estuda a relagao entre a concavidade de uma funcao e a positividade da matriz Hessiana. Teorema 96. Suponha que U é convero e que f é de classe C? em U. As seguintes condicées sao equivalentes. 1. f € céncava em U, 2. f(y) — f(x) < f'(x)(y — «) para todo x,y EU, 3. Hf(x) € nao positiva para todo x € U. Prova: Suponha que f é uma funcao céncava em U. Da definigao de concavidade vemos que f(ty+(1—t)x) > tf(y)+(1—-t)f(z) para todo x,y € U e todo t € (0,1), de onde segue que f(x +ty — x)) — f(x) Met My DAL s gy) — (0) Usando esta desigualdade, vemos que _ f(a +ty — x)) — f(a) df(x)(y — «) = lim ~—— 2 fy) — f(2); o que mostra que (1) implica (2). Suponha agora que a condicao (2) é verificada. Da formula de representacgao de Taylor para fungées de varias variaveis, e da condicgaéo (2) vemos que para z € U,v € B,(0,RY) e t € (0,1) tal que x +tv EU, 0> f(a +tv) — f(x) — df(x)(tv) = d? f (x + Otv) (tv)? 9A de onde obtemos que d? f (x + Otv) (tv)? 0> a ia vH -(a@ + Otv)u?. Fazendo agora t | 0 obtemos que Hey <0, o que mostra que H f(x) é nao positiva. Para finalizar a prova, suponha que H f(x) é nao positiva para todo x € U. Sejam x.y € Ue fy : [0,1] + Ra funcao definida por fy.(t) = f(ty + (1—t)x). Da teoria de fungoes de varidvel real, sabemos que uma fungao g : (c,d) — R é concava em (c,d) se g(t) < 0 para todo t € (c,d). No que segue, provaremos que fy,. 6 cOncava usando este criterio. Veja que da regra da cadeia tem-se que O fry a dS Of he (+t —- = a Hy — .—_ "7. 52) = Hd Gp TY Mw a) m O Of SS Baas HYMN =a) Oxi = SOLSo SE (e+ tly — 2))(y; — 23) | (yi — 2) Ox; i=1 \j=1 J m m 0" f = Luise + ty - oy -2) oy LLG t=1 g=1 = (y-a)Hf(e@+ty—2))(y-2)’, o que implica que fy. 6 cOncava. Como fy. é céncava vemos que para s, s’,t € (0, 1) fy,2(ts + (1 —t)s') > tfyo(s) + (1 — t) f(s‘) de onde segue que f((ts + (1 — t)s’)a + (1 — (ts + (1 — t)s’)y) = tf(set+(1—s)y)+(1—t)f(s'@+ (1—s')y). Usando que f é continua e fazendo s ¢ 1 e s’ | 0, da ultima desigualdade obtemos que f(ta+(1-t)y) > tf(a)+(1—-t) f(y), 0 que prova que f é concava pois x, y, t sao arbitrarios. Isto completa a prova. Mf Usando as mesmas ideais na prova prova do Teorema anterior, podemos mostrar o se- guinte resultado. Teorema 97. Suponha que U é convexo e que f é de classe C? em U. As seguintes condicées sao equivalentes. 1. f € uma fungao convera em U, 2. f(y) — f(x) 2 df(x)(y — x) para todo x,y € U, 3. Hf(x) € nao negativa para todo x € U. Nos seguintes resultados podemos ver a relagéo entre a convexidade (concavidade) de uma funcao e seus pontos de minimo “global” e maximo global. Teorema 98. Suponha que U é convexo, f é de classe C? em U e quea€U é um ponto critico de f. Se f € céncava em U entdo a € ponto de maximo “global”’de f em U. 95 Prova: Seja y € U. Do Teorema 96 sabemos que vH(x)v? = d?f(x)v? < 0 para todo xz €U e todo v € RN. Por outro lado, do formula de representacio de Taylor sabemos que para y € U existe 0 € (0,1) tal que f(y)—fla) = df(a\(y—a) +4’ fat Oy —a))(y—a)’, de onde segue que f(y) — f(a) = d?f(a+ O(y — a))(y — a)? < 0 para todo y € U. Isto prova que a é ponto de maximo “global”de fem U. & Procedendo com na prova do Teorema 98, podemos provar o seguinte resultado. Teorema 99. Suponha que U é convexo, que f é de classe C? em U e que a é€ um ponto critico de f. Se f € convera em U, entdo a € ponto de minimo global de f em U. 6.2 Exercicios 1. Estude se a fungao f(x,y) = e* +¥° 6 concdva ou convexa. Estudo os pontos criticos. 2. Suponha que f : R — R é uma funcao da classe C?. De condicées sobre f de modo que g(x,y) = f(x? + y7)) seja concéva (convexa). 3. Estude se uma funcao da forma f(x1,%2,...,2n) = via ae”, com p EN, é convexa ou concava. rm, «?? 4. Estude se uma funcao da forma f(a1,2%2,...,2n) =e” ° ,comp EN, é convexa ou concava. 5. Enunciar e motrar um resultado do tipo: Se f, g sao fungdes convexas (concévas) entao f og é convexa (concava). 6. Enunciar e motrar um resultado do tipo: Se f, g sao fungdes convexas (concévas) entao f +g é convexa (concava). 7. 8. Enunciar e motrar um resultado do tipo: Se f, g sao fungdes convexas (concévas) entao f -g € convexa (concava). 9. E possivel determinar um aberto convexo D de que a funcao f(x,y) = x? + y° seja concava, convexa. ? 10. E possivel determinar um aberto convexo D de que a funcao f(a,y) = erty seja concava, convexa. ? 11. Estude os valores de maximo e minimo de f(z, y) = er ty 12. Estude se (0,0) 6 maximo ou minimo de f(x,y) = xy + y?2. 13. Fazer um estudo completo dos pontos de maximo e minimo das funcées g,h : R? > R definidas por g(x,y) = x3 — y? + 9ry e h(x, y) = x44 2? — Gry + 3y?. 14. Suponha que U é convexo. Mostre que f é cOncava & para todo z,y € U a fungao fy,x : [0,1] + R definida por f,.(t) = f(ty+ (1 —t)x) é céncava. (Enuncie e mostre um resultado similar para fungdes convexas) . 15. Provar o Teorema 97. 16. Provar o Teorema 99. oR 17. Achar exemplos para mostrar o item 3 do Teorema 91. 18. Suponha que d2f(a)v2 ≤ 0 para todo ∥v∥ ≤ 1. Mostre que f ´e concˆava. 19. Suponha U ⊂ R2 e que λ : (−ϵ, ϵ) → U, dada por λ(t) = (λ1(t), λ2(t)), ´e uma fun¸c˜ao de classe C1. Mostre que se a = λ(0) ´e um ponto de m´aximo local de f no conjunto S = {λ(t) : λ ∈ (−ϵ, ϵ)} (ou seja, f(a) ≥ f(x) para todo x ∈ S, ent˜ao o gradiente de f em a ´e perpendicular ao vetor λ′(0) = (λ′ 1(0), λ′ 2(0)). 27