Aula 3: Amortecimento em Sistemas Mecânicos

Aula 3 Amortecimento 1 Universidade do Vale do Rio dos Sinos Escola Politécnica Engenharia Mecânica 1º Semestre2022 Como foi visto anteriormente a resposta de um sistema massamola prediz que o sistema oscilará indefinidamente No entanto pode ser notado pela observação prática que o sistema oscilando livremente após um certo período de tempo tem o movimento reduzido a zero Em máquinas e sistemas mecânicos parte da energia vibratória é convertida em calor e ruído e consequentemente diminui o deslocamento com o passar dos ciclos de vibração Toda a causa que diminui a amplitude é chamada de amortecimento Na maioria dos sistemas mecânicos essa diminuição de amplitude de deslocamento provocada pelo amortecimento é pequena porém importante na transmissão de forças e na previsão da resposta dos sistemas mecânicos Isso significa que o modelo adotado até agora necessita ser ajustado para conter esse movimento oscilatório decrescente Amortecimento viscoso 2 Lembrando da Eq 14 que descreve o movimento de um sistema massamola Uma forma de resolver a situação é adicionar um termo na equação diferencial na forma de onde Fc representa a força de amortecimento e c é uma constante chamada de coeficiente de amortecimento cuja unidade no SI é dada por Nsm ou através da redução dessa unidade em kgs Isso é a força é proporcional à velocidade relativa entre as extremidades do elemento Para um sistema torcional o coeficiente de amortecimento à torção é dado por Essa solução representa adequadamente o amortecimento em um sistema vibratório ou decaimento Esse tipo de amortecimento é chamado de amortecimento viscoso Amortecimento viscoso 3 cx t Fc 31 0 kx t x t m 14 t M c 32 Um exemplo de amortecedor viscoso consiste em um pistão instalado em um cilindro cheio de óleo como mostrado na Fig 31 O pistão possui orifícios para que o movimento do pistão no óleo seja possível O escoamento do óleo através desses orifícios à medida que o pistão se move provoca uma força de amortecimento no pistão A força é proporcional à velocidade do pistão em uma direção oposta à do movimento do pistão como mostrado na Eq 31 Amortecimento viscoso 4 Fig 31 Representação de um amortecedor viscoso Na maioria dos casos Fc é causada por efeitos equivalentes que ocorrem no material que constitui o dispositivo Um exemplo é um bloco de borracha coxins que também fornece rigidez Fk tal como a montagem de um sistema de apoio em um motor de automóvel Amortecimento viscoso 5 Fig 32 Sistema de apoio de um motor automotivo Um esquema de um sistema com amortecimento viscoso é mostrado na Fig 33 Utilizando um equilíbrio de forças sobre a massa mostrada na figura na direção x a equação de movimento para xt é dada por sujeito às condições iniciais As forças Fc e Fk são negativas por que se opõem ao movimento positivo para a direita Amortecimento viscoso 6 Fig 33 Esquema de um sistema com 1 gdl com amortecedor viscoso a e diagrama de corpo livre b 0 ou kx t cx t mx t F F mx t k c 33 0 0 0 e 0 v x x x Utilizando a representação mostrada na Eq 211 E substituindo na Eq 32 Como Essa equação pode ser resolvida utilizando a fórmula de Bhaskara obtendo assim duas soluções Amortecimento viscoso 7 0 2 t t t kae c ae ae m 34 ae t x t 211 ae t x t 212 ae t x t 2 213 t 0 ae 0 2 k c m 35 0 2 c bx ax a ac b b x 2 2 4 0 kx t cx t mx t 36 km c m m c 4 2 1 2 2 1 2 37 Analisando a Eq 37 desde que m c e k sejam constantes reais positivas as duas raízes 1 e 2 serão Números reais negativos diferentes se o discriminante Números complexos conjugados com partes reais negativas se o discriminante Números reais negativos iguais se o discriminante Quando o radical da Eq 38 é positivo o movimento dado pela Eq 33 representa um abrandamento gradual desse movimento Amortecimento viscoso 8 km c m m c 4 2 1 2 2 1 2 38 0 4 2 km c 0 4 2 km c 0 4 2 km c 39 310 311 O coeficiente de amortecimento crítico ccr quando o radical da solução é zero é definido como E o número adimensional é definido como fator de amortecimento e é dado por Reescrevendo as raízes mostradas na Eq 37 Analisando essa última equação fica claro que é o fator de amortecimento quem determina se as raízes são complexas ou reais e isso determina a natureza da resposta do sistema amortecido de um grau de liberdade É importante comentar que o coeficiente de amortecimento é uma constante do elemento amortecedor enquanto que o fator de amortecimento é uma característica do sistema como um todo Para os coeficientes positivos de massa amortecimento e rigidez há três casos movimento sub amortecido movimento super amortecido e movimento criticamente amortecido Amortecimento viscoso 9 n n cr w k km mw c 2 2 2 312 km c mw c c c n cr 2 2 313 1 2 1 2 n n w w 314 k m c m km m c m km m c km c m 4 0 4 4 4 0 4 4 4 4 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 Movimento subamortecido Quando o fator de amortecimento for menor que 1 isso é 0 1 e o discriminante da Eq 314 for negativo o resultado será duas raízes complexas conjugadas O discriminante pode ser reescrito como onde Assim as raízes ficam Amortecimento viscoso 10 317 316 j w w n n 2 1 1 315 1 2 1 2 n n w w 314 2 j 2 2 1 1 1 1 j 1 j w w n n 2 2 1 Fig 34 Resposta de um sistema subamortecido Movimento subamortecido A equação de movimento Eq 33 também possui como solução a Eq 318 onde A e são constantes de integração e wd é chamada de frequência natural amortecida dada por também em rads Essas constantes são avaliadas utilizando as condições iniciais exatamente como feito no sistema não amortecido Derivando a Eq 318 Como resultado obtémse onde x0 e v0 são o deslocamento inicial e a velocidade inicial respectivamente Amortecimento viscoso 11 319 sen w t Ae x t d wnt 318 1 2 n d w w d d n d d n w x w w x v w x w w x v A 2 0 2 0 0 2 2 0 2 0 0 0 0 0 tan 1 w x v x w n d 320 321 w t w Ae sen w t w Ae x t d t w n d t w n n n cos 322 Movimento subamortecido A Fig 35 mostra a resposta do deslocamento de um sistema subamortecido O movimento é oscilatório com amplitude exponencialmente decrescente O fator de amortecimento determina a taxa de decaimento Amortecimento viscoso 12 Fig 35 Resposta de um sistema subamortecido para vários valores de Movimento subamortecido A Fig 35a mostra o deslocamento para três valores de fator de amortecimento onde a ordenada representa o deslocamento e a abcissa a quantidade adimensional wnt Observase que a A amplitude apresenta um decaimento exponencial b A frequência natural de um sistema amortecido é wd que é menor que a frequência natural de um sistema não amortecido wn ver Eq 319 O período da resposta livre de um sistema subamortecido é 2wd que será maior do que para um sistema não amortecido Amortecimento viscoso 13 Fig 35a Resposta de um sistema subamortecido para vários valores de Movimento subamortecido a Para 05 a vibração é praticamente amortecida em apenas dois ciclos e para 025 amortece em 3 ciclos b Esse tipo de amortecimento acontece em sistemas com amortecedores c A maioria dos sistemas possuem fator de amortecimento muito baixo 01 onde a vibração pode continuar para uma quantidade maior de ciclos Amortecimento viscoso 14 Fig 35a Resposta de um sistema subamortecido para vários valores de Essa representação complexa pode ser visualizada na Fig 35b Notação complexa 15 Fig 35b Valores características de uma resposta de sinal jwnt Ae Ae jwnt Movimento super amortecido Quando o fator de amortecimento for maior que 1 isso é 1 o discriminante da Eq 314 é positivo resultando em um par de raízes reais distintas isso é A solução da Eq 33 fica então Que representa uma resposta não oscilatória As constantes a1 e a2 são determinadas pelas condições iniciais fornecidas Para esse caso não oscilatório Amortecimento viscoso 16 323 t n t n n w w w t a e a e e t x 2 1 1 2 2 1 325 324 1 2 1 n n w w 1 2 2 n n w w 1 2 1 2 0 2 0 1 n n w w x v a 1 2 1 2 0 2 0 2 n n w w x v a 326 327 Movimento super amortecido Respostas típicas para o movimento super amortecido são mostradas na Fig 36 Um sistema super amortecido não oscila mas retorna à sua posição de repouso de forma exponencial Amortecimento viscoso 17 Fig 36 Resposta de um sistema super amortecido 0 e diferentes condições iniciais Movimento super amortecido Resposta do deslocamento de um sistema super amortecido Amortecimento viscoso 18 Fig 37 Resposta de um sistema super amortecido 0 Movimento criticamente amortecido Quando o fator de amortecimento exatamente igual a 1 isso é 1 o discriminante da Eq 314 é igual a zero Isso corresponde ao valor de que separa o movimento oscilatório do movimento não oscilatório As raízes são repetidas isto é A solução da Eq 33 fica então Novamente as constantes a1 e a2 são determinadas pelas condições iniciais fornecidas Substituindo o deslocamento inicial x0 na Eq 329 E substituindo a velocidade inicial na Eq 330 Amortecimento viscoso 19 a t e wnt a x t 2 1 329 328 wn 2 1 0 1 0 2 1 0 0 0 x a e a a x x wn 330 w t t w n t w n n n n a e w a te w a e x t 2 2 1 0 2 0 2 0 1 0 0 n n n w w n w n a e e w a w a e v x t 331 332 0 0 2 2 1 0 w x v a a w a v n n Movimento criticamente amortecido A resposta de um movimento criticamente amortecido é mostrada na Fig 38 para três valores diferentes de condições iniciais Esses sistemas representam sistemas com o menor valor do fator de amortecimento que resultam em movimento não oscilatório Também pode ser visto como aquele que apresenta o valor do fator de amortecimento que fornece o retorno mais rápido ao zero sem oscilação Amortecimento viscoso 20 Fig 38 Resposta de um sistema criticamente amortecido 1 e diferentes condições iniciais Resumo A resposta de um movimento criticamente amortecido é mostrada na Fig 38a para três valores diferentes de condições iniciais No caso a o amortecimento é pequeno e a massa oscila vagarosamente reduzindo a amplitude à medida que a energia é dissipada pelas forças nãoconservativas No caso c se o amortecimento é grande a massa não oscila quando deslocada mas tenta retornar à posição de equilíbrio O caso limite b é quando o amortecimento é e o sistema retorna rapidamente à posição de equilíbrio Amortecimento viscoso 21 sub amortecido criticamente amortecido super amortecido km b 4 km b 4 km b 4 Fig 38a Resposta de um sistema para diferentes condições de amortecimento 22 Tipos Fator de amortecimento Amortecedores de automóveis 01 a 05 Borracha 004 Estruturas de aço rebitadas 003 Concreto 002 Madeira 0003 Aço laminado a frio 00006 Alumínio laminado a frio 00002 Fatores de amortecimento Tabela 31 Exemplos de fatores de amortecimento O coeficiente de amortecimento ou alternativamente o fator de amortecimento é uma quantidade difícil de determinar ao contrário da massa e da rigidez que podem ser determinadas à partir de testes estáticos O amortecimento requer um ensaio dinâmico Um registro da resposta de deslocamento de um sistema subamortecido pode ser utilizado para determinar o fator de amortecimento tal como mostrado na Fig 39 As amplitudes sucessivas em um movimento harmônico amortecido tem entre elas uma simples relação logarítmica O envelope de decaimento indicado pelas linhas tracejadas na Fig 39 para um sistema subamortecido é dada por Decremento logarítmico 23 Fig 39 Resposta de um sistema criticamente amortecido 1 e diferentes condições iniciais Ae wnt 333 Ae wnt Os pontos medidos em x0 x1 x2 xn podem ser ajustados às curvas e isso produzirá um valor para o termo wn Se m e k são conhecidos e c podem ser determinados a partir daí Essa abordagem leva também ao conceito de decremento logarítmico indicado por e definido por onde T é o período de oscilação Assim o fator de amortecimento pode se determinado por Decremento logarítmico 24 T t x x t ln 334 2 4 2 335 Imagine que seja necessário medir as propriedades dinâmicas de um sistema de engenharia Por exemplo desejase medir a frequência natural e o fator de amortecimento de um sistema depois dele ter sido construído para ter certeza que as estimativas de projeto foram corretas ou para utilizar essas informações em futuros projetos Para isso podese utilizar a resposta de vibração livre Primeiro instrumentase o sistema através de acelerômetros e usando um martelo de impulso Fig 310 excitase o sistema em um modo particular de vibração As leituras do acelerômetro são apresentadas de forma similar a da Fig 311 Decremento logarítmico aplicações 25 Fig 310 Martelo de impulso Fig 311 Resposta de deslocamento de um sistema O período de oscilação é dado por onde tn é o tempo no qual o enésimo pico ocorre e n é o número de picos O decremento logarítmico é calculado pela Eq 334 O fator de amortecimento é calculado pela Eq 335 e a frequência natural pela Eq 337 Decremento logarítmico aplicações 26 n t t T n 0 335 2 4 2 336 T t x x t ln 334 T wn 2 4 2 337 Deve ser notado que esse procedimento não pode ser utilizado para determinar os valores de m k ou do coeficiente de amortecimento c Para encontrar esses valores devese realizar um teste estático na estrutura Por exemplo ao submeter a estrutura à uma força estática F e medir a deflexão ou deslocamento d produzido por ela Assim o valor de k pode ser obtido por Dessa forma o valor de m é E o coeficiente de amortecimento é dado por Decremento logarítmico aplicações 27 d F k 339 2 wn k m 340 km c 2 338 Ex31 Considere a mola do Ex 21 onde wn 131 rads Suponha que o coeficiente de amortecimento da mola c seja igual a 011 kgs Calcule o fator de amortecimento e determine se o movimento livre daquele sistema é super amortecido sub amortecido ou criticamente amortecido Os dados do Ex 21 eram m 50x103 kg e k 858 Nm Solução ccr 131 kgs e 00084 Exemplos 28 Ex32 A perna humana tem uma frequência natural medida de aproximadamente fn 20 Hz quando está na sua posição rígida joelho travado na direção longitudinal isso é ao longo do comprimento do osso e um fator de amortecimento de 0224 Calcule a resposta da ponta do osso da perna para uma velocidade inicial de v0 06 ms e deslocamento inicial zero isso corresponde à vibração provocada ao saltar com os joelhos travados a partir de uma altura de 18 mm Desprezando o amortecimento calcule a aceleração máxima experimentada pela perna Solução wn 1257 rads wd 12247 rads A 0005 m 0 xt 0005e2816t sen12247t Anão amortecida 00048 m amax 7542 ms2 ou G 769 Exemplos 29 Ex33 Uma massa de 45 kg é suspensa por uma mola de rigidez k 1400 Nm Um amortecedor com um coeficiente de amortecimento viscoso c 50 Nsm é conectado ao sistema Determine o fator de amortecimento a frequência natural e a frequência natural amortecida Solução 032 wn 176 rads wd 1667 rads Exemplos 30 Ex34 Considere a realização de um ensaio em vibração livre num sistema mecânico com um grau de liberdade que tem massa de 1 kg e rigidez k de 10 kNm A resposta em deslocamento no domínio do tempo é apresentada na figura abaixo Sabendo que as amplitudes 5 e 6 são x6 02072 mm e x5 0284 mm determine a frequência natural do sistema a constante de amortecimento e o fator de amortecimento Solução wn 100 rads 005 c 10 kgs Exemplos 31 Ex35 Uma locomotiva de m 2000 kg está a 36 kmh quando colide com um sistema de frenagem de segurança composto por uma mola de rigidez k 80 kNmm e amortecimento c 20 Nsmm Determine a a frequência natural do sistema b a frequência natural amortecida c a resposta no tempo e d a amplitude máxima do deslocamento da locomotiva Solução wn 632 rads wd 387 rads A 258 m xt257e5t sen387 t Exemplos 32