Aula 5: Excitação de Base e Isoladores de Vibração - Engenharia Mecânica

Aula 5 Excitação de base e Isoladores de vibração 1 Universidade do Vale do Rio dos Sinos Escola Politécnica Engenharia Mecânica 2º Semestre2021 Máquinas ou partes de máquinas podem ser excitadas harmonicamente por meio de montagens elásticas que podem ser modeladas por molas e amortecedores Por exemplo um sistema de suspensão de automóvel é excitado harmonicamente por uma superfície da estrada através de um amortecedor de choque que pode ser modelado por uma mola linear em paralelo com um amortecedor viscoso Ou coxins de borracha que separam um motor de automóvel da sua carroceria ou o motor de avião na asa ou na cauda Esses sistemas podem ser modelados considerando o sistema a ser excitado pelo movimento de seu suporte e esquematizado na Fig 51 Excitação de base 2 Fig 51 Modelo para o problema da excitação de base Excitação de base 3 Como pode ser observado na mesma figurar anterior a força inercial é igual à soma das duas forças que atuam sobre a massa m e a força gravitacional é equilibrada pela deflexão estática da mola Assim Observe que a mola deslocase de uma distância xy e o amortecedor experimenta uma velocidade de A base como mostrado na Fig 52 pode ser assumida como tendo um movimento harmônico dado pela Eq 52 onde Y representa a amplitude de movimento da base e wb a frequência de oscilação da base x m 51 0 y k x y c x mx t Fig 52 Veículo se movendose em uma estrada ondulada y x 52 Ysen w t y t b Excitação de base 4 Como a derivada em relação ao tempo de yt é A substituição das Eq 52 e 53 na Eq 51 fornece a Eq 54 Essa equação é similar à Eq 45 para a resposta forçada de um sistema amortecido e a solução envolve a soma de duas soluções particulares xp1 e xp2 assumindo duas forças de entrada harmônicas dadas pelas Eq 55 e 56 respectivamente 53 kYsen w t w t cYw kx cx mx b b b cos 54 w t Yw y b b cos kYsen w t b w t cYw b b cos 56 55 Excitação de base 5 As soluções particulares são então onde e Note que o ângulo de fase 1 é igual pois é independente da amplitude de excitação e que wn e wb permanecem iguais A diferença de fase entre as duas soluções particulares é explicada pela utilização da solução de seno e cosseno 57 1 2 2 2 2 1 cos 2 2 t w w w w w w w Y x b b n b n b n p 58 59 1 2 2 2 2 2 2 2 w t sen w w w w w Y x b b n b n n p 2 2 1 1 2 tan b n n b w w w w Excitação de base 6 A solução particular total será a soma das duas equações anteriores isso é xp xp1 xp2 e A amplitude da solução particular é dada por onde a razão de frequências é 510 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 cos 2 2 t w w w w w w w w Y t x b b n b n b n n p 511 512 b n w w 2 tan 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 r r r Y X n b w r w 513 Excitação de base 7 Dividindo a Eq 512 pela amplitude do movimento de base Y se obtém que expressa a relação entre a amplitude de resposta máxima X e a amplitude de deslocamento da entrada Y Essa relação é chamada de transmissibilidade de deslocamento e é usada para descrever como o movimento é transmitido da base para a massa em função da razão de frequência r mostrada na Fig 53 514 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 r r r Y X Fig 53 Transmissibilidade do deslocamento em relação à razão de frequências r Excitação de base 8 Da análise da Fig 53 podese concluir Próximo de r1 ou ressonância a quantidade máxima de movimento da base é transferida para o deslocamento da massa Para valores de ou r1414 a relação de transmissibilidade XY é maior que 1 indicando que para esses parâmetros do sistema wn e wb o movimento da massa é uma amplificação do movimento da base Para um dado valor de r o fator de amortecimento determina o nível de amplificação Fig 53 Transmissibilidade do deslocamento em relação à razão de frequências r 2 r Excitação de base 9 Para a relação de transmissibilidade XY é sempre menor que 1 e o movimento da massa será de amplitude menor do que a amplitude do movimento da base excitadora Nessa faixa de alta frequência o efeito de aumentar o amortecimento é exatamente o oposto do que ocorre no caso de baixa frequência isso é aumentando o amortecimento aumenta a razão de amplitude No entanto a amplitude é sempre menor que 1 para sistemas sub amortecidos Para um fator de amortecimento fixo por exemplo 001 a massa experimenta oscilações de amplitudes maiores do que a excitação da base fornece para e experimenta menores oscilações de amplitude que a excitação da base fornece para Fig 53 Transmissibilidade do deslocamento em relação à razão de frequências r 2 r 2 r 2 r Outra quantidade importante no problema de excitação de base é a força transmitida à massa como resultado de um deslocamento harmônico da base Essa força transmitida é feita através da mola e do amortecedor sendo então a soma dessas duas forças ou como representado no digrama do corpo livre da Fig 51 Essa força deve equilibrar a força inercial da massa m portanto Em regime permanente a solução fica onde FT é a amplitude da força transmitida ou força máxima e é dada por Excitação de base 10 515 y c x y k x F t mx t F t 516 2 1 cos w t F F t b T 517 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 r r r kYr FT 518 A Eq 518 é utilizada para definir a razão de transmissibilidade de força A razão de transmissibilidade de força FTkY expressa uma medida adimensional de como o deslocamento na base de amplitude Y resulta em uma amplitude de força aplicada à massa É importante notar que através das Eq 517 e 510 a força transmitida à massa está em fase com o deslocamento da massa Excitação de base 11 519 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 r r r r kY FT A Fig 54 mostra a transmissibilidade de força como uma função da razão de frequência r para quatro valores de fator de amortecimento Podese notar que ao contrário da transmissibilidade de deslocamento a força transmitida não cai necessariamente para A medida que o amortecimento aumenta a força transmitida aumenta significativamente para Excitação de base 12 Fig 54 Força transmitida à massa em relação à razão de frequências r 2 r 2 r Veja o seguinte vídeo httpswwwyoutubecomwatchvcgoDhBz8c Excitação de base 13 Ex51 A mola de um trailer automotivo se deforma 100 mm com o peso do trailer Encontre a velocidade que causa a ressonância quando o trailer está rodando em uma estrada com um perfil aproximadamente senoidal com amplitude de 80 mm e comprimento de onda de 14 m Determine qual é a amplitude da vibração a 60 kmh Solução X019 m Exemplos 14 14 m 80 mm Para projetar um dispositivo em termos de sua resposta de vibração a resposta desejada deve ser claramente indicada Na prática é normalmente aceito que a melhor indicação de potencial falha estrutural é a amplitude da velocidade da estrutura enquanto que a amplitude de aceleração é a mais perceptível pelos seres humanos A ISO fornece um padrão de níveis aceitáveis de vibração cuja intenção é fornecer uma ferramenta para facilitar as comunicações entre fabricantes e consumidores A Eq 520 denota o valor médio de um parâmetro xt que pode ser o deslocamento a velocidade ou a aceleração O valor quadrático médio ou variância é calculado pela Eq 521 Esses padrões são testados em termos de valores quadráticos médios rms de deslocamento velocidade e aceleração definido pela Eq 522 Níveis aceitáveis de vibrações 15 520 dt x t T x T T 0 1 lim dt x t T x T T 0 2 2 lim 1 521 2 1 0 2 lim 1 x t dt T x T T rms 522 Uma forma conveniente de expressar o valor aceitável de vibração permitido pelas normas ISO é traçálos em um nomograma tal como mostrado na Fig 55 que é uma representação gráfica da relação entre deslocamento velocidade aceleração e frequência para um sistema de um grau de liberdade não amortecido Níveis aceitáveis de vibrações 16 Fig 55 Exemplo de nomograma para especificar níveis aceitáveis de vibração Ex52 Uma peça de máquina está sujeita a uma amplitude rms de vibração de 6 mm A massa e a rigidez são medidas como sendo de 5 kg e 20000 Nm respectivamente Utilizando o nomograma da Fig 55 verifique se esses valores são aceitáveis Determine a velocidade e a aceleração experimentada pela peça Se o padrão representado por essa figura não for cumprido sugira um meio de reprojetar a tampa do mancal para que a resposta satisfaça o padrão exigido Solução Exemplos 17 A vibração pode conduzir a uma série de efeitos indesejáveis Por exemplo a vibração em um automóvel ou caminhão pode levar ao desconforto do motorista e eventualmente à fadiga Falhas estruturais ou mecânicas podem se resultados de vibrações permanentes como por exemplo rachaduras em asas de aviões em componentes eletrônicos embarcados etc O nível de fragilidade dos dispositivos ou seja quanta vibração um determinado dispositivo pode suportar é abordado por várias agências nacionais ou internacionais tais como a ISO por exemplo A forma mais eficaz de reduzir a vibração indesejada é parar ou modificar a fonte da vibração Se isso não for possível podese projetar um sistema de isolamento de vibração para isolar a fonte de vibração O que é um isolador de vibrações É um elemento que conecta a máquina e a fundação com a função de reduzir a amplitude da vibração transmitida pelo equipamento ao meio suspensão direta como em máquinas rotativas bombas motores elétricos geradores etc Ou para proteger o equipamento das vibrações produzidas pelo meio suspensão indireta tais como em equipamentos de precisão balanças computadores e sensores em geral Isolamento de vibrações 18 Garantir o funcionamento adequado do equipamentos Proteger o corpo humano dos efeitos nocivos das vibrações Diminuir o ruído transmitido pela vibração de máquinas etc Razões para uso de isoladores 19 Fig 56 Exemplos de isoladores Razões para uso de isoladores 20 Fig 57 Efeitos de vibração em sistemas com isoladores sem e com amortecimento interno Tipos de isoladores 21 Fig 58 Sistemas isoladores de vibração Considere a vibração de uma máquina parafusada em um piso rígido tal como mostrado na Fig 58a A força transmitida ao piso é igual à força gerada na máquina A força transmitida pode ser diminuída adicionando elementos de suspensão e de amortecimento ou isoladores de vibração como na Fig 58b ou adicionando um bloco de inércia isso é uma grande massa usualmente um bloco de concreto diretamente anexado à máquina Figura 58c Outra opção é adicionar um nível adicional de massa às vezes chamada de massa sísmica novamente um bloco de concreto fundido e suspensão como mostrado na Fig 58d Sistema de isolamento de vibração 22 Uma forma de isolar a fonte de vibração do sistema de interesse ou isolar o dispositivo da fonte de vibração pode ser feito usando materiais altamente amortecidos como borracha por exemplo para alterar a rigidez e amortecimento entre a fonte de vibração e o dispositivo que deve ser protegido O problema de isolar um dispositivo de uma fonte de vibração é analisado em termos de redução do deslocamento de vibração transmitido através do movimento da base O problema de isolar uma fonte de vibração do seu entorno é analisado em termos de redução da força transmitida pela fonte através de seus pontos de montagem Tanto a transmissibilidade de força como a transmissibilidade de deslocamento são chamados de problemas de isolamento Transmissibilidade de força 23 A razão de transmissibilidade também chamada de Tr é definida como a relação entre a intensidade da força transmitida por meio da mola e do amortecedor para a base fixa com a força senoidal aplicada pela máquina modelada como uma massa Assim 523 F0 F T T r Fig 59 Fontes de vibração Dispositivo Fonte de vibração Isolador de vibração Isolador de vibração Movimento de base fonte de vibração Base fixa Fonte de vibração modelada como um movimento da base Fonte de vibração montada sobre o isolador Transmissibilidade de força 24 A força FTt transmitida para a base fixa é a força aplicada à base que atua através da mola e amortecedor dada por A solução para o caso em que a força de excitação seja harmônica na forma F0 foi mostrada anteriormente e é dada como Em regime permanente o primeiro termo da Eq 525 decai para zero após algum tempo e a resposta é então modelada como A derivada primeira da Eq 526 ou velocidade é dada por Substituindo as Eq 527 e 526 na Eq 524 resulta em cx t kx t FT wt X sen w t Ae x t d wnt cos wt X x t cos wXsen wt t x 524 525 526 527 Transmissibilidade de força 25 A amplitude da força transmitida FT pode ser calculada a partir da Eq 528 observando que os dois termos estão defasados em 90 podendo ser considerados como dois vetores perpendiculares A amplitude pode então ser calculada como a soma vetorial dos dois termos isso é A amplitude de deslocamento X em regime permanente é dada por 2 cos cos wt cwX wt kX t FT 2 2 2 2 cw k X cwX kX FT 2 2 2 0 2 2 2 2 0 2 1 2 r r k F w w w w f X n n 528 529 530 Transmissibilidade de força 26 Substituindo o valor de X na Eq 529 e Assim a razão de transmissibilidade Tr pode ser definida como a razão entre a amplitude da força transmitida e a amplitude da força aplicada conforme É importante notar que tanto a Eq 533 como a Eq 514 que apresenta a transmissibilidade do deslocamento X são idênticas Mas mesmo que tenham o mesmo valor eles vêm de diferentes problemas de isolamento e portanto descrevem diferentes fenômenos 2 2 2 2 2 2 0 2 1 c w k r r k F FT 2 2 2 2 0 2 1 2 1 r r r F FT 2 2 2 2 0 2 1 2 1 r r r F F T T r 531 532 533 Transmissibilidade de força 27 Pela análise da Fig 59 podese notar que se Se a razão de frequência r for maior que a amplitude de vibração do dispositivo é menor do que a amplitude de perturbação Y e o isolamento de vibração ocorre Para a amplitude X aumenta isso é X Y O valor do fator de amortecimento determina o quanto menor a amplitude de vibração é para um dado valor de r Próximo à ressonância a Tr é determinada pelo valor de isso é pelo amortecimento do isolador Na região de isolamento quanto menor for menor será o valor de Tr e melhor o isolamento À medida que r aumenta para uma w fixa o valor de Tr diminui Isso corresponde ao aumento da massa ou à diminuição da rigidez do isolador Fig 59 Razão de transmissibilidade em função de r 2 r 2 r 2 2 2 2 0 2 1 2 1 r r r F F T T r 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 r r r Y X Tr Tr Transmissibilidade de força 28 Pela análise da Fig 59 e ampliada na Fig 510 para valores de podese notar que Para grande temse Tr grande Para pequeno temse Tr menor Para r3 e menor que 02 o valor de Tr não é significativamente afetado pelo amortecimento Valor de transmissibilidade menor que 1 significa que a força transmitida ao piso é menor que a força produzida pela máquina rotativa Como o produto 2 r2 é muito pequeno veja a Eq 533 o sistema de isolamento é projetado desprezando o amortecimento isso é 2 r Fig 510 Ampliação da Fig 59 para valores de 2 r 3 para 1 1 1 1 2 2 2 r r r Tr 534 Ábacos de projeto 29 A Eq 534 pode ser utilizada para construir gráficos de projeto para uso na escolha de almofadas de isolamento de vibração para montagem de máquinas rotativas A frequência de excitação de uma máquina rotativa é normalmente especificada em termos de sua velocidade de rotação n em rpm Se n é a velocidade do motor em rpm sua frequência será então Além disso as molas são frequentemente classificadas em termos de deflexão estática definida pela Eq 251 onde m é a massa da máquina e g a aceleração da gravidade Uma terceira quantidade é definida como a redução na transmissibilidade R que é comumente empregada para quantificar a eficácia do isolador de vibração 60 2 n w 535 536 rT R 1 k mg 251 Ábacos de projeto 30 Substituindo a Eq 534 na Eq 536 e isolando r Substituindo w conforme a Eq 535 e isolando k da Eq 251 que relaciona a velocidade do motor com o fator de redução da transmissibilidade R e a deflexão estática da mola Essa expressão pode então ser utilizada para gerar curvas de projeto tomando o logaritmo log da equação ou seja que é uma linha reta em um gráfico loglog para cada valor de R mostrado na Fig 511 R R k m w r 1 2 538 537 R R R R g n 1 2 299093 1 2 30 251 R R n 1 2 log 299093 2 log 1 log Ábacos de projeto 31 Fig 511 Curvas de projeto para vários valores de redução percentual da força transmitida Ábacos de projeto 32 Fig 512 Curvas de projeto para vários valores de redução percentual da força transmitida Exemplos de isoladores mola helicoidal 33 Fig 513 Exemplos de isoladores de vibração em mola helicoidal de aço elastômero Aplicações equipamentos de ar condicionado central ventiladores compressores chillers fancoil bombas elevadores misturadores pressurizadores etc Exemplos de isoladores base de inércia 34 Fig 514 Base de inércia isoladores com mola helicoidal de aço elastômero Aplicações máquinas rotativas em geral Exemplos de isoladores mola de tração 35 Fig 515 Mola de tração para equipamentos suspensos Aplicações equipamentos suspensos Exemplos de isoladores mantas 36 Fig 516 Mantas antivibração sistema massamola Aplicações trens metrôs construções etc Exemplos de isoladores tubulações 37 Fig 517 Isoladores para redes de tubulações Aplicações tubulações em geral linhas de vapor gás ou líquido Exemplos de isoladores vibração e choque 38 Fig 518 Montagem de isoladores em uma prensa Exemplos de isoladores 39 Fig 519 Montagem de isoladores em um motor estacionário Comentários sobre isoladores de vibração 40 A montagem dos isoladores é significativamente menos rígida que o piso e os pés da máquina O projeto não deve usar preferentemente um isolamento menor que 70 no mínimo Para rotações pequenas é requerido um deslocamento grande para alcançar alto grau de isolamento veja Eq 538 Tabela 51 Faixas de aplicação de isolares de vibração R R n 1 2 9093 29 R n R 1 90932 29 2 2 Referência para o grau de isolamento 41 Tabela 52 Valores de referência para o grau de isolamento Piso 42 Para que o isolamento funcione como um todo o piso deve ter massa e rigidez suficiente A rigidez da fundação deve ser maior que 10 vezes a rigidez na suspensão A Tab 53 fornece uma orientação de como deve ser a camada de concreto Se essa camada de concreto estiver sobre terra é possível duplicar a espessura informada Tabela 53 Espessuras de concreto recomendadas Piso 43 Fig 520 Detalhes de piso para máquinas rotativas Instalação de isoladores 44 Fig 521 Detalhes para instalação correta de isoladores Os isoladores devem ser colocados simetricamente em relação ao centro de gravidade da montagem e no mesmo nível O deslocamento deve ser igual em todos os isoladores Se a força sobre eles é desigual devese utilizar isoladores diferentes para conseguir deslocamentos iguais Instalação de isoladores 45 Fig 522 Detalhes para a escolha correta de isoladores Quando uma máquina operar em regime permanente por muito tempo podese utilizar molas como isoladores pois tem pouco amortecimento Quando a máquina operar em condições de parada e partida muito frequentes isso é passa muitas vezes pela ressonância é preferível utilizar isoladores de borracha com alto grau de amortecimento para reduzir a vibração na frequência de ressonância embora reduzindo um pouco o isolamento quando operando em regime permanente Instalação de isoladores 46 Fig 523 Detalhes para a instalação de isoladores com relação ao centro de inércia do conjunto Se houver dificuldade para posicionar os isoladores no mesmo nível que o centro de gravidade a distância entre os isoladores necessita ser maior que a distância entre o centro de gravidade e o nível dos isoladores Base de inércia 47 Tabela 54 Recomendações para montagem de uma base de inércia Quando a força vibratória é grande eou a rotação é pequena é recomendável adicionar uma massa extra para diminuir a frequência natural fn e aumentar r Ex53 Verificar o grau de isolamento de uma máquina com uma frequência de operação igual a 1000 ciclos por minuto ou rpm e um deslocamento estático do sistema montado de 8 mm Solução Tr 0125 Exemplos 48 Ex54 Um sistema de controle eletrônico para um motor de automóvel deve ser montado na parte superior do parachoque dentro do compartimento do motor como mostrado na figura abaixo Para protegelo da fadiga e da falha é desejável isolar o módulo da vibração produzida na carroceria pelo motor e estrada Projete um isolador de vibração se a massa do módulo for de 3 kg e a vibração dominante do parachoque for aproximada por yt001 sen 35t m Aqui é desejável manter o deslocamento do módulo inferior a 0005 m em todo instante Uma vez que os valores de projeto para isoladores são escolhidos calcule a amplitude da força transmitida ao módulo através do isolador Solução c 2428 kgs k 12279 Nm FT 1837 N e 0024 m Exemplos 49 Ex55 Utilizando o ábaco da Fig 512 determine os parâmetros de um sistema de isolamento de vibração de um compressor O compressor opera na rotação de 750 rpm possui massa de 15000 kg e desejase que a atenuação de vibração seja de R90 isso é com uma transmissibilidade igual a 10 Solução 178 mm eou k827x106 Nm Exemplos 50 Observação do Ex 55 51 Como Isolando r da segunda equação E que Temos que 1 1 e 2 2 r T w f r n n r r r T T r r T 1 1 1 2 2 2 e que w f w w r n r r r r r r r r n n T T f T T f T T w T T w wr w f 1 2 1 2 12 2 1 2 2 1 2 r r n T f T f 539 Observação do Ex 55 52 Outra forma de resolver o problema do Ex 55 é Pela Eq 539 Como Hz rpm n f 12 5 60 750 60 Hz T f T f r r n 3 77 1 10 10 5 12 1 2 2 2 2 2 2 2 n n n n n n f m k f m k f w w f N m x Hz kg f m k n 8 42 10 3 77 4 15000 2 6 2 2 2 m N m x m s kg k mg 01747 0 42 10 8 9 81 15000 6 2 Ex56 Considere a unidade de disco de um computador O motor da unidade de disco está montado sobre uma almofada de amortecimento e tem uma massa de 3 kg e opera a 5000 rpm Calcule a rigidez do isolador para uma redução de 95 na força transmitida ao chassi Determine a folga necessária entre o motor e o chassi Solução 178 mm eou k827x106 Nm Exemplos 53 Vídeos 54 httpswwwyoutubecomwatchvwHTsYXruww httpswwwyoutubecomwatchvuxBVae5XAIM httpswwwyoutubecomwatchv1yJ3hEoF9Ug httpswwwyoutubecomwatchv9fBY993Nf84 httpswwwyoutubecomwatchvqh22kIw2os httpswwwyoutubecomwatchvdlbuquaFWL4