Movimento Harmônico: Método de Energia e Rigidez

Aula 2 Movimento harmônico método de energia e rigidez 1 Universidade do Vale do Rio dos Sinos Escola Politécnica Engenharia Mecânica 1º Semestre2022 Movimento harmônico 2 As propriedades cinemáticas fundamentais de uma partícula movendose em uma dimensão são deslocamento velocidade e aceleração e para um sistema massa mola essas equações foram apresentadas anteriormente e aqui repetidas Analisandose essas equações percebese as diferentes amplitudes de cada quantidade Para sistemas com frequência natural wn maior que 1 rads a amplitude relativa da resposta em velocidade é maior que a da resposta em deslocamento por um múltiplo de wn e a resposta em aceleração é maior que a de deslocamento por um múltiplo de wn 2 Para sistemas com frequência natural wn menor que 1 rads a velocidade e a aceleração tem amplitudes relativas da resposta menores do que o deslocamento Asen w t x t n 15 w t w A x t v t n n cos 16 w Asen w t x t a t n n 2 17 Lembrar que se após uma perturbação inicial um sistema continuar a vibrar por si próprio sem a ação de forças externas a frequência com que ele oscila é conhecida como frequência natural Movimento harmônico 3 Também pode ser observado analisando a figura abaixo que a velocidade está 90 ou 2 rad fora de fase com o deslocamento pois e que a aceleração está 180 fora de fase com o deslocamento e 90 fora de fase com a velocidade cos 2 sen 2 Fig 21 Relação entre deslocamento velocidade e aceleração 2 2 Movimento harmônico 4 Essas três curvas são apresentadas no mesmo gráfico conforme a Fig 21a Na posição de equilíbrio a velocidade é máxima e a aceleração a cai para zero O movimento harmônico simples é caracterizado por essa aceleração variável que sempre é direcionada para a posição de equilíbrio e é proporcional ao deslocamento da posição de equilíbrio Fig 21a Relação entre deslocamento velocidade e aceleração 2 2 A frequência natural wn definida pela Eq 19 descreve a propriedade repetitiva da oscilação O tempo que o ciclo leva para se repetir é o período T em segundos que está relacionado com a frequência natural conforme a Eq 111 A frequência fn em Hz é dada pela Eq 110 Movimento harmônico 5 m k wn 19 k m w T n 2 2 111 2 n n f w 110 A Eq 14 vista anteriormente apresenta a mesma equação diferencial do pêndulo e do sistema torcional ambos mostrados na Fig 16 na Aula 1 Assim o pêndulo terá a mesma forma de solução da Eq 15 e sua frequência natural angular é dada pela Eq 21 onde g é a aceleração da gravidade e l é o comprimento da barra do pêndulo O período de oscilação do pêndulo é dado pela Eq 22 Para o sistema torcional simples a frequência natural angular é dada pela Eq 23 E o período pela Eq 24 onde J é o momento de inércia de massa da massa m em kgm2 Movimento harmônico 6 21 g l w T n 2 2 l g wn 22 J k wn k J w T n 2 2 23 24 Movimento harmônico 7 Ex21 Considere uma mola de 30 mm de comprimento presa a uma mesa estacionária em relação ao solo e a outra extremidade com uma massa m de 50x103 kg livre para moverse A constante elástica da mola é de k 858 Nm Calcule a frequência e o período Determine também a amplitude máxima da resposta se a mola for inicialmente defletida 10 mm Assuma que a mola esteja orientada na direção da força da gravidade Movimento harmônico 8 Ex22 Um peso de 043 N está suspenso de uma mola de k 22 Nm O movimento oscilatório da massa tem uma velocidade máxima de 0381 ms Determine a a frequência natural em Hz e em rads b o período e c e as amplitudes de deslocamento e de aceleração Solução wn224 rad e 357 Hzs T028 s xmaxA 0017 m e amax 853 ms2 Movimento harmônico 9 Ex23 A aceleração de uma parte de uma máquina modelada como um sistema massamola é medida e registrada conforme a figura abaixo Calcule a amplitude do deslocamento da massa Tempo t em s Aceleração ms2 Como a posição a velocidade e a aceleração mudam continuamente com o tempo várias outras quantidades são utilizadas para discutir a vibração de um sistema Assim Valor de pico é definido como o deslocamento máximo ou amplitude A e é utilizado frequentemente para indicar a região no espaço em que o objeto vibra É útil para indicar o nível de sinais de curta duração como choques por exemplo Valor médio leva em conta a variação da onda porém de uma maneira rudimentar sua aplicação prática é limitada Valor quadrático médio ou variância como o quadrado do deslocamento está associado à energia potencial de um sistema é uma informação importante no estudo da vibração Terminologia 10 dt x t T x T T 0 lim 1 25 dt x t T x T T 0 2 2 lim 1 26 RMS ou valor eficaz é a medida mais importante da amplitude porque leva em conta a cronologia da onde e considera o valor da amplitude da onda que está diretamente ligado à energia contida na onda Terminologia 11 x2 RMS 27 Fig 22 Valores características de uma resposta de sinal RMS root mean square raiz quadrática média Uma opção de representação do espectro de frequências e outras magnitudes é usar uma escala logarítmica que tem por efeito ampliar as frequências menores e comprimir as mais altas As escalas logarítmicas também são usadas para traçar as amplitudes de vibração Usase assim uma escala em decibéis Decibel dB para amplitudes onde x1 é o valor medido da amplitude ou sinal medido x0 é o valor da amplitude ou sinal de referência O decibel é utilizado para quantificar até que ponto o sinal medido x1 está acima do sinal de referência x0 Escalas logarítmicas e decibéis 12 0 1 20log10 x x dB 28 Os níveis de referência recomendados pela norma ISO R 1683 são Escalas logarítmicas e decibéis 13 Magnitude Definição dB Referência Eq Nível de aceleração Nível de velocidade Nível de pressão sonora 0 20log10 a a La 0 20log10 v v Lv 2 6 0 10 m s a 28 2 9 0 10 m s v 29 0 20log10 p p Lp 2 5 0 2 10 N m x p 210 Considere novamente a equação diferencial do movimento como mostrada anteriormente pela Eq 14 E a solução dessa equação para o deslocamento xt mostrada na Eq 116 Uma outra solução para a Eq 14 poderia ser escrita na seguinte forma onde a e são constantes não nulas que devem ser determinadas Diferenciando essa equação 1 e 2 vezes resulta em e Notação complexa 14 0 kx t x t m 14 116 0 0 1 2 0 2 2 0 tan v w x sen w t w w x v x t n n n n ae t x t 211 ae t x t 212 ae t x t 2 213 Velocidade Aceleração Substituindo essa forma exponencial na Eq 14 Como o termo não pode ser zero Essa equação pode ser resolvida algebricamente ficando como Como onde é o número imaginário e é a frequência natural Notação complexa 15 0 kx t x t m 14 215 t ae 217 216 214 0 2 t t kae ae m 0 0 2 2 k m ae ae k ae ae m t t t t m k w j m j k m k n 1 1 j m k wn Como há dois valores para pois a Eq 215 é de 2ª ordem Isso vale também para a Eq 14 Assim as duas soluções para xt são Como a Eq 14 é linear a soma das duas soluções também é uma solução e portanto o deslocamento xt pode ser escrito como onde a1 e a2 são constante de integração de valores complexos Notação complexa 16 219 218 220 w j j w n n e jw t jw t n n a e x t a e x t 2 1 e jw t jw t n n a e a e x t 2 1 Números complexos A Eq C1 representa uma fórmula quadrática cujas duas raízes x1 e x2 podem se obtidas a partir da aplicação da fórmula de Bhaskara Se o discriminante for negativo ou b24ac não haverá raízes reais No entanto ainda haverá duas raízes Cada raiz será um número contendo dois termos um número real e um múltiplo de O múltiplo de i é chamado de número imaginário Um número complexo z pode ser escrito como onde a e b são números reais A quantidade a é chamada de parte real de z ou Rez e a quantidade b é chamada de parte imaginária de z ou Imz Apêndice C 17 C1 0 2 c bx ax a ac b b x 2 2 4 1 i bi a z C2 C3 Números complexos O número complexo z pode ser representado como um ponto no plano chamado de plano complexo como mostrado na figura abaixo onde o eixo x é o eixo real e o eixo y é o eixo imaginário As relações ar cos e br sen podem ser utilizadas para escrever o número complexo z em coordenadas polares o ângulo de rotação no sentido antihorário e a distância r onde é chamado de magnitude de z Apêndice C 18 C4 a ac b b x 2 2 4 2 2 b a r rsen i r z cos C5 Números complexos Quando um número complexo é adicionado ou subtraído as partes real e imaginária são somadas ou subtraídas separadamente Assim Quando dois números complexos são multiplicados cada parte de um número é multiplicada pela parte do outro número O conjugado complexo z do número imaginário z é obtido substituindo i por i assim Isso significa que quando uma equação quadrática tem raízes complexas as raízes são números conjugados complexos na forma Apêndice C 19 C7 C6 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 b i b a a b i a b i a z z b i b i a a 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 a b i a b b b a a z z b b i a b i a b i a a b i b i a a z z i bi a bi a z C8 a bi Números complexos O produto de um número complexo pelo seu conjugado complexo é dado por Considerando a forma exponencial Usando esse resultado um número complexo qualquer pode ser expresso como Apêndice C 20 C11 C10 isen ei cos 2 2 2 1 2 2 2 r b a b i abi abi a bi bi a a zz i C9 rei irsen r bi a z cos Resumindo A solução da Eq 14 sujeita a condições iniciais diferentes de zero pode ser escrita de 3 formas equivalentes Primeiro a solução fica A segunda solução é dada por onde A e são constantes de valores reais A terceira solução é dada por onde A1 e A2 são constantes de valores reais Formas de representações equivalentes do MH 21 0 kx t x t m 14 221 115 1 2 1 j m k w a e a e x t n jw t jw t n n Asen w t x t n w t A A sen w t x t n n 2 cos 1 222 Cada conjunto de duas constantes é determinado pelas condições iniciais x0 e v0 As componentes são relacionadas pelas seguintes expressões Observe que a1 e a2 são um par complexo conjugado tal que A1 e A2 são ambos números reais desde que as condições iniciais sejam reais como é normalmente o caso Formas de representações equivalentes do MH 22 224 1 2 1 2 2 2 1 tan e A A A A A 223 2 1 2 2 1 1 e a a A j a a A 2 e 2 1 2 2 1 2 1 A j A a A j A a 225 Modelagem é o processo de escrever uma equação ou sistema de equações para descrever o movimento de um dispositivo físico Como foi visto anteriormente um sistema massamola foi modelado realizandose um diagrama de forças agindo sobre a massa utilizando a 2ª Lei de Newton O sucesso de um modelo é determinado pela exatidão com que sua resposta prediz o comportamento observado e medido de um sistema real Outros dois métodos de modelagem serão aqui analisados Método do equilíbrio de forças Utiliza a 2ª Lei de Euler que diz que a taxa de variação do momento angular é igual à soma dos momentos externos agindo sobre a massa Essa lei pode ser manipulada para ser anunciada como a soma dos momentos que agem sobre uma massa é igual à sua inércia de rotação vezes sua aceleração angular Da mesma forma que a 2ª Lei de Newton faz uso de diagramas de corpo livre e a identificação de forças e momentos agindo sobre o corpo Método de energia Não necessita de diagramas de corpo livre mas demanda o entendimento da energia envolvida em um sistema sendo uma alternativa útil quando as forças não são fáceis de determinar Modelagem e métodos de energia 23 Como visto anteriormente pela 2ª Lei de Newton para o movimento ao longo da direção x somente onde Fxi indica a iésima força atuando sobre a massa m ao longo da direção x Para corpos rígidos em movimento plano onde todas as forças são coplanares em um plano perpendicular a um eixo principal e livres para girar a 2ª Lei de Euler diz que a soma dos torques aplicados é igual à taxa de variação do momento angular da massa isso é onde M0i são os torques agindo sobre o corpo em torno do ponto 0 J é o momento de inércia de massa também chamado de I0 em torno do eixo de rotação e é o ângulo de rotação Modelagem e métodos de energia 24 i xi mx F 226 i i J M 0 227 Se as forças ou torques agindo sobre um objeto ou peça mecânica são difíceis de determinar pode ser utilizado o método das energias Nesse método a equação diferencial de movimento é determinada usando o princípio da conservação da energia e afirma que a soma da energia potencial e da energia cinética de uma partícula permanece constante em cada instante de tempo ao longo do movimento da partícula isso é onde T e U representam a energia cinética total e a energia potencial total respectivamente A conservação da energia também implica que a variação na energia cinética deve ser igual à variação na energia potencial isso é onde U1 e U2 representam a energia potencial da partícula nos instantes t1 e t2 respectivamente enquanto que T1 e T2 representam a energia cinética da partícula nos instantes t1 e t2 respectivamente Para o movimento periódico a conservação de energia também implica que Modelagem e métodos de energia 25 T U constante 228 max max U T 229 1 2 2 1 T T U U 230 Considerando o sistema massamola apresentado na Fig 23 onde o efeito do acréscimo da massa m sobre a mola com massa desprezível e rigidez k é alongar a mola de sua posição de repouso em 0 para a posição de equilíbrio estático A energia potencial total do sistema massamola é a soma da energia potencial da mola ou energia de deformação e a energia potencial gravitacional isso é e a energia potencial gravitacional é onde o sinal negativo indica que x0 é a referência para a energia potencial zero A energia cinética do sistema é dada por Modelagem e métodos de energia 26 2 2 1 x k Umola 231 232 mgx U gravitacional 233 Fig 23 Sistema massamola em um campo gravitacional g 2 2 1 mx T k mg Deflexão estática Substituindo essas expressões de energia na Eq 227 Derivando a Eq 234 em relação ao tempo chegase a Como o equilíbrio estático de força sobre massa da Fig 23 resulta em kmg a equação anterior fica E como a velocidade não pode ser zero em todo tempo pois nesse caso xt constante e nenhuma vibração seria possível a Eq 235 fica Esse procedimento é chamado método de energia de obter a equação de movimento Modelagem e métodos de energia 27 234 235 x mx kx 0 236 constante 2 1 2 1 2 2 x k mgx x m T U constante 228 x kx 0 m 0 mg x k kx x mx Como foi visto anteriormente O deslocamento máximo é E a velocidade máxima é Substituindo a Eq 238 nos valores nas Eq 233 E substituindo a Eq 237 na Eq 231 E pela Eq 230 a frequência natural será Modelagem e métodos de energia 28 237 Asen w t x t n 15 w t w A x t n n cos 16 17 A x t max w A x t n max 2 max 2 2 1 2 1 m w A T mx T n 238 239 2 max 2 2 1 2 1 k A U x k Umola 240 max max U T m k w k A m w A n n 2 2 2 1 2 1 241 Um comportamento semelhante a uma mola resulta de uma variedade de configurações incluindo movimento longitudinal vibração na direção do comprimento movimento transversal vibração perpendicular ao comprimento e movimento torcional vibração torcional em torno do comprimento Rigidez 29 Fig 24 Movimentos similares ao de uma mola Para um material delgado de comprimento l área da seção transversal A e módulo de elasticidade E ou módulo de Young a rigidez da barra para uma vibração longitudinal é dada por A unidade para o módulo de elasticidade E é Pa ou Nm2 a área em m2 e o comprimento l em m de forma que a unidade para a rigidez seja Nm Nesse caso a massa da haste é desprezada ou é muito pequena Rigidez 30 Fig 25 Rigidez associada à vibração longitudinal l k EA 242 Módulo de elasticidade E para alguns materiais comuns Rigidez 31 Tabela 21 Constantes físicas para alguns materiais Aço Alumínio Bronze Cobre Concreto Borracha Madeira Módulo de cisalhamento Para um movimento torcional com uma haste equivalente de seção transversal circular Nesse caso a haste possui um momento de inércia polar JP e módulo de cisalhamento G Para o caso de um fio ou eixo de diâmetro d E a rigidez torcional é dada por Rigidez 32 Figura 26 Rigidez associada à vibração torcional 32 d4 J P 243 l GJ k P 244 l d J k wn 22 Para o caso de uma mola helicoidal a deflexão da mola está ao longo do eixo da espira A rigidez é dependente da torção da haste de metal que forma a mola Assim a rigidez dessa mola é dada por onde G é o módulo de cisalhamento d é o diâmetro da haste R é o raio da espira e n é o número de espiras Rigidez 33 Figura 27 Rigidez associada à uma mola helicoidal 245 3 4 64nR k Gd A vibração transversal da extremidade de uma mola de feixe e representada na Fig 28 cujo comportamento é similar à suspensão traseira de um automóvel bem como as asas de alguns aviões Assim a rigidez desse sistema é dado por onde E é o módulo de elasticidade de Young da viga em Nm2 l é o comprimento da viga em m e I é o momento de inercia de área da seção transversal em m4 A massa m na extremidade livre da viga oscilará na direção perpendicular ao comprimento da viga xt com frequência igual a Rigidez 34 Figura 28 Rigidez associada à uma vibração transversal 246 3 3 l EI k 3 3 ml EI m k wn 247 Ex24 Considere uma asa de avião com um tanque de combustível montado em sua extremidade livre como mostrado abaixo O tanque tem uma massa de 10 kg quando está vazio e 1000 kg quando está cheio Calcule a mudança na frequência natural de vibração da asa modelada como uma viga elástica à medida que o avião gasta o combustível do tanque Os parâmetros físicos estimados da viga são I 52x105 m4 E 69x109 Nm2 e l 2 m Rigidez 35 Ex25 Calcule a frequência natural de oscilação do sistema torcional mostrado na figura abaixo Rigidez 36 3 3 l EI k l d Ex26 Aproveitando a solução do problema 24 resolva Uma roda está montada em um eixo de aço de 15 m de comprimento e 8 mm de raio A roda é girada 5 graus e solta O período de oscilação medido é de 23 s e o módulo de cisalhamento igual a G 83x109 Nm2 Determine o momento de inércia de massa da roda J Solução Rigidez 37 3 3 l EI k l d 38 Momentos de inércia de massa Tabela 22a Momentos de inércia de massa Momento de inércia de massa resistência oposta por um corpo em rotação a uma mudança em sua velocidade de giro 39 Momentos de inércia de massa Tabela 22b Momentos de inércia de massa Momento de inércia de massa resistência oposta por um corpo em rotação a uma mudança em sua velocidade de giro 40 Momentos de inércia polar Tabela 23 Momento polar de inércia J ou também representado como Jp Momento polar de inércia também conhecido como segundo momento polar de área é uma quantidade usada para descrever resistência à deformação torcional em objetos cilíndricos com uma seção transversal invariante e sem empenamento significativo No Si a unidade é m4 41 Exemplos de constante da mola Tabela 24 Constantes da mola 42 Momentos de inércia de área Tabela 25 Momentos de inércia de área I Momento de inércia de área uma propriedade de uma seção plana de um corpo que tem relação com a resistência à deformação No Si a unidade é m4 Em muitas aplicações múltiplas molas são utilizadas necessitandose encontrar a constante equivalente da mola para esse conjunto Molas em paralelo A constante equivalente da mola é dada por Rigidez equivalente de molas série e paralelo 43 Figura 29 Associação de molas em paralelo 248 n i i n e k k k k k 1 2 1 Note que para a associação em paralelo todas as molas apresentam a mesma deflexão Molas em série A constante equivalente da mola é dada por ou Rigidez equivalente de molas série e paralelo 44 249 n i i e n e k k k k k k 1 2 1 1 1 1 1 1 1 n e k k k k 1 1 1 1 1 1 2 1 250 Figura 210 Associação de molas em série Para uma associação de molas em série a deflexão de cada mola é independente das demais função apenas de sua rigidez k Ex27 Considerando a configuração de massa e molas mostrada abaixo calcule a frequência natural do sistema Solução 45 Rigidez equivalente de molas série e paralelo m k wn Ex28 Considere o sistema abaixo onde k5 0 Compare a rigidez e a frequência natural de uma massa de 10 kg ligada ao solo primeiro por duas molas em paralelo k3k4 0 k11000 Nm e k23000 Nm e depois considerando duas molas em série k1k2 0 k31000 Nm e k43000 Nm Solução 46 Rigidez equivalente de molas série e paralelo O exemplo anterior mostra que a utilização de dois conjuntos idênticos de molas ligadas à mesma massa de duas formas distintas geram rigidezes e frequências diferentes Uma ligação em série diminui a rigidez equivalente enquanto uma ligação em paralelo aumenta a rigidez equivalente Essas observações mostram que valores fixos de constantes de mola podem ser utilizados em diversas configurações para produzir o valor desejado de rigidez e frequência em um projeto Como as molas são fabricadas apenas em certos incrementos de valores de rigidez que depende de propriedades como número de enrolamento material etc o projetista pode utilizar essas associações para chegar ao valor desejado de rigidez e frequência natural 47 Rigidez equivalente de molas série e paralelo Ex29 A figura abaixo mostra uma força horizontal F atuando em uma alavanca pivotada em 0 que está presa a duas molas Suponha que o movimento resultante seja pequeno o suficiente para ser apenas horizontal e determine a expressão para a constante de mola equivalente que relaciona a força aplicada ao deslocamento resultante x Solução 48 Rigidez equivalente de molas série e paralelo 128 mm 152 mm 51 mm F Deve ser lembrado durante o projeto realizar uma análise estática quando se utilizam molas isso é analisar a deflexão estática de cada sistema de mola para certificar de que a análise dinâmica está corretamente interpretada A deflexão estática é dada por onde m é a massa suportada pela mola de rigidez k em um campo gravitacional com aceleração da gravidade g 49 Deflexão estática k mg 251