Desbalanceamento Rotativo e Velocidade Crítica de Discos Rotativos

Aula 6 Desbalanceamento rotativo e Velocidade crítica de discos rotativos 1 Universidade do Vale do Rio dos Sinos Escola Politécnica Engenharia Mecânica 2º Semestre2021 Em uma máquina rotativa como um motor um gerador uma turbina e assim por diante sempre há um desequilíbrio porque o centro de rotação nunca coincide com o centro da massa do rotor Mesmo que a excentricidade seja pequena isso resulta em uma força centrífuga rotativa no rotor com uma amplitude significativa porque a força centrífuga é proporcional ao quadrado da velocidade angular Além disso uma força centrífuga rotativa resulta em uma excitação senoidal na estrutura e portanto pode levar a uma grande magnitude da vibração estrutural por causa do fenômeno de ressonância Esse comportamento é chamado de desbalanceamento rotativo Um esquema de tal desbalanceamento rotativo de uma massa mo a uma distância e do centro de rotação é mostrada na Fig 61 Desbalanceamento rotativo 2 Fig 61 Modelo de uma máquina causando movimento de base Desbalanceamento rotativo 3 A frequência de rotação da máquina é indicada por wr A somatória de forças da direção vertical x do diagrama de corpo livre da massa excêntrica m0 conforme Fig 62a O braço de comprimento e gira a uma velocidade angular wr rads A massa principal oscila na direção vertical como consequência do giro do braço com a massa m Consequentemente temse um sistema de dois corpos e assim podese escrever a seguinte lei do movimento para esse caso onde ag é a aceleração do centro de massa e mi é a massa de cada parte 61 Fig62 Diagrama de corpo livre do desbalanceamento a e da máquina b n i g i ext m a F 1 Desbalanceamento rotativo 4 Dessa força de acordo com a 2ª Lei de Newton A soma das forças do diagrama de corpo livre da máquina conforme a Fig 62b fica em 63 r r F x m x 0 Fig62 Diagrama de corpo livre do desbalanceamento a e da máquina b kx cx F m x m r 0 62 Desbalanceamento rotativo 5 Combinando as Eq 62 e 63 resulta em As forças na direção horizontal são canceladas pelas existência das guias laterais e não são consideradas Se a máquina gira com wr constante o componente x do movimento da massa m0 é e então a derivada 2ª ou aceleração é dada por Substituindo a Eq 65 em 63 64 esen w t x r r m ew sen w t kx cx mx r r 2 0 67 65 0 0 kx cx m x mx r ew sen w t x r r r 2 66 Desbalanceamento rotativo 6 Pode ser notado que a Eq 67 é similar à Eq 44 com exceção do deslocamento de fase da função de excitação isso é sen wrt em vez de cos wt onde m0ewr 2 é a força centrífuga Assim a solução tem o mesmo procedimento e resulta na solução particular na forma Considerando que A amplitude do deslocamento da massa m devido à massa desbalanceada m0 e a fase são dadas por 67 n r w w r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 r r r m e m cw mw k m ew X o r r r o 69 610 Xsen w t t x r p 68 wt F kx t mx t 0 cos 44 m ew sen w t kx cx mx r F r 0 2 0 2 1 1 2 tan r r 611 Desbalanceamento rotativo 7 Observe que a massa m da Eq 610 é a massa total da máquina e inclui a massa excêntrica m0 O termo da esquerda da Eq 610 representa o fator de amplificação de massas rotativas desbalanceadas definido como N onde X é a amplitude ou deslocamento da massa principal mm0 e representa fisicamente o ângulo do braço excêntrico relativo à horizontal e é o ângulo quando o corpo principal está na posição neutra O termo É chamado de desbalanceamento relativo do rotor 612 2 2 2 2 2 1 r r r m e Xm N o m moe Desbalanceamento rotativo 8 A amplitude do deslocamento em regime permanente X em função da velocidade de rotação frequência é mostrada no gráfico apresentado na Fig 63 Fig63 Amplitude do deslocamento adimensional em relação a r devido ao desbalanceamento rotativo da massa m0 e raio e Desbalanceamento rotativo 9 A partir da Fig 63 podese notar que Todas as curvas começam na amplitude zero O deslocamento máximo é menor ou igual a 1 para qualquer sistema com 1 Isso indica que o aumento na amplificação da amplitude causada pelo desbalanceamento pode ser eliminado aumentando o amortecimento no sistema No entanto verificase que quando wr é tal que r1 o efeito do desbalanceamento é limitado Para valores de r grandes todas as curvas de amplitude para cada valor de se aproximam da unidade de forma que a escolha do grau de amortecimento não é importante Fig63 Amplitude do deslocamento adimensional em relação a r devido ao desbalanceamento rotativo da massa m0 e raio e Desbalanceamento rotativo 10 A partir da Fig 63 podese notar que Para 0 o valor máximo de N ocorre quando E o valor máximo de N será e o pico ocorre à direita do valor de ressonância r1 Para N não atinge o máximo Seus valores crescem desde zero em r0 para 1 em r Sistemas com 0707 não apresentam ressonância por tanto para essas condições N1 2 1 1 2 1 1 0 2 r m e Xm dr d o 613 2 max max 1 2 1 m e Xm N o 614 2 1 Desbalanceamento rotativo 11 Definese como a distância que separa o centro de gravidade do sistema do centro de rotação do rotor Essa distância é chamada de excentricidade ou desbalanceamento relativo do sistema rotor A amplitude depende do produto que é chamado de desbalanceamento absoluto do rotor Se e ou m0 forem pequenos a amplitude será pequena É muito importante reduzir esse produto tanto quanto possível para evitar vibrações transversais em rotores e eixos A forma de efetuar essa redução é através do balanceamento dos sistemas rotativos m em0 615 em0 Desbalanceamento rotativo 12 Os valores do desbalanceamento relativo e absoluto do rotor estão indicados para cada máquina na norma ISO 21940 ou na NBR 14R Na prática não é possível eliminar totalmente o desbalanceamento porém o máximo para cada equipamento está normatizado O desbalanceamento absoluto é quantificado em gmm e o desbalanceamento relativo Eq 615 em gmmkg É definida uma qualidade de balanceamento que depende do tipo de equipamento Com o tipo de equipamento se obtém a qualidade de balanceamento requerida GRA como mostra a Tab 61 em0 Desbalanceamento rotativo 13 Na tabela eperw é o desbalanceamento residual específico permissível ou desbalanceamento relativo em gmmkg e w é a velocidade angular em rads Através da Fig 64 é possível encontrar o valor do máximo desbalanceamento residual admissível tendo a classe G e a velocidade máxima de operação em rpm Tabela 61 Grau de qualidade de balanceamento de acordo com o equipamento Desbalanceamento rotativo 14 Figura 64 Máximo desbalanceamento residual específico permissível Velocidade de operação n rpm Desbalanceamento residual específico permitido eper gmmkg Desbalanceamento rotativo 15 Por exemplo suponha um portaferramentas com massa de 1 kg que deve operar na rotação de 25000 rpm De acordo com o fabricante a classe de balanceamento G deve ser de 25 De acordo com a Fig 64 o valor corresponde aproximadamente a 1 gmmkg Esse cálculo também pode ser realizado analiticamente conforme a Eq 616 O máximo desbalanceamento residual específico permissível é então De forma similar podese encontrar o máximo desbalanceamento residual específico permissível para uma turbina a gás operando a 4000 rpm De acordo com a Tab 61 a classe G é de 25 Assim pelo ábaco mostrado na Fig 64 o valor encontrado corresponde aproximadamente a 6 gmmkg m e e e n G 1 9549 25000 52 9549 616 kg g mm kg kg g kg m mm x m kg e m 1 1 1 1000 1 1 1 10 1 3 0 Transmissibilidade de força 16 Também é importante analisar a transmissão de forças para o caso de massas rotativas A relação para a força máxima transmitida é obtida substituindo a força aplicada pela máquina F0 pelo produto m0ewr que representa Fr nas equações da força transmitida por excitação harmônica Assim a força transmitida para a base devido a uma força desbalanceada FT pode ser obtida da Eq 532 Multiplicando numerador e denominador por km na Eq 617 Assim a transmissibilidade por massas rotativas desbalanceadas resulta em 617 2 2 2 2 0 2 1 2 1 r r r F FT 532 2 2 2 2 2 0 2 1 2 1 r r r m ew F r T 2 2 2 2 2 2 0 2 1 2 1 r r r mw m ew k F n r T 618 2 2 2 2 2 0 2 1 2 1 r r r r m m ek F T T r 619 Ex61 Um motor elétrico com massa m de 100 kg está montado sobre isoladores cuja constante de rigidez equivalente k é de 1x106 Nm e coeficiente de amortecimento c igual a 2000 Nsm O motor possui um desbalanceamento de 10 kgcm Determine a amplitude de vibração do motor quando ele operar a 3000 rpm Solução Exemplos 17 rad s rpm n wr 31416 60 3000 2 60 2 rad s kg N m x m k wn 100 100 1 10 6 31416 100 31416 s rad s rad w w r n r 10 100 100 2 000 2 2 rad s kg m Ns mw c n 2 2 2 2 2 1 r r r m m e X o A frequência de excitação é dada pela Eq 535 A frequência natural do sistema é A relação de frequências é E o fator de amortecimento dado pela Eq 213 A amplitude de deslocamento em regime permanente é então calculada pela Eq 610 m kg cm m cm kg X 00111 0 31416 10 2 31416 1 1416 3 100 1 10 10 2 2 2 2 2 Ex62 Um motor desbalanceado com massa igual 15 kg e velocidade variável está montado sobre isoladores de vibração Durante a partida observase que a amplitude de vibração do motor é de 14 mm na ressonância e 38 mm muito além da ressonância Determine o fator de amortecimento do isolador e o desbalanceamento do motor Solução 0136 e m0e 0057 kgm Exemplos 18 Ex63 Considere uma máquina com desbalanceamento rotativo como descrito na Fig 61 Na ressonância mede se o deslocamento máximo de 01 m A partir do decaimento livre o sistema o fator de amortecimento é estimado em 005 A partir dos dados de fabricação a massa excêntrica m0 é estimada em 10 Estime o raio e portanto a localização aproximada da massa excêntrica Determine também quanta massa deve ser adicionada uniformemente ao sistema para reduzir o desbalanceamento na ressonância para 001 m Solução e01 m m9xm Exemplos 19 Ex64 Um motor elétrico de massa m montado em uma base elástica vibra com uma deflexão de 015 m na ressonância conforme figura abaixo Sabese que a massa desequilibrada do motor é de 8 da massa do rotor devido às tolerâncias de fabricação utilizadas e a taxa de amortecimento da fundação é 0025 Determine o seguinte a a excentricidade ou localização radial da massa desbalanceada e b o pico de deslocamento do motor quando a razão de frequência varia de ressonância e c a massa adicional a ser adicionada uniformemente ao motor se o deslocamento do motor na ressonância deve ser reduzido para 01 m Suponha que a massa excêntrica permaneça inalterada quando a massa adicional for adicionada ao motor Solução e009375 m Xmax 015005 m m05 x m Exemplos 20 Ex65 A figura abaixo mostra um diagrama esquemático de uma turbina hidráulica Francis onde a água escoa de A para o impelidor B e para baixo na descarga C O impelidor tem uma massa de 250 kg e um desbalanceamento m0 e de 5 kgmm A folga radial entre o impelidor e a carcaça é de 5 mm A turbina opera em uma faixa de velocidades de 600 a 6000 rpm O eixo de aço que suporta o impelidor pode ser considerado como preso nos rolamentos Determine o diâmetro do eixo de modo que o impelidor esteja sempre livre da carcaça em todas as velocidades de operação da turbina Suponha que o amortecimento seja insignificante Solução D 01281 m Exemplos 21 Velocidades críticas de discos rotativos 22 Em muitas aplicações tais como turbinas compressores motores elétricos e bombas por exemplo um rotor ou impelidor pesado é montado em um eixo leve e flexível que é apoiado entre dois rolamentos ou mancais Sempre haverá desbalanceamentos em todos os rotores devido à erros de fabricação Esses desbalanceamentos bem como outros efeitos como a rigidez e amortecimento do eixo efeitos giroscópicos e atrito de fluido em rolamentos farão com que um eixo flexione de uma forma complicada em certas velocidades de rotação próximas da condição de ressonância conhecido como rodopio ou velocidade crítica como ilustrado na Fig 65 Figura 65 Representação esquemática de um modelo de disco rotativo sobre um eixo Velocidades críticas de discos rotativos 23 Se a massa em rotação modelada pelo disco não é suficientemente homogênea ou simétrica devido a alguma imperfeição seu centro geométrico e o centro de gravidade estarão a uma certa distância por exemplo a com ilustrado na Fig 66 O eixo é impedido de se mover na direção radial pelos dois rolamentos À medida que o rotor gira em torno do seu eixo longitudinal com velocidade o centro de gravidade deslocado puxa o eixo para longe da linha central causando flexão ou rodopio Figura 66 Vista da extremidade do rotor sobre um eixo e a geometria do centro de massa G do disco em relação ao eixo neutro 0 e o centro da rotação do eixo C Velocidades críticas de discos rotativos 24 As forças que atuam no centro de massa são a força de inércia qualquer força de amortecimento interno ou externo e a força elástica do eixo Seja 0 a posição de equilíbrio do eixo quando perfeitamente balanceado como mostrado na Fig 66 Supõese que o eixo linha CG gire com velocidade angular constante Durante a rotação o rotor flete radialmente por uma distância A OC em regime permanente O rotor disco é assumido como tendo uma excentricidade a de modo que seu centro de massa centro de gravidade G está a uma distância a do centro geométrico C Utilizase um sistema de coordenadas fixas x e y fixado à terra com O como a origem para descrever o movimento do sistema Figura 66 Vista da extremidade do rotor sobre um eixo e a geometria do centro de massa G do disco em relação ao eixo neutro 0 e o centro da rotação do eixo E Velocidades críticas de discos rotativos 25 As duas equações que descrevem o movimento são Essas duas equações são similares à Eq 67 para a resposta de um sistema massamola pra um desbalanceamento rotativo Nesse caso o movimento x e y corresponde à vibração de flexão do eixo em vez do movimento de translação de uma máquina na direção vertical A amplitude da resposta em regime permanente será dada por uma equação similar à Eq 610 aqui repetida uma vez que mm0 e e a Assim e 620 wt maw kx cx mx 2 cos maw sen wt ky cy my 2 621 2 2 2 2 2 1 r r r m m e X o 610 wt sen r r ar t y 2 2 2 2 2 1 wt r r ar x t cos 2 1 2 2 2 2 622 623 2 1 1 2 tan r r 624 Velocidades críticas de discos rotativos 26 Como o ângulo de fase não depende da fase da força de excitação ele tornase o ângulo entre as linhas OC e CG isso é ou Diferenciando a Eq 626 em relação a t chegase na expressão da velocidade de rodopio Isso é a velocidade de rodopio é exatamente igual à velocidade angular do eixo resultando no chamado rodopio síncrono 626 627 wt wt wt sen x y tan cos tan 625 wt Velocidades críticas de discos rotativos 27 A amplitude de movimento do centro do eixo em torno do seu eixo neutro é a linha rOC e a amplitude desse vetor é dada por E também que XY onde Y é o módulo de yt conforme Eq 622 Esse cálculo indica que a distância entre o eixo e o seu eixo neutro é constante e tem magnitude dada por 628 X wt wt sen X y x r t 2 2 2 2 cos 629 2 2 2 2 2 1 r r ar X Velocidades críticas de discos rotativos 28 Observandose a Fig 67 notase que a ressonância ocorre próximo de r 1 Para eixos levemente amortecidos isso corresponde a altas amplitudes de rotação O caso especial de r1 isso é É chamado de velocidade crítica do sistema de rotor Se um sistema rotor girar na sua velocidade crítica o grande deslocamento e as grandes forças nos mancais poderão conduzir a falhas Figura 67 Gráfico mostrando a razão entre o raio de deflexão OC e a distância ao centro de massa do disco m k wcrit 630 Velocidades críticas de discos rotativos 29 Do ponto de vista de projeto r deve ser maior que 3 A passagem pela ressonância quando da partida da máquina deve ser rápida Quando o fator de amortecimento aumenta o deslocamento tornase menor Figura 67 Gráfico mostrando a razão entre o raio de deflexão OC e a distância ao centro de massa do disco Forças sobre os mancais 30 Aplicandose a lei dos cossenos no triângulo formado pelos lados R A e a conforme a figura abaixo determinase o deslocamento do disco isso é Substituindo na Eq 631 as Eq 624 e 629 chegase a Eq 632 e as reações sobre os mancais podem ser determinadas a partir da força centrífuga m2R cos 2 2 2 2 aA a A R 631 2 2 2 2 2 1 2 1 r r r a R 632 Forças sobre os mancais Eixo em balanço com uma massa A massa da viga é desprezível Vídeos 33 httpswwwyoutubecomwatchvR2hOTIjjA httpswwwyoutubecomwatchvIBSVTn47cPw httpswwwyoutubecomwatchvFX99e8MvXe0 httpswwwyoutubecomwatchv8n8frOahNI httpswwwyoutubecomwatchvdO51IjGKrTM httpswwwyoutubecomwatchvaNkicaylWZ4 Forças sobre os mancais Ex66 Um rotor com um peso de 100 lbf e uma excentricidade de 01 in gira a 1200 rpm Determine a a amplitude no regime permanente e b a amplitude máxima quando o sistema parte Considere que a rigidez do sistema seja igual a 2x103 lbmin e 01 Solução a X0189 in b X05 in Exemplos 34 Ex67 Considere um impelidor de um compressor centrífugo cuja massa é igual a 55 kg e rigidez do eixo igual a 14x107 Nm operando a 6000 rpm O fator de amortecimento do sistema é igual a 005 e a excentricidade é de 1000 m Determine a a velocidade crítica do impelidor b e amplitude radial na velocidade de operação e c a amplitude na velocidade crítica do sistema Solução a ncr 48178 rpm b X 000275 m c 001 m Exemplos 35 Ex68 O rotor de um turbocompressor consiste em um eixo de aço de 10 mm de diâmetro o qual está vinculado a dois rolamentos auto alinháveis distanciados 100 mm entre si A turbina do rotor tem uma massa de 02 kg e está situada no meio do eixo O amortecimento é desprezível O rotor está cuidadosamente balanceado e o desbalanceamento máximo é de 105 kgm O turbo compressor opera a 35000 rpm Calcule a amplitude de deslocamento no meio do eixo Em outra aplicação o turbo compressor será utilizado a 45000 rpm Comente essa última proposta Considere E 2x1011 Nm2 Solução X 833x105 m Exemplos 36