Aula 4: Vibrações por Força Harmônica

Aula 4 Vibrações por força harmônica 1 Universidade do Vale do Rio dos Sinos Escola Politécnica Engenharia Mecânica 1º Semestre2022 Um sistema mecânico é frequentemente submetido à excitações permanentes as quais coexistem com as próprias vibrações que causam Tais excitações podem ser harmônicas periódicas não periódicas ou aleatórias Excitação harmônica referese a uma força externa aplicada ao sistema de forma senoidal com uma única frequência Apesar de na prática as excitações serem frequentemente mais complexas que as harmônicas o estudo de vibrações harmônicas é de fundamental importância para o entendimento dos conceitos e para a resolução de casos práticos simples Também serve de base para estudar respostas à excitações periódicas Um conceito de grande importância é a Ressonância que é a capacidade de um sistema em absorver mais energia quando a frequência de excitação igualase à frequência natural de vibração do sistema Esse fenômeno ocorre em sistemas mecânicos acústicos biológicos e elétricos No entanto antes de avançar é importante analisar novamente o conceito de frequência natural de um sistema Excitação harmônica 2 Nota sobre a frequência natural 3 A frequência natural de um objeto é a frequência ou taxa com que ele vibra naturalmente quando é perturbado Existem tantas frequências naturais quanto são os graus de liberdade do sistema Podese aplicar uma frequência forçada a um objeto que é igual à sua frequência natural Em casos como este a estrutura entrará em ressonância ou seja oscilações na frequência natural do objeto Se isso ocorrer em certas estruturas as oscilações continuarão a aumentar em magnitude resultando em ruído vibração e até uma falha estrutural A frequência natural é um dos parâmetros mais importantes de um sistema A razão para isso é que as frequências naturais podem combinar com as frequências ressonantes de um sistema Por exemplo se for empregada uma força variável no tempo em um sistema e selecionar uma frequência equivalente a uma das frequências naturais isso resultará em vibrações de grande amplitude que podem colocar o sistema em risco É por isso que ao projetar um sistema mecânico é importante calcular e garantir que as frequências naturais de vibração sejam muito maiores do que qualquer frequência de excitação possível que o sistema provavelmente encontrará Nota sobre a frequência natural 4 Em geral as recomendações que permitem a mudança de frequência natural e minimizam a resposta vibracional de um sistema são Para diminuir a frequência natural adicione massa Para aumentar a frequência natural adicione rigidez Fig 40a Uma massa menor aumenta a frequência natural esquerda e uma massa maior diminui a frequência natural direita Fig 40b Uma mola mais rígida aumenta a frequência natural esquerda e uma mola mais flexível mais suave diminui a frequência natural direita Nota sobre a frequência natural 5 Um aumento no amortecimento diminui a resposta de pico no entanto amplia a faixa de resposta Uma diminuição no amortecimento aumenta a resposta de pico no entanto estreita a faixa de resposta A diminuição das amplitudes forçadas atenua a resposta na frequência de ressonância As excitações harmônicas são uma fonte comum de força externa aplicada a máquinas e estruturas As máquinas rotativas tais como ventiladores motores elétricos e motores alternativos transmitem uma força que varia de forma senoidal aos componentes adjacentes Outra questão importante é que segundo o teorema de Fourier muitas outras funções de excitação podem ser expressas como uma série infinita de termos harmônicos Como as equações de movimento aqui consideradas são lineares o conhecimento da resposta à termos individuais na série permite que a resposta total seja representada como a soma da resposta aos termos individuais que é o princípio da Superposição Além disso a resposta de um sistema de um grau de liberdade à uma entrada harmônica constitui o alicerce da medição de vibração o projeto de dispositivos destinados a proteger as máquinas de oscilações indesejadas e o projeto de transdutores utilizados na medição da vibração Excitação harmônica 6 Considere o sistema não amortecido c0 mostrado na Fig 41 Há diferentes formas de modelar a natureza harmônica da força aplicada Ft através de uma função seno cosseno ou exponencial complexa conforme onde F0 representa a amplitude da força aplicada e w representa a frequência da força aplicada Essa frequência é também chamada de frequência de entrada ou frequência de excitação é dada também em rads Excitação harmônica 7 Fig 41 Esquema de um sistema com 1 gdl submetido a uma força externa Ft wt F F t 0 cos 41 F senwt F t 0 F e jwt F t 0 42 43 Cada uma das três formas de Ft representa o mesmo comportamento A partir do diagrama de corpo livre da Fig 41 verificase que a soma das forças na direção y fornece Nmg como resultado da ausência de movimento nessa direção Na direção x a somatória das forças sobre a massa m resulta para o caso não amortecido em que é uma equação linear na variável xt Dividindo essa equação por m Excitação harmônica 8 Fig 41 Esquema de um sistema com 1 gdl submetido a uma força externa Ft wt F kx t mx t 0 cos 44 45 wt f w x t x t wt m F m x t k x t n cos cos 0 2 0 onde que é chamada de força normalizada pela massa cuja unidade é Nkg A Eq 45 é uma equação linear não homogênea e sua solução é dada pela soma da solução homogênea para o caso onde f0 é igual a zero e uma solução particular A solução particular pode ser dada na forma sistema com 1 gdl e excitada for f00 onde xp representa a solução particular e X é a amplitude da resposta forçada Lembrando que E substituindo as Eq 47 e 48 na Eq 45 e colocando cos wt em evidência Como wt não pode ser zero para todo t0 o termo cos wt desaparece Excitação harmônica 9 wt X xp t cos 47 48 0 cos cos cos cos 0 2 2 0 2 2 wt f w X w X wt f wt w X wt w X n n m F f 0 0 46 wt w X xp t cos 2 49 Resolvendo a Eq 49 para X desde que wn w Nessa condição a solução particular dada pela Eq 47 será na forma Como o sistema é linear a solução xt será a soma da solução particular Eq 411 mais a solução homogênea dada pela Eq 115 isso é A solução dada pela Eq 115 também pode ser escrita como A solução geral é então dada por E os valores de A1 e A2 deverão ser determinados a partir das condições iniciais x0 e v0 Excitação harmônica 10 411 412 410 413 2 0 2 2 0 0 2 2 0 mw k F X w w f X f w X X w n n wt w w f t x n p 2 cos 2 0 Asen w t x t n w t A A sen w t x t n n 2 cos 1 particular Solução 2 2 0 homogênea Solução 2 1 cos cos wt w w f w t A A sen w t t x n n n Resolvendo para essas condições e Substituindo essas duas equações na Eq 413 Note que se fo0 os valores de A1 e A2 se reduzem aos mesmos encontrados para a resposta livre Pode ser observado que o segundo e o terceiro termo da Eq 416 não são definidos se a frequência de excitação for igual à frequência natural wwn Também pode ser notado que à medida que a frequência de excitação se aproxima da frequência natural a amplitude da vibração resultante tornase maior fenômeno esse que define a ressonância Excitação harmônica 11 415 416 414 2 2 0 0 2 2 2 0 2 0 0 w w f x A w w f A x x n n wt w w f t w w w f x w sen w t v t x n n n n n cos cos 2 2 0 2 2 0 0 0 n n w v A w A v v 0 1 1 0 0 As Eq 47 e 410 fornecem as vibrações forçadas em regime permanente Na prática sempre há algum amortecimento de forma que a vibração livre é rapidamente amortecida e somente a vibração forçada permanece A Fig 42 apresenta um gráfico da resposta total de um sistema não amortecido a uma excitação harmônica com condições iniciais específicas Excitação harmônica 12 Fig 42 Resposta de um sistema não amortecido com wn 1 rads à excitação harmônica em w 2 rads e condições iniciais não nulas de x0 001 m e v0 001 ms e amplitude f0 01 Nkg Ex41 Calcule e trace a resposta de um sistema massamola para uma força de intensidade de F0 23 N frequência de excitação igual a duas vezes a frequência natural e condições iniciais dadas por x00 m e v002 ms A massa do sistema é de 10 kg e a rigidez da mola é k1000 Nm Solução wn10 rads w20 rads f023 Nkg xt002sen10 t7667x103cos 10tcos 20t Exemplos 13 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 22 24 26 28 3 004 003 002 001 0 001 002 003 004 t xt m Ex42 Considere a vibração forçada de uma massa m conectada a uma mola de rigidez igual a 2000 Nm sendo excitada por uma força harmônica de 20 N em 10 Hz A amplitude máxima de vibração é medida como sendo 01 m e o movimento é assumido ter iniciado a partir do repouso x0v00 Calcule a massa do sistema Solução m0450 kg Exemplos 14 Ex43Uma bomba alternativa com massa de 75 kg é montada no meio de uma placa de aço de 13 mm de espessura largura 500 mm e comprimento de 25 m presa entre duas bordas conforme mostrado na figura abaixo Durante a operação da bomba a placa é submetida a uma força harmônica Ft 250 cos 628 t N Encontre a amplitude de vibração da placa Solução X000353 m Exemplos 15 Quando a frequência de excitação w se aproxima da frequência natural wn pode acontecer dois fenômenos importantes a Batimento Utilizando a Eq 416 E considerando as condições iniciais x0 0 e v0 0 a equação fica Utilizando a identidade trigonométrica A Eq 417 fica Excitação harmônica 16 417 416 wt w w f t w w w f x w sen w t v t x n n n n n cos cos 2 2 0 2 2 0 0 0 w t wt w w f x t wt w w f t w w w f x t n n n n n cos cos cos cos 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 2 cos cos u u sen v sen v v u w t w t sen w w sen w w f x t n n n 2 2 2 2 2 0 418 Fazendo com que wn w se torne muito pequeno na equação anterior o termo wn w deve ficar muito grande por comparação e o termo I oscila com um período muito mais longo que o termo II Lembre que o período é definido como 2w ou nesse caso 2wnw2 ou 4wnw O movimento resultante é uma oscilação rápida com amplitude lentamente variável e é chamado de Batimento e a resposta da Eq 418 é mostrada na Fig 43 Excitação harmônica 17 419 418 II n I n n w t w t sen w w sen w w f x t 2 2 2 2 2 0 Fig 43 Resposta de um sistema não amortecido para valores de wn w muito pequenos Lembrando que o período é ou nesse caso w T 2 w w w w T n n 4 2 2 A frequência de batimento é baseada no período de oscilação da linha contínua na Fig 43 isso é o tempo entre dois máximos sucessivos que é metade do tempo para uma oscilação completa da linha tracejada ou Note que a definição matemática de um período T é o menor tempo tal que ftTft Pela linha contínua da Fig 43 isso ocorre na metade do tempo para uma oscilação completa da linha tracejada ou Excitação harmônica 18 420 Fig 43 Resposta de um sistema não amortecido para valores de wn w muito pequenos w w w n batimento w wn 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 1 08 06 04 02 0 02 04 06 08 1 12 t xt b Ressonância Quando w se torna exatamente igual à frequência natural do sistema a solução dada pela Eq 416 não é mais válida isso é a escolha da função X para uma solução particular falha pois a amplitude de deslocamento seria infinita Nesse caso a solução particular é da forma Substituindo a solução dada pela Eq 421 na Eq 45 e resolvendo para X A solução total para wwn fica então Se a massa parte do equilíbrio o que geralmente é o caso as condições iniciais são iguais a zero isso é e assim a Eq 423 fica Excitação harmônica 19 422 421 423 tXsen wt xp t w tsen wt f xp t 2 0 w tsen wt f wt x w sen wt v x t 2 cos 0 0 0 0 0 em t x x k w tsen wt F mw tsen wt F w tsen wt f x t n 2 2 2 0 0 0 423a b Ressonância A resposta dessa solução é mostrada na Fig 44 notandose que xt cresce indefinidamente definindo o fenômeno da ressonância Essa condição induziria portanto uma falha ou quebra da mola Excitação harmônica 20 Fig 44 Resposta forçada de um sistema de massamola excitado harmonicamente em sua frequência natural wwn Ex44 Uma câmara de segurança deve ser montada em um caminho estreito entre dois prédios e será submetida a cargas de ventos que produzem uma força aplicada de F0 coswt onde o maior valor de F0 é medido como sendo de 15 N Essa montagem é ilustrada no lado esquerdo da figura abaixo Desejase projetar um suporte de modo que a câmara experimente uma deflexão máxima de 001 m quando vibrar sob essa carga A frequência do vento é de 10 Hz e a massa da câmara é igual a 3 kg O suporte de montagem é feito de um pedaço sólido de alumínio com seção transversal quadrada de 001 x 001 m Calcule o comprimento do suporte de montagem que manterá a amplitude de vibração menor que o desejado de 001 m Despreze a vibração de torção e considere que as condições iniciais são iguais a zero Note que o comprimento deve ser pelo menos 02 m para que a câmara possa ter uma visão clara Solução l0229 m Exemplos 21 Ex45 No exercício anterior a vibração de torção foi desprezada Examine essa hipótese e verifique se é correta ou não Solução 00174 rad e Xmax 000156 m Exemplos 22 Considere um sistema de 1 gdl com amortecimento viscoso submetido a excitação harmônica Pela mesma Fig 41 vista anteriormente e analisando as forças pelo diagrama de corpo livre verificase que Dividindo pela massa m Resultando em Excitação harmônica de sistemas amortecidos 23 Fig 41 Esquema de um sistema com 1 gdl submetido a uma força externa Ft wt F kx t cx t mx t 0 cos 424 wt m F m x t k m x t c t x f w w n n cos 0 2 0 2 wt f w x t w x t x t n n cos 2 0 2 425 Do estudo de equações diferenciais sabese que a resposta forçada de um sistema amortecido é da forma de uma função harmônica de mesma frequência que a força excitante com uma amplitude e fase diferentes A diferença de fase é esperada por causa do efeito da força de amortecimento Assim a solução geral da Eq 425 será a da solução geral da equação homogênea com a soma particular na equação não homogênea A primeira representa fisicamente a vibração livre do sistema para um sistema subamortecido 01 cuja solução já foi vista anteriormente e é dada por E a solução particular é da forma A solução geral ficam então onde Excitação harmônica de sistemas amortecidos 24 wt X sen w t Ae x t d wnt cos 426 427 wt X xp t cos 2 2 1 2 tan w w w w n n 428 429 sen w t Ae x t d wnt 318 2 2 2 2 0 2 w w w w f X n n A fase e a amplitude para a resposta transitória são dadas por E a amplitude para solução homogênea é Excitação harmônica de sistemas amortecidos 25 429a wXsen w X x v X x w n d cos cos tan 0 0 0 1 sen X x A cos 0 429b Definindo r como a razão de frequência isso é E substituindo essa equação nas Eqs 428 e 429 resulta em e As constantes A e são determinadas pelas condições iniciais do sistema É comum representar a amplitude da Eq 431 como a amplitude normalizada isso é Excitação harmônica de sistemas amortecidos 26 431 432 wn w r 2 1 1 2 tan r r 430 2 2 2 2 0 2 1 r r w f X n N N N s kg m kg N s m f Xwn 2 2 0 2 1 2 2 2 0 0 2 2 1 1 r r F Xk f Xwn ou A interpretação física da Eq 427 pode ser vista a seguir Excitação harmônica de sistemas amortecidos 27 particular Solução e Transient homogênea Solução cos wt X sen w t Ae x t d wnt 427 Fig 45 Solução homogênea particular e geral para um sistema subamortecido Solução homogênea para um sistema subamortecido em vibração livre Resposta transiente x t x t x t p h t xh t xp Solução particular Solução geral periódica A solução particular representa o movimento do estado estacionário de amplitude de deslocamento X Esse movimento tem a mesma frequência que a força mas está defasado dela pelo ângulo ou em fase nas seguintes situações Excitação harmônica de sistemas amortecidos 28 Fig 46 Resposta harmônica de um sistema Defasado pelo ângulo se wwn1 Em fase se 0wwn1 Devido ao amortecimento inerente aos sistemas reais o termo ew n t diminui mais ou menos rapidamente e assim a solução particular é a resposta do sistema O raciocínio para considerar apenas a resposta em regime permanente é baseado no valor do fator de amortecimento Se o sistema tiver um amortecimento relativamente grande o termo ew n t faz com que a resposta transitória convirja para zero muito rapidamente Se por outro lado o sistema estiver ligeiramente amortecido muito pequeno a parte transitória da solução pode durar o tempo suficiente para ser significativa e não deve ser desprezada bem como se tiver uma amplitude relativamente grande Daí o fato de geralmente não se atribuir maior importância à resposta transitória nestes casos de excitação e sim à solução particular que quando é alcançada o movimento se denomina estado estacionário Excitação harmônica de sistemas amortecidos 29 As Figs 46 a e b representam as Eq 431 e 432 para a amplitude normalizada e a fase em função da razão de frequência r para vários valores do fator de amortecimento Note que a medida que a frequência de excitação w se aproxima da frequência natural não amortecida wn isso é quando r1 a amplitude se aproxima de um valor máximo para aquelas curvas correspondentes a um amortecimento suave 01 Excitação harmônica de sistemas amortecidos 30 a Fig 46a Representação da amplitude normalizada em regime permanente de um sistema amortecido Note também que à medida que a frequência de excitação w se aproxima da frequência natural não amortecida wn o desvio de fase passa por 90 A fase fica entre zero e Esse caso define a ressonância para o caso amortecido Excitação harmônica de sistemas amortecidos 31 Fig 46b Representação da fase da resposta em regime permanente de um sistema amortecido Conforme foi mostrado anteriormente a fase é definida pela Eq 429 aqui repetida Verificase que o numerador do argumento é sempre positivo então o quadrante onde a fase se encontra é determinado pelo sinal de O deslocamento de fase como mostrado na Fig 47 b deve estar entre 0 Excitação harmônica de sistemas amortecidos 32 Fig 47 Localização do deslocamento de fase no quadrante de acordo com o sinal de 429 2 2 1 2 tan w w w w n n 2 2 w wn 2 2 wn w Outras observações importantes A medida que a frequência de excitação w se aproxima de zero r0 a amplitude se aproxima de e à medida que w se torna muito grande a amplitude se aproxima assintoticamente de zero Excitação harmônica de sistemas amortecidos 33 2 0 n w f É importante observar também como mostrado na Fig 48 que a amplitude da vibração em regime permanente é afetada pela mudança do fator de amortecimento Essa figura é a mesma da Fig 46 mas agora a amplitude está representada em uma escala logarítmica Note que quando o fator de amortecimento é aumentado o pico na curva de amplitude diminui e eventualmente desaparece Quando o fator de amortecimento diminui o valor de pico aumenta e tornase mais nítido No limite quando 0 o pico sobe para um valor infinito caso da ressonância para um sistema não amortecido Excitação harmônica de sistemas amortecidos 34 Fig 48 Amplitude em escala logarítmica da resposta em regime permanente a Os valores de XkFo serão maiores para menores b Sistemas com 0707 apresentam XkFo 1 Não há ressonância c Para r XkFo sempre é menor do que a unidade para qualquer d Para r 3 passa a não ter influência sensível na variação de XkFo 2 É importante notar que a ressonância é definida para ocorrer quando w wn isso é quando a frequência de excitação w se torna igual à frequência natural wn não amortecida Para sistemas amortecidos a ressonância é definida da mesma forma que para sistemas não amortecidos Essa condição no entanto não define com precisão o valor de pico da magnitude da resposta em regime permanente tal como foi definido pela Eq 431 Como pode ser demonstrado o valor máximo de XkF0 ocorre quando E daí pode ser definida a frequência de pico chamada de wp Excitação harmônica de sistemas amortecidos 35 431 2 2 2 0 0 2 2 1 1 r r F Xk f Xwn 2 1 se 0 2 1 2 r 433 2 1 0 se r 434 2 1 2 n p w w 435 para 2 1 0 Observe pela Eq 435 que A medida que o fator de amortecimento diminui wp se aproxima de wn resultando na condição de ressonância não amortecida usual À medida que aumenta de zero as curvas da Fig 48 tem picos que ocorrem cada vez mais longe da linha vertical r 1 Excitação harmônica de sistemas amortecidos 36 2 1 2 n p w w 435 Ex46 Um sistema massamola amortecido com valores de c 100 kgs m 100 kg e k de 910 Nm é submetido a uma força de 10 cos3t O sistema está sujeito às condições iniciais de x0 1 mm e v0 20 mms Calcule a resposta total xt dos sistema Solução Exemplos 37