Slide - Teoremas Relacionados à Dependência e Independência Linear 2022 2

Teoremas relacionados a Dependência e Independência Linear Seção 4.3 - Independência Linear Álgebra linear com aplicações. Howard Anton e Chris Horres. 10ª ed., Porto Alegre: Editora Bookman, 2012. Em um espaço vetorial V: Teorema 1. Um conjunto S com 2 ou mais vetores é: (a) l.d.  pelo menos um dos vetores de S puder ser escrito como uma combinação linear dos demais vetores de S Como consequência, S é (b) l.i.  nenhum vetor de S puder ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores de S. Em um espaço vetorial V: Teorema 1. Um conjunto S com 2 ou mais vetores é: (a) l.d.  pelo menos um dos vetores de S puder ser escrito como uma combinação linear dos demais vetores de S Como consequência, S é (b) l.i.  nenhum vetor de S puder ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores de S. Dem. Suponha que os vetores sejam v1, v2, ..., vn e que eles sejam l.d.. Ou seja, existe pelo menos um r Є {1,2,...,n} o qual temos o escalar kr ≠ 0. Então k1·v1 + k2·v2 + ... + kr·vr + ... + kn·vn = 0 vr = (1/kr)·(-k1·v1 - k2·v2 - ... - kr-1·vr-1 - kr+1·vr+1 - ... - kn·vn) vr = (-k1/kr)·v1+(-k2/kr)·v2+...+ (-kr-1/kr)·vr-1 + (-kr+1/kr)·vr+1 +...+ (-kn /kr)·vn vr pode ser escrito como combinação linear dos demais vetores 4 Exemplo Verifique se os vetores do espaço vetorial M22 a seguir são l.d. ou l.i.: A1 = 1 2 , A2 = 2 0 , A3 = 0 4 3 -1 1 -1 5 -1 Solução. Observe que A3 é uma combinação linear de A1 e A2, pois: A3 = 2·A1 - A2 = 2·A1 - 1·A2 = 2 4 - 2 0 = 0 4 6 -2 1 -1 5 -1 Logo, A1, A2 e A3 são linearmente dependentes (l.d.). Em um espaço vetorial V: Teorema 2. Um conjunto finito de vetores que contém o vetor nulo (elemento neutro da soma do espaço vetorial) é l.d. Em um espaço vetorial V: Teorema 2. Um conjunto finito de vetores que contém o vetor nulo (elemento neutro da soma do espaço vetorial) é l.d. Dem. Suponha que os vetores sejam v1, v2, ..., vn e que para algum r Є {1,2,...,n}, o vetor vr = 0. Então k1·v1 + k2·v2 + ... + kr·vr + ... + kn·vn = 0 k1·v1 + k2·v2 + ... + kr·0 + ... + kn·vn = 0 Uma solução para essa equação é, por exemplo: k1= k2 = ... = kr-1 = kr+1 = ... = kn = 0 e kr = 1, pois substituindo esses valores na equação acima, ela dá verdadeira. Mas como nem todos os kj’s são nulos nesta solução, então os vetores v1, v2, ..., vn são linearmente dependentes (l.d.). 7 Exemplo Verifique se os vetores do espaço vetorial M23 a seguir são l.d. ou l.i.: A1 = 1 3 -1 , A2 = 2 1 0 , A3 = 0 0 0 2 4 5 -1 1 1 0 0 0 Solução. Como A3 é a matriz nula, que é o elemento neutro da soma do espaço vetorial M23, então A1, A2 e A3 são linearmente dependentes (l.d.). 8 Em um espaço vetorial V: Teorema 3. Um conjunto de exatamente 2 vetores é l.i. se, e somente se, nenhum dos 2 vetores é múltiplo do outro. Como consequência: Um conjunto de exatamente 2 vetores é l.d. se, e somente se, um puder ser escrito como múltiplo do outro. Em um espaço vetorial V: Teorema 3. Um conjunto de exatamente 2 vetores é l.i. se, e somente se, nenhum dos 2 vetores é múltiplo do outro. Como consequência: Um conjunto de exatamente 2 vetores é l.d. se, e somente se, um puder ser escrito como múltiplo do outro. Dem. Sem perda de generalidade, suponha que v1 seja múltiplo de v2, ou seja: v1 = k·v2. Neste caso, v1 depende de v2 e então v1 e v2 são linearmente dependentes (l.d.). Caso contrário, um não dependerá do outro, e portanto serão l.i. 10 Exemplo Verifique se os vetores do espaço vetorial P2 a seguir são l.d. ou l.i.: p1(x) = x2-4x+1 e p2(x) = 2x2-8x+2 Solução. Observe que p2(x) = 2·p1(x). Logo, p1 e p2 são linearmente dependentes (l.d.). 11 Exemplo Verifique se os vetores do espaço vetorial R3 a seguir são l.d. ou l.i.: v1 = (2,-1,4) e v2 = (3,1,1) Solução. Como v1 e v2 não são múltiplos um do outro, então eles são linearmente independentes (l.i.). 12 Exemplo Verifique se os vetores do espaço vetorial F(-∞, ∞) a seguir são l.d. ou l.i.: f(x) = x e g(x) = senx Solução. Como f(x) = x e g(x) = senx não podem ser escritas como múltiplos uma da outra, então elas são linearmente independentes (l.i.). Teorema 4. Em Rn, um conjunto com mais de n vetores é l.d.. Teorema 4. Em Rn, um conjunto com mais de n vetores é l.d. Dem. A equação k1·v1 + k2·v2 + ... + kn·vn + ... + kr·vr = 0 gera um sistema linear homogêneo com mais incógnitas do que equações. Como o sistema é homogêneo, então sempre tem solução. Como o sistema homogêneo tem mais incógnitas do que equações, tem variáveis livres e portanto, tem infinitas soluções (tendo soluções não triviais para (k1,k2,..., kn,..., kr)!) Logo, o conjunto v1, v2, ..., vn, ..., vr é l.d. 15 Exemplo Verifique se os vetores do espaço vetorial R4 a seguir são l.d. ou l.i.: v1 = (3,1,0,4), v2 = (0,-1,1,3), v3 = (4,0,1,-5), v4 = (3,1,2,1) e v5 = (1,1,1,-1) Solução. Como são 5 vetores no espaço R4 e 5 > 4, então esses 5 vetores são linearmente dependentes (l.d.). Teorema 5. Sejam v1, v2, ..., vn vetores de Rn. Seja A a matriz cujas colunas são compostas pelos vetores v1, v2, ..., vn : Os vetores v1, v2, ..., vn são l.i. se, e somente se, A for invertível (ou seja, det(A)≠0). | | | A = v1 v2 ... vn | | | Teorema 5. Sejam v1, v2, ..., vn vetores de Rn. Seja A a matriz cujas colunas são compostas pelos vetores v1, v2, ..., vn : Os vetores v1, v2, ..., vn são l.i. se, e somente se, A for invertível (ou seja, det(A)≠0). Dem. A equação vetorial k1·v1 + k2·v2 + ... + kn·vn = 0 gera um sistema linear homogêneo com matriz quadrada A como matriz dos coeficientes do sistema. Se det(A)≠0, então o sistema Ax=0 terá solução única ((k1,k2,..., kn) = (0,0,...,0)), e neste caso, os vetores serão l.i.. Se det(A)=0, o sistema Ax=0 terá infinitas soluções, ou seja, terá soluções não triviais, e assim os vetores serão l.d.. | | | A = v1 v2 ... vn | | | 18 Exemplo Verifique se os vetores do espaço vetorial R3 a seguir são l.d. ou l.i.: v1 = (-2,1,0), v2 = (0,1,2) e v3 = (3,1,-1) Solução. Como são 3 vetores no espaço R3, então seja A a matriz cujas colunas são os vetores v1, v2 e v3 : A = -2 0 3 1 1 1 0 2 -1 Podemos ver que det(A) = 12 ≠ 0. Logo, v1, v2 e v3 são linearmente independentes (l.i.). Obs. Se num exercício de verificação se os vetores de um espaço vetorial são l.d. ou l.i. você não puder aplicar um dos teoremas anteriores, resolva o exercício pela definição de vetores l.d. e l.i. (resolver sistema linear!!!), igual ensinado na aula 58. Lembrando: Definição. Seja S = {v1, v2, ..., vr} um conjunto não vazio de vetores em um espaço vetorial V e considere a equação vetorial k1·v1 + k2·v2 + ... + kr·vr = 0 sendo k1, k2,..., kr escalares. Se esta equação vetorial tiver apenas a solução trivial, ou seja, se tiver apenas a solução (k1, k2, ..., kr) = (0, 0, ..., 0), então dizemos que o conjunto S é linearmente independente (l.i.). Também dizemos que os vetores v1, v2, ..., vr são linearmente independentes. Se existirem outras (infinitas) soluções, então S é um conjunto linearmente dependente (l.d.). Neste caso, diremos que os vetores v1, v2, ..., vr são linearmente dependentes. Teorema 6. Sejam v1, v2, ..., vn vetores de um espaço vetorial V. Um vetor v Є ger{v1, v2, ..., vn} pode ser escrito de maneira única como uma combinação linear de v1, v2, ..., vn v1, v2, ..., vn forem l.i.. Teorema 6. Sejam v1, v2, ..., vn vetores de um espaço vetorial V. Um vetor v Є ger{v1, v2, ..., vn} pode ser escrito de maneira única como uma combinação linear de v1, v2, ..., vn v1, v2, ..., vn forem l.i.. Dem. Suponha que existam duas formas de escrever v como combinação linear de v1, v2, ..., vn : v = k1·v1 + k2·v2 + ... + kn·vn e v = a1·v1 + a2·v2 + ... + an·vn Igualando: k1·v1 + k2·v2 + ... + kn·vn = a1·v1 + a2·v2 + ... + an·vn (k1 - a1)·v1 + (k2 - a2)·v2 + ... + (kn - an)·vn = 0 v1, v2, ..., vn serão l.i.  (k1 - a1) = (k2 - a2) = ... = (kn - an) = 0  k1 = a1, k2 = a2, ..., kn = an