Slide - Dimensão de Espaços Gerados 2022 2

Dimensão de Espaços Gerados Seção 4.5 - Dimensão Álgebra linear com aplicações. Howard Anton e Chris Horres. 10ª ed., Porto Alegre: Editora Bookman, 2012. Lembrando. A dimensão de um espaço vetorial V que tem uma base finita B = {v1, v2, ..., vn} é dim(V) = no de vetores da base = n . Dimensão ▪ Se S = {v1, v2, ..., vr} for um conjunto linearmente independente (l.i.) no espaço vetorial V, então S é uma base de ger(S) e dim(ger(S)) = r. ▪ Se S = {v1, v2, ..., vr} for um conjunto linearmente dependente (l.d.) no espaço vetorial V, então dim(ger(S)) = no máximo de vetores l.i. dentro de S A Dimensão de um Espaço Gerado Dimensão do Espaço-Solução de um sist. linear homogêneo Já vimos em uma aula anterior que o conjunto solução de um sistema linear homogêneo com n incógnitas é um subespaço de Rn. Ou seja, esse conjunto solução é um espaço vetorial dentro de Rn, chamado Espaço-Solução do sistema linear homogêneo. Também já vimos que toda base de um espaço vetorial é, em si, um conjunto l.i. de geradores do espaço. Exemplo. Encontre uma base e a dimensão do Espaço-Solução do sistema linear homogêneo 2x1+2x2 - x3 + x5 = 0 -x1 - x2 + 2x3 - 3x4 + x5 = 0 -x1 + x2 - 2x3 - x5 = 0 x3 + x4 + x5 = 0 Exemplo. Encontre uma base e a dimensão do Espaço-Solução do sistema linear homogêneo 2x1 +2x2 - x3 + x5 = 0 -x1 - x2 + 2x3 - 3x4 + x5 = 0 -x1 + x2 - 2x3 - x5 = 0 x3 + x4 + x5 = 0 Solução. Como é um sistema linear homogêneo, sempre tem solução. E como esse sistema homogêneo tem mais incógnitas do que equações, ele terá infinitas soluções. Resolvendo esse sistema por qualquer método, encontramos que a solução geral é x1 - s - t -1 -1 x2 = s = s · 1 + t · 0 , s Є R e t Є R x3 -t 0 -1 x4 0 0 0 x5 t 0 1 v u combinações lineares dos vetores u e v Ou seja, os vetores que compõem o conjunto solução do sistema linear homogêneo são obtidos como combinações lineares dos vetores u e v: Isto é, o conjunto solução (ou Espaço-Solução) do sistema linear é o espaço vetorial gerado pelos vetores u e v: S = ger{u,v} Como u e v não são múltiplos um do outro, então eles são l.i., e daí, uma base para S é B = {u,v}. Como essa base tem 2 vetores, então dim(S) = 2. x1 - s - t -1 -1 S = x2 = s = s · 1 + t · 0 , s Є R e t Є R x3 -t 0 -1 x4 0 0 0 x5 t 0 1 v u combinações lineares dos vetores u e v Exemplo. (Em P2) Sejam p1(x) = x2+2x+1, p2(x) = 2x2+9x, p3(x) = -x2+2, p4(x) = 3x2+3x+4 e p5(x) = 2x2-3x+1, e seja S = {p1, p2, p3, p4, p5}. Responda os itens a seguir. a) Encontre uma base para ger(S). b) Qual é a dimensão de ger(S)? Solução. a) Como S tem 5 elementos e como 5 > dim(P2) = 2+1 = 3, então S é l.d.. Para encontrarmos uma base para ger(S), devemos encontrar o número máximo de polinômios l.i. em S. Como dim(P2) = 3, então o número máximo de polinômios l.i. em P2 é 3. Como S ⊆ P2, então vamos verificar se dentro de S conseguimos extrair 3 polinômios que sejam l.i.. Se não conseguirmos, vamos tentar buscar 2 que sejam l.i.. Se não conseguirmos, então vamos pegar um polinômio qualquer de S e esse será a base de ger(S). Mas vamos começar tentando o maior número possível: 3. Solução (continuação). Vamos tentar encontrar 3 polinômios l.i. dentro de S. Mas como S tem 5 polinômios, vamos tentar a cada 3 deles. Na primeira tentativa que encontrarmos, paramos o processo de busca. Se não encontrarmos, continuamos o processo de busca. Testando se p1, p2 e p3 são l.i. ou l.d.: k1·p1(x) + k2·p2(x) + k3·p3(x) = 0 k1·(x2+2x+1) + k2·(2x2+9x) + k3·(-x2+2) = 0 k1x2 + 2k1x + k1 + 2k2x2 + 9k2x - k3x2 + 2k3 = 0 (k1 + 2k2 - k3)·x2 + (2k1 + 9k2)·x + (k1 + 2k3) = 0 (k1 + 2k2 - k3)·x2 + (2k1 + 9k2)·x + (k1 + 2k3) = 0·x2 + 0·x + 0 Que corresponde a resolver o sistema linear: k1 + 2k2 - k3 = 0 2k1 + 9k2 = 0 k1 + + 2k3 = 0 1 2 -1 k1 0 2 9 0 ∙ k2 = 0 1 0 2 k3 0 A k 0 = · p1 p2 p3 Só precisamos verificar se o sistema linear homogêneo tem solução única (polinômios l.i.) ou se tem infinitas soluções (polinômios l.d.). Como a matriz A do sistema é quadrada, basta vermos o que acontece com o determinante: Como achamos 3 polinômios l.i. (que é o número máximo de polinômios l.i. em P2), então {p1,p2,p3} formam uma base para ger(S). b) Como a base de ger(S) tem 3 polinômios, então dim(ger(S)) = 3. 1 2 -1 k1 0 2 9 0 ∙ k2 = 0 1 0 2 k3 0 A k 0 = · det(A) = (18+0+0) – (-9+8+0) = 18 – (-1) = 18 + 1 = 19 ≠ 0 p1, p2 e p3 são l.i. O sistema linear A·k = 0 tem solução única, que é a solução trivial: (k1,k2,k3) = (0,0,0)