Notas de Aula sobre Planejamento Experimental em Estatística Agronômica

1 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção 3 PLANEJAMENTO EXPERIMENTAL Os experimentos agropecuários quando são repetidos mostram uma variabilidade nos efeitos dos tratamentos de ensaio para ensaio Variação introduz um grau de incerteza em conclusões que são extraídas dos resultados Mesmo após um certo número de repetições o pesquisador ainda não saberá por quanto os seus resultados seriam mudados se o experimento fosse repetido ainda mais as mesmas condições experimentais Os ensaios sucessivos podem apresentar resultados tão discrepantes que se torna difícil afirmar qual de dois tratamentos seria melhor em uma longa série de experimentos Daí a corrida dos pesquisadores aos estatísticos A inferência estatística Pode esperar que os métodos propostos pela estatística forneçam o verdadeiro valor da diferença Como uma meta menos ambiciosa ela propõe encontrar dois limites dentro dos quais provavelmente estará a verdadeira diferença Para isto usase os dados experimentais para calcular dois limites dentro dos quais esperase incluir a verdadeira diferença onde o grau de certeza medido pela probabilidade pode ser escolhido pelo experimentador Quando a probabilidade é de 95 os limites para a verdadeira diferença são definidos pelo intervalo de confiança O planejamento experimental A fase mais importante do trabalho científico é exatamente o do planejamento É nessa fase que se deve pensar nas inferências que serão feitas consultar o estatístico em caso de dúvidas e se conscientizar a respeito do método experimental e da importância de se conduzir bem os trabalhos para que se atinja os objetivos pretendidos A experiência tem nos indicado que pouca atenção se tem dedicado ao plano experimental Boa revisão bibliográfica feita nos periódicos que normalmente publicam trabalhos científicos área de estudo poderá lhe dar ótimos subsídios para o seu planejamento Tente explicar a si mesmo por que está realizando esse experimento faça uma justificativa sobre os tratamentos que se deseja comparar e defenda a sua pretensão de que a conclusão do experimento atender aos seus objetivos Problemas normalmente encontrados nos planejamentos experimentais Os problemas mais comuns no planejamento são aqueles diretamente ligados com a precisão dos experimentos Perguntas tais como que delineamento experimental eu devo usar Quantas repetições serão necessárias Como deverão ser feitas as medidas E o método de amostragem Entre outros ocorrem com frequência 2 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção Um bom conhecimento das variações existentes no processo experimental aliados à conscientização dos seus efeitos e os meios de evitálos serão indispensáveis ao sucesso dos trabalhos científicos Resultados experimentais são afetados não somente pela ação dos tratamentos mas também por variações estranhas que tendem a mascarar os efeitos dos tratamentos A unidade experimental ou parcela é o local onde se aplica um único tratamento O tratamento é o processo controlado cuja resposta procurase medir e comparar Pode ser a reação da planta em resposta a uma certa dosagem de fertilizante Pode ser uma variedade de determinada cultura Enfim é uma sujeição imposta pelo experimentador ao seu objeto de pesquisa da qual se tem o controle Uma parcela pode ter 5 ou mais metros de comprimento e uma largura de 3 ou mais linhas de cultivo incluindo as bordaduras Bordaduras são as 2 ou mais linhas laterais da parcela incluindo 1 ou mais metros de cada lado as quais são uma tentativa de minimizar efeitos adversos ou casuais sobre as linhas centrais parcela útil ou parcela amostral Nestas unidades experimentais são esperadas respostas diferentes mesmo quando sujeitas aos mesmos tratamentos Estas diferenças sejam significativas ou não são incluídas no erro experimental O termo erro experimental é atribuído a estas variações que ocorrem em experimentos A saber há duas principais fontes de erro experimental A primeira está na própria variabilidade do material experimental heterogeneidade ao qual se aplicam os tratamentos A segunda está na falta de uniformidade na condução física do experimento controle local Temse observado que em muitas áreas de pesquisa os resultados são tão influenciados pelos erros experimentais que somente grandes diferenças entre tratamentos podem ser detectadas Várias pesquisas têm sido desenvolvidas com o objetivo de investigar técnicas para aumentar a eficiência dos experimentos Estas técnicas podem incluir 1 Aumento do tamanho do experimento ou aumento do número de repetições ou pela inclusão de tratamentos adicionais 2 Refinamento da técnica experimental 3 Manuseio do material experimental de tal forma que os efeitos da variabilidade sejam diminuídos Isto pode ser atingido através de uma meticulosa seleção do material experimental e um habilidoso agrupamento das parcelas ou delineamento Casualização O tipo de inferência que pode ser feita de um conjunto de dados depende da natureza dos mesmos É fácil conduzir um experimento de tal forma que nenhuma referência possa ser extraída do mesmo Para se evitar os vícios nas comparações entre as médias dos tratamentos necessitase de algum meio que nos garanta que um tratamento não seja consistentemente favorecido ou prejudicado nas repetições sucessivas por alguma fonte de variação conhecida ou não Isto é conseguido por meio da casualização Função da casualização é assegurar uma estimativa válida ou sem vícios do erro experimental das médias dos tratamentos e das diferenças entre as médias Ela pode ser feita por meio de lançamento de moedas ou dados pela retirada de cartões numerados de dentro de um 3 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção recipiente retirada de bolas numeradas e de dentro de uma urna ou por meio da tabela de números aleatórios Repetição e suas funções Quando um tratamento ocorre mais do que uma vez em um experimento dizse que este foi repetido As funções da repetição são 1 Fornecer uma estimativa do erro experimental Precisase de uma estimativa do erro para aplicação dos testes de hipóteses e construção das alternativas para o intervalo de confiança 2 Aumentar a precisão do experimento porque reduz o erro padrão de uma média de tratamento As estimativas das médias tornamse mais precisas com o aumento do número de repetições Precauções devem ser tomadas porque o aumento do número de repetições pode levar ao uso de um material menos homogêneo ou de uma técnica menos cuidadosa o que aumentará o erro experimental 3 Aumentar o objetivo da inferência do experimento Experimentos são repetidos sobre um período de anos repetições no tempo A razão é óbvia pois as condições variam de ano para ano e é importante saber o efeito de anos nos tratamentos uma vez que as recomendações serão feitas para os anos futuros Da mesma forma diferentes locais são usados para avaliar o efeito dos tratamentos sobre condições ambientais distintas repetição no espaço O número de repetições de um experimento depende de uma série de fatores dos quais o mais importante é o grau de precisão desejado Quanto menor a diferença mínima significativa que deseja detectar maior deve ser o número de repetição Há pouco ganho em usar dez repetições para detectar uma diferença que quatro repetições detectariam da mesma forma há pouco ganho em executar um experimento onde o número de repetições não é suficiente para detectar diferenças que são importantes Certos materiais experimentais são mais variáveis que outros Quanto mais heterogéneo for o material mais repetições são necessárias para atingir o mesmo grau de precisão Como uma Regra geral aconselhase a usar o número de repetições que proporcione um mínimo 10 graus de liberdade para o resíduo ou erro experimental Infelizmente o número de repetições é muitas vezes determinado em função dos recursos financeiros disponíveis e do tempo para a execução do experimento Se não se pode realizar um experimento para atingir determinada precisão porque os resultados financeiros não são suficientes deve se adiar o experimento até que os fundos sejam adequados ou então reduzir o número de tratamentos É importante salientar que o uso de repetições não reduz o erro experimental atribuído a uma técnica deficiente O controle local e os delineamentos experimentais O controle local é uma restrição imposta na casualização que tem por objetivo diminuir o erro experimental Ele pode ser feito em uma única direção bloco longitudinal ou em duas direções blocos longitudinais e transversais O controle local consiste em distribuir os tratamentos nos blocos de tal forma que exista a máxima homogeneidade ambiental possível dentro dos blocos podendo haver variação de um 4 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção bloco para outro A finalidade do bloco é quebrar um ambiente tido como heterogêneo para condição do ensaio em subambientes homogêneos Os delineamentos experimentais são classificados segundo o uso ou não do controle local em 1 Delineamento inteiramente ao acaso sem controle local 2 Delineamento em blocos ao acaso com controle local em uma única direção 3 Delineamento em quadrado Latino com controle local em duas direções Análise da variância Análise da variância é uma técnica desenvolvida por Fischer que revolucionou o estudo da experimentação ela consiste na decomposição da variação total existente em um material experimental dados observados em partes atribuídas a causas conhecidas e independentes controle e uma quantidade residual de origem desconhecida ao casual resíduo ou erro experimental 5 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção 4 ANÁLISE DE VARIÂNCIA 42 EXPERIMENTOS COM UM FATOR Delineamento Inteiramente Casualizado DIC 421 Desenho experimental Os tratamentos sob controle são dispostos aleatoriamente dentro do arranjo experimental T1 T3 T2 T1 T3 T2 T1 T2 T2 T1 T3 T3 422 Forma tabular Seja I o número de níveis deste fator e J o número de repetições Genericamente pode se representar as observações de um experimento da seguinte forma tabular Fontes Fator ou Tratamento ti Repetição j 1 2 I 1 x11 X21 xI1 2 x12 X22 xI2 J x1J X2J xIJ Soma 𝑡𝑖 𝑥1𝑗 𝐽 𝑗1 𝑥2𝑗 𝐽 𝑗1 𝑥𝐼𝑗 𝐽 𝑗1 Média 𝑥𝑖 𝑡1 𝐽 𝑡2 𝐽 𝑡𝐼 𝐽 422 Modelo matemático Qualquer que seja o experimento utilizado há sempre um modelo matemático associado a partir do qual são feitas todas as deduções essenciais para a análise do experimento No caso de experimentos com um único fator o modelo é dado por 𝑥𝑖𝑗 𝑥 𝑡𝑖 𝜀𝑖𝑗 Onde Xij é a resposta observada na jésima repetição do iésimo tratamento 𝑥 é a média geral comum a todos os tratamentos ti é a medida do efeito causado pelo tratamento i eij é o erro experimental associado à parcela que recebeu o tratamento i na jésima repetição Além do fato do modelo ser aditivo os erros devem ser independentes normalmente distribuídos e com variâncias homogêneas 6 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção Partição da Soma de Quadrados A Soma de Quadrados Totais SQT mede a variabilidade total de todos os tratamentos pode ser expressa como 𝑆𝑄𝑇 𝑥𝑖𝑗 𝑥 2 𝐽 𝑗1 𝐼 𝑖1 𝑥² 1 𝑛 𝑥 ² e pode ser decomposta como 𝑥𝑖𝑗 𝑥 2 𝐽 𝑗1 𝐼 𝑖1 𝑆𝑄𝑇 𝐽 𝑥𝑖 𝑥2 𝐼 𝑖1 𝑆𝑄𝑡 𝑥𝑖𝑗 𝑥𝑖 2 𝐽 𝑗1 𝐼 𝑖1 𝑆𝑄𝑒 Esta fórmula porém não é muito prática para se trabalhar assim desdobrandoa tornase 𝑥𝑖𝑗 2 𝐽 𝑗1 𝐼 𝑖1 1 𝐼𝐽 𝑥𝑖𝑗 𝐽 𝑗1 𝐼 𝑖1 2 𝑆𝑄𝑇 1 𝐽 𝑥𝑖 2 𝐽 𝑗1 𝐼 𝑖1 1 𝐼𝐽 𝑥𝑖𝑗 𝐽 𝑗1 𝐼 𝑖1 2 𝑆𝑄𝑡 𝑥𝑖𝑗 2 𝐽 𝑗1 𝐼 𝑖1 1 𝐽 𝑥²𝑖 𝐽 𝑗1 𝐼 𝑖1 𝑆𝑄𝑒 onde a primeira parte Soma de Quadrado dos tratamentos SQt representa a variabilidade causada entre os tratamentos ou seja 𝑆𝑄𝑡 1 𝐽 𝑡𝑖 2 1 𝑛 𝑥2 a segunda parte Soma de Quadrado dos erros SQe mede a variabilidade casual ou a variabilidade do erro dentro dos tratamentos ou seja 𝑆𝑄𝑒 𝑥² 1 𝐽 𝑡𝑖 2 Assim 𝑆𝑄𝑇 𝑆𝑄𝑡 𝑆𝑄𝑒 Quadrados médios variâncias A partir das diversas Somas de Quadrados variabilidades podese obter as variâncias ou Quadrados Médios dividindo aquelas pelos seus respectivos graus de liberdade ou seja gltI1 e gle IJ1 𝑄𝑀𝑡 𝑆𝑄𝑡 𝐺𝐿𝑡 𝑠𝑡 2 e 𝑄𝑀𝑒 𝑆𝑄𝑒 𝐺𝐿𝑒 𝑠𝑒2 Onde QMt é a variância dos tratamentos e QMe é a variância do erro experimental Estatística do teste F 𝐹 𝑠𝑡 2 𝑠𝑒2 𝑄𝑀𝑡 𝑄𝑀𝑒 Como visto anteriormente o teste F compara duas variâncias e tem como hipóteses básicas 7 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção H0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥𝐼 ou seja as diferenças observadas entre os tratamentos são não significativas sem efeito HA 𝑥1 𝑥2 𝑜𝑢 𝑥1 𝑥3 𝑜𝑢 𝑥2 𝑥3 ou seja as diferenças observadas entre os tratamentos são significativas houve efeito Valorp a Teste unilateral à esquerda F1 valorp 𝑃𝐹 𝐹𝛼𝑔𝑙𝑡1 𝑔𝑙𝑒 Função da planilha DISTFF glt gle1 b Teste bilateral valorp 2PF 𝐹𝛼 2𝑔𝑙t 𝑔𝑙e ou valorp 21 P𝐹 𝐹1𝛼 2 𝑔𝑙𝑡 𝑔𝑙𝑒 Função de planilha Para F1 2DISTFF glt gle1 ou 21 DISTFF glt gle1 para F1 c Teste unilateral à direita F1 valorp1 P𝐹 𝐹1𝛼𝑔𝑙𝑡 𝑔𝑙𝑒 Função de planilha 1DISTFF glt gle1 Decisão Se valorpα aceitase H0 Assim 𝑠𝑒 valor p 𝛼 𝐻0 valor p 𝛼 𝐻𝐴 ou 𝑠𝑒 𝐹 𝐹𝛼𝑔𝑙𝑡𝑔𝑙𝑒 𝐻0 𝐹 𝐹𝛼𝑔𝑙𝑡𝑔𝑙𝑒 𝐻𝐴 Em teoria se não houver efeito de tratamentos QMtQMe o valor de F situará próximo de 1 indicando que H0 é verdadeiro Por outro lado se houver efeito significativo de tratamentos QMtQMe o valor alto de F indica que H0 é falso Feito isso a análise de variância ANOVA pode ser sintetizada em um quadro como segue CAUSA DA VARIAÇÃO GL SQ QM F 𝑭𝑮𝑳𝒕𝑮𝑳𝒆 Valorp Decisão TRAT t gltI1 SQt QMt QMtQMe PFs²ts²e α H0 ERRO e gleIJ1 SQe QMe α HA TOTAL T glTgltgle SQT CVQMe½µ Exemplo Um experimento foi conduzido com a finalidade de se testar 4 cultivares de arroz em solo sob vegetação de cerrado Os dados relativos à matéria seca total g das cultivares A IAC 64 B IR 30 C Precoce e D CICA foram A B C D R1 217 115 225 116 R2 208 128 200 107 R3 258 141 238 141 x x² t² Somas de t 𝑡𝑖 𝐽 𝑗1 683 384 663 364 2094 3985 11860 Médias de t 1 𝐽 𝑡𝑖 228 128 221 121 1745 8 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção Assim 𝑆𝑄𝑇 2172 2082 2582 1162 1072 1412 20942 12 35059 Usando funções de planilha SQTSOMAQUADdados xSOMAdados x2CONTNÚMdados x 𝑆𝑄𝑡 1 3 6832 3842 6632 3642 20942 12 29934 Usando funções de planilha SQtSOMAQUADdados tCONTNÚMdados jSOMAdados x2CONTNÚMdados x 𝑆𝑄𝑒 𝑆𝑄𝑇 𝑆𝑄𝑡 35059 29934 03126 Usando funções de planilha SQeSOMAQUADdados xSOMAQUADdados tCONTNÚMdados j 𝑄𝑀𝑡 29934 3 09978 𝑄𝑀𝑒 03126 8 00391 𝐹 09978 00391 2554 Síntese QUADRO DE ANOVA CAUSA DA VARIAÇÃO GL SQ QM F 𝑭𝜶𝟑𝟖 Valorp Decisão TRAT 413 29934 09978 2554 4066 00002 HA ERRO 4318 03126 00391 TOTAL 43111 33059 CV10000391½17451132 A probabilidade de se aceitar H0 é menor do que 5 valorp00002 portanto rejeitase H0 concluindo que existe diferença significativa efeito em pelo menos uma entre as cultivares testadas Dentro do formalismo estatístico a conclusão acima seria proferida da seguinte maneira a análise de variância ao nível de 5 de significância aponta que pelo menos uma das médias obtidas com as cultivares testadas diferem entre si uma vez que a probabilidade associada às diferenças é de 002 valorpα Considerações básicas O delineamento Inteiramente Casualizado DIC é o modelo básico do ensaio experimental os demais foram derivados deste Só é recomendado para ensaios com material experimental homogêneo Há vantagens como um maior número de graus de liberdade para o erro e perda de parcelas não causam problemas A estimativa da variância do erro QMe tende a ser alta dificultando a obtenção do nível de significância para o efeito de tratamentos Casualização irrestrita 9 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção Teste de discriminação de médias O teste F quando significativo aponta que há efeito dos tratamentos testados mas não identifica onde encontrase a diferença exceto para I2 Assim há necessidade de se aplicar um teste de discriminação de médias para identificar onde se encontram estas diferenças Teste de Tukey Usado para testar contrastes diferenças entre as médias Adequado para tratamentos com o mesmo número de repetições Cálculo da estatística do teste de Tukey Todo teste deve ter um valor a partir do qual as diferenças entre as médias sejam consideradas significativas do ponto de vista estatístico DMS Para o teste de Tukey a diferença mínima significativa Δα é dada por 𝛼 𝑞𝛼𝐼𝑔𝑙𝑒𝑄𝑀𝑒 𝐽 Onde 𝑞𝐼𝐺𝐿𝑒 valor tabelado Tabela studentizada de Tukey geralmente a 5 de significância ANEXO V com I tratamentos e gruas de liberdade do erro gle J número de repetições dos tratamentos Aplicação do teste de Tukey Todo contraste que superar Δ será significativo ao nível de probabilidade adotado α Assim as hipóteses estabelecidas ficam 𝑥𝑢 𝑥𝑘 𝛼 𝐻0 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑢 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑘 𝛼 𝐻𝐴 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑢 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑘 Para o caso das cultivares a diferença mínima significativa é 𝛼 𝑞00548𝑄𝑀𝑒 𝐽 005 45300391 3 052 Assim qualquer diferença entre as médias das cultivares superior a 052 será significativa ao nível de 5 Desta forma o contraste 𝑥𝐴 𝑥𝐵 228 128 100 é significativo ou seja do ponto de vista estatístico a cultivar A IAC 64 produz mais matéria seca do que a cultivar B IR 30 Da mesma forma 𝑥𝐴 𝑥𝐶 228 221 007 não é significativo ou seja as cultivares A IAC 64 e C Precoce se comportam igualmente do ponto de vista estatístico 10 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção Para a aplicação completa do teste devese classificar as médias dos tratamentos na ordem decrescente sobre a primeira coluna e primeira linha de uma matriz efetuar as diferenças comparálas com Δα e concluir Número de contrastes 05II1 Diferença entre médias A C B D Médias Médias 228 221 128 121 A 228a 0 ns C 221a 007 ns 0 ns B 128b 100 093 0 ns D 121b 107 100 007 ns 0 ns Assim as médias seguidas pela mesma letra não se diferem do ponto de vista estatístico Teste de Duncan Tem as mesmas características que o teste de Tukey A diferença fundamental está na obtenção da estatística do teste dada por 𝐷𝑛 𝑍𝑛 𝑄𝑀𝑒 𝐽 Onde Dn diferença mínima significativa para o contraste n Zn valor tabelado para o número de médias abrangidas no teste e gle graus de liberdade Enquanto o teste de Tukey tem apenas uma DMS o teste de Duncan tem várias ou seja uma DMS para cada contraste de médias n05II1 Onde n é o número de contrastes Para se estabelecer este teste as médias devem estar ordenadas e disposta em uma matriz quadrada Assim Diferença entre médias A C B D Médias Médias 228 221 128 121 A 228a 0 ns C 221a 007 ns 0 ns B 128b 100 093 0 ns D 121b 107 100 007 ns 0 ns Teste de contrastes 1 𝑥𝐴 𝑥𝐷 228 121 107 𝐷4 𝑍005 48 𝑄𝑀𝑒 𝐽 𝐷4 347 00391 3 040 Dessa forma o contraste em questão é significativo 2 𝑥𝐴 𝑥𝐵 228 128 100 e 𝑥𝐶 𝑥𝐷 221 121 100 𝐷3 𝑍005 38 𝑄𝑀𝑒 𝐽 𝐷3 339 00391 3 039 Dessa forma o contraste em questão também é significativo 3 𝑥𝐴 𝑥𝐶 228 221 007 e 𝑥𝐶 𝑥𝐵 221 128 093 e 𝑥𝐵 𝑥𝐷 128 121 007 11 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção 𝐷2 𝑍005 28 𝑄𝑀𝑒 𝐽 𝐷3 329 00391 3 037 Dessa forma somente o contraste do tratamento D e B é significativo Os dois outro são não significativos cuja conclusão é semelhante à do Tukey Teste de Scheffé Os coeficientes ortogonais são utilizados para contrastes que envolvam mais de duas médias Coeficientes c 1 2 3 4 TRAT µt µ1 µ2 µ3 µ4 1 µ1 3 1 1 1 2 µ2 0 2 1 1 3 µ3 0 0 1 1 4 µ4 0 0 0 0 Passos 1 Organizar as médias na ordem decrescente Contrastes 𝜇 A C B D TRAT µt 228 3 221 2 128 1 121 A 228a 3ABCD𝑆005 C 221a 2CBD𝑆005 B 128b BD 𝑆005 D 121b 2 Definir os contrastes 𝜇 3𝑥𝐴 𝑥𝐶 𝑥𝐵 𝑥𝐷 2𝑥𝐶 𝑥𝐵 𝑥𝐷 𝑥𝐶 𝑥𝐷 3 Formulação das hipóteses 𝜇 0 H0 0 𝐻𝐴 4 Calcular a estatística do teste 𝑆𝛼 𝐼 1𝐹𝛼 𝐼1𝐺𝐿𝑒 𝑄𝑀𝑒 𝐽 𝑐𝑖 2 𝑛 𝑖1 Onde ci valor do coeficiente do contraste i n número de coeficientes 5 Aplicação do teste 6 Se 𝜇 S𝛼 H0 S𝛼 𝐻𝐴 Para o exercício em questão a comparação da cultivar A IAC 64 com as demais use o contraste 𝜇 3𝑥𝐴 𝑥𝐵 𝑥𝐶 𝑥𝐷 12 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção 𝐻0 3𝑥𝐴 𝑥𝐵 𝑥𝐶 𝑥𝐷 𝐻𝐴 3𝑥𝐴 𝑥𝐵 𝑥𝐶 𝑥𝐷 𝑆005 4 14066 00391 3 32 12 12 12 138 𝜇 3 228 128 221 121 214 Como 𝜇 214 supera a estatística 𝑆005 138 rejeitase H0 e concluise que a cultivar A IAC64 produz mais matéria seca que as demais Agora a comparação da cultivar C Precoce com as outras duas usase o contraste 𝜇 2𝑥𝐶 𝑥𝐵 𝑥𝐷 𝐻0 2𝑥𝐶 𝑥𝐵 𝑥𝐷 𝐻𝐴 2𝑥𝐶 𝑥𝐵 𝑥𝐷 𝑆005 4 14066 00391 3 22 12 12 098 𝜇 2 221 128 121 193 Como 𝜇 193 supera a estatística 𝑆005 098 rejeitase H0 e conclui se que a cultivar C Precoce produz mais matéria seca que as outras duas Por fim a comparação da cultivar B IR 30 com a D CICA e A IAC 64 com a C Precoce usase o contraste 𝜇 𝑥𝐵 𝑥𝐷 𝑒 𝜇 𝑥𝐴 𝑥𝐶 𝐻0 𝑥𝐵 𝑥𝐷 𝑜𝑢 𝑥𝐴 𝑥𝐶 𝐻𝐴 𝑥𝐵 𝑥𝐷 𝑜𝑢 𝑥𝐴 𝑥𝐶 𝑆005 4 14066 00391 3 12 12 056 𝜇 128 121 007 𝜇 228 221 007 Como 𝜇 007 não supera a estatística 𝑆005 056 aceitase H0 e concluise que a cultivar B IR30 produz matéria semelhante À cultivar D CICA bem como A IAC 64 se iguala à cultivar C Precoce Assim concluise que ACBD semelhante aos outros testes de média 13 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção 43 EXPERIMENTOS COM UM FATOR Número diferentes de repetições O ideal em qualquer experimento é que seja planejado com o mesmo número de repetições para todos os tratamentos no entanto em alguns casos isto não é possível ou pode ocorrer perda de parcelas A análise de variância é feita de maneira usual e as mudanças no quadro de análise são vistas logo a seguir FONTE DA VARIAÇÃO GL SQ QM F 𝑭𝒈𝒍𝒕𝒈𝒍𝒆 Valorp TRAT t I1 SQt QMt QMtQMe FINV1 αgltgle DISTFCDFgltgle ERRO e NI SQe QMe TOTAL T N1 SQT Notase que o SQe por ser mais trabalhoso é calculado pela diferença entre SQTSQt Exemplo 2 Um experimento inteiramente ao acaso foi conduzido com a finalidade de se estudar o efeito do superfosfato simples em quatro doses P1 P2 P3 P4 no crescimento do limoeiro Cravo em vasos até a repicagem Foram avaliados diversos parâmetros dentre os quais o teor de N cujos resultados foram REP P1 P2 P3 P4 1 469 433 456 439 2 417 467 459 446 3 482 458 448 442 4 466 459 449 448 5 479 446 452 453 6 481 45 447 SOMA 2794 2263 2714 2675 Média 466 453 452 446 x10446 µx457 N23 I4 J16 J25 𝑆𝑄𝑇 4692 4712 4 822 4482 4532 4472 104462 23 052 𝑆𝑄𝑡 27942 27142 26752 6 2263 5 2 104462 23 01243 𝑆𝑄𝑒 𝑆𝑄𝑇 𝑆𝑄𝑡 03994 02843 040 𝑄𝑀𝑡 01243 3 00414 𝑄𝑀𝑒 040 19 0021 𝐹 00414 0021 198 14 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção Quadro de ANOVA CAUSA VARIAÇÃO GL SQ QM F 𝑭𝟑𝟏𝟗 Valorp HIP TRAT 413 01243 00414 198 31274 01513 H0 ERRO 23419 040 0021 TOTAL 23122 052 𝐶𝑉 100𝑄𝑀𝑒 𝑀 1000021 454 319 Interpretação Ao nível de 5 de probabilidade não há diferença significativa entre os níveis de superfosfato p005 Neste caso não há necessidade de aplicar os testes de discriminação de média Teste de Tukey Para o caso com número diferente de repetições usase a fórmula geral do teste 𝑞𝐼𝐺𝐿𝑒1 2 1 𝑟𝑢 1 𝑟𝑘 𝑄𝑀𝑒 Onde ru é o número de repetições do tratamento com parcela perdida e rk é o número de repetições dos demais tratamentos repetições iguais Assim há necessidade de se calcular dois Δα diferença mínima significativa a α 1 DMS para comparar as médias que não tiveram parcelas perdidas 005 𝑞005419𝑄𝑀𝑒 𝑟𝑘 3980021 6 0131 2 DMS para comparar o tratamento da parcela perdida com os demais tratamentos 005 3981 2 1 5 1 6 0021 0137 3 Fazer a média dos dois contrastes e comparar o tratamento da parcela perdida com os demais tratamentos Matriz das diferenças das médias Diferenças entre médias T1 T2 T3 T4 475 453 452 446 T1 475a 0 T2 453b 022 0 T3 452b 023 001ns 0 T4 446b 029 007ns 006ns 0 Significativo a 5 de probabilidade Letras iguais denotam médias iguais a 5 de significância Conclusão 15 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção Pelo teste de Tukey a 5 de significância concluise que o tratamento 1 com dose de superfosfato simples promoveu um efeito significativo no crescimento do limoeiro Cravo em detrimento aos outros 3 tratamentos que mantiveram efeitos semelhantes Teste de Duncan 1 Com os mesmos procedimentos do teste de Tukey Comparar as médias que não tiveram parcelas perdidas 𝐷2 𝑍005𝑛µ𝑔𝑙𝑒𝑄𝑀𝑒 𝑟𝑘 𝑍00521900065 6 296 00329 0097 2 Para comparar o tratamento 2 com os demais tratamentos 𝐷2 2961 2 1 5 1 6 00065 0102 3 Fazer a média dos dois contrastes e comparar o tratamento da parcela perdida com os demais tratamentos O resultado final deve ser similar ao mesmo obtido por Tukey 16 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção 5 ANÁLISE DE VARIÂNCIA EXPERIMENTOS DE UM FATOR COM RESTRIÇÕES NA CASUALIZAÇÃO 51 Delineamento em Blocos Casualizados DBC Quando o material experimental à disposição do pesquisador não for homogêneo o arranjo experimental dos tratamentos inteiramente ao acaso não é recomendável Nestes casos o material experimental é dividido em Blocos dentro dos quais devese se ter homogeneidade Assim em um terreno com certa declividade podemos formar blocos no sentido das curvas de nível procurando ter os tratamentos em todas as faixas de fertilidade controle local Em um lote de leitões proveniente de várias leitegadas os blocos podem ser as leitegadas caso os leitões sejam uniformes Em experimentos com gado de leite podese formar blocos com as vacas de maior produção blocos com as produções médias e blocos com as vacas e menor produções Até mesmo em ambientes protegidos como estufas e casas de vegetação o uso de blocos pode ser feito para controlar por exemplo diferenças de luminosidade Em um experimento com I4 tratamentos A B C e D e J3 repetições podese ter no campo o seguinte desenho BLOCO I C A D B Onde se pode notar que os tratamentos se repetem dentro de cada bloco O uso de blocos pelas restrições na casualização origina perda de graus de liberdade o que aparentemente levaria a um aumento no erro experimental Este aumento geralmente não ocorre pelo fato de que o uso de blocos elimina do erro experimental uma fonte de variação existente no mesmo por exemplo diferenças de fertilidade diferenças de leitegadas etc o que quase sempre compensa a perda de graus de liberdade 511 Modelo matemático 𝑥𝑖𝑗 𝑥 𝑡𝑖 𝑏𝑗 𝜀𝑖𝑗 Onde Xij é a resposta observada no iésimo tratamento do jésimo bloco 𝑥 é a média geral comum a todos os tratamentos ti é a medida do efeito causado pelo tratamento i BLOCO II A D B C BLOCO III D B C A 17 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção bj é a medida do efeito causado pelo bloco j εij é o erro experimental associado à parcela que recebeu o tratamento i no jésimo bloco 512 Forma tabular Seja I o número de níveis deste fator e J o número de repetições Genericamente pode se representar as observações de um experimento da seguinte forma tabular Fontes Fator ou Tratamento ti Soma 𝑏𝑗 Média 𝑥𝑗 Bloco j 1 2 I 1 x11 X21 xI1 𝑥𝑖1 𝐼 𝑖1 𝑏1 𝐼 2 x12 X22 xI2 𝑥𝑖2 𝐼 𝑖1 𝑏2 𝐼 J x1J X2J xIJ 𝑥𝑖𝐽 𝐼 𝑖1 𝑏𝐽 𝐼 Soma 𝑡𝑖 𝑥1𝑗 𝐽 𝑗1 𝑥2𝑗 𝐽 𝑗1 𝑥𝐼𝑗 𝐽 𝑗1 𝑋 𝑥𝑖𝑗 𝑛 𝑖1 𝑛 𝑏𝑖 2 𝐼 𝑖1 Média 𝑥𝑖 𝑡1 𝐽 𝑡2 𝐽 𝑡𝑖 𝐽 𝑡𝑖 2 𝐼 𝑖1 𝑥𝑖𝑗 2 𝐽 𝑗1 𝐼 𝑖1 513 Partição da Soma de Quadrados SQT A Soma de Quadrados Totais SQT que mede a variabilidade total de todos os tratamentos pode ser expressa como 𝑆𝑄𝑇 𝑥𝑖𝑗 𝑥 2 𝐽 𝑗1 𝐼 𝑖1 e pode ser decomposta como 𝑥𝑖𝑗 𝑥 2 𝐽 𝑗1 𝐼 𝑖1 𝑆𝑄𝑇 𝐽 𝑥𝑖 𝑥2 𝐼 𝑖1 𝑆𝑄𝑡 𝐼 𝑥𝑗 𝑥 2 𝐽 𝑗1 𝑆𝑄𝑏 𝑥𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 𝑥 2 𝐽 𝑗1 𝐼 𝑖1 𝑆𝑄𝑒 Esta fórmula porém não é muito prática para se trabalhar assim simplificandoa tornase 𝑥𝑛 2 𝑁 𝑛1 𝐶 𝑆𝑄𝑇 1 𝐽 𝑡𝑖 2 𝐼 𝑖1 𝐶 𝑆𝑄𝑡 1 𝐼 𝑏𝑗 2 𝐽 𝑗1 𝐶 𝑆𝑄𝑏 𝑥𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 𝑥 2 𝐽 𝑗1 𝐼 𝑖1 𝑆𝑄𝑒 onde N I 𝐽 𝐶 1 𝑁 𝑥𝑛 𝑁 𝑛1 2 𝑁 𝑥2 18 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção Assim 𝑆𝑄𝑇 𝑆𝑄𝑡 𝑆𝑄𝑏 𝑆𝑄𝑒 514 Quadrados médios variâncias A partir das diversas Somas de Quadrados variabilidades podese obter as variâncias ou Quadrados Médios dividindo aquelas pelos seus respectivos graus de liberdade ou seja gltI1 glbJ1 e gle I1J1 𝑄𝑀𝑡 𝑆𝑄𝑡 𝐺𝐿𝑡 𝑠𝑡 2 𝑄𝑀𝑏 𝑆𝑄𝑏 𝐺𝐿𝑏 𝑠𝑏 2 𝑄𝑀𝑒 𝑆𝑄𝑒 𝐺𝐿𝑒 𝑠𝑒2 Onde QMt e QMb são as variâncias dos tratamentos e dos blocos respectivamente QMe é a variância do erro experimental Teste F 𝐹𝑡 𝑠𝑡 2 𝑠𝑒2 𝑄𝑀𝑡 𝑄𝑀𝑒 𝐹𝑏 𝑠𝑏 2 𝑠𝑒2 𝑄𝑀𝑏 𝑄𝑀𝑒 Feito isso a análise de variância ANOVA pode ser sintetizada em um quadro como segue CAUSA DA VARIAÇÃO GL SQ QM F 𝑭𝑮𝑳𝒕𝑮𝑳𝒆 TRAT t I1 1 𝐽 𝑡𝑖 2 𝐼 𝑖1 𝐶 SQtglt QMtQMe BLOCOS b J1 1 𝐼 𝑏𝑗 2 𝐼 𝑖1 𝐶 SQbglb QMbQMe ERRO e I1J1 SQTSQtSQb SQegle Valorp TOTAL T N1 𝑥𝑛 2 𝑁 𝑛1 𝐶 PF𝑭𝑮𝑳𝒕𝑮𝑳𝒆 Como visto anteriormente o teste F compara duas variâncias e tem como hipóteses básicas H0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥𝐼 ou seja as diferenças observadas entre os tratamentos são não significativas sem efeito HA 𝑥1 𝑥2 𝑜𝑢 𝑥1 𝑥3 𝑜𝑢 𝑥1 𝑥𝐼 ou seja as diferenças observadas entre os tratamentos são significativas houve efeito 19 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção Decisão 𝑠𝑒 𝐹 𝐹𝐺𝐿𝑓𝐺𝐿𝑒 𝐻0 𝐹 𝐹𝐺𝐿𝑓𝐺𝐿𝑒 𝐻𝐴 Em teoria se não houver efeito do fator tratamentos eou blocos QMtQMe o valor de F situará próximo de 1 indicando que H0 é verdadeiro Por outro lado se houver efeito significativo de tratamentos QMtQMe o valor alto de F indica que H0 é falso Exemplo Um experimento em DBC foi realizado para se estudar o efeito do parcelamento da adubação nitrogenada sobre diversas características morfológicas e fisiológicas do alho Os dados relativos à altura da planta cm foram TRAT BL T1 T2 T3 Média Ɓ Soma b I 5184 5247 5417 5283 15848 II 5286 5319 5503 5369 16108 III 5366 5326 5518 5403 1621 IV 5419 5438 5604 5487 16461 V 5606 5614 5669 5630 16889 Média Ƭ 5372 5389 5542 µx5434 b²132959371 Soma t 26861 26944 27711 t²221539198 x²44329789 Onde T1 250 kg de sulfato de amônio no plantio T2 13 no plantio e 23 na cobertura 30 DAP dias após o plantio T3 13 no plantio 13 em cobertura 30 DAP e 13 em cobertura 60 DAP Passos 1 Calcular as somas de quadrados SQ 𝑆𝑄𝑇 51842 52862 56042 56692 15 54342 30734 𝑆𝑄𝑡 268612 269442 2771125 15 54342 8785 𝑆𝑄𝑏 158482 161082 16886923 15 54342 20735 𝑆𝑄𝑒 𝑆𝑄𝑇 𝑆𝑄𝑡 𝑆𝑄𝑏 30734 8785 20735 1214 2 Montar o quadro de ANOVA CAUSA gl SQ QM F Valorp TRAT 2 87845 43923 289406 0000217 BLOCOS 4 2073529 51838 341562 0000045 ERRO 8 1214147 015177 TOTAL 14 3073396 Efeito significativo ao nível de 1 valorp001 3 Concluir sobre o teste F 20 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção A análise de variância aponta que houve efeito em pelo menos um tratamento Assim para saber qualis dos tratamentos se destam aplicase um teste de médias 4 Aplicação de testes de discriminação de médias Teste de TUKEY 𝑞00538𝑄𝑀𝑒 𝐽 005 404015177 5 070 𝑇3 5542 a 𝑇2 5389 b 𝑇1 5372 b Conclusão O teste de Tukey ao nível de 5 se significância indica que o tratamento 3 250 kg de NH32SO4 divididos em 3 parcelamentos promoveu efeito sobre a altura das plantas de alho 5 Coeficiente de variação do experimento CV 𝐶𝑉 100𝑄𝑀𝑒 𝑥 𝐶𝑉 100015177 5434 717 Considerações importantes As parcelas não precisam necessariamente estar dispostas em sequências dentro do bloco Os blocos não precisam necessariamente estar todos juntos Toda operação no experimento capina adubação irrigação colheita etc deve ser feita bloco por bloco 52 Caso de uma parcela perdida Muitas vezes ocorre o fato de ao final do experimento haver perda de uma ou mais parcelas devido a fatores alheios ao experimentador Quando isso ocorre é denominada de parcelas perdidas Assim a estimativa da parcela perdida é dada por 𝑥𝑖𝑗 𝐼 𝑡𝑖 𝐽 𝑏𝑖 𝑥 𝐼 1𝐽 1 Onde I número de tratamentos 𝑡𝑖 soma das parcelas restantes do tratamento com parcela perdida J número de blocos 𝑏𝑖 soma das parcelas restantes do bloco com parcela perdida 𝑥 soma de todas as parcelas existentes no experimento A análise de variância é feita de maneira usual com gleI1J11 e glTN2 21 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção Exemplo Um ensaio em blocos casualizados foi feito para se estudar o efeito de 4 inseticidas A B C e D no controle de pulgões no algodoeiro Uma semana após a aplicação foram contados o número de pulgões remanescentes e transformados em 𝑛𝑃 05 BL TRAT A B C D SOMA MÉDIA 1 255 353 587 339 1534 2 381 308 474 122 1285 3 308 505 187 100 4 324 367 552 212 1455 SOMA 96 1336 2118 86 5274 MÉDIA 𝐴3 4 96 4 10 5274 3 3 285 Quadro de ANOVA CAUSA gl SQ QM F Valorp TRAT 3 208706 69569 17262 00007 BLOCOS 3 11753 03918 0972 0452ns ERRO 8 32241 04030 TOTAL 14 252700 Correção do SQt 𝑆𝑄𝑡𝑐 𝑆𝑄𝑡 𝐼 1 𝐼 𝑥𝑖𝑗 𝑏𝑖 𝐼 1 2 208706 4 1 4 285 10 4 1 2 208706 01728 206978 Como esta correção não afeta o SQe geralmente esta é ignorada Aplicação de testes Para calcular o DMS devese calcular dois erros padrões sendo um para os tratamentos com parcelas normais SE e outro para a parcela perdida SE 𝑆𝐸 𝑄𝑀𝑒 𝐽 0403 4 0317 𝑆𝐸 1 𝐽 𝐼 𝐽𝐽 1𝐼 1 𝑄𝑀𝑒 1 4 4 44 14 1 0403 0382 Assim DMSqαSE e DMS qαSE Aplicar Tukey Duncan ou Scheffé com os dois DMS 22 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção 6 ANÁLISE DE VARIÂNCIA EXPERIMENTOS EM ESQUEMA FATORIAL Nos experimentos em esquema fatorial incluise todas as combinações dos diversos níveis de dois ou mais fatores 61 Caso de dois fatores a Adubação nitrogenada em 4 níveis 0 1 2 e 3 e adubação fosfatada em 3 níveis 0 1 e 2 As combinações possíveis são 𝑁 𝑃 0 0 1 2 1 0 1 2 2 0 1 2 3 0 1 2 00 10 20 30 01 11 21 31 02 12 22 32 Este esquema forma um fatorial 4 x 3 com 12 tratamentos Em DBC com três blocos J3 o desenho poderia ser BLOCO I 01 10 20 12 32 00 30 22 11 31 01 21 b Três variedades de soja A B e C e duas doses de calagem 0 1 formando o fatorial 3 x 2 constituindo 6 tratamentos 𝑆𝑂𝐽𝐴 𝐶𝑎𝐶𝑂3 𝐴 0 1 𝐵 0 1 𝐶 0 1 𝐴0 𝐴1 𝐵0 𝐵1 𝐶0 𝐶1 Este esquema em DIC com 4 repetições J4 ficaria C0 A1 C0 B0 A0 B1 B1 A0 C1 C0 A1 B0 B0 A1 A0 C1 A1 C1 B1 B0 A1 C0 C1 A0 BLOCO II 20 32 30 31 11 02 21 00 01 10 22 12 BLOCO III 31 02 01 22 32 00 10 11 12 21 20 30 23 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção 611 Modelo matemático Para um experimento em blocos ao acaso em esquema fatorial com dois fatores o modelo associado é 𝑥𝑖𝑗𝑘 𝑥 𝑡𝑖 𝑏𝑗 𝑡𝑘 𝑡𝑖𝑡𝑘 𝜀𝑖𝑗𝑘 Onde Xijk é a resposta observada no iésimo tratamento do jésimo bloco 𝑥 é a média geral comum a todos os tratamentos ti é a medida do efeito causado pelo tratamento do fator i f1 bj é a medida do efeito causado pelo bloco j tk é a medida do efeito causado pelo tratamento do fator k f2 titk é a medida do efeito causado pela interação entre os dois fatores εijk é o erro experimental associado e A partição da soma de quadrados totais SQT seria 𝑆𝑄𝑇 𝑆𝑄𝑓1 𝑆𝑄𝑓2 𝑆𝑄𝐼 𝑆𝑄𝑏 𝑆𝑄𝑒 Síntese do quadro de ANOVA CAUSA gl SQ QM F FATOR1 f1 I1 1 𝐾𝐽 𝑓1 2 𝐶 SQf1glf1 QMf1QMe FATOR2 f2 K1 1 𝐼𝐽 𝑓2 2 𝐶 SQf2glf2 QMf2QMe INTERAÇÃO I1K1 1 𝐽 𝐼2 𝐶 𝑆𝑄𝑓1 𝑆𝑄𝑓2 SQIglI QMIQMe BLOCOS J1 1 𝐼𝐾 𝑏2 𝐶 SQbglb QMbQMe ERRO IK1J1 SQT SQf1 SQf2 SQI SQb SQegle TOTAL IJK1 𝑥2 𝐶 A interação é medida pela dependência entre os dois fatores controlados em estudo a Interação não significativa Quando o comportamento de um fator é semelhante para todos os níveis do outro fator ou seja os dois fatores agem independentemente Exemplo FATOR A FATOR B 0 1 2 TOTAL 0 20 36 50 106 1 30 45 62 137 TOTAL 50 81 112 243 24 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção Observase claramente que o comportamento do fator B é o mesmo para os dois níveis de A Da mesma forma o comportamento de A é o mesmo para os três níveis de B ou seja a tendência é de paralelismo veja o gráfico abaixo b Interação significativa Quando o comportamento de um fator varia dependendo do nível do outro fator A interação é significativa quando os dois fatores são dependentes Exemplo 1º CASO FATOR A FATOR B 0 1 2 TOTAL 0 20 36 50 106 1 45 30 62 137 TOTAL 65 66 112 243 Neste caso o comportamento de B para o nível 0 do grupo A é diferente do comportamento do nível 1 Neste caso as retas não são paralelas veja o gráfico abaixo 0 10 20 30 40 50 60 70 0 1 2 BA0 BA1 25 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção 2º CASO FATOR A FATOR B 0 1 2 TOTAL 0 20 36 50 106 1 25 45 70 140 TOTAL 45 81 120 246 Neste caso o efeito de B para a dose 0 do fator A é menor do que o efeito de B para a dose 1 do fator A Graficamente fica 0 10 20 30 40 50 60 70 0 1 2 BA0 BA1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 1 2 BA0 BA1 26 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção Exemplo 1 Um experimento em blocos casualizados foi conduzido com a finalidade de se estudar o efeito do CYCOCEL ppm no desenvolvimento de duas cultivares de arroz Os dados obtidos para altura das plantas na época da maturação dos grãos foram TRAT IAC25 IAC47 TOTAL BLOCOS 0 50 100 150 0 50 100 150 I 880 819 714 758 754 709 646 683 5963 II 855 776 746 726 787 734 662 695 5981 III 800 813 732 723 785 728 661 691 5933 SUBTOTAL 2535 2408 2192 2207 2326 2171 1969 2069 17877 TOTAL 9342 8535 MÉDIA 845 803 731 736 775 724 656 690 745 x²13400843 x17877 C17877²24 1331613038 b² 106530219 f1² 160119189 f2² 80194659 I²4018164 𝑆𝑄𝑇 8802 8552 6912 178772 24 84713 𝑆𝑄𝑏 59632 59812 59332 2 4 178772 24 147 𝑆𝑄𝑓1 93422 85332 4 3 178772 24 27135 𝑆𝑄𝑓2 2535 23262 2207 20692 2 3 178772 24 49646 𝑆𝑄𝑓1𝑓2 25352 24082 19692 2069² 3 178772 24 27135 49646 968 Quadro de ANOVA CAUSA gl SQ QM F Valorp Cultivar 1 27135 27135 55739 0000003 Doses 3 49646 16549 33993 0000001 INTERAÇÃO CxD 3 968 323 0663 0588358ns BLOCOS 2 147 073 0151 0861250ns ERRO 14 6816 487 TOTAL 23 84713 significativo a 5 ou 1 ns não significativa De acordo com a análise de variância a cultivar IAC25 apresenta plantas mais altas independente da dosagem de CYCOCEL valorp 001 27 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção Também notase que houve efeito das doses sobre a altura das plantas No entanto para certificarse qual melhor dose de CYCOCEL há necessidade de aplicar o teste de médias Teste de Tukey 𝑞005414𝑄𝑀𝑒 𝐼𝐽 411487 6 37 TRAT DOSE 0 50 150 100 DOSE Médias 810 763 713 694 0 810 a 0 50 763 b 47 0 150 713 c 97 50 0 100 694 c 116 69 19ns 0 significativo a 5 de probabilidade ns não significativo A interação não significativa indica que os dois fatores agem independentemente e que no presente caso o CYCOCEL não deve ser aplicado par as duas cultivares Exemplo 2 Do experimento anterior para se estudar o efeito do CYCOCEL ppm na produção de grãos gvaso de duas cultivares de arroz foram TRAT IAC25 IAC47 TOTAL BLOCOS 0 50 100 150 0 50 100 150 I 725 745 970 915 510 630 445 810 575 II 640 690 910 830 420 510 605 765 537 III 600 740 985 820 270 474 615 711 5215 SUBTOTAL 1965 2175 2865 2565 1200 1614 1665 2286 16335 TOTAL 957 6765 MÉDIA 655 725 955 855 40 54 56 76 68 N I K J Cx²N x² b² f1² f2² I² 24 2 4 3 11118 118919 890956 1373501 684268 354223 Quadro geral de ANOVA CV gl SQ QM F valorp Cultivar 1 3278 3278 7006 0000001 Doses 3 2865 955 2041 0000022 C x D 3 751 250 535 0011498 Blocos 2 1894375 095 202 0168992ns Erro 14 655 047 Total 23 7739 significativo a 5 de probabilidade ns não significativo 𝐶𝑉 100𝑄𝑀𝑒µ 𝐶𝑉 100046868 1005 28 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção Quando a interação é significativa as conclusões devem ser tiradas com muito cuidado pois os fatores são dependentes e neste caso a conclusão sobre qualquer um deles vai depender do nível em que o outro está Interação para cada cultivar qual a dose de CYCOCEL recomendada Quadro geral de ANOVA CV gl SQ QM F valorp Blocos 2 18944 095 202 0168992ns Cultivar 1 327834 3278 7006 0000001 Dose IAC25 3 161025 53675 1147 0000459 Dose IAC47 3 200571 66857 1429 0000153 Erro 14 65514 04608 Total 23 773888 significativo a 5 de probabilidade ns não significativo 𝑆𝑄𝑑𝑜𝑠𝑒 𝐼𝐴𝑉25 19652 21752 28652 25652 3 9572 12 161025 𝑆𝑄𝑑𝑜𝑠𝑒 𝐼𝐴𝑉47 12002 16142 16652 22862 3 67652 12 200571 Assim concluise que há efeito do CYCOCEL para as duas cultivares Aplicandose o teste de Tukey temse 𝑞005414𝑄𝑀𝑒 𝐽 41104680 3 162 TRAT DOSE IAC25 100 150 50 0 DOSE Médias 955 855 725 655 100 955a 0 150 855 ab 100ns 0 50 725 bc 230 130ns 0 0 655 c 300 200 070ns 0 significativo a 5 de probabilidade ns não significativo Para a cultivar IAC25 a dose de CYCOCEL a ser recomendada é de 100 ppm 𝑞005414𝑄𝑀𝑒 𝐽 41104680 3 162 TRAT DOSE IAC47 150 100 50 0 DOSE Médias 762 555 538 400 150 762 a 0 100 555 b 207 0 50 538 b 227 017ns 0 0 400 b 362 155ns 138ns 0 significativo a 5 de probabilidade ns não significativo Para a cultivar IAC47 a dose recomendada para uma maior produção é de 150 ppm Assim a dose a ser recomendada depende do cultivar estudada 29 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção O correto neste caso seria a aplicação da análise de regressão 30 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção 70 EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS Os experimentos em esquema fatorial quando idealizados com fatores que requerem cuidados especiais no seu controle como irrigação adubação de correção pulverização etc tornamse inviáveis a sua execução O esquema abaixa representa um bloco de um experimento fatorial para comparar 2 variedades A e B em 3 níveis de irrigação 0 1 e 2 B1 A2 B0 B2 A0 A1 Notase a inviabilidade deste esquema devido ao custo e ao trabalho de manejar a irrigação em pequenas áreas parcelas Assim se incluir mais variedades ou mais níveis de irrigação ou ainda mais blocos a inviabilidade seria maior Uma opção par resolver este problema seria sortear o fator mais trabalhoso a instalação no esquema fatorial irrigação e em seguida sortear dentro de cada parcela o outro fator variedade Ou seja subdividir a parcela principal em subparcelas e nestas utilizar outro fator 1 0 2 A B B A B A 71 Casos em que este esquema é recomendado a Quando um dos fatores torna difícil a instalação em esquema fatorial b Quando um dos fatores exige uma área maior para sua instalação c Quando se deseja maior precisão para as comparações entre níveis de um fator do que entre os níveis do outro fator Qualquer que seja o caso devese colocar nas subparcelas aquele fator mais importante ou no qual se esteja mais interessado 72 Modelo matemático O modelo matemático para um experimento em blocos ao acaso em esquema de parcelas subdivididas é dado por 𝑥𝑖𝑗𝑘 𝑥 𝑡𝑖 𝑏𝑗 𝑡𝑘 𝑡𝑖𝑏𝑗 𝑡𝑖𝑡𝑘 𝜀𝑖𝑗𝑘 Onde Xijk é a resposta observada no iésimo tratamento do jésimo bloco 𝑥 é a média geral comum a todos os tratamentos ti é a medida do efeito causado pelo tratamento do fator i bj é a medida do efeito causado pelo bloco j 31 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção tk é a medida do efeito causado pelo tratamento do fator k titk é a medida do efeito causado pela interação entre os dois fatores εijk é o erro experimental associado e 73 Esquema geral de análise Para um experimento com I tratamentos nas parcelas K tratamentos nas subparcelas e J repetições blocos temse CAUSA DA VARIAÇÃO gl SQ QM F BLOCOS J J1 1 𝐼𝐾 𝑏2 𝐶 SQbglb QMbIQMeI TRAT I t1 I1 1 𝐾𝐽 𝑡1 2 𝐶 SQtIgltI QMtIQMeI ERRO t1 I1J1 SQpSQt1SQb SQeIgleI PARCELAS IJ1 1 𝐾 𝑏𝑡1 2 𝐶 TRAT K t2 K1 1 𝐼𝐽 𝑡2 2 𝐶 SQtKgltK QMtKQMeK I x K I1K1 1 𝐽 𝐼2 𝐶 𝑆𝑄𝑡1 𝑆𝑄𝑡2 SQIKglIK QMIK QMeK ERRO t2 IK1J1 SQTSQpSQt2SQIt1xt2 SQeKgleK SUBPARCELAS N1 𝑥2 𝐶 Uma característica importante deste esquema é a existência de dois erros QMeI e QMeK Geralmente QMeKQMeI a Os tratamentos que vão nas subparcelas são repetidos mais vezes originando maior número dos graus de liberdade para o ErroK implicando na redução do mesmo b O que mede o ErroI é a variação entre parcelas enquanto que o ErroK é proveniente das variações entre subparcelas c Consideramse e analisamse como parcelas subdivididas os experimentos realizados nas mesmas parcelas por períodos sucessivos anos por exemplo Exemplo Um experimento em blocos casualizados em esquema de parcelas subdividida foi instalado para estudar o efeito do corte de folhas baixeiras do milho Foram utilizadas três densidades de plantio nas parcelas 1 25000 plantasha 2 50000 plantasha e 3 75000 plantasha Os tratamentos nas subparcelas foram 4 períodos de corte de folhas baixeiras A 32 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção sem corte B corte aos 50 dias C corte aos 60 dias e D corte aos 70 dias Os dados de produção em kgparcela foram TRATAMENTOS BLOCOS Densidade d Corte c I II III IV V VI 1 A 44 42 35 40 75 22 1 B 24 34 28 32 23 25 1 C 28 42 32 32 24 30 1 D 26 36 33 31 28 32 2 A 54 46 42 31 45 44 2 B 50 43 26 32 52 41 2 C 50 42 39 48 36 39 2 D 50 37 27 43 37 41 3 A 63 49 54 28 42 47 3 B 60 50 55 36 31 48 3 C 57 36 46 24 36 46 3 D 53 36 43 57 30 49 𝑆𝑄𝑇 442 422 492 28692 72 8345 ou SQ das subparcelas QUADRO AUXILIARES 1 Quadro de interações de blocos com o tratamento nas parcelas TRATAMENTO I d BLOCOS 1 2 3 TOTAL b I 122 204 233 559 II 154 168 171 493 III 128 134 198 460 IV 135 154 145 434 V 150 170 139 459 VI 109 165 190 464 TOTAL d 798 995 1076 2869 𝑆𝑄𝑏 5592 4932 4642 2 4 28692 72 800 𝑆𝑄𝑑 7982 9952 10762 4 6 28692 72 1704 𝑆𝑄𝑝 1222 1542 1902 4 28692 72 4280 𝑆𝑄𝑒𝑑 𝑆𝑄𝑝 𝑆𝑄𝑏 𝑆𝑄𝑑 1776 33 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção 2 Quadro de interações entre os tratamentos TRATAMENTO I d TRAT K c 1 2 3 TOTAL b A 258 262 283 803 B 166 244 280 690 C 188 254 245 687 D 186 235 268 689 TOTAL d 798 995 1076 2869 𝑆𝑄𝑐 8032 6902 687² 6892 3 6 28692 72 545 𝑆𝑄𝐼𝑑𝑥𝑐 2582 1662 2682 6 28692 72 𝑆𝑄𝑑 𝐷𝑄𝑐 483 𝑆𝑄𝑒𝑐 𝑆𝑄𝑇 𝑆𝑄𝑝 𝑆𝑄𝑐 𝑆𝑄𝐼𝑑𝑥𝑐 3035 Quadro de ANOVA CAUSA DA VARIAÇÃO gl SQ QM F Valorp BLOCOS J 5 800 160 090 0517 TRAT I t1 2 1704 852 480 0035 ERRO t1 10 1776 178 PARCELAS 17 4280 252 TRAT K t2 3 545 182 269 0226 I x K 6 483 081 119 0453 ERRO t2 45 3037 067 SUBPARCELAS 71 8345 74 Teste de médias 1 Quando a interação não é significativa a Comparações entre os tratamentos que foram nas parcelas densidades Seria o único caso necessário de ser aplicado no presente exemplo pois foi o único efeito que deu significativo 𝑞005310𝑄𝑀𝑒𝑡1 𝐾𝐽 388178 24 106 34 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção 𝑑3 448 𝑎 𝑑2 415 𝑎𝑏 𝑑1 332 𝑏 b Comparação entre tratamentos nas subparcelas cortes 𝑞005445𝑄𝑀𝑒𝑡2 𝐼𝐽 378067 18 073 2 Quando a interação é significativa a Comparar dois ou mais tratamentos que foram nas subparcelas um mesmo nível do tratamento da subparcela No caso do exemplo resolvido seria comparar duas ou mais cortes para cada densidade 𝑞005445𝑄𝑀𝑒𝑡2 𝐼𝐽 378067 18 073 b Comparar 2 ou mais tratamentos que foram nas parcelas um mesmo nível do tratamento da subparcela No caso do exemplo resolvido seria comparar duas ou mais densidades para cada corte 𝐺𝐿𝑒 𝑠𝑡1 2 𝐾 1𝑠𝑡2 2 2 𝑠𝑡1 4 𝐺𝐿𝑒𝑡1 𝐾 1²𝑠𝑡2 4 𝐺𝐿𝑒𝑡2 178 4 1 0672 178² 10 4 1² 0672 45 35 𝑞0053𝐺𝐿𝑒 2 𝐾 1𝑠𝑡2 2 𝑠𝑡1 2 𝐾𝐽 2 3472 4 1067 178 24 2 34703158 2 1379 35 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção 8 ANÁLISE DE REGRESSÃO 81 Regressão Linear Simples O método de regressão consiste em expressar a relação entre duas variáveis x y por meio de uma equação buscando estimativa ou predição Considere uma amostra de n pares Xi Yi de duas variáveis e suponha que exista uma relação funcional linear entre elas que pode ser descrita pelo modelo 𝑌𝑖 𝑎 𝑏𝑋𝑖 𝜖𝑖 Onde Yi variável dependente Xi variável independente a coeficiente linear ou intercepto b coeficiente angular ou de proporção declividade εi erro Suponha também que os erros εi são independentes e se distribuem segundo a lei dae probabilidade normal com média µ 0 e variância σ² O objetivo é estimar os parâmetros a e b do modelo O método a ser empregado é o dos mínimos quadrados e consiste em tornar mínima a soma de quadrados dos desvios erros Como o erro de estimação é dado por 𝜀𝑖𝑌𝑖𝑌𝑌𝑖â𝑏𝑋𝑖 Para que o efeito global de todos os pontos seja igualmente considerado é necessário utilizar o somatório do quadrado dos termos que passam a ser chamados respectivamente soma de quadrados total SQT soma de quadrado do erro SQE e soma de quadrados de regressão SQR isto é SQTSQESQR onde 𝑆𝑄𝑇 𝑌𝑖 2 𝑌𝑖2 𝑛 𝑆𝑄𝐸 𝑌𝑖 â 𝑏𝑋𝑖 2 𝑌𝑖 𝑌 2 Na prática SQR é calculado por SQRSQTSQE Quanto maior a SQR em relação a SQT melhor é o ajuste da regressão A razão entre esses dois termos denominase coeficiente de determinação isto é 𝑟2 𝑆𝑄𝑅 𝑆𝑄𝑇 Este coeficiente representa a proporção da variação de Y que é explicada pela regressão Por se tratar de um quociente entre duas somas de quadrados r² é sempre positivo variando de 0 a 1 0r²1 O limite inferior indica ausência de correlação e o superior indica correlação perfeita 36 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção Uma medida global da dispersão dos pontos observados ao redor da reta ajustada é o erro padrão da estimativa 𝑆𝐸 𝑌𝑖𝑌2 𝑁 Quanto menor o valor de SE melhor o ajuste Também para determinar o mínimo devese derivála parcialmente em relação em relação a â e a 𝑏 As estimativas de â e 𝑏 que tornam mínima a função zSQe são aquelas que anulam as derivadas parciais ou seja 𝑧 â 2 𝑌𝑖 â 𝑏𝑋𝑖 0 𝑧 𝑏 2 𝑌𝑖 â 𝑏𝑋𝑖 𝑋𝑖 0 𝑛â 𝑏 𝑋𝑖 𝑌𝑖 â 𝑋𝑖 𝑏 𝑋𝑖 2 𝑋𝑖𝑌𝑖 Resolvendo o sistema obtémse 𝑏 𝑋𝑖𝑌𝑖 𝑋𝑖 𝑌𝑖 𝑛 𝑋𝑖 2 𝑋𝑖2 𝑛 𝑆𝑃𝑥𝑦 𝑆𝑄𝑥 Da primeira equação temse 𝑛â 𝑏 𝑋𝑖 𝑌𝑖 â 𝑌𝑖 𝑛 𝑏 𝑋𝑖 𝑛 â 𝑌 𝑏𝑋 Por fim 𝑌𝑖 â 𝑏𝑋𝑖 Exemplo Dada as características fisiológicas Xmassa seca total Ymassa seca das raízes de três cultivares de mandioca em gm² Tabela 1 Fonte FAHL et al 1982 Cultiva r CV1 CV2 CV3 X 478 8 695 4 1095 1 1301 2 1463 1 375 565 1 816 7 965 1120 4 492 5 676 7 908 1 1141 8 1304 3 Y 116 1 231 9 4622 6157 7648 63 1 192 9 338 8 504 5 5898 168 1 312 2 479 6 6006 7865 𝑌 139 1 283 3 5495 6868 7946 69 9 196 5 364 1 462 9 5664 148 2 270 9 425 0 5806 6889 dY 230 514 873 711 298 68 36 253 416 234 199 413 546 200 976 n15 y62268 a1798 SQR7186857465 SQx1620133824 x 133992 y²333829816 b0666 r²09539 rxyxynn 1SxSy097667 x² 135893712 xy66413343 SQT753428944 SE565 gm² µx89328 µy41512 SQE3474319751 ŷ17980666x 37 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção 82 Análise de variância da regressão A determinação da equação de regressão deve ser precedida de uma análise de variância a fim de comprovar estatisticamente se os dados apresentam a relação linear significativa entre as variáveis X e Y O esquema da análise de variância para n pares de valores Xi Yi é dado por CAUSA DA VARIAÇÃO gl SQ QM F Regressão Linear 1 SPxy²SQx SQRglR QMRQME Erro n2 SQE SQEglE Total n1 SQy Assim 83 Teste de hipóteses dos parâmetros H0 b0 HA b0 S²bQMESQx 2672551620133824000165 Sb004 tbSb t 0666004164 H0 a0 HA a0 S²ax²QMEnSQx 135893712x26725715x162013382414945 Sa3866 taSa t179833866465 Para ambos os casos o grau de liberdade é n2 Exercício Relações radiométrica entre três cultivares de mandioca Xradiação Infravermelha próxima incidente Yradiação infravermelha próxima refletida dada em Wm² Tabela 2 Fonte PEREIRA et al 1982 Cultivar CV1 CV2 CV3 X 237 286 335 384 419 461 489 482 432 391 292 223 161 y 0666x 17983 R² 09539 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 Massa Seca das Raízes gm² Massa Seca Total gm² CAUSA DA VARIAÇÃO gl SQ QM F Regressão Linear 1 7186857465 7186857465 26891 Erro 13 3474319751 267255365 Total 14 753428944 38 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção Y 77 98 126 147 154 161 161 175 154 133 105 77 63 𝑌 39 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção REFERÊNCIAS 1 FONSECA J S MARTINS G de A Curso de estatística 6 ed São Paulo RevoltasAtlas 2008 320 p 2 GOMES F P GARCIA C H Estatística aplicada à experimentos agronômicos e florestais exposição com exemplos e orientações para uso de aplicativos Piracicaba FEALQ 2002 309 p 3 SPIEGEL M R Estatística 4ed São Paulo Makron Books 2009 597 p 4 CENTENO A J Curso de estatística aplicada a biologia 2 ed Goiânia UFG Centro Editorial e Gráfico 1999 234p 5 GOMES F P Curso de estatística experimental 15 ed Piracicaba FEALQ 2009 451 p 6 RIBEIRO JÚNIOR J I Análises estatísticas no Excel guia prático 2ed Viçosa MG UFV 2013 311 p 7 VIEIRA S Estatística experimental 2ed São Paulo Atlas 1999 185 p ZIMMERMANN F J P Estatística aplicada à pesquisa agrícola Santo Antônio de Goiás Embrapa Arroz e Feijão 2004 402 p 8 HOFFMANN R VIEIRA S Análise de regressão uma introdução à econometria 3ed São Paulo Hucitec 2001 379p 9 PFEILSTICKER Z F Estatística aplicada à pesquisa agrícola Santo Antonio de Goias Embrapa Arroz e Feijao 2004 402 p ANEXO V Tabela Studentizada de Tukey para 1 e 5 de significância Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção gle α I níveis TRATAMENTOS 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 005 393 504 576 629 671 705 735 760 783 001 651 812 917 996 1058 1110 1155 1193 1227 5 005 364 460 522 567 603 633 658 680 699 001 570 698 780 842 891 932 967 997 1024 6 005 346 434 490 530 563 590 612 632 649 001 524 633 703 756 797 832 861 887 910 7 005 334 416 468 506 536 561 582 600 616 001 495 592 654 701 737 768 794 817 837 8 005 326 404 453 489 517 540 560 577 592 001 475 564 620 662 696 724 747 768 786 9 005 320 395 441 476 502 524 543 559 574 001 460 543 596 635 666 691 713 733 749 10 005 315 388 433 465 491 512 530 546 560 001 448 527 577 614 643 667 687 705 721 11 005 311 382 426 457 482 503 520 535 549 001 439 515 562 597 625 648 667 684 699 12 005 308 377 420 451 475 495 512 527 539 001 432 505 550 584 610 632 651 667 681 13 005 306 373 415 445 469 488 505 519 532 001 426 496 540 573 598 619 637 653 667 14 005 303 370 411 441 464 483 499 513 525 001 421 489 532 563 588 608 626 641 654 15 005 301 367 408 437 459 478 494 508 520 001 417 484 525 556 580 599 616 631 644 16 005 300 365 405 433 456 474 490 503 515 001 413 479 519 549 572 592 608 622 635 17 005 298 363 402 430 452 470 486 499 511 001 410 474 514 543 566 585 601 615 627 18 005 297 361 400 428 449 467 482 496 507 001 407 470 509 538 560 579 594 608 620 19 005 296 359 398 425 447 465 479 492 504 001 405 467 505 533 555 573 589 602 614 20 005 295 358 396 423 445 462 477 490 501 001 402 464 502 529 551 569 584 597 609 24 005 292 353 390 417 437 454 468 481 492 001 396 455 491 517 537 554 569 581 592 30 005 289 349 385 410 430 446 460 472 482 001 389 445 480 505 524 540 554 565 576 40 005 286 344 379 404 423 439 452 463 473 001 382 437 470 493 511 526 539 550 560 60 005 283 340 374 398 416 431 444 455 465 001 376 428 459 482 499 513 525 536 545 120 005 280 336 368 392 410 424 436 447 456 001 370 420 450 471 487 501 512 521 530 005 277 331 363 386 403 417 429 439 447 001 364 412 440 460 476 488 499 508 516 ANEXO VI Valores da amplitude total Studentizada Z para uso no teste de Duncan aos níveis de significância de 5 e 1 Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção gle α Número de médias envolvidas na comparação n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 005 17969 17969 17969 17969 17969 17969 17969 17969 17969 17969 17969 17969 17969 17969 17969 17969 17969 17969 17969 001 90024 90024 90024 90024 90024 90024 90024 90024 90024 90024 90024 90024 90024 90024 90024 90024 90024 90024 90024 2 005 6085 6085 6085 6085 6085 6085 6085 6085 6085 6085 6085 6085 6085 6085 6085 6085 6085 6085 6085 001 14036 14036 14036 14036 14036 14036 14036 14036 14036 14036 14036 14036 14036 14036 14036 14036 14036 14036 14036 3 005 4501 4516 4516 4516 4516 4516 4516 4516 4516 4516 4516 4516 4516 4516 4516 4516 4516 4516 4516 001 826 8321 8321 8321 8321 8321 8321 8321 8321 8321 8321 8321 8321 8321 8321 8321 8321 8321 8321 4 005 3926 4013 4033 4033 4033 4033 4033 4033 4033 4033 4033 4033 4033 4033 4033 4033 4033 4033 4033 001 6511 6677 674 6755 6755 6755 6755 6755 6755 6755 6755 6755 6755 6755 6755 6755 6755 6755 6755 5 005 3635 3749 3796 3814 3814 3814 3814 3814 3814 3814 3814 3814 3814 3814 3814 3814 3814 3814 3814 001 5702 5893 5989 604 6065 6074 6074 6074 6074 6074 6074 6074 6074 6074 6074 6074 6074 6074 6074 6 005 346 3586 3649 368 3694 3697 3697 3697 3697 3697 3697 3697 3697 3697 3697 3697 3697 3697 3697 001 5243 5439 5549 5614 5655 568 5694 5701 5703 5703 5703 5703 5703 5703 5703 5703 5703 5703 5703 7 005 3344 3477 3548 3588 3611 3622 3625 3625 3625 3625 3625 3625 3625 3625 3625 3625 3625 3625 3625 001 4949 5145 526 5333 5383 5416 5439 5454 5464 547 5472 5472 5472 5472 5472 5472 5472 5472 5472 8 005 3261 3398 3475 3521 3549 3566 3575 3579 3579 3579 3579 3579 3579 3579 3579 3579 3579 3579 3579 001 4745 4939 5056 5134 5189 5227 5256 5276 5291 5302 5309 5313 5316 5317 5317 5317 5317 5317 5317 9 005 3199 3339 342 347 3502 3523 3536 3544 3547 3547 3547 3547 3547 3547 3547 3547 3547 3547 3547 001 4596 4787 4906 4986 5043 5086 5117 5142 516 5174 5185 5193 5199 5202 5205 5206 5206 5206 5206 10 005 3151 3293 3376 343 3465 3489 3505 3516 3522 3525 3525 3525 3525 3525 3525 3525 3525 3525 3525 001 4482 4671 4789 4871 4931 4975 501 5036 5058 5074 5087 5098 5106 5112 5117 512 5122 5123 5124 11 005 3113 3256 3341 3397 3435 3462 348 3493 3501 3506 3509 351 351 351 351 351 351 351 351 001 4392 4579 4697 478 4841 4887 4923 4952 4975 4994 5009 5021 5031 5039 5045 505 5054 5057 5059 12 005 3081 3225 3312 337 341 3439 3459 3474 3484 3491 3495 3498 3498 3498 3498 3498 3498 3498 3498 001 432 4504 4622 4705 4767 4815 4852 4882 4907 4927 4944 4957 4969 4978 4986 4993 4998 5002 5005 13 005 3055 32 3288 3348 3389 3419 3441 3458 347 3478 3484 3488 349 349 349 349 349 349 349 001 426 4442 456 4643 4706 4754 4793 4824 485 4871 4889 4904 4917 4927 4936 4944 495 4955 496 14 005 3033 3178 3268 3328 3371 3403 3426 3444 3457 3467 3474 3479 3482 3484 3484 3484 3484 3484 3484 001 421 4391 4508 4591 4654 4703 4743 4775 4802 4824 4843 4859 4872 4884 4894 4902 4909 4916 4921 15 005 3014 316 325 3312 3356 3389 3413 3432 3446 3457 3465 3471 3476 3478 348 348 348 348 348 001 4167 4346 4463 4547 461 466 47 4733 476 4783 4803 482 4834 4846 4857 4866 4874 4881 4887 ANEXO VI Valores da amplitude total Studentizada Z para uso no teste de Duncan aos níveis de significância de 5 e 1 Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção gle α Número de médias envolvidas na comparação n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 16 005 2998 3144 3235 3297 3343 3376 3402 3422 3437 3449 3458 3465 347 3473 3476 3477 3477 3477 3477 001 4131 4308 4425 4508 4572 4622 4662 4696 4724 4748 4768 4785 48 4813 4825 4835 4843 4851 4858 17 005 2984 313 3222 3285 3331 3365 3392 3412 3429 3441 3451 3459 3465 3469 3472 3474 3475 3475 3475 001 4099 4275 4391 4474 4538 4589 463 4664 4692 4717 4737 4755 4771 4785 4797 4807 4816 4824 4832 18 005 2971 3117 321 3274 332 3356 3383 3404 3421 3435 3445 3454 346 3465 3469 3472 3473 3474 3474 001 4071 4246 4361 4445 4509 4559 4601 4635 4664 4689 471 4729 4745 4759 4771 4782 4792 4801 4808 19 005 296 3106 3199 3264 3311 3347 3375 3397 3415 3429 344 3449 3456 3462 3466 3469 3472 3473 3474 001 4046 422 4335 4418 4483 4533 4575 461 4639 4664 4686 4705 4722 4736 4749 476 4771 478 4788 20 005 295 3097 319 3255 3303 3339 3368 339 3409 3423 3435 3445 3452 3459 3463 3467 347 3472 3473 001 4024 4197 4312 4395 4459 451 4552 4587 4617 4642 4664 4684 4701 4716 4729 4741 4751 4761 4769 21 005 2941 3088 3181 3247 3295 3332 3361 3385 3403 3418 3431 3441 3449 3456 3461 3465 3469 3471 3473 001 4004 4177 4291 4374 4438 4489 4531 4567 4597 4622 4645 4664 4682 4697 4711 4723 4734 4743 4752 22 005 2933 308 3173 3239 3288 3326 3355 3379 3398 3414 3427 3437 3446 3453 3459 3464 3467 347 3472 001 3986 4158 4272 4355 4419 447 4513 4548 4578 4604 4627 4647 4664 468 4694 4706 4718 4728 4737 23 005 2926 3072 3166 3233 3282 332 335 3374 3394 341 3423 3434 3443 3451 3457 3462 3466 3469 3472 001 397 4141 4254 4337 4402 4453 4496 4531 4562 4588 4611 4631 4649 4665 4679 4692 4703 4713 4723 24 005 2919 3066 316 3226 3276 3315 3345 337 339 3406 342 3431 3441 3449 3455 3461 3465 3469 3472 001 3955 4126 4239 4322 4386 4437 448 4516 4546 4573 4596 4616 4634 4651 4665 4678 469 47 471 25 005 2913 3059 3154 3221 3271 331 3341 3366 3386 3403 3417 3429 3439 3447 3454 3459 3464 3468 3471 001 3942 4112 4224 4307 4371 4423 4466 4502 4532 4559 4582 4603 4621 4638 4652 4665 4677 4688 4698 26 005 2907 3054 3149 3216 3266 3305 3336 3362 3382 34 3414 3426 3436 3445 3452 3458 3463 3468 3471 001 393 4099 4211 4294 4358 441 4452 4489 452 4546 457 4591 4609 4626 464 4654 4666 4677 4687 27 005 2902 3049 3144 3211 3262 3301 3332 3358 3379 3397 3412 3424 3434 3443 3451 3457 3463 3467 3471 001 3918 4087 4199 4282 4346 4397 444 4477 4508 4535 4558 4579 4598 4615 463 4643 4655 4667 4677 28 005 2897 3044 3139 3206 3257 3297 3329 3355 3376 3394 3409 3422 3433 3442 345 3456 3462 3467 347 001 3908 4076 4188 427 4334 4386 4429 4465 4497 4524 4548 4569 4587 4604 4619 4633 4646 4657 4667 29 005 2892 3039 3135 3202 3253 3293 3326 3352 3373 3392 3407 342 3431 344 3448 3455 3461 3466 347 001 3898 4065 4177 426 4324 4376 4419 4455 4486 4514 4538 4559 4578 4595 461 4624 4637 4648 4659 30 005 2888 3035 3131 3199 325 329 3322 3349 3371 3389 3405 3418 3429 3439 3447 3454 346 3466 347 001 3889 4056 4168 425 4314 4366 4409 4445 4477 4504 4528 455 4569 4586 4601 4615 4628 464 465 ANEXO VI Valores da amplitude total Studentizada Z para uso no teste de Duncan aos níveis de significância de 5 e 1 Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção gle α Número de médias envolvidas na comparação n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 31 005 2884 3031 3127 3195 3246 3287 3319 3346 3368 3387 3403 3416 3428 3438 3446 3454 346 3465 347 001 3881 4047 4159 4241 4305 4357 44 4436 4468 4495 4519 4541 456 4577 4593 4607 462 4632 4643 32 005 2881 3028 3123 3192 3243 3284 3317 3344 3366 3385 3401 3415 3426 3436 3445 3453 3459 3465 347 001 3873 4039 415 4232 4296 4348 4391 4428 4459 4487 4511 4533 4552 457 4585 46 4613 4625 4635 33 005 2877 3024 312 3188 324 3281 3314 3341 3364 3383 3399 3413 3425 3435 3444 3452 3459 3465 347 001 3865 4031 4142 4224 4288 434 4383 442 4452 4479 4504 4525 4545 4562 4578 4592 4606 4618 4629 34 005 2874 3021 3117 3185 3238 3279 3312 3339 3362 3381 3398 3412 3424 3434 3443 3451 3458 3464 3469 001 3859 4024 4135 4217 4281 4333 4376 4413 4444 4472 4496 4518 4538 4555 4571 4586 4599 4611 4622 35 005 2871 3018 3114 3183 3235 3276 3309 3337 336 3379 3396 341 3423 3433 3443 3451 3458 3464 3469 001 3852 4017 4128 421 4273 4325 4369 4406 4437 4465 449 4511 4531 4549 4565 4579 4593 4605 4616 36 005 2868 3015 3111 318 3232 3274 3307 3335 3358 3378 3395 3409 3421 3432 3442 345 3457 3464 3469 001 3846 4011 4121 4203 4267 4319 4362 4399 4431 4459 4483 4505 4525 4543 4559 4573 4587 4599 4611 37 005 2865 3013 3109 3178 323 3272 3305 3333 3356 3376 3393 3408 342 3431 3441 3449 3457 3463 3469 001 384 4005 4115 4197 426 4312 4356 4393 4425 4452 4477 4499 4519 4537 4553 4568 4581 4594 4605 38 005 2863 301 3106 3175 3228 327 3303 3331 3355 3375 3392 3407 3419 3431 344 3449 3456 3463 3469 001 3835 3999 4109 4191 4254 4306 435 4387 4419 4447 4471 4493 4513 4531 4548 4562 4576 4589 4600 39 005 2861 3008 3104 3173 3226 3268 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3343 3363 3382 3399 3414 3428 3442 3454 3466 001 3643 3796 39 3978 404 4091 4135 4172 4205 4235 4261 4285 4307 4327 4345 4363 4379 4394 4408