Introdução à Variação do Acaso em Estatística Experimental

Página 348 348 348 351 AL 352 352 353 362 365 375 llllõnlca 378 386 387 388 388 393 396 398 398 399 nentaJem 402 404 406 410 412 f 416 417 CURSO DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL 1 INTRlDUÇôO 11 A V ARI AcÃO 00 ACASO Seguindo o exemplo de RA Fisher podemos definir a Estatística como a Matemática aplicada aos dados de ob servação Mas tais dados são em muitos casos colhidos através de trabalhos feitos propositalmente e em condi çÕes previamente especificadas temos então dados expe rimentais obtidos de experimentos O estudo dos experi mentos seu planejamento execução e anlise é que cons titui o objeto da Estatística Experimental O que dificulta o trabalho do experimentador e exi ge a análise estatística é a presença em todos os dados obtidos de efeitos de fatores não controlados que po dem ser controláveis ou não pequenas diferenças de fer tilidade do solo variaçÕes ligeiras no espaçaaento na profundidade de semeadura na constituição genética dos animais ou plantas etc Esses efeitos sempre presen tes não podem ser conhecidos individualmente e alteram pouco ou muito os resultados obtidos Eles são indica dos pela designação geral de variação do acaso ou varia ção aleatória O efeito dessa variação do acaso é tal que pode alterar completamente os resultados experimen tais Assim ao comparar no campo duas variedades de ca fé a pior das duas poderá por simples acaso por ter sido favorecida por uma série de pequenos fatores não controlados exceder a melhor variedade E ao comparar experimentalmente a produção de leite obtida com duas ra çÕes basicamente equivalentes com certeza quase absolu ta obteremos para uma delas resultado melhor do que para a outra por exemplo 125 kg por vaca num caso 118 kg noutro a diferença observada devese à variação do aca so Cabe ao experimentador pois verificar se as dife renças observadas num experimento têm ou não têm valor FREDERICO PIMENTEL GOMES 2 11 A Variação do Acaso isto é se são ou não significativas Uma diferença não significativa se aceita como possivelmente devida ao aca so e é deixada de lado até que novos resultados venham confirmála ou negála Já um resultado significativode monstra que os elementos ensaiados variedades raçÕes métodos de análise química etc não são equivalentes dão resultados que aceitamos como realmente diferentes 12 A MÉDIA E o DESVIO PADRÃO O seguinte problema bem simples é bem ilustrati vo e nos permitirá introduzir alguns conceitos fundamen tais da Estatística Suponhamos por exemplo que dese jamos determinar o peso médio de uma cana de uma certa variedade no canavial de uma usina Podemos começar por tomar várias canas ao acaso em diversos pontos da la voura Os pesos dessas canas são anotados em quilogra mas como a seguir 158 176 138 1 71 150 132 151 155 154 167 A média aritmética desses 10 dados é a soma dividi da por 10 e dá 1552 kg Mas este resultado apenas es tima o verdadeiro peso médio de uma cana desconhecido Tanto é assim que se repetirmos o experimento e pesar mos outras 10 canas quase com certeza obteremos resulta do diferente 1720 kg por exemplo A influência dos fatores não controlados resumidos sob o nome de acaso se poderia avaliar através da dife rença chamada desvio ou afastamento ou erro entre os valores observados e a média verdadeira Se esta supos ta conhecida fosse por exemplo 150 kg o desvio do primeiro valor observado seria 158 150 008 Os desvios todos constam da tabela seguinte os 10 pesos observados 008 026 012 021 ooo 018 001 005 004 017 para LL A IIIDIA K O Como vemos os tivos Conhecidos tlia podelms wio padlão ou dllsl GDdeSQD logo s Poderís 4lio de caaa é waloxes observados pur elrellp10 14111111111 aos das coas E se o desvio pa ê bem ilustrati conceitos fundamen exemplo que dese cana de uma certa Podemos começar por pontos da la quilogra e a soma dividi resumidos através da dife ou erro entre os Se esta supos kg o desvio do 150 008 12 A DIA E O DESVIO PADRÃO 3 Como vemos os desvios podem ser positivos ou nega tivos Conhecidos os desvios em relação à verdadeira dia podemos calcular um número positivo s chamado vio padrão ou afastamento padrão dado pela fÓrmula s me des onde S Q D indica a soma dos quadrados dos desvios e N e o número de observaçÕes isto e o número de canas pe sadas no caso presente Quanto maiores os desvios em valor absoluto tanto maior será o valor de s Mas o desvio padrão s apenas estima um valor exato desconheci do cr crê a letras no alfabeto grego que obteríamos se repetíssemos infinitas vezes as pesagens No caso presente temos SQD 008 2 026 2 017 2 01980 logo s v o 19 80 I 1 o o 141 Poderíamos então dizer que a estimativa do peso mé dio de uma cana é 1552 kg e que o desvio padrão dos valores observados é 0141 kg Se este desvio fosse por exemplo 141 em vez de 0141 a variação entre os pesos das canas colhidas seria evidentemente muitomaior E se o desvio padrão fosse igual a zero todos os des vios seriam nulos e não haveria variação do acaso O cálculo do desvio padrão permite pois estimar a varia ção não controlada isto é a variação do acaso ou alea tória ou casual Na prática porém a mêdia veradeira m não é conhe cida temos apenas sua estimativa m 1552 Como cal cular o desvio padrão nestas condçÕes Demonstraseque tal é possível se calcularmos os desvios em relação à es timativa da média desde que se substitua na fÓrmula N por N 1 assim 1 ISQD s v No caso que estamos estudando os desvios em rela çao à estimativa da média são 4 12 A Media e o Desvio Padrão 0028 0208 0172 0158 0052 Agora obtemos 0232 0042 0002 0012 0118 S QD 0028 2 0208 2 0118 2 0170960 logo s 017960 10018996 0138 Para evitar a extração da raiz quadrada não se usa a estimativa da variância s 2 0018996 ou ximadamente s 2 00190 em lugar do desvio padrão O 138 A estimativa da variância frequentemente se ma também quadrado médio 13 GRAUS DE LIBERDADE t raro apr s cha O leitor terá decerto reparado que não são iguais as duas estimativas de s obtidas na seção anterior Mas isto não deve causar admiração pois as estimativas não sendo valores exatos variam mesmo De uma maneira ge ral quanto maior o número de observações mais preci sas serão as estimativas embora isto não obste que em um ou outro caso um experimento com menor número de da dos dê estimativas mais próximas dos valores verdadeiros geralmente desconhecidos do que outro com dados mais aoundantes Na seção anterior quando admitimos como média ver dadeira o valor m 150 achamos s O 141 Este va lor calculado com 10 desvios em relação à média verda deira é certamente menos digno de confiança do que se nas mesmas condiçÕes tivéssemos tomado 20 ou 30 obser vaçÕes O número N de observaçÕes em que se baseia o cá1 culo de s quando se conhece a média verdadeira m dá pois uma indicação sobre a precisão da estimativa s ob tida e constitui o seu número de graus de liberdade As sim a estimativa s 0141 tem 10 graus de liberdade 0118 2 1 quadrada nao raro s 2 0018996 ou apr do desvio padrão s frequentemente se cha que não são iguais na seção anterior Mas s as estimativas não De uma maneira ge ações mais preci isto não obste que em com menor número de da dos valores verdadeiros outro com dados mais timos como média ver s 0141 Este va relação ã média verda confiança do que se tomado 20 ou 30 obser em que se baseia o cal verdadeira m dá da estimativa s oh graus de liberdade As 10 graus de liberdade 13 Graus de Liberdade 5 Quando porém como acontece quase sempre a média verda deira m não é conhecida e fazemos o cálculo de s a par tir de uma estimativa ii prova a teoria que isto equivale exatamente ã perda de um das observaçÕes As sim o cálculo de s com 10 observaçÕes sem o conhecimen to de m nos deu s 0138 e esta estimativa tem 10 1 9 graus de liberdade pois o uso da estimativa da média em vez de seu valor exato nos faz obter uma estimativa de s menos precisa aliás de precisão equivalente ã que teríamos com 9 observaçÕes se conhecessemos a média ver dadeira m No caso geral com N observaçÕes se utili zarmos uma estimativa de m para calcular s este terá 1 graus de liberdade 14 FóRMULA MAIS PRATICA PARA CALctJAR A Sot1A oos QuAoRAoos DOS ilESVIOS Vimos acima que a soma dos quadrados dos desvios S Q D geralmente designada apenas por soma de quadra dos pode ser calculada desde que se obtenham os desvios todos em relação ã média verdadeira ou em relação ã sua estimativa Na prática porém é preferível evitar o cálculo dos desvios pois é trabalhoso e geralmente exi ge o uso de maior número de decimais do que o dos dados og1nais Ora demonstrase com facilidade que no ca so de usarmos a estimativa da média temos S Q D Ix2 ú x2 N onde Ix2 indica a soma dos quadrados dos dados a analisados Ex é a soma desses mesmos dados e N seu numero serem e o No caso das pesagens de 10 canas referido na seçao 12 temos logo Ix2 1582 1762 167 2 242580 Ex 158 176 167 1552 SQD 242580 1101552 2 242580 24087040 0170960 6 14 Uma FÓrmula Mais Prática Obtemos pois o mesmo valor calculado anteriormen te por outro método O termo subtrativo 110 1552 2 recebe o nome de correção e é geralmente indicado com a letra C Em geral porém não hã interesse em calcular C com número de decimais maior que o de Lx2 No caso aci ma pois o valor de C deve ser aproximado para 240870 de sorte que obtemos SQD 242580 240870 o 1710 J y I s2 o 1710 00190 9 r s 100190 0138 Esta estimativa do desvio padrão tem 9 graus de li berdade 15 ERRO PADRÁO DA fbiA Pesadas as 10 canas do canavial de uma usina obti vemos os dados acima referidos na seção 12 e para eles calculamos a estimativa da média m 1552 e o desvio pa drão 0138 este com 9 graus de liberdade Se colhêsse mos várias amostras de 10 canas teríamos diversas estima tivas para a média e poderíamos calcular com elas novo desvio padrão que seria o erro padrão da média sm Mas hã uma fÓrmula simples que permite obter o erro pa drão da média sm sem ser preciso colher novas amos tras Com efeito demonstrase que s2 s2 m Vm AÍ o símbolo V indica estimativa da variância No caso vertente temos pois vem oo19o 10 sm vo0019 00019 0044 Dizemos então que a estimativa obtida para a média e m 1552 0044 O erro padrão da média evidentemen te dâ uma idéia da precisão da estimativa para ela obti da Por exemplo uma estimativa m1 1552 0500 te ria evidentemente muito menor precisão do que a que de mos acima pois o seu erro padrão e maior calculado anteriormen 110 15 52 2 ute indicado com a sse em calcular Ex2 No caso aci para 240870 9 graus de li de uma usina obti 1 2 e para eles 1552 e o desvio pa Se colhêsse s diversas estima com elas novo da média sm obter o erro pa amos No caso obtida para a media da media evidentemen iva para ela obti 1552 0500 te do que a que de I 16 CoEFICIENTE E INDICE DE VARIAcÃO Chamase coeficiente de variação dO pela fÓrmula seguinte cv lO Os m 7 CV o numero da No exemplo da seçao 12 tÍnhamos m 1552 e s 0138 logo o coeficiente de variação e CV 100 X 0138 1552 889 O coeficiente de variação dã uma idéia da precisão experimento Tendo em vista os coeficientes de varia ção obtidos comumente nos ensaios agrícolas de campo podemos considerálos baixos quando inferiores a 10 tios quando de 10 a 20 altos quando de 20 a 30 io altos quando superiores a 30 O coeficiente de variação CV ê estatística útil ada hã muito tempo mas tem defeito importante ignora o número de repetições Por exemplo na seção 15 uma ostra de 100 canas em vez de 10 com a mesma estimati wa do desvio padrão s I 00190 0138 teria o mesmo coeficiente de variação cv 100 s m lQQ X 0138 1552 889 Mas com 100 canas em vez de 10 o erro padrão da idia que era de 0044 diminuiu muito pois temos ago ra Víii 00190 100 0000190 sm I ooo0190 00138 ea lugar de 0044 A precisão da estimativa da média au entou portanto e isto não é indicado pelo CV que fi cou o mesmo Jã o Índice de variação IV não tem esse defeito pois leva em conta o número de repetições N Ele se define assim IV 100 s íii til 8 16 Coeficiente e Índice de Variação onde sm sINI é o erro padrão da média Substituindo este valor da fÕrmula anterior fica s 100 s 100 IV m Para a nova amostra de 100 canas em vez de 10 o novo índice de variação ê IV lÜÜ X o 138 0889 1552 llõõ fácil perceber que IV 100 s 100 s 1 1 c v X cvx m IN liil miNI isto ê o índice de variação IV ê o coeficiente de va riação CV dividido por isto ê pela raiz quadrada do número de repetições dado pelo número de unidades da amostra 17 I ExERci Cl os L 7 1 Os psos ao nascer de 12 bezerros machos da r a ça Charolesa sao os seguintes em quilogramas 47 45 37 41 46 47 34 25 40 40 45 Calcular desses dados o coeficiente 48 as estimativas da média e do desvio padrão Calcular também o erro padrão da reedia de variação e o índice de variação 172 Admitindose que seja de 20 o coeficiente variação relativo ao peso de cabeças de repolho pergun tase quantos repolhos devemos pesar para obter um padrão da média igual a 5 dela Resposta suficiente pesar 16 cabeças de repolho 173 Para determinar a produção média de um cana vial demarcaramse nele em vários pontos escolhidos ao acaso 10 pequenas áreas de 100 m2 cada cuja produção Tt Substituindo 1 c v cvx lir lir o coeficiente de va pela raiz quadrada de unidades da bezerros machos da ra uilogramas e do desvio padrão da de variação padrão media 20 o coeficiente de de repolho pergun para obter um erro cabeças de repolho média de um cana pontos escolhidos ao cada cuja produção 17 Exercicios 9 foi pesada Os resultados obtidos em kg por 100 m2 fo ram os seguintes 850 810 840 920 720 780 900 740 780 800 Calcular a produção media em toneladas por hecta re e o erro padrão dessa média Sendo de 400 hectares a ãrea de colheita da usina qual é a produção de cana esperada e qual o seu erro padrão Resposta A produção média nas 10 parcelas e 814 20 tha A produção de cana esperada em 400 hectares se rã 400 x 814 32560 toneladas com erro padrão 400 x 20 800 toneladas 174 Numa classe de 16 alunos foram dadas as seguin tes notas numa prova de Matemática 75 45 75 60 40 55 70 40 80 35 80 50 80 35 45 55 Calcular a média aritmética as estimativas da va riação e do desvio padrão o coeficiente de variação e o Índice de variação Obter também o erro padrão da média 18 BIBLIOGRAFIA ANDERSON RL e TA Bancroff 1952 Statistical Theory in Research MacGrawHiil Nova York BRIEGER FG 1955 Curso de Estatística Analítica I Parte ESA Luiz de Queiroz Piracicaba DIXON WJ e FJ Massey 1957 Introduction to Sta tistical Analysis 2 edição McGrawHillNova York FEDERER Walter T 1955 Experimental Desi Macmil lan Nova York PIMENTELGOMES F 1978 Iniciação à Estatística 6 edição Livraria Nobel São Paulo PIMENTELGOMES F 1987 A Estatística Moderna na Pes quisa Agropecuária 3 edição POTAFOS Piracicaba PIMENTELGOMES F 1991 O ndice de Variação um Subs tituto Vantajoso do Coeficiente de Variação Rev Agricultura 66 206