Notas de Aula de Estatística Experimental - Agronomia

UNIVERSIDADE FEDERAL DE JATAÍ UNIDADE ACADÊMICA DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS CURSO DE AGRONOMIA NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL Prof Hildeu Ferreira da Assunção Jataí outubro 2021 2 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL Simbologia e funções estatística de planilha N tamanho finito da população n número de amostras n1 grau de liberdade somatório SOMA 𝑥 µ diferença ou desvio 𝑠 µ razão x² soma de quadrados SOMAQUAD xy soma de produtos SOMARPRODUTO x𝑥² soma de desvios quadrados DESVQ µ média populacional ou esperada 1 𝑛 𝑥 𝑥 média amostral ou observada 1 𝑛 𝑥 σ² variância populacional 1 𝑛 𝑥 µ² s² variância amostral 1 𝑛1 𝑥 𝑥² σ desvio padrão da populacional 𝜎² s² desvio padrão amostral 𝑠² σ² VARP s² VARA σ DESVPADP s DESVPADA α nível de significância ou probabilidade de rejeição da hipótese nula 1 α nível de confiança valorp probabilidade de aceitação da hipótese nula 3 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção TESTE DE HIPÓTESES Procedimento estatístico que permite tomar uma decisão aceitar ou rejeitar a hipótese nula H0 entre duas ou mais hipóteses hipótese nula H0 ou hipótese alternativa HA utilizando os dados observados de um determinado experimento Comumente utilizado para testar se a diferença entre a média amostral 𝑥 e a média populacional µ de uma variável aleatória é significativa Hipóteses estabelecidas Hipótese nula H0 é a hipótese assumida como verdadeira para a construção do teste É a teoria o efeito ou a alternativa que se está interessado em testar Contém uma afirmativa de igualdade 𝑥 µ0 𝑥 µ0 𝑥 µ0 Hipótese alternativa HA é considerada quando a hipótese nula não tem evidência estatística Complemento da hipótese nula 𝑥 µ0 𝑥 µ0 𝑥 µ0 Estabelecendo as hipóteses 1 Uma fábrica de adubo afirma que o teor de P205 na composição média de um determinado fertilizante é de 40 a H0 𝑥𝑃2𝑂5 40 0 b HA 𝑥𝑃2𝑂5 40 0 2 Uma fábrica de ração garante que em uma determinada ração para cães há no máximo 24 de cálcio a H0 𝑥𝐶𝑎 24 0 b HA 𝑥𝐶𝑎 24 0 3 Uma fábrica de ração garante que em uma determinada ração para cães há no mínimo 06 de fósforo a H0 𝑥𝑃 06 0 b HA 𝑥𝑃 06 0 Tipos de erro que podem ser cometidos na tomada de decisões São dois os tipos de erros que se está sujeito a cometer na realização de um teste de hipóteses Erro do tipo I α é a probabilidade de se rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira Erro do tipo II β é a probabilidade de se aceitar a hipótese nula quando ela é falsa Hipótese nula H0 verdadeira H0 falsa Rejeição de H0 Erro do tipo I Não há erro Aceitação de H0 Não há erro Erro do tipo II O erro mais importante a ser evitado é o Erro do Tipo I aumentando o número de amostras A probabilidade de ocorrer o erro do tipo I é denominada nível de significância do teste α O complementar do nível de significância é denominado nível de confiança 1α Supondo que o nível de significância α seja conhecido assim podese determinar os valores críticos Essa decisão é tomada considerando a região de rejeição ou região crítica α Caso o valor observado da estatística pertença à região de rejeição rejeitase H0 caso contrário não se rejeita H0 4 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção β 1DISTNORMZ1α µ0 σ²n 1 5 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção Teste Z É um teste estatístico usado para inferência capaz de determinar se a diferença entre a média da amostra 𝑥 e média da população µ é grande o suficiente para ser estatisticamente significativa Para cada nível de significância α o Teste Z tem um único valor crítico tornando o teste mais conveniente Alguns testes estatísticos podem ser realizados como testes Z aproximados se 1 o tamanho da amostra for grande n30 ou a variância da população σ² for conhecida 2 a variância da população σ² for desconhecida tendo que ser estimada a partir da amostra e o tamanho da amostra for pequeno n 30 o teste T de Student pode ser mais apropriado Se o nível de significância é α005 os valores críticos são Zα165 ou Z1α165 para as alternativas unilaterais à esquerda ou à direita respectivamente Para a alternativa bilateral Zα196 e Z1α196 Se o nível de significância α001 os valores críticos para as alternativas unilaterais são Zα233 ou Z1α233 já para a alternativa bilateral Zα258 e Z1α258 valores obtidos na Tabela da distribuição normal ANEXO I no final desta Nota de Aula Critérios para o teste de hipótese para teste Z 1 Definir os parâmetros ou medidas estatísticas n µ e σ² 2 Estabelecer as hipóteses Fixase H0 x µ 0 Dependendo da informação fornecida pelo problema estudado a hipótese alternativa pode ter uma das três formas abaixo HA 𝑥 µ0 teste unilateral à esquerda HA 𝑥 µ0 teste bilateral HA 𝑥 µ0 teste unilateral à direita 6 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção 3 Fixar o nível de significância α e determinar a região crítica Z tabelado a Se o teste é unilateral à esquerda determinase o ponto crítico 𝑍𝛼 tal que PZ𝑍𝛼α b Se o teste é bilateral determinase os pontos críticos 𝑍𝛼 2 𝑒 𝑍1𝛼 2 tais que PZ𝑍𝛼 2 PZ𝑍1𝛼 2 α2 a partir da distribuição Z padronizada ANEXO I c Se o teste é unilateral à direita determinase o ponto crítico 𝑍1𝛼 tal que PZ𝑍1𝛼α 4 Calcular a estatística do teste sob a hipótese nula H0 o valor 𝑧 x µ𝜎n onde 𝑥 é o valor da média amostral observado na amostra µ é o valor da média populacional sob a hipótese nula esperada para a população σ é o valor do desvio padrão da população conhecida se desconhecida deve ser estimada com base nas amostrass n é o tamanho da amostra conhecido 5 Critério 7 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção Teste unilateral à esquerda se Z𝑍𝛼 rejeitase H0 Caso contrário não se rejeita H0 Teste bilateral se Z 𝑍𝛼 2 Z 𝑍1𝛼 2 rejeitase H0 Caso contrário não se rejeita H0 Teste unilateral à direita se Z𝑍1𝛼 rejeitase H0 Caso contrário não se rejeita H0 SINTESE Hipótese Alternativa HA Rejeita H0 se Aceita H0 se 𝑥 µ0 teste unilateral à esquerda Z Zα Z Zα 𝑥 µ0 teste bilateral Z Zα2 ou Z Z1α2 Zα2 Z Z1α2 𝑥 µ0 teste unilateral à direita Z Z1α Z Z1α 6 O valorp determina a probabilidade associada à rejeição de H0 Para o teste unilateral à esquerda valorp 𝑃𝑍 𝑍𝛼 Para o teste bilateral valorp 2𝑃𝑍 𝑍𝛼 2 ou valorp21 𝑃𝑍 𝑍1𝛼 2 Para o teste unilateral à direita valorp 1 𝑃𝑍 𝑍1𝛼 Se valorp α rejeitase H0 Caso contrário aceitase H0 Aplicações em Ciências Agrárias Controle agroindustrial em processos e produtos como garantias mínimas de um determinado elemento em um produto controle da quantidade máxima de um elemento na composição de um produto etc Estudo de fenômenos naturais com distribuição normal estudo climatológico de eventos extemos como secas e enchentes estudos de produção de safras etc Tipos de Teste Z Quadro 1 Tipos de teste Z Teste Fórmula Notas Teste Z para uma média amostral 𝑍 x µ 𝜎 n População normal ou n30 e σ conhecido Z é a distância a partir da média em relação ao erro padrão da média 𝜎 n Teste Z para duas médias amostrais 𝑍 x1 x2 µ0 𝜎1 2 𝑛1 𝜎2 2 𝑛2 População normal e observações independentes onde 𝜎1 2 e 𝜎2 2 são conhecidos Exemplo Teste Z para uma média amostral 1 O fabricante de certa marca de suco informa na embalagem do produto que o volume do líquido é de 500 ml com um desvio padrão de 10 ml Como foram encontradas no mercado algumas embalagens com menos de 500 ml suspeitase que a informação do fabricante seja falsa Para verificar se isto ocorre um fiscal analisa uma amostra de 200 embalagens escolhidas aleatoriamente no mercado e constata que as mesmas contêm em média 498 ml Considerando 8 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção se um nível de significância de 5 podese afirmar que o fabricante está mentindo Calcule o valor da prova valorp para esta amostra 𝑍 X µ 𝜎 n Result Z 283 valor da prova valorp 00023 rejeitase H0 RESUMO Teste Z usando funções da planilha eletrônica ExcelGoogle planilha Teste Z para duas médias amostrais Parâmetros estatísticos µ média conhecida ou fornecida X média calculada com base nas amostras n número de amostras s desvio padrão estimado com base nas amostras ou σ desvio padrão conhecido ou fornecido SEstandart error é o erro padrão da média ou seja desvio padrãoRAIZnúmero de amostra α nível de significância Resolução tradicional Teste a fórmula usando os parâmetros fornecidos no exercício identificados em cada célula da planilha Fazer uso da fórmula ZXµSE diretamente na célula de cálculo da planilha média mierro padrão ou usar a função Z PADRONIZAR média amostral média esperada SE Zα2 INVNORMPα2 Z1α2 INVNORMP1α2 IC 𝑖 µ 𝑍 𝛼 2 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝑓 µ 𝑍 1 𝛼 2 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 ICµ INTCONFIANÇANORMαsn Vaporp 2DISTNORMPABSZ BILATERAL Valorp DISTNORMPABSZ UNILATERAL DECISÃO SEValorpαACEITASE H0REJEITASE H0 ou SEEZZα2 ZZ1α2ACEITASE H0REJEITASE H0 ou ainda SEE𝑋ICi 𝑋ICfACEITASE H0REJEITASE H0 9 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção 2 Dadas as chuvas mm médias normais dos meses de dezembro e janeiro de Jataí 19802009 ANO mmJAN mmDEZ ANO mmJAN mmDEZ ANO mmJAN mmDEZ 1980 1976 3107 1990 1227 1847 2000 2871 2741 1981 298 2618 1991 2313 1566 2001 2945 4451 1982 3911 2887 1992 402 1337 2002 3241 2675 1983 4268 4019 1993 852 3066 2003 2397 3039 1984 3514 1315 1994 2967 2165 2004 2675 3762 1985 3677 654 1995 186 2486 2005 2277 4501 1986 246 4641 1996 248 3183 2006 102 3501 1987 3259 311 1997 2886 265 2007 2761 2458 1988 2192 2649 1998 1595 233 2008 3094 1676 1989 554 3852 1999 1779 2297 2009 1472 3268 Use a estatística Z e verifique se as chuvas normais de dezembro e janeiro são equivalente estatisticamente ao nível de significância α de 001 e 005 Estabeleça a hipótese nula calcule o valorp e faça a inferência sobre o resultado do teste Result Z0300 valorp0382 Use a planilha de cálculo Calcule os parâmetros abaixo e aplique o teste e conclua sobre Testez duas amostras para médias Janx1 Fevx2 Média esperada µ0 Variância σ² Amostras n Média amostral µx SERAIZs²1n1s²2n2 Hipótese µxµ0 0 Zµxµ0SE Valorp unicaudal Zα unicaudal Valorp bicaudal Zα2 bicaudal 10 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção Teste t de Student Quando não se conhece o valor do desvio padrão populacional σ e a amostra é pequena n30 devese substituir a expressão 𝑍 x µ𝜎n pela expressão 𝑇 𝑥 µ𝑠n Onde T é o número de desvios obtidos a partir da amostra tem distribuição t de Student com graus de liberdade gl Quadro 2 Tipos de teste t Teste Fórmula Notas Teste t para uma amostra 𝑇 x µ 𝑠 n 𝑔𝑙 𝑛 1 Amostras n30 e σ desconhecido T é a distância a partir da média em relação ao erro padrão da média 𝑠 n Teste t pareado para amostras dependentes 𝑇 dx µ0 𝑠𝑑𝑥 n 𝑔𝑙 𝑛 1 População normal ou n30 e σ desconhecido ou amostra de tamanho pequeno n30 Teste t para duas amostras independentes com variâncias iguais 𝑇 x1 x2 µ0 𝑠𝑝 1 𝑛1 1 𝑛2 𝑔𝑙 𝑛1 𝑛2 2 𝑠𝑝 n1 1𝑠1 2 n2 1𝑠2 2 n1 n2 2 População normal ou n1 n2 40 e observações independentes e 𝜎1 2𝜎2 2 desconhecidos Teste t para duas amostras independentes com variâncias desiguais 𝑇 x1 x2 µ0 𝑠1 2 𝑛1 𝑠2 2 𝑛2 𝑔𝑙 𝑠1 2 𝑛1 𝑠2 2 𝑛2 2 𝑠1 2 𝑛1 2 𝑛1 1 𝑠2 2 𝑛2 2 𝑛2 1 População normal ou n1 n2 40 e observações independentes e 𝜎1 2𝜎2 2 desconhecidos Para facilitar a execução do teste podese seguir os passos 1 Estabelecer as hipóteses Fixase H0 x µ 0 Dependendo da informação fornecida pelo problema estudado a hipótese alternativa pode ter uma das três formas abaixo HA 𝑥 µ0 teste unilateral à esquerda HA 𝑥 µ0 teste bilateral HA 𝑥 µ0 teste unilateral à direita 2 Fixar o nível de significância α e determinar a região crítica t tabelado gl 11 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção a Se o teste é bilateral determinase os pontos críticos 𝑡𝛼 2 𝑔𝑙 𝑒 𝑡1𝛼 2 𝑔𝑙 tais que PT𝑡𝛼 2 𝑔𝑙 PT 𝑡1𝛼 2 𝑔𝑙α2 a partir da distribuição t de Student com n1 graus de liberdade gl b Se o teste é unilateral à direita determinase o ponto crítico 𝑡1𝛼𝑔𝑙 tal que PT𝑡1𝛼 𝑔𝑙α c Se o teste é unilateral à esquerda determinase o ponto crítico 𝑡𝛼𝑔𝑙 tal que PT𝑡𝛼𝑔𝑙α 4 Calcular sob a hipótese nula H0 o valor 𝑇 x µ𝑠n onde 𝑥 é o valor da média amostral µ é o valor da média populacional sob a hipótese nula s é o valor do desvio padrão amostral n é o tamanho da amostra 12 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção 5 Critério Teste unilateral à esquerda se T𝑡𝛼𝑔𝑙 rejeitase H0 Caso contrário não se rejeita H0 Teste bilateral se ou T 𝑡𝛼 2 𝑔𝑙 T 𝑡1𝛼 2 𝑔𝑙 rejeitase H0 Caso contrário não se rejeita H0 Teste unilateral à direita se T𝑡1𝛼𝑔𝑙 rejeitase H0 Caso contrário não se rejeita H0 Interpolação linear para estimativa de PT Quando se utiliza aplicativos estatísticos a probabilidade de T ou PT é calculada automaticamente no entanto quando se usa as tabelas de distribuições de probabilidades às vezes é necessário estimar PT a partir de dois pontos nas tabelas de distribuição t usando interpolação linear A tabela t em anexo representa n1 curvas cumulativas da função densidade de probabilidade t de Student Passos 1 Procure dentro da tabela t na linha referente aos graus de liberdade n1 do teste dois valores mais próximos de T sendo t1T à esquerda e t2T à direita 2 Encontre o valor de α1 primeira linha associado a t1 e o valor de α2 associado a t2 3 Aplique a fórmula a seguir 𝑃𝑇 𝛼2 𝛼1 𝑡2 𝑡1 𝑇 𝑡1 𝛼1 O valor encontrado PT dever ser maior que α1 e menor que α2 Exemplo Teste t para uma amostra É apropriado para comparar a média da amostra X com a população µ a partir da hipótese nula As características da população são conhecidas a partir da teoria ou são calculadas a partir da população Exemplo 3 O fabricante de certa marca de suco informa que as embalagens de seu produto têm em média 500 ml com desvio padrão igual a 10 ml Tendo sido encontradas no mercado algumas embalagens com menos de 500 ml suspeitase que a informação do fabricante seja falsa Para verificar se isto ocorre um fiscal analisa uma amostra de 20 embalagens escolhidas aleatoriamente no mercado e constata que as mesmas contêm em média 498 ml Considerando se um nível de significância de 5 podese afirmar que o fabricante está mentindo Estabeleça a hipótese nula calcule o valorp para esta amostra e conclua a Parâmetros µ500 mL σ10 mL n20 x 498 mL α005 b Estatística do teste 𝑇 x µ𝑠n 13 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção 𝑇 498500 10 20 0894 Ao procurar na linha de 19 graus de liberdade gl201 dentro da tabela t pelos dois valores mais próximos de 0894 encontramse t10861 e t21066 Na primeira linha superior na mesma coluna de t1 encontrase o valor de α10200 e na coluna seguinte α20150 Aplicandose a fórmula fica 𝑃0894 0150 0200 1066 0861 0894 0861 0200 0191 Assim o valorp determina a probabilidade associada à rejeição de H0 Para o teste unilateral à esquerda valorp 𝑃𝑇 0 Para o teste bilateral valorp 2𝑃𝑇 0 ou valorp21 𝑃𝑇 0 Para o teste unilateral à direita valorp 1 𝑃𝑇 0 Neste caso T0 0894 então valorp0191 para o teste unilateral à esquerda ou valorp 2 x 01910382 Assim em ambas as situações o valorpα portanto aceitase H0 Caso contrário rejeitase H0 Outro exemplo 4 Uma empresa de sementes anuncia na embalagem do seu produto um percentual de germinação mínima de 92 20 porções de 1000 sementes foram tomadas ao acaso e semeadas em câmaras de germinação Após contadas as sementes germinadas foram calculados os percentuais de germinação listados a seguir 744 854 959 903 841 754 886 980 770 1000 868 1000 751 908 830 883 818 949 1000 1000 Aplique o teste t usando níveis de significância α001 α005 e conclua sobre o enunciado Qual o tipo de erro podese cometer neste caso Result Valorp0047 Teste t pareado É apropriado para comparar duas amostras quando é impossível controlar variáveis importantes Em vez de comparar dois conjuntos os componentes são pareados entre amostras Então a diferença entre os componentes se torna a amostra Tipicamente a média das diferenças é comparada a 0 O cenário comum de exemplo para quando o teste pareado é apropriado é quando um único conjunto de sujeitos de teste tem algo aplicado a eles e o teste destinase a verificar um efeito Exemplo 14 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção 5 Um experimento foi idealizado para verificar o efeito do fósforo no crescimento em mudas de gabiroba Antes da aplicação do fertilizante P foram tomadas as alturas de 4 mudas ao acaso 60 dias após a aplicação de 80 kg Pha mediuse novamente as alturas das mesmas mudas como segue P2O5 Antes Após MUDA HT cm HT cm 1 68 99 2 58 75 3 84 133 4 47 54 Aplique o teste t pareado com α005 e α005 e verifique se a adubação com P2O5 promoveu um crescimento diferenciado após 60 dias Conclua sobre o enunciado Result valorp0035 6 Um experimento foi idealizado para verificar o efeito do fósforo no crescimento em mudas de gabiroba Antes da aplicação do fertilizante P foram tomados os diâmetros do caule mm de 4 mudas ao acaso 60 dias após a aplicação de 80 kg Pha mediuse novamente os diâmetros do caule das mesmas mudas como segue P2O5 Antes Após MUDA DC mm DC mm 1 12 25 2 16 18 3 14 22 4 09 11 Aplique o teste t pareado com α005 e α001 e verifique se a adubação com P2O5 promoveu um crescimento diferenciado no diâmetro das mudas após 60 dias Conclua sobre o enunciado Result valorp005 Teste de hipóteses para duas amostras e variâncias iguais 𝝈𝟏 𝟐 𝝈𝟏 𝟐 É apropriado para comparar as médias de duas amostras independentes tipicamente amostra experimental 𝑋1 e amostra de controle 𝑋2 a partir de um experimento cientificamente controlado admitindose variâncias iguais Mas como saber se duas variâncias são independentes e iguais Admitindose que as variâncias das populações são iguais porém desconhecidas ou seja 𝝈𝟏 𝟐 𝝈𝟐 𝟐 𝝈2 Denotamos 𝑺𝒊 𝟐 a variância da amostra i1 2 Como as amostras são independentes 𝜒1𝑛1 2 𝑛11𝑠12 𝜎1 2 𝑒 𝜒2𝑛1 2 𝑛21𝑠22 𝜎2 2 são variáveis aleatórias independentes com distribuição quiquadrado e graus de liberdade 𝑛1 1 e 𝑛2 1 respectivamente 15 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção Como a soma de distribuições quiquadrado independentes também tem distribuição qui quadrado com os graus de liberdade dado pela soma 𝑔𝑙 𝑛1 𝑛2 2 obtémse 𝑛1 1𝑠1 2 𝜎2 𝑛2 1𝑠2 2 𝜎2 𝑛1 1𝑠1 2 𝑛2 1𝑠2 2 𝜎2 𝜒1𝑔𝑙 2 Teste qui quadrado χ² Testes qui quadrado para variância são usados para determinar se uma população normal tem uma variância em comum A hipótese nula é que a população normal tem a variância em comum 𝜒2 𝑛 1 𝑠2 𝜎2 Para executar este tipo de teste podemos seguir os passos 2 Estabelecer uma das hipóteses bilateral unilateral à direita ou unilateral à esquerda 3 𝐻0 𝑠2 𝜎2 1 𝑠2 𝜎2 1 𝑠2 𝜎2 1 𝐻𝐴 𝑠2 𝜎2 1 𝑠2 𝜎2 1 𝑠2 𝜎2 1 𝑇𝑒𝑠𝑡𝑒 𝐵𝐼𝐿𝐴𝑇𝐸𝑅𝐴𝐿 𝑈𝑁𝐼𝐿𝐴𝑇𝐸𝑅𝐴𝐿 𝐴 𝐷𝐼𝑅𝐸𝐼𝑇𝐴 𝑈𝑁𝐼𝐿𝐴𝑇𝐸𝑅𝐴𝐿 𝐴 𝐸𝑆𝑄𝑈𝐸𝑅𝐷𝐴 4 Fixar o nível de significância α e determinar a região crítica ponto de corte X² é o valor calculado 𝜒²𝛼 2 𝑔𝑙 ou 𝜒²1𝛼 2 𝑔𝑙 são os valores de corte da região de aceitação de H0 Tabela X² ANEXO III a Se o teste é bilateral determinase os pontos críticos 𝜒²𝛼 2 𝑔𝑙 𝑒 𝜒²1𝛼 2 𝑔𝑙 tais que PX²𝜒²𝛼 2 𝑔𝑙 PX² 𝜒²1𝛼 2 𝑔𝑙α2 a partir da distribuição χ² com n1 graus de liberdade gl 16 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção b Se o teste é unilateral à direita determinase o ponto crítico 𝜒²1𝛼𝑔𝑙 tal que PX²𝜒²1𝛼 𝑔𝑙α c Se o teste é unilateral à esquerda determinase o ponto crítico 𝜒²𝛼𝑔𝑙 tal que PX²𝜒²𝛼𝑔𝑙α 5 Calcular sob a hipótese nula o valor 𝑋2 𝑛 1 𝑠2 𝜎2 6 Critérios a Teste unilateral à esquerda se 𝜒2 𝜒𝛼𝑛1 2 rejeitase H0 Caso contrário aceitase H0 b Teste bilateral Se 𝜒2 𝜒𝛼2𝑛1 2 ou se 𝜒2 𝜒1𝛼2𝑛1 2 rejeitase H0 Caso contrário aceitase H0 c Teste unilateral à direita se 𝜒2 𝜒1𝛼𝑛1 2 rejeitase H0 Caso contrário aceitase H0 7 Calcular o pvalor a Teste unilateral à esquerda valorp PX²gl b Teste bilateral valorp 2PX²gl ou valorp21 PX²gl c Teste unilateral à direita valorp1 PX²gl d Se valorpα rejeitase H0 e Por interpolação usando a Tabela X² 𝑃𝑋² 𝛼2 𝛼1 𝑋²2 𝑋21 𝑋²𝑛1 𝑋²1 𝛼1 17 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção Exemplo 7 É permitido às bombas de gasolina aferidas pelo INMETRO um desvio padrão do volume de enchimento variar em 5 mL Em uma fiscalização o agente tomou 20 amostras de 1000mL na mesma bomba observando um desvio no volume de enchimento de 6 mL Há evidência nos dados da amostra sugerindo que o posto tenha um problema na bomba Use α005 e considere que o volume de enchimentos tem distribuição normal O parâmetro de interesse é a variância da população 71 Estabelecer as hipóteses 𝐻0 𝑠2 𝜎2 1 𝐻𝐴 𝑠2 𝜎2 1 72 Fixar o nível de significância α005 e determinar a região crítica ponto de corte 𝜒2 002519 8907 𝜒²097519 3285 73 Critério Rejeitase H0 se 𝑋19 2 𝜒²002519 ou 𝑋19 2 𝜒²097519 74 Calcular X² 𝑋19 2 19 62 52 2736 Valorp 0097 7 5 Concluir como 𝜒²002519 𝑋19 2 𝜒²097519 Ou o valorpα2 a hipótese nula não deve ser rejeitada Ou seja não há evidências de que o posto tenha problema na bomba 8 Dadas as chuvas acumuladas mm médias normais dos meses de dezembro e janeiro de Jataí 19802009 ANO mmJAN mmDEZ ANO mmJAN mmDEZ ANO mmJAN mmDEZ 1980 1976 3107 1990 1227 1847 2000 2871 2741 1981 298 2618 1991 2313 1566 2001 2945 4451 1982 3911 2887 1992 402 1337 2002 3241 2675 1983 4268 4019 1993 852 3066 2003 2397 3039 1984 3514 1315 1994 2967 2165 2004 2675 3762 1985 3677 654 1995 186 2486 2005 2277 4501 1986 246 4641 1996 248 3183 2006 102 3501 1987 3259 311 1997 2886 265 2007 2761 2458 1988 2192 2649 1998 1595 233 2008 3094 1676 1989 554 3852 1999 1779 2297 2009 1472 3268 Aplique um teste X² para variância e verifique se as distribuições de chuvas de dezembro e janeiro têm variâncias equivalentes ao nível de significância α de 005 Estabeleça a hipótese nula calcule o valorp e faça a inferência sobre o resultado do teste 𝑋2 𝑛 1 𝑠2 𝜎2 Result X²3198 valorp0321 Caso as variâncias sejam iguais aplique o teste t para duas amostras Estabeleça a hipótese nula calcule o valorp e faça inferência sobre as chuvas de dezembro e janeiro 18 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção 𝑇 x1 x2 µ0 𝑠𝑝 1 𝑛1 1 𝑛2 𝑔𝑙 𝑛1 𝑛2 2 𝑠𝑝 n1 1𝑠1 2 n2 1𝑠2 2 n1 n2 2 Result t0432 valorp 0334 Teste F para comparação de duas variâncias Suponha que se queira comparar as variâncias σ1 2 e σ2 2 de duas populações Normais independentes Para isso retirase aleatoriamente uma amostra da população 1 com distribuição Nµ1 σ1 e uma amostra da população 2 com distribuição Nµ2 σ2 Então 𝜒1 2 𝑛1 1 𝑠12 𝜎1 2 𝑋𝑛11 2 Qui quadrado com n11 graus de liberdade 𝜒2 2 𝑛2 1 𝑠22 𝜎2 2 𝑋𝑛21 2 Qui quadrado com n21 graus de liberdade onde 𝑠1 2 é a variância amostral da população 1 e 𝑠2 2 a variância amostral da população 2 Neste caso a expressão F definida por 𝐹 𝜒1 2 𝑛1 1 𝜒2 2 𝑛2 1 𝑠1 2 𝜎1 2 𝑠2 2 𝜎2 2 𝑠1 2𝜎2 2 𝑠2 2𝜎1 2 𝑠1 2 𝑠2 2 tem distribuição F de Snedecor com n11 graus de liberdade no numerador e n21 graus de liberdade no denominador denotada por 𝐹𝑛11 𝑛21 Para executar o teste podese seguir os seguintes passos 1 Estabelecer uma das hipóteses bilateral unilateral à direita ou unilateral à esquerda 2 𝐻0 𝑠12 𝑠2 2 1 𝑠12 𝑠2 2 1 𝑠12 𝑠2 2 1 𝐻𝐴 𝑠12 𝑠2 2 1 𝑠12 𝑠2 2 1 𝑠12 𝑠2 2 1 𝑇𝑒𝑠𝑡𝑒 𝐵𝐼𝐿𝐴𝑇𝐸𝑅𝐴𝐿 𝑈𝑁𝐼𝐿𝐴𝑇𝐸𝑅𝐴𝐿 𝐴 𝐷𝐼𝑅𝐸𝐼𝑇𝐴 𝑈𝑁𝐼𝐿𝐴𝑇𝐸𝑅𝐴𝐿 𝐴 𝐸𝑆𝑄𝑈𝐸𝑅𝐷𝐴 3 Fixar o nível de significância α e determinar a região crítica pontos de corte 19 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção a Se o teste é unilateral à esquerda determinase o ponto crítico 𝐹𝛼𝑛11 𝑛21 tal que PF𝐹𝛼𝑛11 𝑛21α b Se o teste é bilateral devese determinar os pontos críticos para 𝐹𝛼 2𝑛11 𝑛21 e 𝐹1𝛼 2 𝑛11 𝑛21 que são os valores de corte da região de aceitação de H0 da distribuição F com n11 graus de liberdade no numerador e n21 graus de liberdade no denominador usando a tabela da distribuição Fisher Snedecor ANEXO IV de modo que PF𝐹𝛼 2𝑛11 𝑛21 PF 𝐹1𝛼 2 𝑛11 𝑛21α2 c Se o teste é unilateral à direita determinase o ponto crítico 𝐹1𝛼𝑛11 𝑛21 tal que PF𝐹1𝛼𝑛11 𝑛21α 4 Calcular sob a hipótese nula H0 o valor 𝐹 𝑠12 𝑠2 2 5 Critérios a Teste unilateral à esquerda se 𝐹 𝐹α𝑛11 𝑛21 rejeitase H0 Caso contrário aceitase H0 b Teste bilateral Se 𝐹 𝐹𝛼 2𝑛11 𝑛21 ou se 𝐹 𝐹1𝛼 2 𝑛11 𝑛21 rejeitase H0 Caso contrário aceitase H0 20 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção c Teste unilateral à direita se 𝐹 𝐹1𝛼𝑛11 𝑛21 rejeitase H0 Caso contrário aceitase H0 6 Calcular o valorp a Teste unilateral à esquerda valorp 𝑃𝐹 𝐹𝛼𝑛11 𝑛21 b Teste bilateral valorp 2PF 𝐹𝛼 2𝑛11 𝑛21 ou valorp 21 P𝐹 𝐹1𝛼 2 𝑛11 𝑛21 c Teste unilateral à direita valorp1 P𝐹 𝐹1𝛼𝑛11 𝑛21 d Se valorpα rejeitase H0 e Por interpolação usando a Tabela F ANEXO IV 𝑃𝐹 1 𝛼2 𝛼1 𝐹2 𝐹1 𝐹 𝐹1 𝛼1 RESUMO Teste F usando funções da planilha eletrônica ExcelGoogle planilha Parâmetros estatísticos n1 número das amostras1 n2 número das amostras2 s²1 variâncias estimadas com base nas amostras1 s²2 variâncias estimadas com base nas amostras2 gl1 graus de liberdaden11 gl2 graus de liberdaden21 α nível de significância Resolução otimizada Usar a função TESTEF amostras1 amostras22 valorp Os parâmetros da função TESTET são Amostras1 e amostras2 são os respectivos endereços dos conjuntos de dados A divisão por 2 significa que a função executa o teste bilateral A função TESTEF já calcula o valorp bilateral com base nas amostras Teste a fórmula usando os parâmetros fornecidos no exercício identificados em cada célula da planilha Resolução tradicional Usar a fórmula Fs²1s²2 diretamente na célula de cálculo da planilha Fα2 INVFα2gl1gl21 F1α2 INVF1α2gl1gl21 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝 𝐷𝐼𝑆𝑇 𝐹𝐹 𝑔𝑙1 𝑔𝑙2 1 2 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝐷𝐼𝑆𝑇 𝐹𝐹 𝑔𝑙1 𝑔𝑙2 1 𝑢𝑛𝑖𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 𝐷𝐼𝑆𝑇 𝐹 𝑅𝑇𝐹 𝑔𝑙1 𝑔𝑙2 𝑢𝑛𝑖𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 DECISÃO SEValorpαACEITASE H0REJEITASE H0 ou SEEFFα2 FF1α2ACEITASE H0REJEITASE H0 21 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção Exemplo 1 Um analista da qualidade quer avaliar se existe diferença entre as variabilidades na produção de eixo comando desenvolvido por dois sistemas de usinagem A Tabela a seguir apresenta as medições de duas populações independentes com distribuição Normal Podemos dizer que as variâncias de ambas são iguais Sistema de usinagem 1 Sistema de usinagem 2 187997 187545 191688 211609 247531 250589 205035 192026 192898 261371 257219 221119 186214 184187 220590 214737 226389 203069 199192 207641 185854 309934 262308 236758 21117 210553 178896 228421 267998 271201 208353 175905 244133 284708 296136 17527 187561 204137 269941 259948 17078 189772 255475 251489 18223 176197 203084 218791 246179 237336 214255 188988 226706 270194 224208 Result F0223 valorp000036 2 Para se comparar 2 variedades A e B de milho foi plantada a variedade A em 10 parcelas ao acaso em outras 10 parcelas ao acaso foi plantada a variedade B Os resultados obtidos kgparcela foram A 64 81 78 81 78 83 73 69 81 73 B 92 97 89 93 88 96 95 93 90 96 Pedese Aplicar o teste F e verifique se as variâncias são equivalentes Comparar os 2 tratamentos usando o teste t adequado consulte o Quadro 2 Result F 386 valorp0028 t 767 valorp00000004 22 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção RESUMO Teste t usando funções da planilha eletrônica ExcelGoogle planilha Parâmetros estatísticos µ média conhecida ou fornecida X média calculada com base nas amostras n número de amostras s desvio padrão estimado com base nas amostras ou σ desvio padrão conhecido ou fornecido SEstandart error é o erro padrão da média ou seja desvio padrãoRAIZnúmero de amostra gl graus de liberdade α nível de significância Resolução tradicional Teste a fórmula usando os parâmetros fornecidos no exercício identificados em cada célula da planilha Estatística do teste TXµSE tα2 INVTα2gl1 t1α2 INVT1α2gl1 IC 𝐿𝑖 µ 𝑡 𝛼 2 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝐿𝑠 µ 𝑡 1 𝛼 2 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 ICµ INTCONFIANÇATαsn 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝 𝐷𝐼𝑆𝑇 𝑇𝑇 𝑔𝑙 1 2 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝐷𝐼𝑆𝑇 𝑇𝑇 𝑔𝑙 1 𝑢𝑛𝑖𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 Resolução otimizada Usar a função TESTET amostras1 amostras2 cauda tipo Os parâmetros da função TESTET são Amostras1 e amostras2 são os respectivos endereços dos conjuntos de dados cauda podese usar 1 para teste unilateral ou 2 para teste bilateral tipo de teste podese usar 1 para teste t pareado ou 2 para amostras com variâncias iguais ou 3 para amostras com variâncias diferentes A função TESTET já calcula o valorp com base nas amostras DECISÃO SEValorpαACEITASE H0REJEITASE H0 ou SEETtα2 Tt1α2ACEITASE H0REJEITASE H0 ou ainda SEE𝑋ICi 𝑋ICfACEITASE H0REJEITASE H0 23 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção LISTA DE EXERCÍCIOS 1 Desejandose conhecer a média de consumo de carne em uma determinada população selecionouse uma amostra aleatória de 100 pessoas Os resultados mostraram que em média os indivíduos consumiam 1000 gmês desvio padrão de 625g Use as estatísticas Z e t para testar a hipótese de que o consumo médio dessa população está de acordo com o esperado que é 1200gmês α1 Interprete os resultados Result Z32 valorp000069 T32 valorp000092 2 Para estudar o efeito de certa dieta sobre o aumento de peso em adultos normais estudaramse os resultados da tabela abaixo Note que o mesmo indivíduo tem duas medidas e que esses resultados não podem ser considerados independentes Peso antes e depois do uso da dieta Aplique o teste t mais adequado para esta análise ao nível de 5 e conclua sobre o resultado NINDIVÍDUO PESO ANTES kg PESO DEPOIS kg 1 54 56 4 61 65 3 50 52 4 74 73 5 80 82 6 62 60 7 58 58 8 55 56 9 49 53 10 63 63 11 67 68 12 70 72 13 71 72 14 75 79 15 66 72 Result t316 valorp 0004 3 Em uma amostra aleatória de 60 alunos encontrouse que a altura média amostral foi de 175 cm desvio padrão de 10 cm Use as estatísticas Z e t com α5 de significância para testar a hipótese de que essa média é igual à esperada de 170 cm desvio padrão conhecido igual a 12 cm Result Z323 valorp000062 t387 valorp00001 4 Sabese que o consumo mensal per capita de um determinado produto tem distribuição normal com desvio padrão 2 Kg A diretoria da empresa que fabrica esse produto resolveu que retiraria o produto da linha de produção se a média do consumo mensal fosse menor que 8 Kg Caso contrário continuaria a fabricálo Foi realizada uma pesquisa de mercado a partir de uma amostra de 25 indivíduos e foi verificado que a média do consumo mensal desses indivíduos foi de 72 Kg Com α 5 qual decisão deve ser tomada pela diretoria Result T2 valorp0028 24 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção 5 O consumidor de um determinado produto acusou o fabricante dizendo que mais de 20 das unidades fabricadas apresentam defeitos Para confirmar sua acusação ele usou 50 amostras no qual 262 das peças eram defeituosas Avalie a afirmação do consumidor ao nível de significância de 5 Result T3 valorp0003 6 Cinco operadores de um certo tipo de máquina são treinados em máquinas de duas marcas diferentes A e B Foi medido o tempo em segundos que cada um deles gastou na realização da mesma tarefa e os resultados estão abaixo Operador 1 2 3 4 5 Marca A 80 72 65 78 85 Marca B 75 70 60 72 78 Suponha que os tempos sigam uma distribuição normal Há suspeitas de que a máquina B é mais rápida Com α5 de significância e com base nos dados acima as suspeitas são confirmadas 7 Para comparar peças produzidas em turnos diferentes um técnico da qualidade selecionou aleatoriamente 15 peças de cada turno de produção As peças foram enviadas ao laboratório dimensional e medidas em uma máquina de medição por coordenada Os valores obtidos nas medições se encontram na tabela a seguir Turno 1 6303 6298 6301 6305 6302 6297 6294 6299 63 6303 6302 6304 6305 6301 6299 Turno 2 6304 6302 6303 6301 6299 6301 6296 6297 6302 6301 6305 63 6307 6303 6302 8 Para comparar dois sistemas de medição um anel padrão foi medido em ambos sistemas de medição por 12 operadores Os resultados estão na tabela abaixo Ao nível de significância de 5 podese dizer que há diferença significativa entre os dois sistemas de medição Operador 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 SM1 0265 0265 0266 0267 0267 0265 0267 0267 0265 0268 0268 0265 SM2 0264 0265 0264 0266 0267 0268 0264 0265 0265 0267 0268 0269 9 Um fazendeiro desejando saber qual de suas duas fazendas A e B tem maior teor de areia procedeu da seguinte forma Na fazenda A com 200 alqueires ele tirou 15 amostras cujos resultados foram FAZENDA A 35 40 38 36 39 33 41 40 36 34 37 32 38 35 36 Na fazenda B com 40 alqueires ele tirou 8 amostras cujos resultados foram FAZENDA B 31 29 28 30 28 31 30 33 Efetue o teste de variância e aplique o teste t apropriado Conclua sobre o enunciado 25 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção 10 Um pesquisador desejando comparar 3 rações para engorda de suínos obteve os seguintes resultados em ganho de peso kg A B C 28 24 31 31 27 32 33 25 30 26 24 32 35 26 34 Efetue o teste de variância aplique o teste t adequado verifique qual das três rações promoveu melhor desempenho Use α5 TAB3118 valorp0007 TAC0682 valorp0257 TBC 747 valorp0000035 ACB Conclua sobre o enunciado 26 NOTAS DE AULA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL CURSO DE AGRONOMIA UFJ Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção REFERÊNCIAS 1 FONSECA J S MARTINS G de A Curso de estatística 6 ed São Paulo RevoltasAtlas 2008 320 p 2 GOMES F P GARCIA C H Estatística aplicada à experimentos agronômicos e florestais exposição com exemplos e orientações para uso de aplicativos Piracicaba FEALQ 2002 309 p 3 SPIEGEL M R Estatística 4ed São Paulo Makron Books 2009 597 p 4 CENTENO A J Curso de estatística aplicada a biologia 2 ed Goiânia UFG Centro Editorial e Gráfico 1999 234p 5 GOMES F P Curso de estatística experimental 15 ed Piracicaba FEALQ 2009 451 p 6 RIBEIRO JÚNIOR J I Análises estatísticas no Excel guia prático 2ed Viçosa MG UFV 2013 311 p 7 VIEIRA S Estatística experimental 2ed São Paulo Atlas 1999 185 p ZIMMERMANN F J P Estatística aplicada à pesquisa agrícola Santo Antônio de Goiás Embrapa Arroz e Feijão 2004 402 p 8 HOFFMANN R VIEIRA S Análise de regressão uma introdução à econometria 3ed São Paulo Hucitec 2001 379p 9 PFEILSTICKER Z F Estatística aplicada à pesquisa agrícola Santo Antônio de Goiás Embrapa Arroz e Feijão 2004 402 p ANEXO I Distribuição Z bilateral Tabela Z ZN01 𝐹𝑧 1 2𝜋 𝑒1 2𝑍 2 𝑧 𝑑𝑧 Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção Z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009 40 000003 000003 000003 000003 000003 000003 000002 000002 000002 000002 39 000005 000005 000004 000004 000004 000004 000004 000004 000003 000003 38 000007 000007 000007 000006 000006 000006 000006 000005 000005 000005 37 000011 000010 000010 000010 000009 000009 000008 000008 000008 000008 36 000016 000015 000015 000014 000014 000013 000013 000012 000012 000011 35 000023 000022 000022 000021 000020 000019 000019 000018 000017 000017 34 000034 000032 000031 000030 000029 000028 000027 000026 000025 000024 33 000048 000047 000045 000043 000042 000040 000039 000038 000036 000035 32 000069 000066 000064 000062 000060 000058 000056 000054 000052 000050 31 000097 000094 000090 000087 000084 000082 000079 000076 000074 000071 30 000135 000131 000126 000122 000118 000114 000111 000107 000104 000100 29 000187 000181 000175 000169 000164 000159 000154 000149 000144 000139 28 000256 000248 000240 000233 000226 000219 000212 000205 000199 000193 27 000347 000336 000326 000317 000307 000298 000289 000280 000272 000264 26 000466 000453 000440 000427 000415 000402 000391 000379 000368 000357 25 000621 000604 000587 000570 000554 000539 000523 000508 000494 000480 24 000820 000798 000776 000755 000734 000714 000695 000676 000657 000639 23 001072 001044 001017 000990 000964 000939 000914 000889 000866 000842 22 001390 001355 001321 001287 001255 001222 001191 001160 001130 001101 21 001786 001743 001700 001659 001618 001578 001539 001500 001463 001426 20 002275 002222 002169 002118 002068 002018 001970 001923 001876 001831 19 002872 002807 002743 002680 002619 002559 002500 002442 002385 002330 18 003593 003515 003438 003362 003288 003216 003144 003074 003005 002938 17 004457 004363 004272 004182 004093 004006 003920 003836 003754 003673 16 005480 005370 005262 005155 005050 004947 004846 004746 004648 004551 15 006681 006552 006426 006301 006178 006057 005938 005821 005705 005592 14 008076 007927 007780 007636 007493 007353 007215 007078 006944 006811 13 009680 009510 009342 009176 009012 008851 008691 008534 008379 008226 12 011507 011314 011123 010935 010749 010565 010383 010204 010027 009853 11 013567 013350 013136 012924 012714 012507 012302 012100 011900 011702 10 015866 015625 015386 015151 014917 014686 014457 014231 014007 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1711 1706 1701 1697 1693 1690 1671 1663 1659 1657 1651 1649 0100 3589 3257 3074 2961 2883 2827 2785 2752 2725 2703 2595 2555 2535 2523 2497 2488 0050 5591 4737 4347 4120 3972 3866 3787 3726 3677 3637 3445 3376 3340 3319 3275 3260 0025 8073 6542 5890 5523 5285 5119 4995 4899 4823 4761 4467 4362 4309 4276 4210 4188 0010 12246 9547 8451 7847 7460 7191 6993 6840 6719 6620 6155 5992 5908 5858 5755 5720 0005 1624 1240 1088 1005 952 916 889 868 851 838 775 753 742 735 722 717 0002 2290 1716 1493 1372 1295 1242 1203 1173 1150 1131 1041 1010 994 984 965 958 0001 2925 2169 1877 1720 1621 1552 1502 1463 1433 1408 1293 1253 1233 1220 1195 1187 8 0500 0499 0757 0860 0915 0948 0971 0988 1000 1010 1018 1053 1065 1071 1075 1082 1084 0250 1538 1657 1668 1664 1658 1651 1645 1640 1635 1631 1609 1600 1595 1591 1585 1582 0100 3458 3113 2924 2806 2726 2668 2624 2589 2561 2538 2425 2383 2361 2348 2321 2312 0050 5318 4459 4066 3838 3687 3581 3500 3438 3388 3347 3150 3079 3043 3020 2975 2959 0025 7571 6059 5416 5053 4817 4652 4529 4433 4357 4295 3999 3894 3840 3807 3739 3716 0010 11259 8649 7591 7006 6632 6371 6178 6029 5911 5814 5359 5198 5116 5065 4963 4929 0005 14688 11042 9596 8805 8302 7952 7694 7496 7339 7211 6608 6396 6288 6222 6088 6042 0002 2026 1491 1284 1171 1100 1050 1014 986 964 946 862 833 818 809 790 784 0001 2541 1849 1583 1439 1348 1286 1240 1205 1177 1154 1048 1011 992 980 957 949 ANEXO IV Tabela F Distribuição F de Snedecor acumulada à direita Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção Fk v α α Graus de liberdade do numerador Tratamento k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 100 150 Graus de liberdade do denominador Erro v 9 0500 0494 0749 0852 0906 0939 0962 0978 0990 1000 1008 1043 1055 1061 1064 1072 1074 0250 1512 1624 1632 1625 1617 1609 1602 1596 1591 1586 1561 1551 1545 1541 1534 1531 0100 3360 3006 2813 2693 2611 2551 2505 2469 2440 2416 2298 2255 2232 2218 2189 2179 0050 5117 4256 3863 3633 3482 3374 3293 3230 3179 3137 2936 2864 2826 2803 2756 2739 0025 7209 5715 5078 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4728 0002 17170 12329 10451 9432 8786 8338 8008 7754 7553 7389 6616 6343 6203 6117 5944 5885 0001 21040 14905 12553 11283 10481 9926 9517 9204 8956 8754 7804 7469 7297 7193 6980 6908 20 0500 0472 0718 0816 0868 0900 0922 0938 0950 0959 0966 1000 1011 1017 1020 1027 1030 0250 1404 1487 1481 1465 1450 1437 1425 1415 1407 1399 1358 1340 1330 1324 1310 1305 0100 2975 2589 2380 2249 2158 2091 2040 1999 1965 1937 1794 1738 1708 1690 1650 1636 0050 4351 3493 3098 2866 2711 2599 2514 2447 2393 2348 2124 2039 1994 1966 1907 1886 0025 5871 4461 3859 3515 3289 3128 3007 2913 2837 2774 2464 2349 2287 2249 2170 2142 0010 8096 5849 4938 4431 4103 3871 3699 3564 3457 3368 2938 2778 2695 2643 2535 2498 0005 9944 6986 5818 5174 4762 4472 4257 4090 3956 3847 3318 3123 3022 2959 2828 2783 0002 12615 8616 7073 6233 5698 5325 5048 4835 4664 4525 3855 3610 3483 3404 3241 3185 0001 14819 9953 8098 7096 6461 6019 5692 5440 5239 5075 4290 4005 3856 3765 3576 3511 30 0500 0466 0709 0807 0858 0890 0912 0927 0939 0948 0955 0989 1000 1006 1009 1016 1018 0250 1376 1452 1443 1424 1407 1392 1380 1369 1359 1351 1303 1282 1270 1263 1245 1239 0100 2881 2489 2276 2142 2049 1980 1927 1884 1849 1819 1667 1606 1573 1552 1507 1491 0050 4171 3316 2922 2690 2534 2421 2334 2266 2211 2165 1932 1841 1792 1761 1695 1672 0025 5568 4182 3589 3250 3026 2867 2746 2651 2575 2511 2195 2074 2009 1968 1882 1851 0010 7562 5390 4510 4018 3699 3473 3304 3173 3067 2979 2549 2386 2299 2245 2131 2091 0005 9180 6355 5239 4623 4228 3949 3742 3580 3450 3344 2823 2628 2524 2459 2323 2276 0002 11459 7700 6250 5461 4957 4604 4343 4140 3978 3844 3198 2958 2831 2752 2586 2528 0001 13293 8773 7054 6125 5534 5122 4817 4581 4393 4239 3493 3217 3072 2981 2792 2726 ANEXO IV Tabela F Distribuição F de Snedecor acumulada à direita Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção Fk v α α Graus de liberdade do numerador Tratamento k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 100 150 Graus de liberdade do denominador Erro v 40 0500 0463 0705 0802 0854 0885 0907 0922 0934 0943 0950 0983 0994 1000 1003 1010 1012 0250 1363 1435 1424 1404 1386 1371 1357 1345 1335 1327 1276 1253 1240 1231 1212 1204 0100 2835 2440 2226 2091 1997 1927 1873 1829 1793 1763 1605 1541 1506 1483 1434 1416 0050 4085 3232 2839 2606 2449 2336 2249 2180 2124 2077 1839 1744 1693 1660 1589 1564 0025 5424 4051 3463 3126 2904 2744 2624 2529 2452 2388 2068 1943 1875 1832 1741 1708 0010 7314 5179 4313 3828 3514 3291 3124 2993 2888 2801 2369 2203 2114 2058 1938 1896 0005 8828 6066 4976 4374 3986 3713 3509 3350 3222 3117 2598 2401 2296 2230 2088 2038 0002 10935 7288 5883 5117 4628 4285 4030 3832 3674 3543 2907 2667 2539 2459 2289 2229 0001 12609 8251 6595 5698 5128 4731 4436 4207 4024 3874 3145 2872 2727 2636 2444 2376 50 0500 0462 0703 0800 0851 0882 0903 0919 0930 0940 0947 0980 0991 0997 1000 1007 1009 0250 1355 1425 1413 1393 1374 1358 1344 1332 1321 1312 1259 1235 1221 1212 1190 1182 0100 2809 2412 2197 2061 1966 1895 1840 1796 1760 1729 1568 1502 1465 1441 1388 1369 0050 4034 3183 2790 2557 2400 2286 2199 2130 2073 2026 1784 1687 1634 1599 1525 1498 0025 5340 3975 3390 3054 2833 2674 2553 2458 2381 2317 1993 1866 1796 1752 1656 1621 0010 7171 5057 4199 3720 3408 3186 3020 2890 2785 2698 2265 2098 2007 1949 1825 1780 0005 8626 5902 4826 4232 3849 3579 3376 3219 3092 2988 2470 2272 2164 2097 1951 1899 0002 10637 7055 5676 4923 4442 4105 3854 3659 3503 3374 2742 2503 2373 2292 2118 2056 0001 12222 7956 6336 5459 4901 4512 4222 3998 3818 3671 2951 2679 2533 2441 2246 2176 100 0500 0458 0698 0794 0845 0876 0897 0913 0924 0933 0940 0973 0984 0990 0993 1000 1002 0250 1339 1406 1391 1369 1349 1332 1317 1304 1293 1283 1226 1198 1182 1171 1145 1135 0100 2756 2356 2139 2002 1906 1834 1778 1732 1695 1663 1494 1423 1382 1355 1293 1270 0050 3936 3087 2696 2463 2305 2191 2103 2032 1975 1927 1676 1573 1515 1477 1392 1359 0025 5179 3828 3250 2917 2696 2537 2417 2321 2244 2179 1849 1715 1640 1592 1483 1442 0010 6895 4824 3984 3513 3206 2988 2823 2694 2590 2503 2067 1893 1797 1735 1598 1546 0005 8241 5589 4542 3963 3589 3325 3127 2972 2847 2744 2227 2024 1912 1840 1681 1621 0002 10073 6617 5287 4561 4097 3770 3527 3337 3185 3059 2435 2193 2060 1975 1788 1718 0001 11495 7408 5857 5017 4482 4107 3829 3612 3439 3296 2591 2319 2170 2076 1867 1790 150 0500 0457 0696 0792 0843 0874 0895 0911 0922 0931 0938 0971 0982 0988 0991 0998 1000 0250 1334 1399 1384 1362 1341 1324 1308 1295 1284 1274 1214 1186 1168 1157 1128 1117 0100 2739 2338 2121 1983 1886 1814 1757 1712 1674 1642 1470 1396 1353 1325 1259 1233 0050 3904 3056 2665 2432 2274 2160 2071 2001 1943 1894 1641 1535 1475 1436 1345 1309 0025 5126 3781 3204 2872 2652 2494 2373 2278 2200 2135 1801 1665 1588 1538 1423 1379 0010 6807 4749 3915 3447 3142 2924 2761 2632 2528 2441 2003 1827 1729 1665 1520 1465 0005 8118 5490 4453 3878 3508 3245 3048 2894 2770 2667 2150 1944 1830 1756 1590 1526 0002 9894 6479 5165 4448 3988 3665 3424 3236 3085 2960 2339 2095 1960 1873 1679 1605 0001 11267 7236 5707 4879 4351 3981 3706 3493 3321 3179 2479 2206 2056 1959 1744 1662 ANEXO IV Tabela F Distribuição F de Snedecor acumulada à direita Prof Dr Hildeu Ferreira da Assunção