Estatística Experimental: Testes de Hipóteses e Inferência Estatística

Estatística experimental Hildeu Ferreira da Assunção INTRODUÇÃO E CONCEITOS INICIAIS TESTES DE HIPÓTESES INFERÊNCIA POPULAÇÃO ESTATÍSTICA DESCRITIVA erro AMOSTRA 1 2 3 PROBABILIDADES quantifica o erro ESTATÍSTICA INFERENCIAL ESTATÍSTICA INDUTIVA Simbologia e funções estatística de planilha N tamanho finito da população n número de amostras n1 grau de liberdade GL somatório SOMA µxµ diferença ou desvio µxµσ desvio relativo x² soma de quadrados SOMAQUAD xy soma de produtos SOMARPRODUTO µxµ² soma de quadrado dos desvios DESVQ µ média populacionalverdadeira ou esperada µx média amostral ou observada Simbologia e funções estatística de planilha σ² VARP variância populacional s² VARA variância amostral σ DESVPADP desvio padrão da população s DESVPADA desvio padrão amostral H0 hipótese nula ou µxµ 0 HA hipótese alternativa ou µxµ 0 1 α nível de confiança para H0 α nível de significância ou probabilidade de rejeição de H0 valorp probabilidade de aceitação de H0 Parâmetros e Indicadores estatísticos s²µxµ²n1 SEs²n CV100sµx IV100SEµx Determine os parâmetros dos conjuntos de dados abaixo kgparcela de três variedades de milho Determine a média µx o desvio padrãos o erro padrão da média SE o coeficiente de variaçãoCV e o índice de variaçãoIV var A 28 31 33 26 35 24 27 25 24 26 var B 24 27 25 24 26 31 32 30 32 34 var C 31 32 30 32 34 26 35 24 27 25 INTRODUÇÃO AO TESTE DE HIPÓTESES Teste estatístico que permite tomar decisões com base em hipóteses Utilizado para testar se a diferença entre a média observada na amostra µx e a média verdadeira µ de um conjunto de dados aleatórios é significativa A decisão é tomada de acordo com a variação dos dados em torno da média obtida em um experimento controlado Hipóteses H0 µxµ 0 Assumida como prioritária na construção do teste Contém uma afirmativa de igualdade 0 0 ou 0 HA µxµ 0 Assumida quando H0 não tem evidência estatística Complemento de H0 0 ou 0 ou 0 Estabelecendo as hipóteses 1 Uma fábrica de adubo afirma que o teor de P205 na composição média de um determinado fertilizante é de 40 a H0 µP40 0 b HA µP40 0 2 Uma fábrica de ração garante que em uma determinada ração para cães há no máximo 24 de cálcio a H0 µCa24 0 b HA µCa24 0 3 Uma fábrica de ração garante que em uma determinada ração para cães há no mínimo 06 de fósforo a H0 µP06 0 b HA µP06 0 Estabeleça hipóteses 1 Um pesquisador quer testar se a média de altura dos alunos de uma escola é maior que 160 m Ele coleta uma amostra aleatória de 30 alunos e obtém uma média de 165 m e um desvio padrão de 012 m Qual é a hipótese nula e a alternativa 2 Uma empresa afirma que o tempo médio de entrega dos seus produtos é de 3 dias Um cliente duvida dessa afirmação e decide fazer um teste com uma amostra de 20 pedidos Ele calcula o tempo médio de entrega da amostra e obtém 32 dias com um desvio padrão de 05 dias Qual é a hipótese nula e a alternativa 3 Um fabricante de pilhas quer testar se a vida útil média das suas pilhas tem duração mínima de 100 horas Ele seleciona uma amostra aleatória de 50 pilhas e mede o tempo que elas duram até descarregar completamente Ele obtém uma média de 98 horas e um desvio padrão de 10 horas Qual é a hipótese nula e a alternativa Estabeleça hipóteses 4 Um nutricionista quer testar se uma dieta reduz o nível de colesterol no sangue Ele aplica a dieta em uma amostra aleatória de 15 pacientes e mede o nível de colesterol antes e depois da dieta Ele obtém uma média de redução de 20 mgdL com um desvio padrão de 5 mgdL Qual é a hipótese nula e a alternativa 5 Um analista financeiro quer testar se a rentabilidade média de uma carteira de investimentos é menor que 10 ao ano Ele analisa os dados dos últimos 12 meses e obtém uma rentabilidade média de 95 com um desvio padrão de 2 Qual é a hipótese nula e a alternativa 6 Um engenheiro quer testar se a proporção máxima de peças defeituosas produzidas por uma máquina é de 5 Ele inspeciona uma amostra aleatória de 100 peças e encontra 8 defeituosas Qual é a hipótese nula e a alternativa Valor do teste Teste Z Z µxµ𝞂²n OU Z µX1µX2𝞂²1n1𝞂²2n2 Teste t µxµs²n para gln1 OU t µx1µx2s²1n1s²2n2 para gln1n22 Teste X² 𝞂²s² para gln1 Teste F s²1s²2 para gl1n11 e gl2n21 gl grau de liberdade Tomada de decisão Com base no valor da prova ou valorpprobabilidade do teste Z t X² F Com base no valor crítico limites de significância Li Ls para um nível de significância ɑ Com base no nível de confiança intervalo de confiança ICLsLi de 1ɑ ɑprobabilidade de rejeição de H0 valorpprobabilidade de aceitação de H0 H0 valorp ɑ OU valor do teste valor crítico OU Li µx Ls HA valorp ɑ OU valor do teste valor crítico OU µx Ls OU µx Ls Tipos de erro que podem ser cometidos na tomada de decisão Erro do tipo I α é a probabilidade de se rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira α 1 valorp Erro do tipo II β é a probabilidade de se aceitar a hipótese nula quando ela é falsa β α valorp Hipótese H0 verdadeira falsa Rejeição de H0 Erro do tipo I Não há erro Aceitação de H0 Não há erro Erro Erro do tipo II Exemplos de tipos de erro 1 Um pesquisador deseja testar se a média de altura das pessoas em uma determinada cidade é superior a 170 cm Ele coleta uma amostra de 100 indivíduos calcula uma média de 168 cm e um desvio padrão de 108 cm e aplica o teste Z O nível de significância escolhido é de 001 Z185 e o valorp003 Erro do Tipo I falso positivo Se o pesquisador olhar somente o valor negativo de Z e rejeitar a hipótese nula H0 admitindo que a média de altura é inferior a 170 cm quando na verdade essa hipótese é verdadeira Ele conclui incorretamente que a média de altura é inferior a 170 cm na população quando na verdade não há evidências suficientes para suportar essa conclusão Exemplos de tipos de erro 2 Um pesquisador deseja testar se a média de altura das pessoas em uma determinada cidade é superior a 170 cm Ele coleta uma amostra de 100 indivíduos calcula uma média de 168 cm e um desvio padrão de 108 cm e aplica o teste Z O nível de significância escolhido é de 005 Z185 e o valorp003 Erro do Tipo II falso negativo Se o pesquisador olhar somente o valor negativo de Z e aceitar a hipótese nula H0 admitindo que a média de altura é superior a 170 cm quando na verdade essa hipótese é falsa Ele conclui incorretamente que a média de altura é superior a 170 cm na população quando na verdade não há evidências suficientes para suportar essa conclusão Exemplos de tipos de erro 3 Um fabricante de medicamentos afirma que seu novo produto reduz a pressão arterial média em pacientes em pelo menos 10 mmHg Um estudo é realizado com uma amostra de 200 pacientes encontrou uma média de 13 mmHg e um desvio padrão de 2 mmHg O valor do teste Z encontrado foi de 1 O nível de significância escolhido é de 001 e o valorp0000 Erro do Tipo II falso negativo Nesse caso se o pesquisador observar somente o valor do teste 10 falha em aceitar a hipótese nula de que a redução média da pressão arterial é igual ou inferior a 10 mmHg quando na verdade essa hipótese é falsa Ele não encontra evidências suficientes para concluir que o novo produto reduz a pressão arterial média em pelo menos de 10 mmHg quando na verdade ele realmente não reduz Teste Z Teste estatístico capaz de determinar se a diferença entre a média da amostra µx e média da população µ tem grandeza suficiente para ser estatisticamente significativa Quando usar distribuição Normal com média verdadeira µ conhecida amostras n30 ou a variância da população σ² conhecida Teste Z tem um único valor crítico para cada nível de significância α Para α005 os valores críticos são Zα165 ou Z1α165 para os testes unilaterais à esquerda ou à direita respectivamente Para teste bilateral Zα196 e Z1α196 Para α001 os valores críticos são Zα233 ou Z1α233 para os testes unilaterais Para o teste bilateral Zα258 e Z1α258 Passo a passo para o teste de hipótese Teste Z 1 Obtençãodefinição dos parâmetros ou medidas estatísticas n µ e σ² a µx é o valor da média amostral observado na amostra b µ é o valor da média verdadeira ou esperada para a população c σ² é o valor da variância da população conhecida se desconhecida deve ser estimada com base nas amostrass² d n é o tamanho da amostra conhecido Passo a passo para o teste de hipótese Teste Z 2 Estabelecer as hipóteses a Dependendo da informação fornecida pelo problema estudado as hipóteses podem ter respectivamente uma das três formas b bilateral OU unilateral à esquerda OU unilateral à direita A H0 µxµ 0 OU H0 µxµ 0 OU H0 µxµ 0 B HA µxµ 0 OU HA µxµ 0 OU HA µxµ 0 Passo a passo para o teste de hipótese Teste Z 3 Fixar o nível de significância α e determinar a região crítica Zα Usar Tabela ou Aplicativo Probability Distribution a Se o teste é bilateral determinase os pontos críticos Zα2 e Z1α2 tais que PZ Zα2 PZ Z1α2 α2 Passo a passo para o teste de hipótese Teste Z 3 Fixar o nível de significância α e determinar a região crítica Zα Usar Tabela ou Aplicativo Probability Distribution a Se o teste é unilateral à esquerda determinase o ponto crítico Zα tal que PZ Zα α Passo a passo para o teste de hipótese Teste Z 3 Fixar o nível de significância α e determinar a região crítica Zα Usar Tabela ou Aplicativo Probability Distribution a Se o teste é unilateral à direita determinase o ponto crítico Z1α tal que PZ Z1α α Passo a passo para o teste de hipótese Teste Z 4 Calcular a estatística do teste sob a hipótese nula H0 a valor do teste Z µxµSE b SE σ²n 5 Obter o valor da prova valorp ou PZ a Teste bilateral valorp 2PZ b Teste unilateral à esquerda valorp PZ c Teste unilateral à direita valorp 1PZ Passo a passo para o teste de hipótese Teste Z 5 Regras de decisão a Se valorp α aceitase H0 Caso contrário rejeitase H0 b Teste unilateral à esquerda se Z Zα aceitase H0 Caso contrário não se rejeita H0 c Teste bilateral se Zα2 Z Z1α2 aceitase H0 Caso contrário não se rejeita H0 d Teste unilateral à direita se Z Z1α aceitase H0 Caso contrário não se rejeita H0 Síntese Hipótese Alternativa HA Rejeita H0 Aceita H0 testes quaisquer valorp α valorp α µxµ 0 teste unilateral à esquerda Z Zα Z Zα µxµ 0 teste bilateral Z Zα2 ou Z Z1α2 Zα2 Z Z1α2 µxµ 0 teste unilateral à direita Z Z1α Z Z1α Tipos de teste Z 1 Teste Z para uma média amostral n a ZµxµSE b SE 𝞂²n 2 Teste Z para duas médias amostrais n1 e n2 a Zµx1µx2SE b SE 𝞂²1n1𝞂²2n2 Exercícios de aplicações em Ciências Agrárias Controle agroindustrial em processos e produtos como garantias mínimas de um determinado elemento em um produto controle da quantidade máxima de um elemento na composição de um produto etc Estudo de fenômenos naturais com distribuição normal estudo climatológico de eventos extremos como secas e enchentes estudos de produção de safras etc Teste de hipóteses teste Z 1 Um pesquisador quer avaliar se a aplicação de um fertilizante aumenta a produtividade de uma cultura Ele coleta uma amostra de 35 parcelas que receberam o fertilizante e calcula a média amostral de produtividade como 12 toneladas por hectare Ele sabe que a produtividade média da população sem o fertilizante é de 10 toneladas por hectare e que o desvio padrão populacional é de 2 toneladas por hectare Ele quer testar a hipótese nula de que o fertilizante não tem efeito sobre a produtividade contra a hipótese alternativa de que o fertilizante aumenta a produtividade Ele usa um nível de significância de 5 Qual é a estatística do teste Z e qual é a conclusão do teste Teste de hipóteses teste Z 2 Um agrônomo quer comparar duas variedades de milho quanto à resistência à seca Ele planta as duas variedades em condições controladas e mede o rendimento em quilos por planta após um período de estresse hídrico Ele obtém uma amostra de 30 plantas de cada variedade e calcula as médias amostrais como 18 kg para a variedade A e 16 kg para a variedade B Ele assume que as populações das duas variedades têm distribuição normal com o mesmo desvio padrão de 04 kg Ele quer testar a hipótese nula de que as duas variedades têm o mesmo rendimento médio contra a hipótese alternativa de que elas têm rendimentos médios diferentes Ele usa um nível de significância de 1 Qual é a estatística do teste Z e qual é a conclusão do teste Teste de hipóteses teste Z 3 Uma empresa que produz sementes de soja afirma que suas sementes têm uma taxa de germinação de 90 Um agricultor desconfia dessa afirmação e decide fazer um experimento Ele planta uma amostra de 100 sementes da empresa e observa quantas germinam após uma semana Ele conta 82 sementes germinadas e calcula a proporção amostral de germinação como 082 Ele quer testar a hipótese nula de que a taxa de germinação da população é igual à taxa afirmada pela empresa contra a hipótese alternativa de que a taxa de germinação da população é menor do que a taxa afirmada pela empresa Ele usa um nível de significância de 10 Qual é a estatística do teste Z e qual é a conclusão do teste Teste t de Student Quando não se conhece o valor do desvio padrão populacional σ e a amostra é pequenan30 devese substituir o teste Z pelo teste t de Student tµxµSE Onde t é o número de desvios obtidos a partir da amostra tem distribuição t de Student com n1 graus de liberdade gl Teste t de Student Teste Valor do teste Critério de uso Teste t para uma amostra tµxµSE SEsn gln1 Amostras n30 e σ desconhecido T é a distância a partir da média em relação ao erro padrão da média SE Teste t pareado para amostras dependentes tµdxSE SEsdxn gln1 População normal ou n30 e σ desconhecido ou amostra de tamanho pequeno n30 Teste t de Student Teste Fórmula Critério de uso Teste t para duas amostras independentes com variâncias iguais tµx1µx2SE SEsa1n11n2 sas²1gl1s²2gl2gla gl1n11 gl2n21 glagl1gl2 População normal ou n1 n240 observações independentes e σ²1σ²2 desconhecidos Teste t para duas amostras independentes com variâncias desiguais tµx1µx2SE SE s²1n1s²2n2 glar1r2²r1²gl1r2²gl2 r1s²1n1 r2s²2n2 gl1n11 gl2n21 População normal ou n1 n2 40 observações independentes e σ²1σ²2 desconhecidos Passos para execução do Teste t 1 Estabelecer as hipóteses Fixase H0 µxµ0 ou µxµ0 ou µxµ0 Dependendo da informação fornecida pelo problema estudado a hipótese alternativa pode ter uma das três formas abaixo HA µxµ0 teste bilateral HA µxµ0 teste unilateral à esquerda HA µxµ0 teste unilateral à direita Passos para execução do Teste t 2 Fixar o nível de significância α e determinar a região crítica usando a distribuição t de Student com n1 graus de liberdade gl tα2 gl e t1α2gl bilateral tα gl unilateral à esquerda t1α gl unilateral à direita Passos para execução do Teste t Se o teste é bilateral determinase os pontos críticos de tα2 gl e t1α2gl e o Valorp ou Ptα2 gl t t1α2gl Se Valorpα H0 Passos para execução do Teste t Se o teste é unilateral à direita determinase o ponto crítico para t1 αgl e o Valorp ou Ptt1αgl Se Valorpα H0 Passos para execução do Teste t Se o teste é unilateral à esquerda determinase o ponto crítico para tαgl e o Valorp ou Pttαgl Se Valorpα H0 Passos para execução do Teste t 3 Calcular sob a hipótese nula H0 o valor de t µxµsn Sugestões valor de t 0 teste à esquerda sob α ou bilateral sob α2 valor de t 0 teste à direita sob α ou bilateral sob α2 onde µx é o valor da média amostral ou observada µ é o valor da média populacional ou esperada sob H0 s é o valor do desvio padrão amostral n é o tamanho da amostra α é o nível de significância ou probabilidade de rejeição de H0 Passos para execução do Teste t 4 Critérios de decisão Valorp α aceitase H0 caso contrário rejeitase H0 OU Teste unilateral à esquerda se t tαgl rejeitase H0 Caso contrário aceita H0 Teste bilateral se t tα2 gl ou t t1α2 gl rejeitase H0 Caso contrário aceita H0 Teste unilateral à direita se t t1αgl rejeitase H0 Caso contrário aceita H0 Teste de hipóteses teste t para uma média amostral 1 A embalagem de certa marca de suco anuncia um volume líquido de 500 ml Tendo sido encontradas no mercado algumas embalagens com menos de 500 ml suspeitase que a informação do fabricante seja falsa Para verificar se isto ocorre um fiscal analisa uma amostra de 20 embalagens escolhidas aleatoriamente no mercado e constata que as mesmas contêm em média 498 ml com desvio padrão igual a 10 ml Qual é a hipótese nula e a hipótese alternativa do teste Qual é o valor da estatística de teste Qual é a região crítica para um nível de significância de 5 O pesquisador pode rejeitar a hipótese nula Conclua sobre o resultado Teste de hipóteses 2 Um pesquisador quer testar se a produtividade média de uma variedade de milho é maior que 10 toneladas por hectare Para isso ele coleta uma amostra aleatória de 15 parcelas e obtém uma média de 108 toneladas por hectare e um desvio padrão de 05 toneladas por hectare Qual é a hipótese nula e a hipótese alternativa do teste Qual é o valor da estatística de teste Qual é a região crítica para um nível de significância de 5 O pesquisador pode rejeitar a hipótese nula Teste t pareado É apropriado para comparar duas amostras quando é impossível controlar variáveis importantes Em vez de comparar dois conjuntos os componentes são pareados entre amostras Então a diferença dxxbxa entre os componentes se torna a amostra Assim a média das diferenças µdx é comparada a 0 com variância s²dxdxµdx²gl Neste cenário as amostras xa e xb pertencem à mesma população em momentos diferentes ou em condições diferentes Valor do teste tµdxSE SEs²dxn gln1 Valorp PtX ou Valorp 2PtX Teste de hipóteses teste t pareado 1 Um engenheiro agrônomo quer comprovar se o produto XP021 promove rendimento na soja conforme anuncia o vendedor Ele monta um estande lado a lado com 10 fileiras duplas de 100 plantas Neste estande ele aplica alternadamente o produto seguindo as recomendações do vendedor fileira A com o produto e fileira B sem o produto Ao final do experimento ele mede o rendimento médio de grãos em cada fileira em gpor planta Os dados são os seguintes Fileira A 283 295 301 276 289 298 287 292 279 285 Fileira B 271 298 264 289 274 291 297 252 279 265 Qual é a hipótese nula e a hipótese alternativa do teste Qual é o valor da estatística de teste Qual é a região crítica para um nível de significância de 1 O engenheiro agrônomo pode rejeitar a hipótese nula Teste de hipóteses teste t pareado 2 Um experimento foi realizado para avaliar o efeito da aplicação de diferentes doses de herbicida x gha sobre o controley de plantas daninhas em uma cultura de algodão Os dados obtidos foram os seguintes Dose gha 0 50 100 150 200 Controle 10 25 40 55 65 Um modelo linear foi ajustado aos dados e obtevese os seguintes resultados y 375 034375x R² 09875 Qual é a hipótese nula e a hipótese alternativa do teste para verificar se há relação linear entre a dose de herbicida e o controle de plantas daninhas Qual é o valor da estatística de teste Qual é a região crítica para um nível de significância de 5 O pesquisador pode rejeitar a hipótese nula Teste de hipóteses Teste t para duas médias amostrais µx1µx2 de populações independentes É apropriado para comparar as médias de duas amostras independentes tipicamente amostra experimental µx1 e amostra de controle µx2 a partir de um experimento cientificamente controlado admitindose variâncias iguais s²1s²2 ou variâncias diferentes s²1s²2 Como saber se duas variâncias são independentes e iguais Aplicase o Teste X² ou o Teste F Teste de hipóteses Teste t para duas médias amostrais µx1µx2 de populações independentes Teste t para 2 médias µx1µx2 amostrais 1 Teste de variâncias a Teste de X² para s²1σ² com α em gl1 i Verificar se a amostra pertence à população uma variância amostral b Teste F para s²1s²2 com α em gl1 e gl2 i Verificar se ambas as amostras pertencem à mesma população duas variâncias amostrais 2 Teste t para H0 µx1µx20 a Se s²1σ² ou s²1s²2 Teste t para variâncias b Se s²1σ² ou s²1s²2 Teste t para variâncias Teste X² para 1 variância amostral s²1σ² Testes qui quadrado X² são usados para determinar se uma amostra pertence a uma dada população normal A hipótese nula é que a amostra pertence à população em teste ou seja H0 s²σ² Teste X² para 1 variância amostral s²1σ² Teste t para 2 médias µx1µx2 amostrais 1 Teste de variâncias a Testar se s²1σ² sob gl1 b H0 s²1σ² 1 HA s²1σ² 1 c Valor do teste X² n1s²σ² d Valorp PX²X ao nível α para H0 Teste X² para 1 variância amostral s²1σ²2 Valor do teste X² n1s²1σ² n1gl s² variância da amostra σ² variância da população Se X²1 obter valorp à esquerda com α ou bilateral com α2 Se X²1 obter valorp à direita com α ou bilateral com α2 Se valorp α H0 amostra pertence a população Teste X² para 1 variância amostral s²1σ²2 Se o teste é bilateral determinase os pontos críticos χ²α2 gl e χ²1α2gl em que Pχ²α2 gl X² X²1α2glα2 a partir da distribuição χ² com n1 graus de liberdade gl Teste X² para 1 variância amostral s²1σ²2 Se o teste é unilateral à direita determinase o ponto crítico χ²1α2gl em que PX² X²1αglα Teste X² para 1 variância amostral s²1σ²2 Se o teste é unilateral à esquerda determinase o ponto crítico χ²αgl em que PX² X²αgl α Teste X² para 1 variância amostral s²1σ²2 Um técnico está regulando duas máquinas de dosagem de fertilizantes admitindose um desvio máximo no enchimentos dos bags de 4 kg a cada tonelada Foram aferidos 5 bags ao acaso enchidos em cada máquina resultando nos seguintes desvios Máquina A 3 2 3 3 7 Máquina B 8 7 4 8 5 Aplique o teste X² para as variações dos enchimentos e responda Qual é a hipótese nula e a hipótese alternativa do teste para verificar se as máquinas estão reguladas Qual é o valor da estatística do teste Qual é a região crítica para um nível de significância de 5 O pesquisador pode rejeitar a hipótese nula Qual o laudo auferido para as máquinas Teste X² para 1 variância amostral s²1σ²2 É permitido às bombas de gasolina aferidas pelo INMETRO um desvio padrão do volume de enchimento variar em 5 mL Em uma fiscalização o agente tomou 20 amostras de 1000mL na mesma bomba observando um desvio médio no volume de enchimento de 6 mL Há evidência nos dados da amostra sugerindo que o posto tenha um problema na bomba Use α005 e considere que o volume de enchimentos tem distribuição normal Aplique o teste X² para as variações dos enchimentos e responda Qual é a hipótese nula e a hipótese alternativa do teste para verificar se a bomba está regulada Qual é o valor da estatística do teste Qual é a região crítica para um nível de significância de 5 O pesquisador pode rejeitar a hipótese nula Teste F para variâncias amostrais s²1s²2 Teste F é usado para determinar se duas amostras provêm da mesma população normal A hipótese nula é que as amostras pertencem à mesma população ou seja H0 s²s² Teste F para 2 variâncias amostrais s²1s²2 Valor do teste F s²1s²2 n11gl s²1 variância da amostra 1 s²2 variância da amostra 2 Se F1 obter valorp à esquerda com α ou bilateral com α2 Se F1 obter valorp à direita com α ou bilateral com α2 Se valorp α H0 amostras com variâncias iguais Teste F para 2 variâncias amostrais s²1s²2 Se o teste é bilateral determinase os pontos críticos Fα2 gl1gl2 e F1α2 gl1gl2 em que PFα2 gl1gl2 X F1α2 gl1gl2α2 a partir da distribuição F de Snedecor com n11 e n21 graus de liberdade gl1 e gl2 Teste F para 2 variâncias amostrais s²1s²2 Se o teste é unilateral à direita F1 determinase o ponto crítico F1α2 gl1gl2 em que PF Xα Teste F para 2 variância2 amostrais s²1s²2 Se o teste é unilateral à esquerda F1 determinase o ponto crítico F1 α2 gl1gl2 em que PF X α Teste F para 1 variância amostral s²1s²2 Um técnico está regulando três máquinas de dosagem de fertilizantes Foram aferidos 5 bags ao acaso enchidos em cada máquina resultando nos seguintes pesos em kg Máquina A 997 1002 997 997 1007 Máquina B 1008 993 996 1008 995 Máquina C 1005 1001 995 996 998 Aplique o teste F e responda Qual é a hipótese nula e a hipótese alternativa do teste para verificar se as máquinas estão reguladas Qual é o valor da estatística do teste Qual é a região crítica para um nível de significância de 5 O pesquisador pode rejeitar a hipótese nula Qual o laudo auferido para as máquinas Teste t para duas médias amostrais independentes Passos Teste para t para variâncias iguais s²1s²2 Obter n1 n2 µx1 µx2 s²1 s²2 e α 1 gl1n11 gl2n21 2 Valorp para Fs²1s²2 sob H0 s²1s²2 ao nível α 3 gla gl1gl2 grau de liberdade agrupado 4 sa s²1gl1s²2gl2gla desvio padrão agrupado 5 SE sa1n11n2 6 Hipóteses H0 µx1µx2 ou HA µx1µx2 ao nível α 7 Valor do teste tµx1µx2SE 8 Valorp Pt X t bilateral com α2 9 Valorp α H0 sem efeito Teste t para duas médias amostrais independentes Passos Teste para t para variâncias diferentes s²1s²2 Obter n1 n2 µx1µx2 s²1 s²2 e α 1 gl1n11 gl2n21 2 Valorp para Fs²1s²2 sob H0 s²1s²2 ao nível α 3 r1s²1n1 r2s²2n 4 glar1r2²r1²gl1r2²gl2 5 SE s²1n1s²2n2 6 Hipóteses H0 µx1µx2 ou HA µx1µx2 ao nível α 7 Valor do teste tµx1µx2SE 8 Valorp Pt X t bilateral com α2 9 Valorp α H0 sem efeito Teste de hipóteses teste t para duas médias amostrais 3 Um fazendeiro desejando saber qual de suas fazendas A B e C têm maior de areia procedeu da seguinte forma Na fazenda A ele coletou 15 amostras na fazenda B ele coletou 8 amostras e na fazenda C ele coletou 6 amostras cujos resultados foram A 35 40 38 36 39 33 41 40 36 34 37 32 38 35 36 B 31 29 28 30 28 31 30 33 C 29 38 41 30 40 43 Qual é a hipótese nula e a hipótese alternativa do teste As amostras possuem variâncias iguais ou diferentes Qual é o valor da estatística de teste para variância e para média Qual é a região crítica para um nível de significância de 5 para variância e média O fazendeiro pode rejeitar a hipótese nula para ambos os testes Teste de hipóteses teste t para duas médias amostrais 4 Um engenheiro agrônomo quer comparar duas variedades de soja quanto à resistência à seca Ele mede o rendimento de grãos em kgha das duas variedades em 20 lavouras sob condições de baixa irrigação Os dados são os seguintes Variedade A 2830 2950 3010 2760 2890 2980 2870 2920 2790 2850 Variedade B 2710 2780 2640 2690 2740 2810 2670 2720 2590 2650 Qual é a hipótese nula e a hipótese alternativa do teste Qual é o valor da estatística de teste Qual é a região crítica para um nível de significância de 1 O engenheiro agrônomo pode rejeitar a hipótese nula Teste de hipóteses 5 Em um experimento para se estudar o efeito da adubação em mudas de café foram obtidas as seguintes alturas em cm ESTERCO ALTURA cm GALINHAA 251 248 209 302 293 271 CURRALB 264 232 230 332 319 308 LÍQUIDOC 282 261 251 374 360 337 Qual o tipo de teste t deve ser adotado na comparação das respostas das mudas de café aos fertilizantes Qual a hipótese nula e a hipótese alternativa do teste Qual é o valor da estatística de teste Qual é a região crítica para um nível de significância de 5 Podese rejeitar a hipótese de igualdade das médias Teste de hipóteses 6 Um zootecnista deseja comparar 3 rações para engorda de suínos obteve os seguintes ganhos de peso Ração A 28 31 33 26 35 Ração B 24 27 25 24 26 Ração C 31 32 30 32 34 Qual o tipo de teste t deve ser adotado na comparação das respostas dos suinos às rações Qual a hipótese nula e a hipótese alternativa do teste Qual é o valor da estatística de teste Qual é a região crítica para um nível de significância de 5 Podese rejeitar a hipótese de igualdade das médias Teste de hipóteses 7 Uma empresa de fertilizantes afirma que seu produto aumenta o teor de nitrogênio no solo em pelo menos 10 Um técnico em agronomia quer verificar essa afirmação e coleta uma amostra de 12 solos tratados com o fertilizante e mede o teor de nitrogênio em em cada um Os resultados são os seguintes 12 14 13 15 16 12 13 14 17 15 14 16 Sabendo que o teor médio de nitrogênio no solo sem o fertilizante é de 1 qual é a hipótese nula e a hipótese alternativa do teste Qual é o valor da estatística de teste Qual é a região crítica para um nível de significância de 10 O técnico em agronomia pode rejeitar a hipótese nula Teste de hipóteses 8 Um agricultor quer saber se a aplicação de um inseticida reduz a infestação de pragas em sua lavoura de milho Ele divide sua área em duas parcelas iguais e aplica o inseticida em uma delas deixando a outra como testemunha Após uma semana ele conta o número de plantas atacadas por pragas em cada parte Os resultados são os seguintes Parcela com inseticida 12 plantas atacadas em 100 Parcela sem inseticida 18 plantas atacadas em 100 Qual é a hipótese nula e a hipótese alternativa do teste para verificar se há diferença entre as partes quanto à infestação de pragas Qual é o valor da estatística de teste Qual é a região crítica para um nível de significância de 5 O agricultor pode rejeitar a hipótese nula