Lista 1 - 2023-2

Utilize a técnica de integração por partes para resolver as integrais. 1. \( \int xe^{x^2/2}dx \) 2. \( \int \frac{\ln(y)}{\sqrt{y}}dy \) 3. \( \int y \sin (2y)dy \) 4. \( \int x^2dx \) 5. \( \int \frac{(\ln x)^2}{x^3}dx \) 6. \( \int x^3 \ln xdx \) 7. \( \int \cos x \ln (\sin x)dx \) 8. \( \int x^4(\ln x)^2 \) 9. \( \int e^x \sin (t-x)dx, \ t \ é \ uma \ constante. \) 10. \( \int \frac{xe^{2x}}{(1+2xy)^4}dx \) Resposta: Para a integração por partes, tem-se que: ∫ f dg=fg−∫ gdf Considerando os termos da expressão, basta fazer: f =x df dx =1 assim: df =dx dg=e x/2dx g=2e x/2 (obtido pela integração do termo anterior: ∫ e udu=e u+C) Assim: ∫ f dg=fg−∫ gdf ∫ x e x/2dx=x(2e x/2)−∫ 2e x/2d x ¿ ∫ x e x/2dx=x(2e x/2)−2 ∫ e x/2dx Para a integração do segundo termo, pode-se fazer uma substituição: u=x/2 du=1 2 dx Assim: ∫ e x 2 d x=∫2e ud u=2e u+C Voltando as variáveis: ∫2e udu=2e u+C=2e x 2+C Aplicando os valores na equação, tem-se: ∫ x e x 2 dx=x(2e x 2)−2 ∫ e x 2 dx=2 x e x 2−4 e x 2+C=2e x 2 (x−2)+C Resposta: Para a integração por partes, tem-se que: ∫ f dg=fg−∫ gdf Considerando os termos da expressão, basta fazer: f =ln ⁡( y) df d y =1/ y assim: df =d y/ y dg=1/√ y dy g=2√ y (obtido pela integração do termo anterior: ∫ x udu= x u+1 u+1 +C) Assim: ∫ f dg=fg−∫ gdf ∫ ln ⁡( y) √ y d y=ln ⁡( y)(2√ y)−∫ (2√ y ) y dy O segundo termo pode ser simplificado: ∫ (2√ y ) y dy=2∫ y 1/2 y dy=2∫ y 1 2−1 dy=2∫ y −1/2dy Assim: 2∫ y −1/2dy=2[ y −1 2 +1 −1 2 +1] +C=2 y 1/2 1/2 +C=4 y 1/2+C=4√ y+C Agora, aplicando o valor encontrado na expressão acima, tem-se: ∫ ln ⁡( y) √ y dy=ln ( y ) (2√ y )−∫ (2√ y ) y dy=(2√ y )ln ( y )−4√ y+C Resposta: Para a integração por partes, tem-se que: ∫ f dg=fg−∫ gdf Considerando os termos da expressão, basta fazer: f = y df dy =1 assim: df =dy dg=sin (2 y )dy g=−1 2 cos (2 y ) (obtido pela integração do termo anterior) Assim: ∫ f dg=fg−∫ gdf ∫ y sin (2 y )dy=−1 2 y cos (2 y )+ 1 2∫cos ⁡(2 y)dy Para integrar o segundo termo, será realizada uma substituição em que u=2 y e du=2dy Assim: ∫cos ⁡(2 y)dy=∫ cos (u) 2 d u=sin (u) 2 +C Voltando os termos: sin (u) 2 +C=sin (2 y ) 2 +C Assim, a integral será: ∫ y sin (2 y )dy=−1 2 y cos (2 y )+ 1 2( sin (2 y ) 2 )+C=−1 2 y cos (2 y )+( sin (2 y ) 4 )+C Resposta: Para a integração por partes, tem-se que: ∫ f dg=fg−∫ gdf Considerando os termos da expressão, basta fazer: f =x df d x =1 assim: df =d x dg=2 x dx g= 2 x ln (2) (obtido pela integração do termo anterior) Assim: ∫ f dg=fg−∫ gdf ∫ x 2 x dx=x 2 x ln (2)−∫ 2 x ln (2) d x Para o segundo termo, sabe-se que: ∫2 x dx= 2 x ln (2) +C Assim: ∫ x 2 x dx=x 2 x ln (2)−∫ 2 x ln (2) dx=x 2 x ln (2)−( 1 ln (2)) 2 x ln (2) +C ∫ x 2 x dx=x 2 x ln (2)−( 1 ln (2)) 2 2 x+C Resposta: Para a integração por partes, tem-se que: ∫ f dg=fg−∫ gdf Considerando os termos da expressão, basta fazer: f =(ln x ) 2 df d x =2ln (x ) x assim: df =2ln (x ) x d x dg= 1 x 3 d x g= −1 2 x 2 (obtido pela integração do termo anterior) Assim: ∫ f dg=fg−∫ gdf ∫ (ln x ) 2 x 3 d x=(ln x ) 2( −1 2 x 2)−∫ −1 2 x 2 2ln (x ) x dx ∫ (ln x ) 2 x 3 dx=−(ln x ) 2 2 x 2 +∫ ln (x ) x 3 dx Para resolver a integral do segundo termo, será aplicada uma nova substituição, assim: ∫ f dg=fg−∫ gdf ∫ ln (x ) x 3 dx Considerando os termos da expressão: f =ln x df dx = 1 x assim: df = 1 x dx dg= 1 x 3 dx g= −1 2 x 2 (obtido pela integração do termo anterior) Assim: ∫ f dg=fg−∫ gdf ∫ ln (x ) x 3 dx=−ln x 2 x 2 −∫ −1 2 x 3 dx=−ln x 2 x 2 + 1 2 x −3+1 (−3+1)=−ln x 2 x 2 + 1 2 x −2 (−2)=−ln x 2 x 2 − 1 4 x 2 Substituindo o valor encontrado, tem-se: ∫ (ln x ) 2 x 3 dx=−(ln x ) 2 2 x 2 +∫ ln (x ) x 3 dx Como: ∫ ln (x ) x 3 dx=−ln x 2 x 2 − 1 4 x 2 +C Portanto: ∫ (ln x ) 2 x 3 dx=−(ln x ) 2 2 x 2 − ln x 2 x 2− 1 4 x 2 +C Resposta: Para a integração por partes, tem-se que: ∫ f dg=fg−∫ gdf Considerando os termos da expressão, basta fazer: f =ln( x) df d x = 1 x assim: df =d x/x dg=x 3d x g= x 4 4 (obtido pela integração do termo anterior) Assim: ∫ f dg=fg−∫ gdf ∫ x 3ln (x )dx=( x 4 4 )ln (x )−∫ x 4 4 dx x =( x 4 4 )ln (x )−∫ x 3 4 dx Integrando o último termo, tem-se: ∫ x 3ln (x )dx=( x 4 4 )ln (x )−( 1 4) x 3+1 3+1 +C=( x 4 4 )ln (x )− x 4 16 +C Resposta: Inicialmente, será aplicada uma substituição resolver essa expressão. Assim, fazendo u=sin (x ) e du=cos ⁡( x)dx, tem-se: ∫cos (x )ln (sin ⁡( x))dx=∫ ln (u)du Para a integração por partes, tem-se que: ∫ f dg=fg−∫ gdf Considerando os termos da expressão, basta fazer: f =ln ⁡(u) df d u=1/u assim: df =d u/u dg=du g=u (obtido pela integração do termo anterior) Assim: ∫ f dg=fg−∫ gdf ∫ ln ⁡(u)d u=u ln (u)−∫du ∫ ln ⁡(u)du=u ln (u)−u+C Substituindo os valores: ∫ ln ⁡(u)du=u ln (u)−u+C ∫cos (x )ln (sin ⁡( x))dx=sin (x )ln (sin (x ))−sin (x )+C Resposta: Para a integração por partes, tem-se que: ∫ f dg=fg−∫ gdf Considerando os termos da expressão, basta fazer: f =(ln (x )) 2 df d x =2ln ⁡( x) x assim: df =2ln ⁡( x) x d x dg=x 4d x g= x 5 5 (obtido pela integração do termo anterior) Assim: ∫ f dg=fg−∫ gdf ∫ x 4 (ln x ) 2d x=1 5 x 5 (ln x ) 2−1 5∫2 x 4 ln (x )dx Integrando por partes, novamente, para encontrar a integral do segundo termo: ∫ f dg=fg−∫ gdf Considerando os termos da expressão, basta fazer: f =ln (x ) df dx = 1 x assim: df = 1 x dx dg=x 4dx g= x 5 5 (obtido pela integração do termo anterior) Assim: ∫ f dg=fg−∫ gdf ∫ x 4 ln (x )dx= x 5 5 ln (x )−∫ x 5 5 1 x dx= x 5 5 ln (x )−∫ x 4 5 dx= x 5 5 ln (x )−( 1 5)( x 5 5 )+C Aplicando os valores na equação acima: ∫ x 4 (ln x ) 2dx=1 5 x 5 (ln x ) 2−1 5∫2 x 4 ln (x )dx ∫ x 4 (ln x ) 2dx=1 5 x 5 (ln x ) 2−2 5( x 5 5 ln (x )−( 1 5)( x 5 5 )+C)=¿ ∫ x 4 (ln x ) 2dx=1 5 x 5 (ln x ) 2−2 x 5 25 ln (x )+( 2 x 5 125)+C=¿ Resposta: Para a integração por partes, tem-se que: ∫ f dg=fg−∫ gdf Considerando os termos da expressão, basta fazer: f =sin ⁡(t−x) df d x =−cos ⁡(t−x) assim: df =−cos (t−x )d x dg=e x dx g=e x (obtido pela integração do termo anterior) Assim: ∫ f dg=fg−∫ gdf ∫e xsin(t−x)d x=e xsin (t−x )+∫e xcos ⁡(t−x)d x O segundo termo, será resolvido por meio de uma integração por partes. Assim: ∫ f dg=fg−∫ gdf Considerando os termos da expressão, basta fazer: f =cos ⁡(t−x) df dx =s∈⁡(t−x) assim: df =s∈(t−x )dx dg=e xdx g=e x (obtido pela integração do termo anterior) Assim: ∫ f dg=fg−∫ gdf ∫e xcos ⁡(t−x)dx=e xsin (t−x )−∫e xsin ⁡(t−x)d x+C Aplicando o valor encontrado, tem-se:  Expressão 1: ∫e xsin(t−x)dx=e xsin (t−x )+∫e xcos ⁡(t−x)dx  Valor encontrado: ∫e xcos ⁡(t−x)dx=e xsin (t−x )−∫e xsin ⁡(t−x)dx+C Assim: ∫e xsin(t−x)dx=e xsin (t−x )+e xsin (t−x )−∫e xsin ⁡(t−x)dx+C 2∫e xsin(t−x)dx=e xsin (t−x )+e xsin (t−x )+C ∫e xsin(t−x)dx=e xsin (t−x ) 2 + e xsin (t−x ) 2 +C Resposta: Inicialmente, será realizada uma substituição na expressão. Fazendo: u=2 x+1 e du=2dx. Assim: ∫ x e 2 x (1+2 x ) 2 dx=∫ (u−1)e (u−1) 4 (u) 2 d u Expandindo o termo, tem-se: (u−1)e (u−1) 4 (u) 2 =e (u−1) 4u −e (u−1) 4 (u) 2 Assim: ∫ x e 2 x (1+2 x ) 2 dx=∫ (u−1)e (u−1) 4 (u) 2 du=∫ e (u−1) 4u −e (u−1) 4 (u) 2 du Integrando por parte o termo: e (u−1) 4 (u) 2 Para a integração por partes, tem-se que: ∫ f dg=fg−∫ gdf Considerando os termos da expressão, basta fazer: f =e u−1 4 df d u=e u−1 4 assim: df =e u−1 4 d u dg=−1 u 2 d u g=1/u (obtido pela integração do termo anterior) Assim: ∫ −e (u−1) 4 (u) 2 du=e u−1 4u −∫ e u−1 4u du+C Deste modo, tem-se as expressões:  Expressão 1 – Obtida pela substituição: ∫ x e 2 x (1+2 x ) 2 dx=∫ e (u−1) 4u −e (u−1) 4 (u) 2 du=∫ e (u−1) 4u du−∫ e (u−1) 4 (u) 2 du  Expressão 2 – resolução da integral do segundo termo da expressão 1: ∫ −e (u−1) 4 (u) 2 du=e u−1 4u −∫ e u−1 4u du+C Aplicando o valor encontrado da expressão 2 na expressão 1, tem-se: ∫ e (u−1) 4u du−∫ e (u−1) 4 (u) 2 du=∫ e (u−1) 4u du+( e u−1 4u −∫ e u−1 4u du+C) ¿∫ e (u−1) 4u du+( e u−1 4u −∫ e u−1 4u du+C)=e u−1 4u +C Voltando a substituição, tem-se: e u−1 4u +C= e (2 x+1)−1 4(2 x+1)+C= e (2 x ) 8 x+4 +C Portanto: ∫ x e 2 x (1+2 x ) 2 dx= e (2 x ) 8 x+4 +C