Questões - Técnicas de Integração e Sequências - 2023-2

Cálculo 2 Discente: .......................................................... Indique qual técnica de integração deve ser usada para cada integral. 1. Integração por Partes 2. Integrais Trigonométricas 3. Substituição Trigonométrica 4. Integração de funções racionais por frações parciais. 1. ( ) \( \int \frac{1}{x^2(x-1)}dx \) 2. ( ) \( \int \frac{dx}{(x^2+1)^2}dx \) 3. ( ) \( \int \frac{dx}{\cos(x)-1}dx \) 4. ( ) \( \int x^{3/2} \ln xdx \) 5. ( ) \( \int \sin(8x) \cos(5x)dx \) 6. ( ) \( \int \frac{x^2}{(3+4x-4x^2)^{3/2}}dx \) 7. ( ) \( \int \frac{x^5+2x-1}{x^2+1}dx \) 8. ( ) \( \int t^2 \sin(2t)dt \) 9. ( ) \( \int \frac{x}{x-6}dx \) 10. ( ) \( \int x \ln(1+x)dx \) 11. ( ) \( \int \frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2(x^2-1)}dx \) 12. ( ) \( \int x \tan^2(x)dx \) 13. ( ) \( \int \cos(\sqrt{x})dx \) 14. ( ) \( \int x \sec(x) \tan(x)dx \) 15. ( ) \( \int x \sqrt{1-x^4}dx \) 16. ( ) \( \int \frac{1}{\sqrt{2-6t+13}}dt \) Cálculo 2 21. Use a regra de Simpson com n = 10 para aproximar a seguinte integral: \[ \int_1^2 \frac{1}{x} \, dx \] 22. Para quais valores de p a integral é convergente? \[ \int_1^\infty \frac{1}{x^p} \, dx \] 23. Lista os primeiros 5 termos da sequência: (a) \[ a_n = \frac{3^n}{1+2^n} \] (b) \[ a_n = \frac{3(-1)^n}{n!} \] 24. Determine se a sequência converge o diverge. Se convergir, encontre o limite. (a) \[ a_n = 1 - (0.2)^n \] (b) \[ a_n = \frac{n^3}{n^3+1} \] 25. Encontre a série de Maclaurin para: (a) \[ f(x) = \ln (1 + x) \] (b) \[ \tan(x) \]