Lista 10 - Função Impulso Unitário e Convolução - Equações Diferenciais - 2023-1

Lista No 10-EDA: Funcao Impulso Unitario e Convolucao Alejandra S. Russi / Yuri Garcia Maio 2023 Questao 1. Resolva os problemas de valor inicial: 1 y" + 4y = 0(t — 7) — 0(t — 27) ~ [y(0) = 0; y/(0) = 0 9 y" +y = O(t — 27) cos(t) ~ [y(0) = 0;y/(0) = 1 3 y"” + 2y' + 2y = e'd(t — 1) ~ [y(0) = 0; y/(0) = 0 Questao 2. Considere um sistema massa-mola sem amortecimento em repouso submetido a um impulso unitaério no instante t = 0 e a outro impulso unitario no instante t = wo" A posicao da massa neste sistema pode ser dada pela solucao do PVI u” +upu = + (5( +6 (i - =)) u(0) = u/(0) = 0 Determine a funcao u(t) explicitamente e interprete o resultado obtido. Questao 3. Determine a transformada de Laplace das seguintes fungoes: 1. f(t) = fot — 7)* cos(27)dr 2. g(t) = fs e~ 7) sin(r)dr 3. h(t) = fe 6(t — T) cosh(r)dr Questao 4. Determine a transformada inversa das seguintes fungoes utilizando fragoes parciais e convolugao: 1 1 3. Als) = Gaye Questao 5. Resolva os problemas de valor inicial: 1 1 { + 2y' + 2y = sin(at) y(0) = 0;y'(0) = 0 > { + 4y' + dy = f(t) y(0) = 2; y/(0) = —3 3 Me —y = g(t) y(0) = y/(0) = y"(0) = y (0) = 0 Questao 6. Demonstre as seguintes propriedades da convolucao a partir de sua definicao: 1. (Comutatividade) f*xg=g9*f 2. (Distributividade) fx(g+h)=fxgtfxh 3. (Associatividade) (f * g)*h = f *(g*h) 4. fx0 =0x f =0 onde O(t) = 0 é a fungao nula. Questao 7. Dé exemplos que mostram que as seguintes propriedades NAO SAO verdadeiras: 1. fxl=f 2. fxf>0 Questao 8 (Equagao Integral de Volterra]). Dadas duas fungoes f(t) e g(t), a equagao integral uli) +f fe— ruta = oft) é chamada equagao integral de Volterra e pode ser resolvida utilizando a transformada de Laplace. 1. Mostre que Y(s) = mes onde F = L(f), G=L(g) e Y = L(y). 2. Determine y(t) no caso em que f(t) =t e g(t) = sin(2t) 2