Lista 9 - Transformada de Laplace - Equações Diferenciais - 2023-1

Lista No 9-EDA: ‘Transformada de Laplace Alejandra S. Russi / Yuri Garcia Maio 2023 Questao 1. Lembre que cosh(bt) = (e” + e”)/2 e senh(bt) = (e% — e~)/2. Em cada um dos Problemas, dé a transformada de Laplace da fungao dada; considerando a e b constantes reais. 1. f(t) = e™ cosh(bt) 2. f(t) =senh(0t) Questao 2 (A Funcao Gama). A funcaéo gama é denotada por I'(p) e definida pela integral T(p+1)= | e *aPdax (0.1) 0 A integral converge quando x —> co para todo p. Para p < 0 é uma integral impropria também em 0, porque o integrando torna-se ilimitado quando x — 0. No entanto, pode-se mostrar que a integral converge em x = 0 para p > —1. 1. Mostre que, para p > 0, (p+ 1) = pl'(p). 2. Mostre que [(1) = 1 3. Se p for um inteiro positivo, mostre que T(in+1)=n! Questao 3. Determine a transformada de Laplace inversa das fungoes 25—5 F(s) = ——————__ 0.2 (s) s(s? + 5 — 12) (0.2) 2 1 G(s) = + —___ 0.3 (9) = Spade - 1) + GDS (0.3) 3 H(s) = ———_.—_~ 0.4 = Gera 04) Remark 0.1. Acima deve ser dada a funcao, f(t), cuja transformada de Laplace é a fungao dada, F(s). 1 Questao 4. Seja a uma constante. Sabendo-se que a transformada de Laplace de f(t) = sen(at) é Fls)- —2 (s) = Pag Para s >0 e ade g(t) = tcos(at) é s?— a? G(s) = (2 +a)’ para s>0O mostre que a transformada de Laplace de h(t) = sen(at) — at0 cos(at) é 2a? H(s) = (2 +a)’ para Ss > 0. Questao 5. Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace: 1. y” + 2y’ + 5y = 4e* cos(2t), y(0)=1, y’(0) =0. 2. y” — 2y' — 3y = 3te*, y(0)=1, y/(0)=0. 3. y"” — 2y' ty =e", y(0)=0, y'(0) =0. Questao 6. Resolva os problemas de valor inicial: 0, paraQ<t<7 (a) y+ 2y’ + 2y = f(t), y(0)=0, y/(0) =1, em que f(t)= 42, param <t< 2m 0, parat > 27 sent, paraOQ<t< 27 (b) y" +4y = f(t), y(0)=90, y'(0) =0, em que f(t) = 0, para t > 27 1, araQ <t< 10 (c) y" +3y +2y= F(t), y(0)=0, (0) =0, emaque f(t)= 4°? 0, parat > 10 0, araQ<t<2 (a) y" +3y'+2y=F(0), y(0)=0, yO)=1,emaue f= 4°? 1, parat>2 0, paraQ<t< 37 (g) yw” +y= f(t), y(0)=0, y'(0)=1, em que f(t) = 1, parat > 37 2