Exercícios - Cálculo 2 2023 2

1. Seja E o sólido delimitado pelos planos coordenados e pelos planos y = x e z = 1 - y. (a) Escreva as expressões de ∭_E f(x, y, z) dV nas ordens dx dy dz e dy dx dz. (b) Calcule ∭_E x dV na ordem dz dy dx. 2. Seja S a parte do parabolóide z = 4 - x^2 - y^2 que está acima do plano z = 1. Seja Q o sólido delimitado por S e pelo plano z = 1. Calcule (a) o volume de Q por meio de uma integral tripla em coordenadas cilíndricas. (b) a área de superfície de S. 3. (a) Se (ρ, θ, φ) são as coordenadas esféricas em um ponto do sólido Q da questão 2, quais são os valores mínimo e máximo de φ? (b) Determine a equação em coordenadas esféricas do parabolóide z = 4 - x^2 - y^2 na forma ρ = g(φ). Idem para o plano z = 1. 4. Por meio de uma mudança de variáveis conveniente, calcule ∬_R (x - y)^2 sen^2(x + y) dx dy, onde R é o paralelogramo de vértices (π, 0), (π, 2π), (0, π) e (2π, π). 5. Calcule as integrais de linha (a) ∫_C x ds, se C é o parábola y = x^2 de (0, 0) até (2, 4). (b) ∫_C y dx + (y^2 - x) dy, se C é a elipse x^2/9 + y^2/4 = 1, orientada no sentido anti-horário.