Aula Integrais Duplas sobre Retângulos 2021 2

1 Seção 4.1 – Cálculo II Aula 11/02 - Cálculo II Professora: Lívia Ávila de Oliveira 4) Integrais múltiplas 4.1) Integrais duplas sobre retângulos Se f(x) é definida em a ≤ x ≤ b, começamos subdividindo o intervalo [a, b] em n subintervalos [xi-1, xi] de comprimento igual Δx = (b – a)/n e escolhemos pontos de amostragem xi* em cada um desses subintervalos. Assim, formamos a soma de Riemann: Tomamos o limite dessa soma quando n → ∞ para obter a integral definida de a até b da função f: Quando f(x) ≥ 0, a soma de Riemann pode ser interpretada como a soma das áreas dos retângulos e ∫ 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑎 representa a área sob a curva y = f(x) de a até b. 2 Seção 4.1 – Cálculo II Vamos determinar o volume de S. • Área de um retângulo: • Volume de um retângulo: (Soma dupla de Riemann) 3 Seção 4.1 – Cálculo II Essa soma dupla significa que, para cada sub-retângulo, calculamos o valor de f no ponto escolhido, multiplicamos esse valor pela área do sub-retângulo e então adicionamos os resultados. A aproximação melhora quando aumentamos os valores de m e n, logo: Uma função f é dita integrável se o limite na Definição 5 existir. É mostrado em cursos de cálculo avançado que todas as funções contínuas são integráveis. O volume pode, então, ser escrito da seguinte forma: * 4 Seção 4.1 – Cálculo II Obtemos melhores aproximações do volume no Exemplo 1 quando aumentamos o número de quadrados. A figura abaixo mostra como as colunas começam a parecer mais com o sólido verdadeiro e as aproximações correspondentes vão se tornando mais precisas quando usamos 16, 64 e 256 quadrados. * 5 Seção 4.1 – Cálculo II * Lembre-se de que a interpretação da integral dupla como volume só é válida quando a função f é uma função positiva. O integrando no Exemplo 3 não é uma função positiva, dessa forma, a integral dupla não é um volume. 6 Seção 4.1 – Cálculo II * 7 Seção 4.1 – Cálculo II 8 Seção 4.1 – Cálculo II Sugestão de exercícios: Livro Stewart, 7ª Ed., Vol. 2. Seção 15.1 Exercícios 1 a 4.