Aula Multiplicadores de Lagrange 2021 2

1 Seção 3.8 – Cálculo II Aula 09/01 - Cálculo II Professora: Lívia Ávila de Oliveira 3) Derivadas parciais 3.8) Multiplicadores de Lagrange Método de Lagrange: consiste em um método para maximizar uma função genérica f(x, y, z) sujeita a uma restrição da forma g(x, y, z) = k. Para funções de duas variáveis: vamos começar tentando determinar os valores extremos de f(x, y) sujeita a uma restrição da forma g(x, y) = k. Em outras palavras, queremos achar os valores extremos de f(x, y) quando o ponto (x, y) pertencer à curva de nível g(x, y) = k. Para maximizar f(x, y) sujeita a g(x, y) = k é preciso determinar o maior valor de c, tal que a curva de nível f(x, y) = c intercepte g(x, y) = k. Na Figura acima, isso acontece quando essas curvas se tocam, ou seja, quando essas curvas têm uma reta tangente comum. (Caso contrário, poderíamos aumentar o valor de c.) Isso significa que as retas normais ao ponto (x0, y0) onde as duas curvas se tocam devem ser as mesmas. Logo, os vetores gradientes são paralelos, ou seja: O número λ na equação acima é chamado multiplicador de Lagrange Para funções de três variáveis, a explicação é a mesma. Entretanto, ao invés das curvas de nível na figura acima, devemos considerar as superfícies de nível f(x, y, z) = c e argumentar que, se o valor máximo de f é f(x0, y0, z0) = c, então a superfície de nível f(x, y, z) = c é tangente à superfície de nível g(x, y, z) = k, e então os correspondentes gradientes são paralelos. Portanto: para algum escalar λ 2 Seção 3.8 – Cálculo II As equações do passo (a) são: Exemplo 1: Determine os valores extremos da função f(x, y) = x2 + 2y2 no círculo x2 + y2 = 1. * 3 Seção 3.8 – Cálculo II Exemplo 2: Determine os valores extremos de f(x, y) = x2 + 2y2 no disco x2 + y2 ≤ 1. * 4 Seção 3.8 – Cálculo II Exemplo 3: Determine os pontos da esfera x2 + y2 + z2 = 4 que estão mais próximos e mais distantes do ponto (3, 1, -1). * 5 Seção 3.8 – Cálculo II O método de Lagrange nos leva a utilizar as seguintes equações de restrição: Exemplo 4: Determine o valor máximo da função f(x, y, z) = x + 2y + 3z na curva da intersecção do plano x – y + z = 1 com o cilindro x2 + y2 = 1. * 6 Seção 3.8 – Cálculo II 7 Seção 3.8 – Cálculo II 8 Seção 3.8 – Cálculo II Sugestão de exercícios: Livro Stewart, 7ª ed., vol. 2. Exercícios 3 a 11, 15 a 18, 19 a 21.