Aula Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente 2021 2

1 Seção 3.6 – Cálculo II Aula 04/02 - Cálculo II Professora: Lívia Ávila de Oliveira 3) Derivadas parciais 3.6) Derivadas direcionais e o vetor gradiente * Obs.: A dedução da Definição 2 e Teorema 3 se encontram no livro do Stewart, 7ª ed., vol. 2, pág. 839 a 841. Figura 2 2 Seção 3.6 – Cálculo II * 3 Seção 3.6 – Cálculo II Logo, a equação 7 pode ser reescrita como: * * 4 Seção 3.6 – Cálculo II 5 Seção 3.6 – Cálculo II * 6 Seção 3.6 – Cálculo II * Obs.: A demonstração do Teorema 15 é apresentada no livro do Stewart, 7ª ed., vol. 2, págs. 843 e 844. * 7 Seção 3.6 – Cálculo II * 8 Seção 3.6 – Cálculo II O vetor gradiente em P, ∇F(x0, y0, z0), é perpendicular ao vetor tangente r´(t0) a qualquer curva C em S que passe por P. Se ∇F(x0, y0, z0) ≠ 0, é natural definir o plano tangente à superfície de nível F(x, y, z) = k em P(x0, y0, z0) como o plano que passa por P e tem vetor normal ∇F(x0, y0, z0). Utilizando a equação geral do plano, podemos escrever a equação do plano tangente como: * 9 Seção 3.6 – Cálculo II Resumo sobre o Vetor Gradiente: - O vetor gradiente ∇f (x0, y0, z0) dá a direção de um aumento mais rápido de f. - O vetor gradiente ∇f (x0, y0, z0) é ortogonal à superfície de nível S de f em P. Sugestão de exercícios: Livro Stewart, 7ª edição, volume 2. Exercícios 4 a 17, 21 a 25, 32, 33, 41 a 46.