Lista 2 - Álgebra Linear 2023-2

Segunda lista de exercicios. 1. Verifique se a afirmacao é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dé um contra-exemplo. (a) WE L{W, VW} se, e somente se, {W7, UV, W} é LD. (b) Se (7, @, W} é LI, entdo {W7, VW} 6 LL (c) Se {W, V}e (a, 1} sio LI, entao {7, v7, w, ty é LI. (d) Se {7@, @, W} é LD, entéo @ = a7V para algum a ER. 2. Se a é uma base de H C R”, entao todo vetor de H se escreve de forma tinica como combinagao linear dos elementos de a. 3. K,L,M sao matrizes 1 x 3. Uma matriz B satisfaz: KB = (1 0 -1),LB=(1 1 2), MB= ( 1 -1 -8 ). Mostre que B tem inversa e calcule essa inversa em funcao de K, L, M. 4. A matriz A tem 6 colunas, denotadas por C; com i = 1,...,6. Valem as relacdes C; — 3C2 = C3 e€ Cy + Cp + C3 + Cy = Cs. Mostre que Col(A) é gerado pelas colunas 1, 2,4 e 6. Ache duas solugdes LI de AX = 0. 1 5 -2 0 _ —7 * 5. Sjam A=] -3 1 9 -5|,b=|] 9 |lepea= o |: 4 -8 -1 7 0 —4 . > ~ (a) O sistema Aa = b tem solucao tinica? > > (b) Pode-se mostrar que p satisfaz a equacaéo matricial Ad = 6. Exiba b como uma combinacao linear das colunas de A. 6. Seja A uma matriz 4 x 4 de posto trés. Suponhamos que AB = 0, sendo B uma matriz 4 x 3 nao nula. Qual é 0 posto de B? 7. Seja A uma matriz 2 x 4 de posto dois. Existe uma matriz B, de posto dois, tal que AB = 0? 1 2 0 1 2 . . 1 1 1 0 8 8. Considere a matriz A = 11-31 -4/ 0 1-1 0 O ~ . ~ . (a) Escreva as solugoes do sistema Av = 0 na forma vetorial. (b) Descreva as rela¸c˜oes de dependˆencia linear entre as colunas de A e encontre uma base de Col(A). 9. A matriz A ´e 4 × 3 e tem colunas LI. Os vetores A   1 0 0  , A   1 1 0   e A   1 1 1   formam um conjunto LI ou LD? 10. Seja W o subespa¸co gerado pelos vetores de α = {(1, 2, 1, 0), (2, 3, 1, 0), (0, 0, 1, 0), (1, 1, 2, 0)}. (a) Verifique se −→v = (1, 3, 2, 0) est´a em W. (b) Determine uma base para W. (c) Determine uma base para R4 que possua dois vetores de α. 11. Seja r a reta determinada pela interse¸c˜ao dos planos x−y +z +1 = 0 e x+y −z −1 = 0. Encontre a equa¸c˜ao do plano que passa por A = (1, 0, −1) e cont´em a reta r. 12. Seja A =   1 −1 −1 0 2 0 1 3 1 0 2 0 4 2 0 0 2 6 1 −3  . Determine as bases e dimens˜oes para: a) espa¸co coluna de A; b) espa¸co linha de A; c) n´ucleo de A. 13. Verdadeiro ou falso. Justifique a sua resposta. Sejam A uma matriz n × n invert´ıvel e {−→v 1, −→v 2, . . . , −→v k} um conjunto de vetores linearmente independente do Rn ent˜ao {A−→v 1, A−→v 2, . . . , A−→v k} tamb´em ´e linearmente independente. 14. Seja α = {(1, 0, 0, 1), (2, 0, 1, 0), (4, 5, 6, 2), (1, 5, 5, 1)} e seja V o subespa¸co gerado por α. (a) Determine uma base de V obtida a partir dos elementos de α. (b) Verifique se o vetor −→u = (2, 0, 2, 2) pertence a V . 15. Sejam β = {(1, t, 2, 0), (0, 1, 2, 0), (2, 5, 6, 0), (1, 0, 0, 1)} e seja W o subespa¸co gerado por β. Deter- mine a dimens˜ao de W em fun¸c˜ao de t. 2 16. Sejam −→v 1 = (1, −2, 2, 3, 1), −→v 2 = (3, −2, 3, 4, −1), −→v 3 = (2, −8, 7, 11, 6), −→v 4 = (−9, 2, −9, −2, 3) e W = L(−→v 1, −→v 2, −→v 3, −→v 4) = {α1−→v 1 + α2−→v 2 + α3−→v 3 + α4−→v 4; α1, α2, α3, α4 ∈ R} um subespa¸co do R5. (a) Encontre uma base β para W tal que −→v 3 ∈ β. (b) Encontre um vetor −→v ∈ R5 tal que −→v /∈ W. (c) O conjunto β ∪ {−→v } ´e uma base para o R5? 17. Seja r a reta determinada pela interse¸c˜ao dos planos x−y +z +1 = 0 e x+y −z −1 = 0. Encontre a equa¸c˜ao do plano que passa por A = (1, 0, −1) e cont´em a reta r. 18. Encontre a equac˜ao da reta r que passa pelo ponto A = (1, 0, 1) e ´e paralela aos planos 2x+3y+z = −1 e −x + y − z = 0. 19. Determine a matriz na base canˆonica de uma transforma¸c˜ao linear T : R3 → R3 que leva o plano π1 : x + y + z = 0 no plano π2 : x + 2y − z = 0. 20. Sejam α = {−→u 1 = (1, 1, −2), −→u 2 = (0, 1, 1), −→u 3 = (2, 1, 0)} e β = {−→v 1, −→v 2, −→v 3} bases do R3 tais que −→v 1 = −→u 1 − −→u 2 − 2−→u 3, −→v 2 = −→u 1 + 2−→u 2 − 2−→u 3 e −→v 3 = −→u 1 + −→u 2 − −→u 3. (a) Determine a matriz de mudan¸ca de base, da base α para a base β. (b) Encontre [ −→v ]β, se −→v = (3, 2, 1). 21. Determine a matriz na base canˆonica de uma transforma¸c˜ao linear T : R3 → R3 que leva o plano π : x − y + 2z = 0 na reta r : (x, y, z) = t(2, 1, 0). 22. Sejam α = {−→u 1 = (1, 1, 0), −→u 2 = (2, 1, 1), −→u 3 = (−1, 0, 1)} e β = {−→v 1, −→v 2, −→v 3} bases do R3 tais que −→v 1 = −→u 1 − −→u 3, −→v 2 = −→u 1 + −→u 2 − 2−→u 3 e −→v 3 = −−→u 1 + 2−→u 3. (a) Determine a matriz de mudan¸ca de base, da base α para a base β. (b) Encontre [ −→v ]β, se −→v = (−2, 1, −1). 23. Sejam T : Rn → Rn e S : Rn → Rn duas transforma¸c˜oes lineares n˜ao nulas tais que T ◦ S = 0. Mostre que existem vetores n˜ao nulos −→u ̸= −→v tais que T(−→u ) = T(−→v ). 24. Sejam α = {−→u 1 = (0, 1, 2), −→u 2 = (1, 0, 1), −→u 3 = (0, 1, 0)} e β = {−→v 1, −→v 2, −→v 3} bases do R3 tais que −→v 1 = −→u 1 + −→u 2 − −→u 3, −→v 2 = −→u 1 − −→u 2 − −→u 3 e −→v 3 = −→u 1 − −→u 2 + −→u 3. (a) Determine a matriz de mudan¸ca de base, da base α para a base β. (b) Encontre [ −→v ]β, se −→v = (2, 1, −3). 3 25. Mostre que 6 = {1,2 + 2,32 — x7, x — x3} 6 uma base de #3. Encontre [1 + 2+ 274 2°J3. 26. Encontre uma base de R* que contém os vetores Ud = (1,2,—2,1)e Uv = (1,0, —2, 2). 27. Considere o subespaco vetorial W C Y, gerado pelo conjunto 6 = {14 2x4 2? 4+ 3234 24,1 —- 2x — 2x? — 2x? — 324, 2 — 2? +23 — 221,27 — 23 + x1, 3x? + 6x? + 3x7}. Determine uma base 6 de W que esteja contida em (. 28. Dadas duas bases a = {W, UW», U3} e b= {, To, U3} de um espaco vetorial W, suponha que Wy = at + U5 + U3, UW» = Wy + 305 _ U3 e U3 = Wy + Wo. Determine M a: Além disso, se B 7 € W e conhecemos [7’]g, qual a expressao que determina [2],? B 29. Seja T’: R” — R” uma transformagao linear. —> (a) Suponha que {w, v} C R” éLI, mas {T(Wv),T(%)} 6 LD. Mostre que T(a’) = 0 tem uma solucao nao-trivial. (b) Considere a seguinte afirmacdo sobre T: se {W@1,..., Us} 6 LI entao {T(7W,),...,T(Ws)} 6 LI. Qual a hipotese necessaria para que essa afirmacao seja verdadeira? Justifique. 30. Seja W = {(2,y,z, 8,7) € R°;2-—y+z =0er—3s = 0} subespaco vetorial. Determine a dimensao de W e encontre uma base de W que contenha o vetor (1, 2,1,3, 1). 31. (a) Considere o subespaco vetorial W C #3 gerado pelo conjunto 6 = {14 224 x2? + 3x3,1— 2x — 2a? — 2x?,2— x? + x?,x — x}. Determine uma base de W que esteja contida em (. (b) Verifique se V = {p(t) € Po; p(0) = 0} é subespago vetorial de PY. 32. Se T : R? + R* 6 uma transformacao linear tal que Im(T) é gerada por (5,3,2,3) e (14,9,8,9), entao dim(Nuc(T)) = 2? Justifique. 33. Seja T(z, y, z) = (w@ + y, -2x + 4y + 32,52 + a?y — 2z), onde a € R. Encontre todos os valores de a que tornam a transformacao linear T’ invertivel. 34. Determine a matriz canonica da transformacao linear T : R? + R® que leva o plano 7 : x + z= 0 no plano m2: y+ z=0etem como ntcleo a retar: (x,y,z) = t(1,1,0). A transformagao T é injetora? T’ é sobrejetora? Justifique. 35. Considere T : A, > R® dada por p(t) + (p(1), p(0), p(1)). (a) Mostre que T é uma transformacao linear. (b) T é sobrejetora? T é injetora? Calcule dim(ker(T)). 4 36. Seja W o subespaco vetorial de R* determinado pelas solucdes do sistema linear Aa’ = 0 onde 3 0 -1 -1 a= ( 0 1-1 -2 ) Determine uma base de W. Se T : R* > R? é dada por & +) A’, qual a relacdo entre W e T? Justifique. 37. Seja T: V > W uma transformacao linear injetora entre subespacos vetorias de dimensao finita e seja H C V um subespaco nao nulo. Prove que: (a) dim 7T(H) = dim H. (b) Se 7, além de injetora, é sobrejetora, entao dim V = dimW. 1 -1 0O 38. Seja A= | 0 2 1 |. Defina a transformacio linear T(a’) = AZ. 3 -7 -2 (a) T é injetora? (b) Mostre que T nao é sobrejetora e encontre um vetor de R® que nao esta na imagem de T. 39. Seja T(z, y, 2) =(@+2,y+2,a@y+2), ondea eR. (a) Encontre todos os valores de a que tornam a transformacao linear T invertivel. (b) Encontre a inversa de T(2,y,z) = («+2,y+2,4y + 2). 2 3 1 40. Seja T : R? > R? uma transformacao linear dada pela matriz A= | 3 5 1 J. —2 -4 0 (a) T éinjetora? Justifique. Caso T nao seja injetora, determine um elemento nao nulo no espaco nulo da matriz A. (b) T é sobrejetora? Justifique. Caso T nao seja sobrejetora, determine um elemento em R?® \ Im(T). 41. Mostre que T : R? + #g, dada por T(a,b) = at? + bt + (a+b), é uma transformacao linear. 42. Sejam T : U > U um operador linear. Prove que T? = 0 se, e somente se, ImT Cc NucT. 43. Considere em R‘* os subespacos V = #{(1,0,1,1),(0,-1,-1,-1)} e W = {(2,y,2,t);2+y = Oet+2z=0}. Determine uma transformacao linear T : R* > R‘ tal que NucT = V eImT=W. 5 44. Seja V um espaco vetorial de dimensao finita n. Mostre que se n é impar, nao existe transformacao linear T : V > V tal que Im7 = NucT. Além disso, mostre que a afirmacao anterior é falsa se n é par. 45. Mostre que 7. : U — V 6 injetora se, e somente se, JT leva cada subconjunto LI de U em um subconjunto LI de V. 46. Uma transformacao linear T: R® +> R* pode ser sobrejetora? Justifique! 47. Uma transformacao linear T : R? + R? pode ser injetora? Justifique! 48. Encontre a matriz canOnica da transformacao T : R? — R? que primeiro faz uma reflexdo em relacao ao eixo horizontal e, depois, faz uma rotagéo de —7/2 radianos. 6