Lista 3 - Álgebra Linear 2023-2

Terceira lista de exercicios. 1 -1 0 1. Sea A=[ 0 2 1 J. 0 0 2 (a) Calcule os autovalores e autovetores de M; (b) M é diagonalizavel? Se for, encontre as matrizes P e D tal que M = PDP. 3 111 . 020 1 2. Seja M = oo011.t 0001 (a) Calcule os autovalores e autovetores de M; (b) M é diagonalizavel? Justifique 3. Verifique se cada uma das seguintes afirmagoes é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dé um contra-exemplo. (a) Se W, e V2 sao autovetores LI, ent&o eles correspondem a autovalores distintos. (b) Se Aa = AZ, entéo & é um autovetor de A. (c) Se A e B possuem os mesmos autovalores entéo A e B sao semelhantes. (d) Se Asy5 possui dois autovalores, um dos autoespacos tem dimensao 3 e outro tem dimensao 2, entao A é diagonalizavel. (ce) Se A é invertivel entao A é diagonalizavel (f) Seja T : R" + R” uma transformacao linear inversivel. Entao, se w,vU € R” sao ortogonais, entao T(w) e T(@) também sao ortogonais. (g) Se \ 6 um autovalor de uma matriz inversfvel A entaéo \~' é um autovalor de Aq’. (h) Se Anyn € uma matriz que possui & autovalores distintos, com k <n, entéo A nao é diagona- lizavel. 4. Seja T: R® +> R? a transformacao linear tal que T (x,y, 2) = (a, 2x + 2y — 22, z). Encontre todos os autovalores e autovetores da matriz canonica A da transformagao T. A matriz A é diagonalizavel? Se for, determine matrizes P inversivel e D diagonal, tais que A = PDP7! 5. Considere a base 6 = {(1, 2, 2), (5,3, —1), (—8, 11, -7)} do R? ea transformacao linear L dada pela matriz 2 1 0 [H;={ 010]. 0 0 2 Determine os autoespacos de L a partir dessa matriz e selecione, se possivel, autovetores de L para construir uma base do R?. 6. Dadas as matrizes P, B abaixo, determine os autoespacos de PBP~! sem efetuar esse produto. 1 1 1 3 1 -l P=;,2 0 -1 eB=]0 -1 4 . 1 -1 1 0 0 8 7. Considere 0 plano 7: 2a+y—z=0. Seja R,: R® +> R® a reflexao em torno do plano 7. (a) Determine a matriz A da transformacao R, (relativa ds bases candnicas). (b) R, é um isomorfismo? Se for, calcule sua inversa. 8. Diagonalize, se possivel, a matriz A. Se for diagonalizavel, encontre matrizes P e D, com P invertivel e D diagonal, tais que A = PDP! onde 4 01 A= {-2 1 O]. —2 01 9. (a) Mostre que se A é uma matriz inversivel, entao \ = 0 nao é autovalor de A. (b) Suponha que A é uma matriz 3 x 3, possui dois autovalores distintos e cada autoespaco possui dimensao 1. A é diagonalizavel? Justifique. 10. Considere a matriz 20 -l A={1 3 1 ]. 0 0 2 (a) Determine todos os autovalores de A. (b) Determine os autoespaco de A. (c) A é diagonalizavel? Justifique. 2 11. Diagonalize, se possivel, a matriz A. Se for diagonalizdvel, encontre matrizes P e D, com P invertivel e D diagonal, tais que A = PDP! onde 2 -1 -l A= 1 4 1]. -1 -1 2 12. Encontre a matriz A sabendo que (1,1,0), (0,2,1) sao autovetores de A associados ao autovalor —2 e (1,1,1) é autovetor de A associado ao autovalor 3. 13. Diagonalize, se possivel, a matriz 2 2 1 A={1 0 1]. 2 -2 3 14. Seja R, : R? 4 R? atransformacao linear que reflete pontos do plano em relacéo a retar : y = ko !a, onde k € R (fixado), com k 4 0. (a) Mostre que V7, = (k, 1) e V2 = (1, —k) sio autovetores de R,. (b) Verifique se a matriz de R, é diagonalizavel. 15. Determine uma matriz ortogonal A3,.3 tal que a transformacao linear definida por T(W) = AW leve o plano x —y+z=0no plano x+y—2z=0. 16. Considere 0 plano 7: 27 +y— z= 0. Seja R,: R®? +> R? a reflexao em torno do plano 7. (a) Determine a matriz A da transformacao R, (relativa 4s bases candénicas). (b) A é diagonalizavel? (c) R, 6 um isomorfismo? Se for, calcule sua inversa. 17. Determine a matriz da transformacao linear T’: R* +> R* que leva o subespaco W, = {(x, y, z,t) € R‘; y— 2x2 = 0ez—3t = 0} no subspaco We = {(z,y, z,t) € R*; 2 — 3y = 0et —2z = 0} € 0 nticleo de T é exatamente W;-. ~ . . ~ 18. Seja W o subespaco vetorial de R* determinado pelas solucdes do sistema linear Ag = 0 onde 3 0 -1 -1 a= ( 0 1-1 -2 ) Determine uma base ortogonal de W e uma base de W+. 19. Seja P : R? > R® a transformacaéo linear de projecao de um vetor no plano Il: 2 +y+z2=0. 3 (a) Determine uma base ordenada β de R3, tal que : [P]β =   1 0 0 0 1 0 0 0 0   (b) Determine P(x, y, z) (c) P ´e injetora ? Sobrejetora ? Justifique. 20. Use o processo de Gram-Schmidt para obter uma base ortogonal de R3 a partir da base {−→u 1 = (0, 1, 1), −→u 2 = (1, 1, −1), −→u 3 = (−1, 0, 1)}. 21. Seja W = {(x, y, z, w) ∈ R4; x − y + z = 0, x + y + w = 0} (a) Determine uma base ortogonal de W. (b) Encontre uma base para W ⊥. (c) Calcule a proje¸c˜ao de −→u = (1, 1, 1, 1) sobre W. 22. Considere −→u = (1, 1, 0) e W = L{(1, 2, 0), (0, 3, 4)}. Escreva −→u = −→x + −→y onde −→x ∈ W e −→y ´e ortogonal a W. 23. Considere W = {(x, y, z, w, t) ∈ R5; x − y + z = 0, x + y + w = 0} (a) Determine uma base de W. (b) Encontre um vetor −→u ̸= −→0 que seja ortogonal a todo vetor de W. 24. Mostre que se W ⊂ Rn ´e um subconjunto n˜ao vazio, ent˜ao W ⊥ ´e subespa¸co de Rn. 25. Use o processo de Gram-Schmidt para obter uma base ortogonal de R3 a partir da base {−→u 1 = (2, −1, 1), −→u 2 = (0, 1, 1), −→u 3 = (1, 2, 1)}. 26. Seja W = {(x, y, z, w) ∈ R4; 2x − y − z = 0, x − 2y + w = 0} (a) Determine uma base ortogonal de W. (b) Encontre uma base para W ⊥. (c) Considere −→u = (1, 0, 1, 1). Encontre vetores −→y ∈ W e −→z ∈ W ⊥ tais que −→u = −→y + −→z . Justifique. 4 27. (a) Mostre que se A ´e uma matriz invers´ıvel e diagonaliz´avel, ent˜ao A−1 ´e diagonaliz´avel. (b) Suponha que A ´e uma matriz 7 × 7 e possui 3 autovalores distintos. Al´em disso, suponha que um dos autoespa¸cos possui dimens˜ao 2 e outro possui dimens˜ao 3. A ´e diagonaliz´avel? Justifique. (c) Seja W ⊂ Rn um subespa¸co. Mostre que W ∩ W ⊥ = {−→0 }. (d) Seja A uma matriz. Mostre que (Lin(A))⊥ = Nul(A). 28. Ortogonalize a base α = {(1, 1, 0, 0), (0, 1, 2, 0), (0, 0, 3, 4)} do subespa¸co W ⊂ R4. 29. Verdadeiro ou falso. (a) Se U ´e uma matriz ortogonal ent˜ao det U = ±1. (b) Se A ´e uma matriz diagoniz´avel, isto ´e, existe P invers´ıvel e D diagonal tal que A = PDP −1, tal que A20 = 0, ent˜ao A = 0. 30. A matriz A ´e sim´etrica e tem autovalores 1, −1, −1. Sabemos que (1, 1, 0) e (1, 0, 1) s˜ao autovetores de A. Determine essa matriz. Ela ´e ortogonal? 31. Dˆe exemplo de uma matriz sim´etrica A tal que A(1, 1, 1)t = (1, 1, 1)t e λ = −2 ´e autovalor de A com multiplicidade alg´ebrica dois. A solu¸c˜ao ´e ´unica? 32. Dˆe exemplo de uma matriz ortogonal A 3 × 3 que leve o plano x + y − z = 0 no plano z = 0. Estamos falando da transforma¸c˜ao que leva v em Av. 33. Considere o plano W : x − y + z = 0 e P : R3 → R3 a transforma¸c˜ao linear dado por P(−→r ) = projW −→r . (a) Encontre uma base β = {−→v 1, −→v 2, −→v 3} ortogonal de R3 com −→v 1, −→v 2 ∈ W. (b) Determine [−→v ]β, onde −→v = (x, y, z) ∈ R3. Al´em disso, calcule [P]β ϵ , onde ϵ ´e a base canˆonica do R3. Por que essa matriz ´e sim´etrica? 34. Considere a matriz A =   5 −4 −2 −4 5 2 −2 2 2   . Sabendo que λ = 5 ´e autovalor de A e −→v = (1, 1, 0) ´e autovetor de A, (a) Encontre uma base ortogonal de R3 que contenha −→v . (b) Diagonalize A por matriz ortogonal. Por que isso ´e poss´ıvel? Justifique. 5