Lista 3 - Álgebra Linear 2023 2

Terceira lista de exercícios. 1. Seja A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}. (a) Calcule os autovalores e autovetores de M; (b) M é diagonalizável? Se for, encontre as matrizes P e D tal que M = PDP^{-1}. 2. Seja M = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. (a) Calcule os autovalores e autovetores de M; (b) M é diagonalizável? Justifique 3. Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo. (a) Se \overrightarrow{v_1} e \overrightarrow{v_2} são autovetores LI, então eles correspondem a autovalores distintos. (b) Se A\overrightarrow{x} = \lambda\overrightarrow{x}, então \overrightarrow{x} é um autovetor de A. (c) Se A e B possuem os mesmos autovalores então A e B são semelhantes. (d) Se A_{5x5} possui dois autovalores, um dos autoespaços tem dimensão 3 e outro tem dimensão 2, então A é diagonalizável. (e) Se A é invertível então A é diagonalizável (f) Seja T : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n uma transformação linear inversível. Então, se \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \in \mathbb{R}^n são ortogonais, então T(\overrightarrow{u}) e T(\overrightarrow{v}) também são ortogonais. (g) Se \lambda é um autovalor de uma matriz inversível A então \lambda^{-1} é um autovalor de A^{-1}. (h) Se A_{n \times n} é uma matriz que possui k autovalores distintos, com k < n, então A não é diagonalizável. 4. Seja T : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 a transformação linear tal que T(x, y, z) = (x, 2x + 2y - 2z, z). Encontre todos os autovalores e autovetores da matriz canônica A da transformação T. A matriz A é diagonalizável? Se for, determine matrizes P inversível e D diagonal, tais que A = PDP^{-1} 5. Considere a base \beta = \{(1, 2, 2), (5, 3, -1), (-8, 11, -7)\} do \mathbb{R}^3 e a transformação linear L dada pela matriz [L]^\beta_\beta = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}. Determine os autoespaços de L a partir dessa matriz e selecione, se possível, autovetores de L para construir uma base do \mathbb{R}^3. 6. Dadas as matrizes P, B abaixo, determine os autoespaços de PBP^{-1} sem efetuar esse produto. P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} e B = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}. 7. Considere o plano \pi : 2x + y - z = 0. Seja R_{\pi} : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 a reflexão em torno do plano \pi. (a) Determine a matriz A da transformação R_{\pi} (relativa às bases canônicas). (b) R_{\pi} é um isomorfismo? Se for, calcule sua inversa. 8. Diagonalize, se possível, a matriz A. Se for diagonalizável, encontre matrizes P e D, com P invertível e D diagonal, tais que A = PDP^{-1} onde A = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}. 9. (a) Mostre que se A é uma matriz inversível, então \lambda = 0 não é autovalor de A. (b) Suponha que A é uma matriz 3 \times 3, possui dois autovalores distintos e cada autoespaço possui dimensão 1. A é diagonalizável? Justifique. 10. Considere a matriz A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}. (a) Determine todos os autovalores de A. (b) Determine os autoespaço de A. (c) A é diagonalizável? Justifique. 11. Diagonalize, se possível, a matriz A. Se for diagonalizável, encontre matrizes P e D, com P invertível e D diagonal, tais que A = PDP^{-1} onde A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 4 & 1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}. 12. Encontre a matriz A sabendo que (1, 1, 0), (0, 2, 1) são autovetores de A associados ao autovalor -2 e (1, 1, 1) é autovetor de A associado ao autovalor 3. 13. Diagonalize, se possível, a matriz A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & -2 & 3 \end{pmatrix}. 14. Seja R_r : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 a transformação linear que reflete pontos do plano em relação à reta r : y = k^{-1}x, onde k \in \mathbb{R} (fixado), com k \neq 0. (a) Mostre que \overrightarrow{v_1} = (k, 1) e \overrightarrow{v_2} = (1, -k) são autovetores de R_r. (b) Verifique se a matriz de R_r é diagonalizável. 15. Determine uma matriz ortogonal A_{3\times 3} tal que a transformação linear definida por T(\overrightarrow{v}) = A\overrightarrow{v} leve o plano x - y + z = 0 no plano x + y - z = 0. 16. Considere o plano \pi : 2x + y - z = 0. Seja R_{\pi} : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 a reflexão em torno do plano \pi. (a) Determine a matriz A da transformação R_{\pi} (relativa às bases canônicas). (b) A é diagonalizável? (c) R_{\pi} é um isomorfismo? Se for, calcule sua inversa. 17. Determine a matriz da transformação linear T : \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^4 que leva o subespaço W_1 = \{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4; y - 2x = 0 e z - 3t = 0\} no subespaço W_2 = \{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4; x - 3y = 0 e t - 2z = 0\} e o núcleo de T é exatamente W_1^{\perp}. 18. Seja W o subespaço vetorial de \mathbb{R}^4 determinado pelas soluções do sistema linear A\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0} onde A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & -2 \end{pmatrix}. Determine uma base ortogonal de W e uma base de W^{\perp}. 19. Seja P : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 a transformação linear de projeção de um vetor no plano \Pi : x + y + z = 0. (a) Determine uma base ordenada β de R3, tal que : [P]β =   1 0 0 0 1 0 0 0 0   (b) Determine P(x, y, z) (c) P ´e injetora ? Sobrejetora ? Justifique. 20. Use o processo de Gram-Schmidt para obter uma base ortogonal de R3 a partir da base {−→u 1 = (0, 1, 1), −→u 2 = (1, 1, −1), −→u 3 = (−1, 0, 1)}. 21. Seja W = {(x, y, z, w) ∈ R4; x − y + z = 0, x + y + w = 0} (a) Determine uma base ortogonal de W. (b) Encontre uma base para W ⊥. (c) Calcule a proje¸c˜ao de −→u = (1, 1, 1, 1) sobre W. 22. Considere −→u = (1, 1, 0) e W = L{(1, 2, 0), (0, 3, 4)}. Escreva −→u = −→x + −→y onde −→x ∈ W e −→y ´e ortogonal a W. 23. Considere W = {(x, y, z, w, t) ∈ R5; x − y + z = 0, x + y + w = 0} (a) Determine uma base de W. (b) Encontre um vetor −→u ̸= −→0 que seja ortogonal a todo vetor de W. 24. Mostre que se W ⊂ Rn ´e um subconjunto n˜ao vazio, ent˜ao W ⊥ ´e subespa¸co de Rn. 25. Use o processo de Gram-Schmidt para obter uma base ortogonal de R3 a partir da base {−→u 1 = (2, −1, 1), −→u 2 = (0, 1, 1), −→u 3 = (1, 2, 1)}. 26. Seja W = {(x, y, z, w) ∈ R4; 2x − y − z = 0, x − 2y + w = 0} (a) Determine uma base ortogonal de W. (b) Encontre uma base para W ⊥. (c) Considere −→u = (1, 0, 1, 1). Encontre vetores −→y ∈ W e −→z ∈ W ⊥ tais que −→u = −→y + −→z . Justifique. 4 27. (a) Mostre que se A ´e uma matriz invers´ıvel e diagonaliz´avel, ent˜ao A−1 ´e diagonaliz´avel. (b) Suponha que A ´e uma matriz 7 × 7 e possui 3 autovalores distintos. Al´em disso, suponha que um dos autoespa¸cos possui dimens˜ao 2 e outro possui dimens˜ao 3. A ´e diagonaliz´avel? Justifique. (c) Seja W ⊂ Rn um subespa¸co. Mostre que W ∩ W ⊥ = {−→0 }. (d) Seja A uma matriz. Mostre que (Lin(A))⊥ = Nul(A). 28. Ortogonalize a base α = {(1, 1, 0, 0), (0, 1, 2, 0), (0, 0, 3, 4)} do subespa¸co W ⊂ R4. 29. Verdadeiro ou falso. (a) Se U ´e uma matriz ortogonal ent˜ao det U = ±1. (b) Se A ´e uma matriz diagoniz´avel, isto ´e, existe P invers´ıvel e D diagonal tal que A = PDP −1, tal que A20 = 0, ent˜ao A = 0. 30. A matriz A ´e sim´etrica e tem autovalores 1, −1, −1. Sabemos que (1, 1, 0) e (1, 0, 1) s˜ao autovetores de A. Determine essa matriz. Ela ´e ortogonal? 31. Dˆe exemplo de uma matriz sim´etrica A tal que A(1, 1, 1)t = (1, 1, 1)t e λ = −2 ´e autovalor de A com multiplicidade alg´ebrica dois. A solu¸c˜ao ´e ´unica? 32. Dˆe exemplo de uma matriz ortogonal A 3 × 3 que leve o plano x + y − z = 0 no plano z = 0. Estamos falando da transforma¸c˜ao que leva v em Av. 33. Considere o plano W : x − y + z = 0 e P : R3 → R3 a transforma¸c˜ao linear dado por P(−→r ) = projW −→r . (a) Encontre uma base β = {−→v 1, −→v 2, −→v 3} ortogonal de R3 com −→v 1, −→v 2 ∈ W. (b) Determine [−→v ]β, onde −→v = (x, y, z) ∈ R3. Al´em disso, calcule [P]β ϵ , onde ϵ ´e a base canˆonica do R3. Por que essa matriz ´e sim´etrica? 34. Considere a matriz A =   5 −4 −2 −4 5 2 −2 2 2   . Sabendo que λ = 5 ´e autovalor de A e −→v = (1, 1, 0) ´e autovetor de A, (a) Encontre uma base ortogonal de R3 que contenha −→v . (b) Diagonalize A por matriz ortogonal. Por que isso ´e poss´ıvel? Justifique. 5 1\na) p_M(\lambda) = \det (M - \lambda I)\n M \text{ é triangular} = (1-\lambda)(2-\lambda)^2\np_M(\lambda) = 0 \iff 1-\lambda = 0 \quad \lor \quad 2-\lambda = 0\n\Rightarrow \text{ os autovalores de M são } \lambda = 1, \quad \lambda = 2, \text{ com}\nmultiplicidades algébricas \quad 1 \quad e \quad 2, \quad respectivamente.\n\nPara \lambda = 1 :\nM - \lambda I = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\n\V \text{ é autovetor de M associado a } \lambda = 1. \text{ Se}\n(M - \lambda I) V = \overrightarrow{0}\n\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\n1 \begin{cases} -y = 0 \\ y + z = 0 \\ z = 0 \end{cases} \Rightarrow y = z = 0\nV(1) = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 | \quad y = z = 0 \}\n = \{ (x, 0, 0) ; \quad x \in \mathbb{R} \}\n = \{ x (1, 0, 0) ; \quad x \in \mathbb{R} \}\n= [1, 0, 0]\n\nComo um único vetor não-nulo é sempre L.I., \{(1, 0, 0)\} é base de V(1), logo, a multiplicidade geométrica\nde \lambda = 1 \quad \text{ é } \quad 1.\n\nOs autovetores de M associados a \lambda = 1 são os múltiplos\nde (1, 0, 0)\n\nPara \lambda = 2 :\n2 (M - \lambda I) V = \overrightarrow{0}\n\begin{pmatrix} -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\n\begin{cases} -x - y = 0 \\ z = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = -x \\ z = 0 \end{cases} \ \nV(2) = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 | \quad y = -x, \quad z = 0 \}\n = \{ (x, -x, 0) ; \quad x \in \mathbb{R} \}\n= \{ x (1, -1, 0) ; \quad x \in \mathbb{R} \}\n= [1, -1, 0]\n\n \lambda = 2 \text{ tem multiplicidade geométrica } \quad 1.\n\nOs autovetores associados a \lambda = 2 \text{ são os múltiplos de } (1, -1, 0)\nb) Como as multiplicidades algébrica e geométrica de \lambda = 2\nsão distintas, M não é diagonalizável.\n\n3 Como M e triangular, \phi_M(\lambda) = \det(M - \lambda I) = (3 - \lambda)(2 - \lambda)(1 - \lambda)^2 \phi_M(\lambda) = 0 \Rightarrow 3 - \lambda = 0 \lor 2 - \lambda = 0 \lor 1 - \lambda = 0 Os autovalores de M sao \lambda = 3, \lambda = 2, \lambda = 1, com multiplicidades algébricas 1, 1 e 2 respectivamente. Para \lambda = 3: (M - \lambda I)v = \overrightarrow{0} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 0 & -1 & 0 & 1 0 & 0 & -2 & 0 0 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \ z \ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix} \begin{cases} x + y + z + w = 0 -y + z + w = 0 -2z = 0 -2w = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} z = 0 w = 0 y = 0 \end{cases} 4 V(3) = {(x, y, z, w) \in R^4; y = z = w = 0} = \{(x, 0, 0, 0); x \in R\} = x(1, 0, 0, 0); x \in R\} = [1, 0, 0, 0] A multiplicidade geometrica de \lambda = 3 e 1. Os autovetores de M associados a \lambda = 3 sao os multiplos de (1, 0, 0, 0). Para \lambda = 2: (M - \lambda I)v = \overrightarrow{0} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & 1 & 0 \n 0 & 0 & -1 & 1 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \ z \ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix} \begin{cases} x + y + z + w = 0 y - z + w = 0 -z + w = 0 -w = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} w = 0 z = 0 x + y = 0 \Rightarrow \begin{cases} w = 0 z = 0 y = -x \end{cases} 5 V(2) = {(x, y, z, w) \in R^4; y = -x, z = w = 0} = \{(x, -x, 0, 0); x \in R\} = x(1, -1, 0, 0); x \in R\} = [1, -1, 0, 0] A multiplicidade geometrica de \lambda = 2 e 1, Os autovetores associados a \lambda = 2 sao as combinacoes lineares de (1, -1, 0, 0). Para \lambda = 1: (M - \lambda I)v = \overrightarrow{0} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \ z \ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix} \begin{cases} 2x + y + z + w = 0 y + w = 0 w = 0 0 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} w = 0 y = 0 2x + z = 0 \Rightarrow \begin{cases} w = 0 y = 0 z = -2x \end{cases} 6 ou seja, \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) e \( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \) sao autovetores distintos associados ao mesmo autovalor. \underline{Falso} b) \underline{Verdadeiro} O enunciado é a definição de autovetor de uma matriz. c) Como \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) é triangular, seu autovalor é 1, o mesmo autovalor de \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \). Porem, \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) não é diagonalizável, ou seja, $\nexists \, P \in M_2(\mathbb{R}), \quad P^{-1} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} P \begin{pmatrix} \frac{1}{9} & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ou seja, \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \frac{1}{9} & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) não são semelhantes. \underline{Falso} 8 d) Sejam $\lambda_1, \lambda_2$ os autovalores de $A$ tais que a multiplicidade geométrica de $\lambda_1$ seja 3 e a multiplicidade geométrica de $\lambda_2$ seja 2. Como a soma de suas multiplicidades algébricas é 5 e a multiplicidade geométrica de um autovalor não excede sua multiplicidade algébrica, \begin{cases} MA(\lambda_1) \geq 3 \\ MA(\lambda_2) \geq 2 \end{cases} \Rightarrow MA(\lambda_1) = 3 \\ MA(\lambda_2) = 2 MA(\lambda_1) + MA(\lambda_2) = 5 MA(\lambda_1), MA(\lambda_2) > 0 já que as multiplicidades geométricas coincidem com as algébricas e somam 5, A é diagonalizável. \underline{Verdadeiro} e) A matriz $A$ fornecida no exercício 1 é tal que $det(A) = 1 \cdot 2 \cdot 2 = 4 \neq 0$ ou seja, $ A $ é inversível, porém, não é diagonalizável \underline{Falso} 9 V (L) = \{(x,y,z,w) \in \mathbb{R}^4; z = -2x, \quad y = w = 0\} = \{(x,0,-2x,0); x \in \mathbb{R}\} = \{x(1,0,-2,0); x \in \mathbb{R}\} = [ (1,0,-2,0) ] \Rightarrow A multiplicidade geometrica de \lambda = 1 é 1. Os autovetores associados a \lambda = 1 são as combinações lineares de (1,0,-2,0) b) Como as multiplicidades algébrica e geométrica do autovalor \lambda = 1 são distintas, M não é diagonalizável. 3) a) A matriz identidade $2 \times 2$ \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) é diagonal, logo, $p_1(\lambda) = (1 - \lambda)^2$ e seu autovalor é $\lambda = 1$. Seja que \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) e \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \) 7 f) Seja T(x, y) = [2x + y, x + 3y] T(1,0) = (2,1) T(0,1) = (1,3) <T(1,0), T(0,1)> = 2.1 + 1.3 = 5 ≠ 0 Falso 𝑔)