P1 - Álgebra Linear - 2020-1

Universidade Federal do Esp´ırito Santo Primeira Prova Parcial de ´Algebra Linear - Semestre EARTE Vit´oria, 05 de Outubro de 2020 JUSTIFIQUE TODAS AS RESPOSTAS!!! 1. Considere as matrizes A =     1 2 0 1 2 1 1 1 0 3 −1 1 −3 1 −4 0 1 −1 0 0     e B =     2 7 −3 4 2 1 3 −1 1 2 1 2 0 1 2 2 6 −2 3 3    . Verifique se A 2,0 e B s˜ao matrizes equivalentes. 2. Considere o sistema abaixo 2,0      x + ky + kz = −k kx + y + z = k kx + y + kz = k. Encontre todos os valores de k para os quais o sistema tem (a) uma ´unica solu¸c˜ao, (b) infinitas solu¸c˜oes e (c) n˜ao tem solu¸c˜ao. Depois disso, determine as posi¸c˜oes pivˆos da matriz aumentada do sistema em fun¸c˜ao de k. 3. Seja A =   2 1 −1 1 1 0 2 3 −1  . Se poss´ıvel, encontre a inversa de A e escreva A como um produto de 2,0 matrizes elementares. 4. Dada a matriz A =   2 1 −1 1 3 0  , 2,0 (a) encontre C invert´ıvel tal que CA esteja na forma escalonada reduzida. (b) encontre M tal que MA = I. Por que n˜ao dizemos que M ´e a inversa de A? 5. Verifique se cada uma das seguintes afirma¸c˜oes ´e Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se 2,0 for falsa, dˆe um contra-exemplo. (a) Se o sistema linear AX = 0 possui mais de uma solu¸c˜ao ent˜ao AX = B possui pelo menos uma solu¸c˜ao. (b) Se X1 ´e uma solu¸c˜ao de AX = 0 e Y1 ´e uma solu¸c˜ao de AX = B ent˜ao 2X1 + 3Y1 ´e solu¸c˜ao de AX = B. (c) Se A ´e matriz 4 × 7, ent˜ao AX = 0 possui infinitas solu¸c˜oes. (d) Se An×n ´e sim´etrica ent˜ao AB = BA para toda matriz Bn×n. Boa Prova!!!