Lista 3 - Álgebra Linear 2023-2

Terceira lista de exercícios. 1. Seja A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}. (a) Calcule os autovalores e autovetores de M; (b) M é diagonalizável? Se for, encontre as matrizes P e D tal que M = PDP^{-1}. 2. Seja M = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. (a) Calcule os autovalores e autovetores de M; (b) M é diagonalizável? Justifique 3. Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo. (a) Se \overrightarrow{v_{1}} e \overrightarrow{v_{2}} são autovetores LI, então eles correspondem a autovalores distintos. (b) Se A\overrightarrow{x} = \lambda\overrightarrow{x}, então \overrightarrow{x} é um autovetor de A. (c) Se A e B possuem os mesmos autovalores então A e B são semelhantes. (d) Se A_{5x5} possui dois autovalores, um dos autoespaços tem dimensão 3 e outro tem dimensão 2, então A é diagonalizável. (e) Se A é invertível então A é diagonalizável (f) Seja T: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} uma transformação linear inversível. Então, se \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} \in \mathbb{R}^{n} são ortogonais, então T(\overrightarrow{u}) e T(\overrightarrow{v}) também são ortogonais. (g) Se \lambda é um autovalor de uma matriz inversível A então \lambda^{-1} é um autovalor de A^{-1}. (h) Se A_{n,n} é uma matriz que possui k autovalores distintos, com k < n, então A não é diagonalizável. 4. Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear tal que T(x, y, z) = (x, 2x + 2y - 2z, z). Encontre todos os autovalores e autovetores da matriz canônica A da transformação T . A matriz A é diagonalizável? Se for, determine matrizes P inversível e D diagonal, tais que A = PDP^{-1} 5. Considere a base β = { (1, 2, 2), (5, 3, −1), (−8, 11, −7) } do R^3 e a transformação linear L dada pela matriz [L]^β_β = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}. Determine os autoespaços de L a partir dessa matriz e selecione, se possível, autovetores de L para construir uma base do R^3. 6. Dadas as matrizes P, B abaixo, determine os autoespaços de PBP^{-1} sem efetuar esse produto. P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} e B = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}. 7. Considere o plano π : 2x + y − z = 0. Seja R_π : R^3 \rightarrow R^3 a reflexão em torno do plano π. (a) Determine a matriz A da transformação R_π (relativa às bases canônicas). (b) R_π é um isomorfismo? Se for, calcule sua inversa. 8. Diagonalize, se possível, a matriz A. Se for diagonalizável, encontre matrizes P e D, com P invertível e D diagonal, tais que A = PDP^{-1} onde A = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 1 \\ −2 & 1 & 0 \\ −2 & 0 & 1 \end{pmatrix}. 9. (a) Mostre que se A é uma matriz inversível, então λ = 0 não é autovalor de A. (b) Suponha que A é uma matriz 3 × 3, possui dois autovalores distintos e cada autoespaço possui dimensão 1. A é diagonalizável? Justifique. 10. Considere a matriz A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & −1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}. (a) Determine todos os autovalores de A. (b) Determine os autoespaço de A. (c) A é diagonalizável? Justifique. 11. Diagonalize, se possível, a matriz A. Se for diagonalizável, encontre matrizes P e D, com P invertível e D diagonal, tais que A = PDP^{-1} onde A = \begin{pmatrix} 2 & −1 & −1 \\ 1 & 4 & 1 \\ −1 & −1 & 2 \end{pmatrix}. 12. Encontre a matriz A sabendo que (1, 1, 0), (0, 2, 1) são autovetores de A associados ao autovalor −2 e (1, 1, 1) é autovetor de A associado ao autovalor 3. 13. Diagonalize, se possível, a matriz A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & −2 & 3 \end{pmatrix}. 14. Seja R_r : R^2 \rightarrow R^2 a transformação linear que reflete pontos do plano em relação à reta r : y = k^{-1}x, onde k ∈ R (fixado), com k ≠ 0. (a) Mostre que \overrightarrow{v_{1}} = (k, 1) e \overrightarrow{v_{2}} = (1, −k) são autovetores de R_r. (b) Verifique se a matriz de R_r é diagonalizável. 15. Determine uma matriz ortogonal A_{3x3} tal que a transformação linear definida por T(\overrightarrow{v}) = A\overrightarrow{v} leve o plano x − y + z = 0 no plano x + y − z = 0. 16. Considere o plano π : 2x + y − z = 0. Seja R_π : R^3 \rightarrow R^3 a reflexão em torno do plano π. (a) Determine a matriz A da transformação R_π (relativa às bases canônicas). (b) A é diagonalizável? (c) R_π é um isomorfismo? Se for, calcule sua inversa. 17. Determine a matriz da transformação linear T : R^4 \rightarrow R^4 que leva o subespaço W_1 = { (x, y, z, t) ∈ R^4 ; y − 2x = 0 e z − 3t = 0 } no subespaço W_2 = { (x, y, z, t) ∈ R^4; x − 3y = 0 e t − 2z = 0 } e o núcleo de T é exatamente W_1^\perp. 18. Seja W o subespaço vetorial de R^4 determinado pelas soluções do sistema linear A\overrightarrow{x} = \overrightarrow{0} onde A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & −1 & −1 \\ 0 & 1 & −1 & −2 \end{pmatrix}. Determine uma base ortogonal de W e uma base de W^{\perp}. 19. Seja P : R^3 \rightarrow R^3 a transformação linear de projeção de um vetor no plano Π : x + y + z = 0. (a) Determine uma base ordenada β de R3, tal que : [P]β =   1 0 0 0 1 0 0 0 0   (b) Determine P(x, y, z) (c) P ´e injetora ? Sobrejetora ? Justifique. 20. Use o processo de Gram-Schmidt para obter uma base ortogonal de R3 a partir da base {−→u 1 = (0, 1, 1), −→u 2 = (1, 1, −1), −→u 3 = (−1, 0, 1)}. 21. Seja W = {(x, y, z, w) ∈ R4; x − y + z = 0, x + y + w = 0} (a) Determine uma base ortogonal de W. (b) Encontre uma base para W ⊥. (c) Calcule a proje¸c˜ao de −→u = (1, 1, 1, 1) sobre W. 22. Considere −→u = (1, 1, 0) e W = L{(1, 2, 0), (0, 3, 4)}. Escreva −→u = −→x + −→y onde −→x ∈ W e −→y ´e ortogonal a W. 23. Considere W = {(x, y, z, w, t) ∈ R5; x − y + z = 0, x + y + w = 0} (a) Determine uma base de W. (b) Encontre um vetor −→u ̸= −→0 que seja ortogonal a todo vetor de W. 24. Mostre que se W ⊂ Rn ´e um subconjunto n˜ao vazio, ent˜ao W ⊥ ´e subespa¸co de Rn. 25. Use o processo de Gram-Schmidt para obter uma base ortogonal de R3 a partir da base {−→u 1 = (2, −1, 1), −→u 2 = (0, 1, 1), −→u 3 = (1, 2, 1)}. 26. Seja W = {(x, y, z, w) ∈ R4; 2x − y − z = 0, x − 2y + w = 0} (a) Determine uma base ortogonal de W. (b) Encontre uma base para W ⊥. (c) Considere −→u = (1, 0, 1, 1). Encontre vetores −→y ∈ W e −→z ∈ W ⊥ tais que −→u = −→y + −→z . Justifique. 4 27. (a) Mostre que se A ´e uma matriz invers´ıvel e diagonaliz´avel, ent˜ao A−1 ´e diagonaliz´avel. (b) Suponha que A ´e uma matriz 7 × 7 e possui 3 autovalores distintos. Al´em disso, suponha que um dos autoespa¸cos possui dimens˜ao 2 e outro possui dimens˜ao 3. A ´e diagonaliz´avel? Justifique. (c) Seja W ⊂ Rn um subespa¸co. Mostre que W ∩ W ⊥ = {−→0 }. (d) Seja A uma matriz. Mostre que (Lin(A))⊥ = Nul(A). 28. Ortogonalize a base α = {(1, 1, 0, 0), (0, 1, 2, 0), (0, 0, 3, 4)} do subespa¸co W ⊂ R4. 29. Verdadeiro ou falso. (a) Se U ´e uma matriz ortogonal ent˜ao det U = ±1. (b) Se A ´e uma matriz diagoniz´avel, isto ´e, existe P invers´ıvel e D diagonal tal que A = PDP −1, tal que A20 = 0, ent˜ao A = 0. 30. A matriz A ´e sim´etrica e tem autovalores 1, −1, −1. Sabemos que (1, 1, 0) e (1, 0, 1) s˜ao autovetores de A. Determine essa matriz. Ela ´e ortogonal? 31. Dˆe exemplo de uma matriz sim´etrica A tal que A(1, 1, 1)t = (1, 1, 1)t e λ = −2 ´e autovalor de A com multiplicidade alg´ebrica dois. A solu¸c˜ao ´e ´unica? 32. Dˆe exemplo de uma matriz ortogonal A 3 × 3 que leve o plano x + y − z = 0 no plano z = 0. Estamos falando da transforma¸c˜ao que leva v em Av. 33. Considere o plano W : x − y + z = 0 e P : R3 → R3 a transforma¸c˜ao linear dado por P(−→r ) = projW −→r . (a) Encontre uma base β = {−→v 1, −→v 2, −→v 3} ortogonal de R3 com −→v 1, −→v 2 ∈ W. (b) Determine [−→v ]β, onde −→v = (x, y, z) ∈ R3. Al´em disso, calcule [P]β ϵ , onde ϵ ´e a base canˆonica do R3. Por que essa matriz ´e sim´etrica? 34. Considere a matriz A =   5 −4 −2 −4 5 2 −2 2 2   . Sabendo que λ = 5 ´e autovalor de A e −→v = (1, 1, 0) ´e autovetor de A, (a) Encontre uma base ortogonal de R3 que contenha −→v . (b) Diagonalize A por matriz ortogonal. Por que isso ´e poss´ıvel? Justifique. 5 1 a) p_M(λ) = det(M - λI) M é triangular = (1-λ)(2-λ)^2 p_M(λ) = 0 <=> (1-λ) = 0 ∨ 2-λ = 0 => Os autovalores de M são λ = 1, λ = 2, com multiplicidades algébricas 1 e 2, respectivamente. Para λ = 1 : M - λI = (0 -1 0 0 1 1 0 0 1) v é autovetor de M associado a λ = 1 se (M - λI) v = \vec{0} (0 -1 0 * (x) = (0) 0 1 1 (y) (0) 0 0 1) (z) (0)) 1 { -y = 0 y + z = 0 => y = z = 0 z = 0 V(1) = {(x,y,z) ∈ R^3 | y = z = 0} = {(x,0,0) ; x ∈ R} = {x (1,0,0) ; x ∈ R} = [(1,0,0)] Como um único vetor não-nulo é sempre L.I., {(1,0,0)} é base de V(1), logo, a multiplicidade geométrica de λ = 1 é 1. Os autovetores de M associados a λ = 1 são os múltiplos de (1,0,0) Para λ = 2 : 2 (M - λI) v = \vec{0} (-1 -1 0)(x) = (0) (0 0 1)(y) (0) (0 0 0)(z) (0) {x - x - y = 0 z = 0 } => {y = -x z = 0 } V(2) = {(x,y,z) ∈ R^3 | y = -x, z = 0} = {(x,-x,0) ; x ∈ R} = {x (1,-1,0) ; x ∈ R} = [(1,-1,0)] λ = 2 tem multiplicidade geométrica 1. Os autovetores associados a λ = 2 são os múltiplos de (1,-1,0) b) Como as multiplicidades algébrica e geométrica de λ = 2 são distintas, M não é diagonalizável. 3 2 a) Como M é triangular, p_M(λ) = det (M - λ I) = (3-λ) (2-λ) (1-λ)^2 p_m(λ) = 0 => 3-λ = 0 v 2-λ = 0 v 1-λ = 0 ⇒ \ Os autovalores de M são λ = 3, λ = 2, λ = 1, com multiplicidades algébricas 1, 1 e 2 respectivamente. Para λ = 3 : (M - λ I) v = -> (0 1 1 1)(x) (0) (0 -1 0 1)(y) = (0) (0 0 -2 0)(z) (0) (0 0 0 -2)(w) (0) {-y + z + w = 0 {w = 0 -2z = 0 ⇒ z = 0 -2w = 0 } V(3) = {(x, y, z, w) ∈ R^4 ; y = z = w = 0 } = {(x, 0, 0, 0) ; x ∈ R } = { x (1, 0, 0, 0) ; x ∈ R } = [1, 0, 0, 0] \ A multiplicidade geométrica de λ = 3 é 1. Os autovetores de M associados a λ = 3 são os múltiplos de (1, 0, 0, 0). Para λ = 2 : (M - λ I) v = -> (1 1 1 1)(x) (0) (0 0 0 1)(y) = (0) (0 0 -1 1)(z) (0) (0 0 0 -1)(w) (0) {x + y + z + w = 0 {w = 0 {z = 0 -w = 0 -3 + w = 0 ⇒ {x + y = 0 ⇒ y = -x } V(2) = {(x, y, z, w) ∈ R^4 ; y = -x, z = w = 0 } = {(x, -x, 0, 0) ; x ∈ R } = { x (1, -1, 0, 0) ; x ∈ R } = [1, -1, 0, 0] \ A multiplicidade geométrica de λ = 2 é 1. Os autovetores associados a λ = 2 são as combinações lineares de (1, -1, 0, 0). Para λ = 1 : (M - λ I) v = -> (2 1 1 1)(x) (0) (0 1 0 1)(y) = (0) (0 0 1 0)(z) (0) (0 0 0 0)(w) (0) {2x + y + z + w = 0 {w = 0 {y + w = 0 ⇒ y = 0 {w = 0 2x + z = 0 z = -2x } V(1) = {(x, y, z, w) ∈ ℝ⁴ ; z = -2x, y = w = 0} = {(x, 0, -2x, 0) ; x ∈ ℝ} = {x (1, 0, -2, 0) ; x ∈ ℝ} = [ (1, 0, -2, 0) ] A multiplicidade geométrica de λ = 1 é 1. Os autovetores associados a λ = 1 são as combinações lineares de (1, 0, -2, 0) b) Como as multiplicidades algébrica e geométrica do autovalor λ = 1 são distintas, M não é diagonalizável. 3 a) A matriz identidade 2 x 2 (1 0)(0 1) é diagonal, logo, pI(λ) = (1-λ)² e seu autovalor é λ = 1. Veja que (1 0)(1 0) = (1 0) = 1.(1 0) e (1 0)(0 1) = (0 1) = 1.(0 1) 7 ou seja, (1 0) e (0 1) são autovetores distintos associados ao mesmo autovalor - Falso b) Verdadeiro I enunciado é a definição de autovetor de uma matriz. c) Como (1 1)(0 1) é triangular, seu autovalor é 1, o mesmo autovalor de (0 1)(0 1). Porém, (1 1)(0 1) não é diagonalizável, ou seja, ∄ P ∈ M₂(ℝ), P⁻¹(1 1)(0 1)P = (1 0)(0 1) ou seja, (1 1)(0 1) , (1 0)(0 1) não são semelhantes. Falso d) Sejam λ₁, λ₂ os autovalores de A tais que a multiplicidade geométrica de λ₁ seja 3 e a multiplicidade geométrica de λ₂ seja 2. Como a soma de suas multiplicidades algébricas é 5 e a multiplicidade geométrica de um autovalor não excede sua multiplicidade algébrica, {M.A (λ₁) ≥ 3 M.A (λ₂) ≥ 2 MA(λ₁) + MA(λ₂) = 5 MA(λ₁) , MA(λ₂) > 0 ⇒ MA(λ₁) = 3 MA(λ₂) = 2 já que as multiplicidades geométricas coincidem com as algébricas e somam 5, A é diagonalizável. Verdadeiro e) A matriz A fornecida no exercício 1 é tal que det(A) = ± 2.2 = 4 ≠ 0 ou seja, A é inversível. Porém, não é diagonalizável Falso 9 f) Sea \( T(x, y) = [ 2x+y, x+3y ] \) \( T(1,0) = (2,1) \) \( T(0,1) = (1,3) \) \( \langle T(1,0), T(0,1) \rangle = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 3 = 5 \neq 0 \) Falso g)