Fisica 3 D Unid 4 Relatividade

Lista de Exercícios - Relatividade\n\nQuestões:\n1. Como testaríamos um referencial proposto para saber se ele é ou não um referencial inercial?\n\n2. A velocidade da luz, no vácuo, é uma verdadeira constante da natureza, independente do comprimento de onda da luz e do referencial (inercial) escolhido. Há, então, algum sentido em afirmar que o segundo postulado de Einstein pode ser encarado como pane do conteúdo do primeiro postulado?\n\n3. Sabemos que, quando dois eventos A e B são vistos por diversos observadores, um deles pode dizer que o evento A precedeu o evento B, mas um outro pode afirmar que o evento B precede o evento A. O que você diria a um amigo que lhe perguntasse qual dos eventos precedeu realmente o outro?\n\n4. Dois eventos ocorrem num mesmo instante em um mesmo instante para um certo observador. Para todos os outros observadores os mesmos dois eventos também serão simultâneos? Para todos os outros observadores, os eventos também ocorrerão no mesmo lugar?\n\n5. Como o conceito de simultaneidade entra na medida do comprimento de um corpo?\n\n6. Partículas de massa nula (como os fótons de luz) têm a velocidade c em certo referencial, podem ser em repouso num outro referencial? Estas partículas podem ter uma velocidade diferente de c?\n\nProblemas:\n(Problemas marcados com * são fortemente sugeridos.)\n1. Que fração da velocidade da luz corresponde a cada uma das seguintes velocidades, isto é, qual é o parâmetro de velocidade ? (a) 2,69×10−12; (b) 1,67×10−12; (c) 8,33×10−8; (d) 6,43×10−6; (e) 1,11×10−6;\n3,73×10−5; (g) 9,93×10−5; (h) 0,1.\n\n(A. Halliday, R. Resnick e J. Walker, Fundamentos de Física, 4a ed., cap 42, Probl. 1)\n\n2. Ache a velocidade de uma partícula que leva dois anos a mais do que a luz para percorrer a distância de 6,0 anos-luz.\n\nhttp://www.ufrgs.br/mf/20040444/ 14. O referencial inercial S' se move com a velocidade de 0,60 c em relação ao referencial S. Dois eventos são registrados. No referencial S, o evento 1 ocorre na origem em t = 0 e o evento 2 ocorre no eixo dos r em x = 3,0 km e t = 4,0 s. Quais são os instantes de ocorrência registrados pelo observador S' para estes mesmos eventos? Explique a diferença em ordem do tempo.\n(D. Halliday, R. Resnick e J. Walker, Fundamentos de Física, 4a ed., cap. 42, Probl. 19)\n(Resposta: t'1 = 0; t'2 = -2,5×10^4 s)\n\n* 15. Um experimentador arma um mecanismo para disparar simultaneamente dois holofotes, um de flash azul, localizado na origem do seu referencial, e um de flash vermelho, em v = 30 km. Um segundo observador, movendo-se com a velocidade de 0,25 c no sentido dos flashes, também vê os flashes. (a) Qual é o intervalo de tempo que ele registra entre os flashes? (b) Qual é a flash que para ele, ocorre em primeiro lugar?\n(D. Halliday, R. Resnick e J. Walker, Fundamentos de Física, 4a ed., cap. 42, Probl. 20)\n(Resposta: (a) -25,8×10^6 s; (b) do segundo holofote primeiro no segundo referencial. Note que, devido ao efeito Doppler, a luz azul vem primeiro)\n\n16. Pela medição do deslocamento para o vermelho, da luz emitida, conclui-se que um quasar Q1 se afasta de nós com a velocidade de 0,980 c. O quasar Q2, que está na mesma direção no espaço, porém mais próximo de nós, afasta-se com a velocidade de 0,400 c. Que velocidade seria medida por Q2, por um observador em Q1?\n(D. Halliday, R. Resnick e J. Walker, Fundamentos de Física, 4a ed., cap. 42, Probl. 29)\n(Reposta: 0,588 c, afastando-se.)\n17. Para circular em torno da Terra, numa órbita baixa, um satélite deve ter uma velocidade de aproximadamente 27,353 km/h. Suponha que dois desses satélites orbitem a Terra em sentidos opostos. (a) Qual é a velocidade relativa, com que um passa pelo outro, de acordo com a equação de transformação da velocidade de Galileu? (b) Que erro foi cometido em (a) por não ter sido usada a equação (certa) de transformação da relatividade?\n(D. Halliday, R. Resnick e J. Walker, Fundamentos de Física, 4a ed., cap. 42, Probl. 31)\n(Resposta: (a) 54,706 km/h; (b) 6,4×10^(-13))\n18. Uma nave espacial, afastando-se da Terra com uma velocidade de 0,900 c, transmite sinais para a Terra numa frequência (medido no referencial da nave) de 100 MHz. Em que frequência os receptores da Terra devem ser sintonizados a fim de receber os sinais?\n(D. Halliday, R. Resnick e J. Walker, Fundamentos de Física, 4a ed., cap. 42, Probl. 33)\n(Resposta: 22,94 MHz)\n* 19. Uma nave espacial está se afastando da Terra com uma velocidade de 0,20 c. Uma luz, na popa da nave, parece azul (A = 450 nm) aos passageiros da nave. Que cor pareceria a um observador na Terra? (D. Halliday, R. Resnick e J. Walker, Fundamentos de Física, 4a ed., cap. 42, Probl. 36)\n(Resposta: amarelo, λ = 551 nm)\n20. Um transmissor de radar T está fixo num referencial S' que se move para a direita com a velocidade v em relação a um referencial S, e de acordo com a figura ao lado. Um cronômetro mecânico (essencialmente um relógio) no referencial S', tendo um período T0 (medido em S), provoca o transmissor T a emitir pulsos de radar, que são programados em velocidade de luz e são recebidos por um receptor R, fixo no referencial S. (a) Qual é o período t0 cronômetro detectado pelo observador A que está fixo no referencial S? (b) Mostre que receptor R observará o intervalo de tempo entre os pulsos que estão em T0 como t0 / mais como \n tR = t0 [(c + v) / (c - v)]^(1/2)\n(a) Explique porque o observador em R mode para o transmissor um período diferente daquele medido pelo observador A, que está no mesmo referencial que ele. (Sugestão: um relógio e um pulso de radar não são a mesma coisa)\n(D. Halliday, R. Resnick e J. Walker, Fundamentos de Física, 4a ed., cap. 42, Probl. 37)\n(Resposta: (a) t0 = (1 - v^2/c^2)^(1/2)\n21. Um elétron deve-se a uma velocidade tal que poderia atravessar a Terra, no quadrado, em 1,00 ns no referencial da Terra. (a) Qual é a sua velocidade em termos de luz? (b) Qual é a sua energia cinética K? (a) Qual é o erro percentual cometido se e energia cinética K for calculada pela fórmula clássica?\n(D. Halliday, R. Resnick e J. Walker, Fundamentos de Física, 4a ed., cap. 42, Probl. 39)\n(Resposta: (a) 0,134 c; (b) 4,62 keV; (c) 1,36 %)\n22. Admita-se que os quasars sejam núcleos de galáxias ativas em estágios primitivos de formação. Um quasar tipo Iramo emite energia a taxa de 10^-41 W. A que taxa estará a massa de um quasar sendo reduzida para fornecer essa energia? Expresse sua resposta em unidades de massa solar por ano, sabendo que uma unidade de massa solar é igual a massa do nosso Sol (1 uma = 2,0 x 10^30 kg).\n(D. Halliday, R. Resnick e J. Walker, Fundamentos de Física, 4a ed., cap. 42, Probl. 45)\n(Resposta: 17,5 umas/ano)\n23. Qual é o trabalho necessário para aumentar a velocidade de um elétron de (a) 0,18 c até 0,19 c e (b) 0,98 c até 0,99 c? Observe que o aumento de velocidade (Δv = 0,01c) é o mesmo, nos dois casos. (D. Halliday, R. Resnick e J. Walker, Fundamentos de Física, 4a ed., cap. 42, Probl. 46)\n(Resposta: (a) 996,1 eV; (b) 1,05×10^6 MeV)\n* 24. (a) De acordo com a física clássica, que diferença de potencial aceleraria um elétron até a velocidade da luz? (b) Com esta diferença de potencial, que velocidade realmente atingiria?\n(D. Halliday, R. Resnick e J. Walker, Fundamentos de Física, 4a ed., cap. 42, Probl. 48)\n(Resposta: 25,5 kV; (b) 0,745c)\n25. Uma partícula de massa m tem um momento linear igual a mv. Quais são (a) o seu fator de Lorentz, (b) a sua velocidade e (c) a sua energia cinética?\n(D. Halliday, R. Resnick e J. Walker, Fundamentos de Física, 4a ed., cap. 42, Probl. 49)\n(Resposta: (a) 1,414; (b) 0,707 c; (c) 0,414 mc^2)\n26. Imagine as seguintes partículas, todas elas em movimento no vácuo: um fóton de 2,0 eV, um elétron de 0,40 MeV e um próton de 10 MeV. (a) Quais elas se move mais rapidamente? (b) Qual delas se move mais lentamente? (c) Quais delas têm o mesmo momento linear? (d) Qual delas tem o mesmo momento linear? Observação: (d) é em uma partícula de luz, com massa nula.\n(D. Halliday, R. Resnick e J. Walker, Fundamentos de Física, 4a ed., cap. 42, Probl. 51)\n(Resposta: (a) o fóton; (b) o próton; (c) o próton; (d) o fóton)\n27. A vida média dos múons em repouso é 2,20 μs. Em medidas realizadas em laboratório, sobre o decaimento de múons altamente energéticos provenientes de um feixe que emerge de um acelerador de partículas, encontra-se para a vida-média 6,90 μs. (a) Qual é a velocidade destes múons no laboratório? (b) Qual é a energia cinética e (c) Qual é o seu momento linear? A massa de um múon é 207 vezes a massa de um elétron.\n(D. Halliday, R. Resnick e J. Walker, Fundamentos de Física, 4a ed., cap. 42, Probl. 55)\n(Resposta: (a) 0,948 c; (b) 225,954 MeV; (c) 314,41 MeV)\n28. (a) Qual é a quantidade de energia liberada na explosão de uma bomba de fissão contendo 3,0 kg de material fissionável? Suponha que 0,10% da massa é convertida em energia liberada. (b) Que massa de TNT precisaria explodir para liberar a mesma quantidade de energia? Admita que cada mol de TNT livre 3,4 MJ de energia na explosão. A massa molecular de TNT é 0,227 kg/mol. (c) Para a mesma massa de explosivo, calcule a maior eficiência das explosões nucleares em relação as TNT. \n(D. Halliday, R. Resnick e J. Walker, Fundamentos de Física, 4a ed., cap. 42, Probl. 56)\n(Resposta: (a) 2,7×10^6 J; (b) 1,8×10^7 kg; (c) 6,0×10^(-6)) 1. Que fração da velocidade da luz corresponde a cada uma das seguintes velocidades; isto é, qual é o parâmetro de velocidade b? (a) a taxa típica da deriva continental (2,54 cm/ano). (b) A velocidade típica de deriva de um elétron num condutor que transporta uma corrente (0,5 mm/s). (c) Um limite de velocidade numa auto-estrada (90km/h). (d) A velocidade média quadrática de uma molécula de hidrogênio na temperatura ambiente. (e) a velocidade de um avião supersônico voando no Mach 2,5 (1.200 km/h). (f) A velocidade de escape de um projétil da superfície da Terra. (g) A velocidade da Terra na sua órbita em torno do Sol. (h) A velocidade típica de recessão de um quasar distante (3,0 x 10^4 km/s). (D. (Resposta: (a) 2,69x10^-18; (b) 1,67x10^-12; (c) 8,33x10^-8; (d) 6,43x10^-6; (e) 1,11x10^-6; (f) 3,73x10^-5; (g) 9,93x10^-5; (h) 0,1.) 2. Ache a velocidade de uma partícula que leva dois anos a mais do que a luz para percorrer a distância de 6,0 anos-luz. (Resposta: 0,75 c) d: 6,0 anos-luz C: 299.792.458 m/s ts: 60 + 20 c 80 c anos-luz d = v.t 60 = v. 80 c 60c = 80v v = 60/80 v = 0,75 c 3. Qual deve ser o parâmetro de velocidade b, se o fator de Lorentz g for (a) 1,01, (b) 10,0, (c) 100 e (d) 1.000? (Resposta: (a) 0,1404; (b) 0,995; (c) 0,9995; (d) 0,999995) Usamos a EQ: y = 1 / sqrt(1 - β²) -> y² = 1 / (1 - β²) -> β² = 1 - 1/y² a) β = sqrt(1 - 1/(10)²) -> β = sqrt(1 - 0,9802863049) -> β = 0,14037076 b) β = sqrt(1 - 1/(10)²) -> β = sqrt(1 - 0,01) -> β = 0,9949874371 c) β = sqrt(1 - 1/(100)²) -> β = sqrt(1 - 0,0001) -> β = 0,9999499987 d) β = sqrt(1 - 1/(1000)²) -> β = sqrt(1 - 0,000001) -> β = 0,9999995 Exemplo\n4. A vida media de m\u00f5ons freados num bloco de chumbo, fixo num laborat\u00f3rio, \u00e9 2,2 m s. A vida media dos m\u00f5ons com grande velocidade, num explosi\u00e7\u00e3o de raios c\u00f3smicos, observada da Terra, \u00e9 16 m s. Ache a velocidade destes m\u00f5ons dos raios c\u00f3smicos em rela\u00e7\u00e3o a Terra.\n(Resposta: 0,9905 c)\n\ny = 1\n\u221a1 - \u03b2 2\n\ny 2 = 1\n1 - \u03b2 2\n\n\u03b2 = \u221a1 - 1\ny 2\n\n\u03b2 = \u221a1 - 2,2 2\n16 2\n\n\u03b2 = \u221a1 - 1,010(0,875) 2\n\n\u03b2 = 0,98103295345\n\n\u03b2 = 0,9905 017668\n\ncomo \u03b2 = v\nc\n\n\u03b1 = \u03b2 c\n\n\u03b5 = 1\n\u221a1 - \u03b2 2\n\n\u03b2 = \u03b3\n\u2212 \u0394t 0 \u2212 \u0394t\n\n\u03b2 = \u221a1 - \u2212\u0394t0\n\u0394t\n 5. Os pions s\u00e3o criados na alta atmosfera da Terra, quando part\u00edculas de alta energia, de raios c\u00f3smicos, colidem com \u00e1tomos. Um pion assim formado desce em dire\u00e7\u00e3o a Terra com a velocidade de 0,99 c. Num referencial onde estejam em repouso, os pions decaem com a vida media de 26 ns. Num referencial fixo na Terra, qual \u00e9 a dist\u00e2ncia percorrida (em m\u00e9dia) pelos pions na atmosfera, antes de decairem?\n(Resposta: 54,7 m)\n\nd = \u03b2 c t\n\n* sendo esse\nt = \u0394t 0 \n\n\u0394t 0 = 26 x 10 - 9 s\nc = 299792458 m/s\n\n* t = \u03b3 \u0394t 0 , temos\n\n\nd = \u03b2 c \u0394t 1\n\n\u221a1 - \u03b2 2\n\nd = 0,99 299792458 \u2022 26 \u2022 10 - 9 \u2022 1\n\n\u221a1 - (0,99) 2\n\nd = 7,7167\n\n0,1411\n\nd = 54,163 m 6. Desejamos fazer uma viagem de ida e volta, viajando numa espa\u00e7onave com velocidade constante em linha reta, durante seis meses; e, ent\u00e3o, retornar com a mesma velocidade. Desejamos, al\u00e9m disso, ao retornar, encontrar a Terra como ela seria ap\u00f3s 1.000 anos. Contando do inicio da viagem. (a) Com que velocidade devemos viajar? (b) Importa, ou n\u00e3o, que a viagem se fa\u00e7a em linha reta? Se, por exemplo, viaj\u00e1ssemos em c\u00edrculo durante um ano, ainda assim, ao retornarmos, teriam decorrido 1.000 anos pelos rel\u00f3gios da Terra?\n(Resposta: 0,9999995c)\n\nd = 1000 anos\n\u0394t 0 = 1 ano\n\nD = 1000 anos\n\n\u221a1 - \u03b2 2\n\ny 2 = 1\n1 - \u03b2 2\n\n\u03b2 2 = 1 - (1/1000 anos) 2\n\n\u03b2 = 0,9999995\n\nv = \u03b2 c\n\n\u03b1 = 0,9999995 c\n\n\u03b2 = \u03b3 \n\n\u0394t = y \u0394t 0\n\ny = \u0394t 0\n\n\u03b2 = \u221a1 - \u2212 [\u0394t0]\n\n\u0394t 2\n 7. Uma barra mantém-se paralela ao eixo x de um referencial S, movendo-se ao longo deste eixo com velocidade 0.63c. O seu comprimento de repouse é 1.70 m. Qual será seu comprimento medido em S.\n\n(Resposta: 1,32 m)\n\nL0 = 1,70 m\nβ = 0,63\n\nL = L0 / √(1 - β²)\n\n* como β = 1 / √(1 - β²)\n\nL = 1,70 m . √(1 - (0,63)²)\n\nL = 1,70 m . 0,7766\n\nL = 1,32 m\n\nL = L0 . √(1 - β²) 8. Um elétron com β = 0,999987 move-se ao longo do eixo de um tubo no qual se fez um vácuo, e que tem o comprimento de 3,00 m medido por um observador S no laboratório, em relação ao qual o tubo está em repouse. Um observador S', que se move com o elétron, veria o tubo passando por ele com uma velocidade escalar v = (β - c). Que comprimento este observador mediria para o tubo?\n\n(Resposta: 1,53 cm)\n\nL0 = 3,00 m\nβ = 0,999987\n\nL = L0 / √(1 - β²)\n\nL = 3,00 m . √(1 - (0,999987)²)\n\nL = 3,00 m . 0,005999\n\nL = 0,015297 m\nou\n1,53 cm 9. Uma nave espacial, com um comprimento de repouso de 130 m, passa por uma estação de observação com a velocidade de 0,740c: (a) Qual é o comprimento da nave medido pela estação? (b) Qual é o intervalo de tempo registrado pelo monitor da estação entre a passagem da parte dianteira e a da parte traseira da nave?\n\n(Resposta: (a) 87,44 m; (b) 394 ns)\n\na) L = L0 / √(1 - β²)\n\nL = 130 m . √(1 - 0,74²)\n\nL = 130 m . 0,6726068688\n\nL = 87,44 m\n\nb) v = d/t\n\nv = (d - L)\n\nL = Δt\n\nΔt = 87,44 m / (0,74 x 299792458 m/s)\n\nΔt = 87,44 m / 221846418,3\n\nΔt = 0,000000394 s\n\nΔt = 394 x 10^-9 s\nou\n394 ms Lista do Professor - Exemplo. 10. Um astronauta parte da Terra com destino à estrela Vega, distante 26 anos-luz, deslocando-se com a velocidade de 0,9c. Qual é o tempo decorrido pelos relógios da Terra (a) quando o astronauta chega a Vega? (b) quando os observadores na Terra recebem o aviso de sua chegada a Vega? (c) Quantos anos mais, velho os observadores na Terra julgam que o viajante estará ao chegar a Vega?\n(Resposta: (a) 26,3 anos; (b) 52,3 anos; (c) 3,7 anos).\n\na) Δt = d/v² -> Δt = 26 anos-luz\n0,98 c -> Δt = 26,26 anos.\n\nb) O sinal é uma onda eletromagnética e dessa forma ele viaja na velocidade da luz e dessa forma leva 26 anos para voltar.\n\nTotal = Δt + Δt_vida\nTotal = 26,26 + 26\nTotal = 52,26 anos.\n\nc) Δt₀ = Δt/γ\nΔt₀ = Δt/(1/√(1 - β²))\nΔt₀ = Δt * √(1 - β²)\nΔt = 26,26 * √(1 - (0,98)²)\nΔt₀ = 26,26 * √(1 - 0,9604)\nΔt₀ = 26,26 * 0,1410673\nΔt₀ = 3,70 A? ANOS. Lista do Professor - Exemplo. 11. Um avô, cujo comprimento de repouso é de 40,0 m, está se movendo, em relação à Terra, com uma velocidade constante de 630 m/s, (a) Em que fração do seu comprimento de repouso parecerá encurtado para um observador na Terra? (b) Quanto tempo demorará de acordo com um observador na Terra, para que o relógio no avô se atrase de 1,00 m/s? (Suponha que somente a relatividade restrita seja aplicável.) (Resposta: (a) 2,21 x 10^-12; (b) 5,25 dias).\n\na) ΔL/L₀ = L₀(1 - y^4)\nL₀ = 1 - √(1 - β²) ≈ 1 - (1 - 1/2 β²)\n1/2 β²\nβ = 630 anos/s\n(3 x 10^8 m/s)²\n1/2 (2,1 x 10^-5)²\n= 2,205 x 10^-12.\n\nb) Δt₀ = ΔL/L₀(y - 1)\nΔt₀ = ΔL/(1 - β²)^(1/2) - 1\nΔt₀ = ΔL/(1 + 1/2 β²)\nΔt₀ = 2,318 x 10^-11\nΔt₀ = 5,243 DAS. Lista do Professor - Exemplo. 12. (a) Pode uma pessoa, em princípio, viajar da Terra até o centro galáctico (que está a cerca de 23.000 anos-luz de distância) num intervalo igual ao de uma vida normal? Explique usando argumentos da dilatação do tempo e da contração dos comprimentos. (b) Que velocidade constante seria necessária para fazer a viagem em 30 anos (tempo próprio)? (Resposta: (a) Sim; (b) 0,9999992c).\n\nb)\nΔt = Δt₀/√(1 - β²)\nΔt₀ = 30 anos\nΔt₀ = 28.000/β\nΔt ≈ 0,9999991493\nΔt = d/β²\n28.000 = Δt/β\nΔt = 0,9999991493\n28.000\n(1 - β²)\n= 30/√(1 - β²)\n= 23.000/√(23.000/50²)\nb = 0,9999991493.\n\n(a) Utilizando o β calculado temos:\nL = 20√(1 - β²)\nL = 23.000 * √(1 - 0,9999991493²)\nL = 23.000 * 0,0031509 ANOS-LUZ\nL = 28.9932 ANOS-LUZ. Lisa do Professor - Exemplo\n 13. A um certo evento, um observador S atribui as seguintes coordenadas espaço-tempo\n x = 100 km e t = 200 m s\n Quais são as coordenadas deste evento num referencial S' que se move, no sentido positivo, do eixo x, com a velocidade de 0,950c? Suponha x = x' para t = 0.\n (Resposta: x' = 138 km; t' = -374x10^-6 s)\n\n (1) achar y\n y' = y / √(1 - β²)\n y' = 1 / √(1 - 0,98²)\n y' = 3,20 26 63\n\n Concedendo y aplicações à transformação de Lorentz\n\n x² = y' [x - vt'] -> as gc\n\n x²: 3,20 26 63.(100x10³ m -> 0.95.299792459 = 2.00x10^5 s)\n x' = 137 386,19 m ou 137,836 km\n \n t' = y'(t - (vx/c²)) + v/c²\n\n t' = y' [t - (vx/c²)]\n t' = γy'(t - βx/c)\n\n t' = 3,20 26 63 . [200 x 10^-6 s . (100 x 10³)\n 0.96.100 x 10³m\n 299792458 m/s\n\n t' = 3,20 26 63 . [200 x 10^-6 s - 0,000316885] \n\n t' = -0.000374353 s\n 1.00\n -3.74 x 10^-6 14. O referencial inercial S' se move com a velocidade de 0,60 c em relação ao referencial S. Dois eventos são registrados. No referencial S, o evento 1 ocorre na origem em t = 0 e o evento 2 ocorre no eixo dos x em x = 3,0 km e t = 4,0m s. Quais são os instantes de ocorrência registrados pelo observador S' para estes mesmos eventos? Explique a diferença na ordem do tempo.\n\n (Resposta: t'1 = 0; t'2 = -2,5 x 10^-6 s) 15. Um experimentador arma um mecanismo para disparar simultaneamente dois holofotes, um de flash azul, localizado no origem do seu referencial, e um de flash vermelho, em x = 30 km. Um segundo observador, movendo-se com a velocidade de 0,250c no sentido dos x crescentes, também vê os flashes: (a) Qual é o intervalo de tempo que ele registra entre os flashes? (b) Qual é o flash que, para ele, ocorre em primeiro lugar?\n\n (Resposta: (a) -25,8x10^-6 s; (b) o segundo holofote emite primeiro no segundo referencial. Note que, devido ao efeito Doppler, a luz não será vermelha.)\n\n (a) t'p = (t'p - (Bx'p)/c)\n c(t'g - t'g) = γ[t'p - (Bx'g)/c]\n Como t'g = t'g, fazermos:\n Δt' = t'g - t'g\n Δt' = γ(Bx'g)\n Δt' = γβ . (xp - xg)\n\n Δt' = 7. x 10^-6\n ou 23,84 x 10^-6 m = 25,84 μm\n\n b) Como Δt' é positivo, t' é maior que t'p, o que significa que de acordo com o observador o claro pequeno ocorreu primeiro, isto é, o primeiro em S. 16. Pela medição do desloçamento para o vermelho, da luz emitida, conclui-se que um quasar Q1 se afasta de nós com a velocidade de 0,800c. O quasar Q2, que está na mesma direção no espaço, porém mais próximo de nós, afasta-se com a velocidade de 0,400c. Que velocidade seria medida para Q2, por um observador em Q1? (Resposta: 0,588c, afastando-se) \nU' = (u - v) / (1 - (u*v) / c^2) \nu = 0,8c - 0,4c \n1 - 0,8c*0,4c / c^2 \nU' = 0,8c - 0,4c \nU' = 0,588c 17. Para circular em torno da Terra, numa órbita baixa, um satélite deve ter uma velocidade de aproximadamente 27,353 km/h. Suponha que dois destes satélites orbitam a Terra em sentidos opostos. (a) Qual é a velocidade relativa, com que um passa pelo outro, de acordo com a equação de transformação da velocidade de Galileu? (b) Que erro foi cometido em (a) por não ter sido usada a equação (correta) de transformação relativística? \n(Resposta: (a) 54,706 km/h; (b) 6,4x10^-10) \nGalileu diz: V_rel = 20° \nDeseja-se fora temos V_rel = 2,27353 km/h \nV_rel = 54,706 km/h \nb) Transformação relativística é \nV_rel,c = V_belic - V_rel / (V_rel,c)\n% .Erro = 1 - 1 / (1 + (v^2 / c^2))\nC de m/s p km/h \n299792458 x 3,6 \n1,079 x 10^9 km/h \n%.Erro = 6,42 x 10^-10 18. Uma nave espacial, afastando-se da Terra com uma velocidade de 0,900c, transmite sinais para a Terra numa frequência (medida no referencial da nave) de 100 MHz. Em que frequência os receptores da Terra devem ser sintonizados a fim de receber os sinais? \n(Resposta: 22,94 MHz) \nUsamos a eq do efeito Doppler para luz \nB = 0,9c \nf_0 = 100 MHz \nf = f_0 * √[(1 - B) / (1 + B)] \nf = 100 MHz * √[(1 - 0,9) / (1 + 0,9)] \nf = 100 * 0,22942 MHz \nf = 22,942 MHz 19. Uma nave espacial está se afastando da Terra com uma velocidade de 0,2c. Uma luz, na popa da nave, parece azul (λ = 450 nm) aos passageiros da nave. Que cor pareceria a um observador na Terra?\n\n(Resposta: amarelo, λ T = 551nm)\n\na)\nB = 0.2c\nλ 0 = 450 mm\n\n* Lembrando que:\n\nλ = λ 0 √(1 + B) / (1 - B)\n\nλ = 450 mm. √(1 + 0.2) / (1 - 0.2)\n\nλ = 450 mm, 1.2227415 mm\n\n√(λ) = 551,14 mm\n\nb)\n\nTemas:\n\nVermelho ≈ 625 - 740 nm\nLaranja ≈ 610 - 625 nm\nAmarelo ≈ 565 - 580 nm\nVerde ≈ 500 - 565 nm\nCiano ≈ 485 - 500 nm\nAzul ≈ 440 - 485 nm\nVioleta ≈ 380 - 440 nm\n\nSegundo a tabela o λ = 551 nm\n\nSendo verde, porém a resposta é amarelo. LISTA DO PROFESSOR\n20. Um transmissor de radar T está fixo num referencial S que se move para a direita com velocidade v em relação a um referencial S', se acordou como a figura ao lado. Um cronômetro mecânico (essencialmente um relógio) no referencial S', tendo um jato (o medido em S') provoca o transmissor T emitir pulsos de radar, que se propagam com velocidade da luz c, que são recebidos por um receptor R, fixo no referencial S'. Qual é o período do cronômetro detectado pelo observador A que está fixo no referencial S? (Determine que receptor R observaria o intervalo de tempo entre os picos que chegam de T, não como t0, mas como t')\n\n(a) Explique porque o observador em t mede para o transmissor um período diferente daquele medido pelo observador A. Que está no mesmo referencial que ele. (Sugestão: relacione q um pulso de radar não é a mesma coisa).\n\n(Resposta: (a) E 0 (1 + v² / c²)½\n\na) Baseado no capítulo 21 - 5 - 100 termos.\nΔc / c = Δto / Δc\n\n(Variação do tempo)\nΔt = 1 / √(1 - (v/c)²) Δto\nΔt = Δto / √(1 - (v²/c²)) 21. Um elétron desloque-se a uma velocidade tal que poderia circunavegar a Terra, no equador, em 1,00 s no referencial da Terra. (a) Qual é a sua velocidade em termos da velocidade da luz? (b) Qual é a sua energia cinética K? (c) Qual é o erro percentual cometido se a energia cinética K for calculada pela fórmula clássica?\n\n[Resposta: (a) 0,134 c; (b) 4,62 keV; (c) 1,36 %]\n\na) G T = 40,075 km / 40075 000 m\n\nv E = d / t → v E = 40,075,000 m / 1 s → 40,075,000 m/s\n\nB = v / c + B = 40,075,000 / 299,792,458 → 0,13368\n\nb) E = mc². (y - 1) + me c² = 511 keV (valor tabelado)\nE = 511 keV √(1 / √(1 - 0,13368²)) = E = 511 keV (1,009056733 - 1)\nE = 4,628 keV LIGIA DO PROFESSOR\n22. Admita-se que os quasares sejam os núcleos de galáxias ativas em estágios primitivos de formação. Um quasar típico irradia energia à taxa de 10^41 W. A que taxa estará a massa de um quasar sendo reduzida para fornecer esta energia? Expresse sua resposta em unidades de massa solar por ano, sabendo que uma unidade de massa solar é igual à massa do nosso Sol (1 um = 2,0 x 10^30 kg).\n(Resposta: 17,5 um/s/ano)\n\nComo a energia de repouso E_0 e a massa m do quasar estão relacionadas através da equação E_0 = mc^2, a potência P, irradiada pelo quasar e o consumo obedecem à relação.\n\nP = dE_0/dt = c^2 dm/dt\n\ndm/dt = (1,11 x 10^24 kg/s)\nTaxa = dm/dt . (1 ano/Massa sol)\nTaxa = (1,11 x 10^24 kg/s) (3.1536000 =>/ano)/(2 x 10^30 kg/um)\nTaxa = (17,50 um/ano) 23. Qual é o trabalho necessário para aumentar a velocidade de um elétron de 0.1c até 0.19c e (b) 0.98c até 0.99c? Observe que o aumento de velocidade (i.e., 0.01c) é o mesmo, nos dois casos.\n(Resposta: (a) 996,1 eV; (b) 1,0545 MeV)\n\na) Usamos: W = ΔK = mc^2 (γ - 1)\nΔK = mc^2 [ (1 / √(1 - β_f^2)) - (1 / √(1 - β_i^2)) ]\nβ_f = 0.19\nβ_i = 0.18\nΔK = 511 keV [ (1 / √(1 - 0.19^2)) - (1 / √(1 - 0.18^2)) ]\nΔK = 511 . 1.0492338756 - 511 . 1.006640453\nΔK = 511 . 4.191287 x 10^-5 keV\nΔK = 0.3961 keV\n\nb)\nΔK = 511 keV [ (1 / √(1 - 0.99^2)) - (1 / √(1 - 0.98^2)) ]\nΔK = 511 keV . (7.08881205 - 5.0251839076)\nΔK = 1006,197 feV\n\nComparando os resultados de (a) e (b), vemos a dificuldade para acelerar uma partícula aumentando consideravelmente quando a velocidade da partícula se aproxima da velocidade da luz. 24. (a) De acordo com a física clássica, que diferença de potencial aceleraria um elétron até a velocidade da luz? (b) Com esta diferença de potencial, que velocidade realmente atingiria?\n(Resposta: (a) 25,5 kV; (b) 0,745c)\n\nUsando a energia clássica temos:\nE = m u^2 / c\nE = (m_e c^2) / 2\nE = 511 keV / 2 = 255,5 keV\n\nUsando V = E / (191)\nE = 255,5 keV = 255,5 kV\n\n(Continuação)\nb) E = mc^2 (γ - 1)\nE = V e\nγ = 1 / √(1 - (v/c)^2)\n\nv = mc^2 [ (1 / √(1 - (v/c)^2)) - 1]\n\n1 + v/(mc^2) = (1 / √(1 - (v/c)^2))\nv = 0.745c 25. Uma partícula de massa m tem um momento linear igual a mc. Quais são (a) o seu fator de Lorentz, (b) a sua velocidade e (c) a sua energia cinética? [Resposta: (a) 1,414; (b) 0,707 c; (c) 0,414 mc2]\n\nb) \n\np = m v\n\n\ngamma = 1 / sqrt(1 - beta^2)\nbeta = v / c\n\np = m v / sqrt(1 - beta^2)\n\nmc = gamma m v\n\n1 - beta^2 = (1/2)^2\n1 - beta^2 = beta^2\n1: 2^2 = beta^2\nbeta = sqrt(1/2)\nbeta = 0,707\n\n\ngamma = 1 / sqrt(1 - beta^2) \ngamma = 1 / sqrt(1 - (1/2))\n\ngamma = sqrt(2) = 1.414\n\nK = m c^2 (gamma - 1)\n* m c^2 = E0\nK = E0 (gamma - 1)\nK = E0 (1.414 - 1)\nK = 0.414 E0 26. Imagine as seguintes partículas, todas elas em movimento no vácuo: um fóton de 2,0 eV, um elétron de 0,40 MeV e um próton de 10 MeV. (a) Qual delas se move mais rapidamente? (b) Qual delas se move mais lentamente? (c) Qual delas tem o maior momento linear? (d) Qual delas tem o menor momento linear? Observação: um fóton é uma partícula de luz, com massa nula.\n\n(Resposta: (a) o fóton; (b) o próton; (c) o fóton; (d) o fóton.) 27. A vida média dos múons em repouso é 2,20 m s. Em medidas realizadas em laboratório, sobre o decaimento de múons altamente energéticos provenientes de um feixe que emerge de um acelerador de partículas, encontra-se para a vida-média 6,90 m s. (a) Qual é a velocidade destes múons no laboratório? (b) Qual é a energia cinética? (c) Qual é o seu momento linear? A massa de um múon é 207 vezes a massa de um elétron.\n\n(Resposta: (a) 0,948 c; (b) 225,954 MeV; (c) 314,41 MeV/c) 28. (a) Qual é a quantidade de energia liberada na explosão de uma bomba de fissão contendo 3,0 kg de material fissionável? Suponha que 0,10% da massa é convertida em energia liberada. (b) que massa de TNT precisaria explodir para liberar a mesma quantidade de energia? Admita que cada mol de TNT libera 3,4 MJ de energia na explosão. A massa molecular de TNT é 0,227 kg/mol. (c) Para a mesma massa de explosivo, calcule a maior eficiência das explosões nucleares em relação às de TNT. Isto é, compare as frações da massa que são convertidas em energia em cada caso.\n\n[Resposta: (a) 2,7x10^14 J; (b) 1,8x10^7 kg; (c) 6,0x10+6]