Lista - Equações Diferenciais - 2023-2

TH Só serão aceitas respostas manuscritas em papel almaço timbrado fornecido em sala. Respostas incompletas e/ou sem justificativas não serão consideradas. Limpeza, Ordem e Precisão. 1. Seja a equação diferencial − 3e2y x5y4dx + e2y(y − 4) x4y5 dy = 0. a) Mostrar que a equação diferencial dada não é exata. b) Sabendo que esta equação diferencial admite pelo menos um fator integrante do tipo µ(x, y) = xaeby, determinar esses fatores integrantes. c) Determinar uma família de soluções da equação diferencial (exata) obtida na alínea b) e mostrar que esta família de soluções verifica formalmente a equação diferencail não exata. 2. As raízes da equação característica corespondente a determinada equação diferencial linear ho- mogênea são: Nome Raízes a considerar AMANDA-FRANCIANE 3, 3, 3, −1, 2 + 3i, 2 + 3i GABRIEL-LUIS −1, −1, −1, −1, 2 − 3i, 2 − 3i MARCELLA-WILIAN 0, 0, 0, −1, 2 + 3i, 2 − 3i a) Determinar a ordem (mínima) e a respectiva equação diferencial. b) Escrever a solução geral após tratamento complexo. 3. Indicar, justificando, se as seguintes equações diferencias podem ser resolvidas usando o método dos coeficientes indeterminados. a) d3y dx3 − 6d2y dx2 + 25dy dx = tan(x). b) yy′′′ − 6y′′ + 5y′ + 12y = 3 cos(2t). c) y′′′ − 6t2y′′ + 5y′ + 12y = 3sen (2t). 4. Determine a função complementar yh(x) e uma forma adequada para a solução particular yp(x) utilizando o método dos coeficientes a determinar das seguintes equações diferenciais. Não avalie as constantes em yp(x) Nome EDOs a considerar AMANDA-FRANCIANE y(5) + 2y′′′ + y′ = x + x cos(x) y(4) + 8y′′ + 16y = x3sen 2x + x2 cos(2x) GABRIEL-LUIS y(4) − 4y′′′ + 6y′′ − 4y′ + y = x3ex + x2e−x y(4) + 4y′′′ + 8y′′ + 8y′ + 4y = 7e−x cos x MARCELLA-WILIAN y(4) + y′′ = x2 cos x y′′′ + 8y′′ + 16y = xsen x + x2 cos 2x 5. Determinar, usando a transformada de Laplace, a solução do problema de valor inicial: Nome PVI a considerar AMANDA-FRANCIANE y′′ + 2y′ + y = 3sen (2t), y(0) = 0, y′(0) = 0 GABRIEL-LUIS y′′ − 4y′ + 4y = 3e−t, y(0) = 0, y′(0) = 0 MARCELLA-WILIAN 2y′′ + 2y′ + y = t2, y(0) = 0, y′(0) = 0 2 M = -3e^{2y\over x^4}dx + e^{2y\over x^5}(y-4)dy = 0. P(x,y) = -3e^{2y\over x^4}, \quad Q(x,y) = e^{2y\over x^5}(y-4) {\partial P \over \partial y} = -3\left( {2e^{2y\over x^4}\over x^4} \right) \quad {\partial Q \over \partial x} = -2{e^{2y\over x^5}(y-4)\over x^5} Como {\partial P \over \partial y} \neq \partial Q \over \partial x} a equação não é exata. b) Multiplicando a edo por μ: \mu Pdx + \mu Qdy = 0 \mu p (\mu Q)_x \rightarrow \mu_y P + \mu P = \mu Q + \mu Q_y \mu(\partial y Q - \partial x P) = \mu Q - \mu P_y \mu Q_x = \left ( -6 e^{2y\over x^4} + 12e^{2y\over x^4} \right ) + 2e^{2y\over x^4} \left( y-4 \right)\over x^5 = 2e^{y+2} - 4e^{y\over x^5} -2e^{2y\over x^5} (y+2) \mu P_x = \mu e^{y\over x^4} = ax^a e^{y\over x^4} (y-4)= ax^a e^{y\over x^4} (y-4) \over y y = b x^{b} e^{y\over x} (-3e^{2y\over x^4}) = -3b x^{0.5} e^{2y x^4} -2y - 2y = ay - 4a + 3b \Rightarrow y(2) = b(4y) = ay = 0 \therefore -2 = a, 3b = b \Rightarrow \mu = x^{e^{..}} \over x c) -3e^{2y\over x^4}dx + e^{(y-4)\over x^5}dy = 0 (\Phi(x,y) = C \therefore a familia do sol da eq naso exata onde dP dx = -3e^{2y\over x^4} \ \, dQ = e^{x(y-4)\over x^5}) e c \eps R 2) a) raízes = 0,0,0,1, 2+3i, 2-3i erama mínima, 6! pol característico: r^3 (r - 4 + 13) = 0 \rightarrow (r^4)^3(r^2-8,1+13) \ Longrightarrow r - r^4 = s + 13 \partial (y^3 y)(x^4 -13 r) - r^6 = 3r^5 9q^4 - 13r^3 \Longrightarrow 0 F(D) - y^{(b)} \rightarrow (b+13) y^{(b)} = 0 soluang: C_4 ex x + C_9 x^2 x^3 y^2 (2^2 = 2 x c, iertPho 2c = x value 2)(\times)abcosax C6Z e_C_9 ex enix 4) y'' - 4y' + 4y = x^2 cosx r^2 - 4r + 1 = 0 \rightarrow r - r^2 = [0,0,i,-1] Y_PI = C_1 + C_2 x Y_C Sin x + C_2 cosx C_b e^x Y_p = x^b( Acosx + Bsenx) onde b \le 2 -y'' + 2y' + 16ry = 0 \rightarrow r^2 = 8r^2 + 16r = 0+ r (ri+4)]^2 inteni: C_1 e^t^2 e^c ly^2 C_2 r_x/2 \frac{\xi P^a ) = x^0.5(asenx + boq) = yp_c = x^(a6...2x_2) = 2.... poi xp(x sino) 5) 2y'_L+2y_1+y'' \frac{x^2_{y_a+1} - 1}{5(x+11+1)q + 21}\ x\\extp_t\y^y^{1}\ x2^3 T(_2 F_1+F-1)\ \frac{2}{5(a+2y3..2),3 - q}^{0} (8t_8) = F +4, To = P_m+\ p8\times\frac{T_{z,y1}^r - F} x = 0 \eps \ [c!} = 2^f{x^{-0}..}5 = -2\ \epsilon >= 0 F(υ) = \frac{2-x^u - y - 4..34\ x}{8(34+13. 2 )= 20(0.5_{ol})} > 4^4 \eps +2 + 1 y(υ) = x^2 +2T x - 4 \ The termin '3-4ísticos\epsilon'}