Funciones 5 Geometría Analítica

Ejercicio: Utilizando las leyes del logaritmo natural, representar las siguientes funciones: a) ln(3/4) = ln 3 - ln 4 b) ln(√5x+1) = ln(5x+1)^(1/2) = 1/2 ln(5x+1) c) ln(3x/2) = ln(3)(x) - ln 2 = ln 3 + ln x - ln 2 d) ln((x^2+3)^2/x^3√x^2+1) = ln(x^2+3)^2 - ln(x^3(x^2+1)^(1/3)) = 2 ln(x^2+3) - ln x + 1/3 ln(x^2+1) Función exponencial. Ejercicio: Encontrar el valor de x. a) \frac{3}{2} = e^{x+1} ln\left(\frac{3}{2}\right) = ln\left(e^{x+1}\right) ln\left(\frac{3}{2}\right) = (x+1) ln e ln e = 1 ln 3 - ln 2 = (x+1)(1) ln 3 - ln 2 = x + 1 x = ln 3 - ln 2 - 1 x = ln\left(\frac{3}{2}\right) - 1 Comprobación. x = ln\left(\frac{3}{2}\right) - 1 \frac{3}{2} = e ^{x+1} \frac{3}{2} = e^{(ln\left(\frac{3}{2}\right) - 1) + 1} \frac{3}{2} = e^{ln\left(\frac{3}{2}\right)} \frac{3}{2} = e^{ln\left(\frac{3}{2}\right)} \frac{3}{2} = ln\left(\frac{3}{2}\right) e = \frac{3}{2} ln e \frac{3}{2} = \frac{3}{2} l.q.q.c. lo que queda comprobado b) ln(2x-3) = 5 e^{ln(2x-3)} = e^5 ln(2x-3) e = e^5 (2x-3) ln e = e^5 2x-3 = e^5 x = \frac{e^5 + 3}{2} x = (e^5 + 3)/2 ln(2x - 3) = 5 ln((2(e^5 + 3)/2) - 3) = 5 ln(e^5 + 3 - 3) = 5 ln e^5 = 5 5 ln e^1 = 5 5 = 5 "l.g.q.c." c) e^x = 12 ln e^x = ln 12 x ln e = ln 12 x = ln 12 Comprobación e^(ln 12) = 12 12 ln e^1 = 12 12 = 12 "l.g.q.c." d) ln√(x+2) = 1 e^ln√(x+2) = e^1 √(x+2) = e √(x+2) = (e)^2 x+2 = e^2 x = e^2 - 2 Comprobación. ln√(e^2 - 2 + 2) = 1 ln√(e^2) = 1 ln e^1 = 1 1 = 1 "l.g.q.c." Ejercicio: Expresar las siguientes igualdades en forma ar = e^(r ln a) a) 2^π = e^(π ln 2) a = 2 r = π b) 5^(√2) = e^(√2 ln 5) a = 5 r = √2 c) 10^e = e^(e ln 10) a = 10 r = e Funciones hiperbólicas. senh x = (e^x - e^(-x))/2 cosh x = (e^x + e^(-x))/2 tanh x = senh x / cosh x = (e^x - e^(-x))/(e^x + e^(-x)) coth x = (e^x + e^(-x))/(e^x - e^(-x)) sech x = 2 / (e^x + e^(-x)) csch x = 2 / (e^x - e^(-x)) Modelos matematicos. Ejercicio: Un terreno rectangular de 1250 m² de área, uno de cuyos lados es un muro ya construido, se va a cercar con tela de alambre. Formular una función que permita calcular la longitud de la cerca en términos de la longitud "x" del lado paralelo al muro. Solución Área = 1250 m² xz = 1250 ...① l = longitud l = x + 2z ...② de ① despejo z z = \frac{1250}{x} en ② l = x + 2\left(\frac{1250}{x}\right) l = \frac{x^2 + 2500}{x} Ejercicio: Los lados iguales de un triángulo isósceles miden "b" unidades de longitud y forman con el lado desigual el ángulo "α". Formular una función que permita obtener el área del triángulo en términos de "α". Solución A = área del triángulo h = altura x = longitud de la base A = \frac{x h}{2} ...① \sin α = \frac{h}{b} \implies h = b \sin α en ① \cos α = \frac{x}{2b} \implies x = 2b \cos α A = \frac{2b \cos α (b \sin α)}{2} A = \frac{1}{2} b^2 \sin α \cos α Ejercicio: Una circunferencia de 1.00 m de radio está inscrita en un rectángulo de dimensiones variables. Formular una función para determinar el área del rectángulo en términos de la longitud "z" de su base. Solución: A = área del rectángulo A = zh ...① Con el Teorema de Pitágoras y la fig. z^2 + h^2 = 2^2 h^2 = 4 - z^2 h = \sqrt{4 - z^2} en ① A = z \left(\sqrt{4 - z^2}\right)