Geometria Analítica Aulas

Aula 3 Geometria Analítica Profª Valéria Cecilio Conversa Inicial Vimos os espaços vetoriais: sistema de coordenadas cartesianas no plano e sistema de coordenadas cartesianas no espaço Três tipos de produtos: escalar (interno) vetorial (externo) misto Produtos Produto escalar Aplicações do produto escalar Produto vetorial Produto misto Aplicações do produto vetorial e produto misto Produto escalar Definição algébrica do produto escalar \( \vec{u} = x_1 \hat{i} + y_1 \hat{j} + z_1 \hat{k} \) \( \vec{v} = x_2 \hat{i} + y_2 \hat{j} + z_2 \hat{k} \) \( \vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 \) Exemplo: \( \vec{u} = (4, 2, -5) \) e \( \vec{v} = (3, 2, -3) \) \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 4 \cdot 3 + 2 \cdot 2 + (-5) \cdot (-3) \) \( = 12 + 4 + 15 = 31 \) Definição geométrica do produto escalar \( \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos \theta \) Onde \( 0 \leq \theta \leq 180^\circ \) é a medida do ângulo formado entre os vetores \( \vec{u} \) e \( \vec{v} \) Sinal do produto escalar \( \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos \theta \) Se \( \vec{u} \cdot \vec{v} > 0 \Rightarrow \cos \theta > 0 \) \( 0\degree < \theta < 90\degree \) (ângulo agudo ou nulo) Se \( \vec{u} \cdot \vec{v} < 0 \Rightarrow \cos \theta < 0 \) \( 90\degree < \theta < 180\degree \) (ângulo obtuso) Se \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \Rightarrow \cos \theta = 0 \) \( \theta = 90\degree \) (ângulo reto) Então, podemos concluir que se \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \), temos que \( \vec{u} \) e \( \vec{v} \) são ortogonais Aplicações do produto escalar Ângulos diretores e cossenos diretores \( \cos \alpha = \frac{x}{\|\vec{A}\|} \) \( \cos \beta = \frac{y}{\|\vec{A}\|} \) \( \cos \gamma = \frac{z}{\|\vec{A}\|} \) \( \phi = \angle \hat{\mathbf{A}z}\) \( \cos \phi = \frac{z}{\|\vec{A}\|} \) \( \phi +\theta +\psi = 90^\circ \)(ou \( \angle \text{90}^\circ \)) Dados os pontos A = (2, 2, -3) e B = (3, 1, -3), calcular os ângulos diretores do vetor \( \overrightarrow{AB} \) \( \vec{j} = \vec{B} - \vec{A} = (1, -1, 0) \) \( \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = 45^\circ \) \( \cos \beta = \frac{-1}{\sqrt{2}} = 135^\circ \) \( \cos \gamma = \frac{0}{\sqrt{2}} = 90^\circ \) O vetor \( \overrightarrow{AB} \) é ortogonal ao eixo z Sempre que um vetor apresentar a última componente nula, ele é ortogonal ao eixo Oz (análogo para as demais componentes) Trabalho realizado por uma força \( W_f = \vec{F} \cdot \vec{d} = \|\vec{F}\| \|\vec{d}\| \cos \theta \) Calcular o trabalho realizado pela força F para deslocar o corpo de A até B, sabendo que \( \| \vec{F} \| = 10 N, \| \vec{d} \| = 20 m \) e \( \theta = 36,9^\circ \) W = 10N, 20m, cos 36,9 = 160 J ou Produto vetorial Determinante simbólico \( \vec{u} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k} \) \( \vec{v} = x_{1} \hat{i} + y_{1} \hat{j} + z_{1} \hat{k} \) \( \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ x & y & z \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \end{vmatrix} \) Exemplo 1 \( \vec{u} = (1,3,5) \text{ e } \vec{v} = (0,2,4) \) \( \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 3 & 5 \\ 0 & 2 & 4 \end{vmatrix} \) \( = 1 \cdot 8 + 2 \cdot 0 - 6 \cdot 1 - 10 - 4 \hat{j} \) \( = 2 \hat{i} - 4 \hat{j} + 2 \hat{k} \) Principais propriedades \( \vec{u} \times \vec{v} = - \vec{v} \times \vec{u} \) \( \vec{u} \times \vec{v} = \vec{0} \) se e somente se, \( \vec{u} \text{ e } \vec{v} \) são colineares ou se um dos vetores é nulo \( \vec{u} \times \vec{v} \) é ortogonal simultaneamente aos vetores \( \vec{u} \text{ e } \vec{v} \) Identidade de Lagrange \( ||\vec{u} \times \vec{v}||^{2} = ||\vec{u}||^{2} ||\vec{v}||^{2} - (\vec{u} \cdot \vec{v})^{2} \) Módulo \( ||\vec{u} \times \vec{v}|| = ||\vec{u}|| ||\vec{v}|| \sin \theta \) Representação gráfica do vetor \( 2 \hat{i} \times 3 \hat{j} \) \( \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \end{vmatrix} = 6 \hat{k} \) Produto misto O produto misto dos vetores é o número real representado por \( (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{v}) \cdot \vec{w} \) \( (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})= \begin{vmatrix} x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \\ x_{3} & y_{3} & z_{3} \end{vmatrix} \) Propriedades \( (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = 0 \) se um dos vetores é nulo, se dois são colineares ou se três são coplanares \((\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = (\vec{v}, \vec{w}, \vec{u}) = (\vec{w},\vec{u}, \vec{v}) \) Exemplos Dois vetores colineares \(\vec{w} = (-1,6,10), \vec{u} = (1,3,5) \text{ e } \vec{v} = (2,6,10) \) \((\vec{w}, \vec{u}, \vec{v}) = \begin{vmatrix} -1 & 6 & 10 \\ 2 & 6 & 10 \\ 1 & 3 & 5 \end{vmatrix} \) \((\vec{w}, \vec{u}, \vec{v}) = 0 \) Três vetores coplanares \(\vec{v} = \vec{w} + \vec{u} \) \(\vec{w} = (-1,6,10), \vec{u} = (1,3,5) \text{ e } \vec{v} = (0,9,15) \) \((\vec{w}, \vec{u}, \vec{v}) = \begin{vmatrix} -1 & 6 & 10 \\ 1 & 3 & 5 \\ 0 & 9 & 15 \end{vmatrix} = 0 \) Dados os vetores \( \vec{u} = (3,-1,4), \vec{v} = (2,0,1) \text{ e } \vec{w} = (-2,1,5) \) \((\vec{u}, \vec{w}, \vec{v}) = \begin{vmatrix} 3 & -1 & 4 \\ 2 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 5 \end{vmatrix} \) \((\vec{u}, \vec{w}, \vec{v}) = 17 \) \((\vec{u}, \vec{w}, \vec{v}) = \begin{vmatrix} 3 & -1 & 4 \\ 2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 5 \end{vmatrix} \) \((\vec{u}, \vec{w}, \vec{v}) = -17 \) Aplicações do produto vetorial e produto misto Interpretação geométrica do módulo do produto vetorial Área do paralelogramo determinado por dois vetores \( A = \text{ base } \cdot \text{ altura } \) \( A = ||\vec{u} || \cdot h, \text{ onde} \) \( \sin \theta = \frac{h}{\left| \vec{v} \right|} \) \( A = ||\vec{u}|| \ ||\vec{v}|| \sin \theta \) \( A = ||\vec{u} \times \vec{v}|| \) A área é numericamente igual ao comprimento do vetor \( \vec{u} \times \vec{v} \) Interpretação geométrica do módulo do produto misto \( \theta \) é o ângulo entre os vetores \( \vec{u} \) e \( \vec{v} \times \vec{w} \) \(\cos {\theta} = \frac{h}{\left|{ \vec{v}} \times \vec{w} \right|} \) Como \(\theta \) pode ser um ângulo obtuso \( h = || \vec{u}|| \cdot ||\cos \theta \) \( V = A_{B} \cdot h \) \( V = ||\vec{u}|| ||\vec{v}|| ||\vec{w}|| \cdot \left| \cos \theta \right|, \text{ do produto escalar} \) \( V = |(\vec{u}, (\vec{v} \times \vec{w}) )| = |( \vec{u} , \vec{v} , \vec{w})| \) Um paralelepípedo é determinado pelos vetores \( \vec{u} = (3,-1,4), \vec{v} = (2,0,1) \text{ e } \vec{w} = (-2,1,5) \). Calcular seu volume e a altura relativa à base definida pelos vetores \( \vec{u} \text{ e } \vec{v} \) \( V = (\vec{u} , \vec{v} , \vec{w}) | \) \( (\vec{u} , \vec{w} , \vec{v}) = \begin{vmatrix} 3 & -1 & 4 \\ 2 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 5 \end{vmatrix} = 17 \) \( V = |(\vec{u} , \vec{v} , \vec{w})| = 17 \text{ u.v} \) \( A_{base} = ||\vec{v} \times \vec{w}|| = |(-1, 5, 2)| \) \( A_{base} = \sqrt{30} \text{ u.a} \) \( V = A_{base} \cdot h \) \( 17 = \sqrt{30} \cdot h \) \( h = \frac{17}{\sqrt{30}} \approx \frac{17\sqrt{30}}{30} \text{ u.c} \) WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. 2 ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2014. VENTURI, J. J. Álgebra vetorial e geometria analítica. 5. ed. Curitiba: Editora da UFPR, 1991. Na Prática Determinar o vetor \(\vec{u}\), sabendo que |\( \vec{j} \)| = 4, \(\vec{j}\) é ortogonal ao eixo ox, forma ângulo de 60° com o vetor \(\vec{i}\) e ângulo obtuso com \(\vec{k}\) \(\vec{j}\) é ortogonal ao eixo oz \(\Rightarrow\) \(\vec{j} = (x, y, 0)\) \(\cos 60° = \frac{1}{2} = \frac{x}{4} \Rightarrow x = 2\) |\(\vec{j}\)| = 4 \(\Rightarrow x^2 + y^2 + 0^2 = 4\) \(2^2 + y^2 = 16\) \(y^2 = 12\) \(y = \pm 2\sqrt{3}\) \(\vec{j} = (2, \pm 2\sqrt{3}, 0)\) Ângulo obtuso com \(\vec{k}\) \(\vec{j} \cdot \vec{k} < 0\) (0, 1, 0) \cdot (2, y, 0) \( < 0\) \(y < 0\) \(\vec{j} = (2, -\sqrt{12}, 0)\) Dados os vetores \(\vec{u} = (x, 5, 0), \vec{j} = (3, -2, 1)\) e \(\vec{w} = (1, 1, -1)\) calcular o valor \(x\) para que o volume do paralelepípedo determinado por \(\vec{u}\, \vec{j}\, \vec{w}\) seja 24 \(u.v\) \([\vec{u}, \vec{j}, \vec{w}] = \begin{vmatrix} x & 5 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = |x + 20|\) \(v = |[\vec{i}, \vec{j}, \vec{w}]| = |x + 20|\) |\(x + 20\)| = 24 \(x + 20 = 24 \Rightarrow x = 4 \text{ ou}\) x + 20 = -24 \Rightarrow x = -44 Finalizando Principais resultados dos produtos Dois vetores são ortogonais se o produto escalar é igual a zero O vetor resultante do produto vetorial é sempre perpendicular a ambos os vetores originais O produto misto é nulo, se dois vetores são colineares ou se três vetores são coplanares Referências BOULOS, P.; CAMARGO, I. Geometria analítica – um tratamento vetorial. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. ERNANDES, L. F. D. Geometria analítica. Curitiba: InterSaberes, 2016. MELLO, D. A. de; WATANABE, R. G. Vetores e uma iniciação à geometria analítica. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2011. RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. R. Cálculo numérico, aspectos teóricos e computacionais. 3. ed. São Paulo: Pearson, 2014. STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Geometria analítica. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1987.