Estudo sobre Planos e Aplicações em Engenharia

Planos O estudo sobre planos nos permite conhecer a equação que descreve os pontos de um plano e determinar sua direção no espaço calculando o seu vetor normal Podemos determinar o ângulo em que devemos posicionar os painéis solares para melhor aproveitamento da luz solar e as faces de uma peça são descritas a partir das equações paramétricas que representam cada um dos planos Além disso veremos como determinar a equação de um plano conhecendo três pontos não alinhados de uma superfície plana e verificar se pontos que pertencem a uma estrutura estão no mesmo plano Em outra aplicação iremos calcular por exemplo o segmento de reta que representa a interseção de dois planos parametrizados de uma peça ou entre uma placa e uma superfície Iremos ver também como identificar retas que estão em uma direção ortogonal ou paralelas a um plano Objetivo Ao final desta unidade você deverá ser capaz de Solucionar por meio das equações vetoriais do plano problemas matemáticos de física e engenharias Usar a equação vetorial do plano para resolução de situações problemas aplicados a engenharias Solucionar problemas envolvendo interseções entre planos e retas em diferentes áreas Conteúdo Programático Esta unidade está organizada de acordo com os seguintes temas Tema 1 Equações do plano vetorial geral e paramétrica Tema 2 Equação geral do plano Tema 3 Posições relativas entre planos Posições relativas entre planos e retas Utilização do siteaplicativo GeoGebra BrightSource Technology Clique na imagem para visualizar o vídeo Como ativar a legenda em português Como calcular a direção dos painéis solares para o aproveitamento desejado da luz solar Podemos determinar a direção de um plano e descobrir o ângulo que ele forma com uma superfície Uma usina solar térmica possui um sistema que permite mover os painéis acompanhando o movimento do sol para melhor captação da luz solar Esse vídeo mostra como funciona uma grande usina de geração de energia a partir da luz solar Vídeo Tema 1 Equações do plano vetorial geral e paramétrica Como podemos determinar de maneira precisa a posição dos cortes de cada uma das faces planas de uma peça Equação geral do plano Muitas aplicações importantes em física e engenharias estão relacionadas com planos Uma de suas aplicações consiste em determinar a direção de um plano Veremos no início desta unidade como obter a equação geral do plano Figura 1 Vamos considerar um ponto A𝑥 1 𝑦 1 𝑧 1 do plano 𝜋 mostrado na Figura 1 e um ponto P 𝑥 𝑦 𝑧 qualquer desse plano Traçamos o vetor 𝐴𝑃 ligando o ponto A ao ponto P para obtermos um vetor do plano Qualquer vetor que é ortogonal ao plano é chamado de vetor normal Na Figura 1 é indicado o vetor 𝑛 𝑎 𝑏 𝑐 normal ao plano Um vetor normal ao plano é ortogonal a qualquer vetor do plano e sabemos que o produto escalar entre dois vetores ortogonais é zero Desse modo temos 𝑛 𝐴𝑃 0 Vamos desenvolver o produto escalar para chegarmos na equação geral do plano Primeiro sabemos que o vetor 𝐴𝑃 é 𝐴𝑃 P A 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 1 𝑦 1 𝑧 1 𝐴𝑃 𝑥 𝑥 1 𝑦 𝑦 1 𝑧 𝑧 1 Substituindo as coordenadas dos vetores 𝐴𝑃 e 𝑛 no produto escalar temos 𝑎 𝑏 𝑐 𝑥 𝑥 1 𝑦 𝑦 1 𝑧 𝑧 1 0 𝑎 𝑥 𝑥 1 𝑏 𝑦 𝑦 1 𝑐 𝑧 𝑧 1 0 𝑎𝑥 𝑏𝑦 𝑐𝑧 𝑎𝑥 1 𝑏𝑦 1 𝑐𝑧 1 0 Note nessa última equação que 𝑎𝑥 1 𝑏𝑦 1 𝑐𝑧 1 depende apenas das componentes do vetor normal e das coordenadas de um ponto A conhecido de um plano Portanto é igual a uma constante que vamos chamar de 𝑑 Dessa forma substituindo 𝑎𝑥 1 𝑏𝑦 1 𝑐𝑧 1 𝑑 na última equação obtemos a equação geral do plano 𝑎𝑥 𝑏𝑦 𝑐𝑧 𝑑 0 Em que 𝑎 𝑏 e 𝑐 são as componentes do vetor normal Podemos saber se um ponto pertence a um plano substituindo suas coordenadas na equação geral do plano Por exemplo vamos verificar se os pontos P315 e Q100 pertencem ao plano de equação 2𝑥 𝑦 𝑧 2 0 Substituindo o ponto P 315 na equação do plano temos 2 3 1 5 2 0 Como o membro esquerdo da equação não é igual a zero logo o ponto P não pertence ao plano Para o ponto Q temos 21 0 2 0 Como as coordenadas do ponto Q satisfazem a equação do plano Logo o ponto Q pertence ao plano Podemos encontrar um ponto qualquer do plano atribuindo valores para duas das variáveis para obter o valor da terceira variável Vamos ver outro exemplo Seja um ponto P234 e um vetor 𝑛 23 1 normal ao plano Qual é a equação que descreve o plano Agora iremos substituir as componentes do vetor normal na equação geral da reta 𝑎𝑥 𝑏𝑦 𝑐𝑧 𝑎𝑑 0 2𝑥 3𝑦 𝑧 𝑑 0 Para encontramos o valor de 𝑑 vamos substituir as coordenadas do ponto P na equação anterior 22 33 4 𝑑 0 4 9 4 𝑑 0 𝑑 9 Portanto a equação geral do plano é 2𝑥 3𝑦 𝑧 9 0 Como aplicar este conhecimento em um contexto real Vejamos a situação a seguir Drones iluminados com lâmpadas de LED estão se movendo em dois planos paralelos para formar uma imagem geométrica como as faces laterais de um cubo Um dos planos é descrito pela equação 5𝑥 2𝑦 𝑧 9 0 e o segundo plano passa pelo ponto P235 Qual é a equação do segundo plano Para escrevemos a equação para o segundo plano precisamos conhecer um vetor normal a esse plano Como os dois planos são paralelos o vetor normal do plano 5𝑥 2𝑦 𝑧 9 0 é também normal ao outro plano Desse modo um vetor normal ao segundo plano é 𝑛 5 2 1 Substituindo na equação geral do plano temos 𝑎𝑥 𝑏𝑦 𝑐𝑧 𝑑 0 5𝑥 2𝑦 𝑧 𝑑 0 Substituindo o ponto P235 na equação anterior temos 52 23 5 𝑑 0 10 6 4 𝑑 0 𝑑 12 Portanto a equação do outro plano é 5𝑥 2𝑦 𝑧 12 0 Equação vetorial do plano No estudo sobre retas na Unidade 3 escrevemos a equação da reta na forma vetorial Vamos ver agora como obter a equação vetorial do plano Sejam dois vetores 𝑢 𝑎 1 𝑏 1 𝑐 1 e 𝑣 𝑎 2 𝑏 2 𝑐 2 paralelos ao plano 𝜋 com 𝑢 e 𝑣 não paralelos e o ponto A𝑥 1 𝑦 1 𝑧 1 do plano conforme ilustra a Figura 2 Figura 2 Multiplicando os vetores 𝑢 e 𝑣 pelas constantes ℎ e 𝑡 respectivamente obtemos os vetores ℎ𝑢 e 𝑡𝑣 mostrados na Figura 3 Ao somarmos os vetores ℎ𝑢 e 𝑡𝑣 encontramos um vetor 𝐴𝑃 do plano ou seja 𝐴𝑃 ℎ𝑢 𝑡𝑣 Para escrevemos a equação do plano vamos isolar o ponto 𝑃 no membro esquerdo dessa equação P A ℎ𝑢 𝑡𝑣 P 𝐴 ℎ𝑢 𝑡𝑣 Substituindo o ponto P e os vetores 𝑢 e 𝑣 encontramos 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 1 𝑦 1 𝑧 1 ℎ𝑎 1 𝑏 1 𝑐 1 𝑡𝑎 2 𝑏 2 𝑐 2 Essa equação em destaque é chamada equação vetorial do plano Os vetores 𝑢 e 𝑣 são os vetores diretores do plano A𝑥 1 𝑦 1 𝑧 1 é um ponto do plano e ℎ e 𝑡 são denominados parâmetros do plano Equação paramétrica da reta Na Unidade 2 escrevemos as equações paramétricas para descrever qualquer ponto da reta em função de um parâmetro 𝑡 Veremos que um ponto qualquer de um plano é descrito em função dos parâmetros ℎ e 𝑡 e dos vetores 𝑢 e 𝑣 mostrados na Figura 2 Vamos agora obter as equações paramétricas do plano Desenvolvendo o lado direito da igualdade da última equação temos 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 1 𝑦 1 𝑧 1 ℎ𝑎 1 ℎ𝑏 1 ℎ𝑐 1 𝑡𝑎 2 𝑡𝑏 2 𝑡𝑐 2 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 1 ℎ𝑎 1 𝑡𝑎 2 𝑦 1 ℎ𝑏 1 𝑡𝑏 2 𝑧 1 ℎ𝑐 1 𝑡𝑐 2 As componentes 𝑥 𝑦 e 𝑧 no membro esquerdo da equação devem ser iguais às suas respectivas componentes do membro direito Portanto 𝑥 𝑥 1 ℎ𝑎 1 𝑡𝑎 2 𝑦 𝑦 1 ℎ𝑏 1 𝑡𝑏 2 𝑧 𝑧 1 ℎ𝑐 1 𝑡𝑐 2 Essas últimas três equações destacadas são denominadas equações paramétricas do plano Vimos na Unidade 2 que se três vetores estão no mesmo plano vetores coplanares o produto misto é nulo ou seja 𝑢 𝑣𝑤 𝑢 𝑣 𝑤 0 Podemos aplicar essa equação para obter a equação do plano calculando o produto misto entre os vetores diretores 𝑢 e 𝑣 e um vetor 𝐴𝑃 qualquer do plano e igualando o seu resultado a zero ou seja 𝑢 𝑣𝐴𝑃 𝑢 𝑣 𝐴𝑃 0 Vamos ver um exemplo de aplicação das equações paramétricas do plano Uma peça será fabricada com o formato mostrado na Figura 3 As coordenadas dos pontos que estão no vértice são indicadas na figura A partir destas informações responda às seguintes questões Qual é a equação geral do plano CDE Quais são as equações paramétricas que descrevem o plano CDE para a máquina fazer os cortes da peça Quais são os intervalos de valores para os parâmetros ℎ e 𝑡 que definem os cortes da peça Figura 3 Precisamos conhecer um vetor normal ao plano CDE para escrevemos a equação do plano Vamos calcular o vetor normal a partir dos três pontos conhecidos do plano No plano CDE podemos definir os vetores 𝐶𝐸 e 𝐶𝐷 do plano CDE conforme ilustra a Figura 4 Figura 4 Calculando os vetores 𝐶𝐸 e 𝐶𝐷 temos 𝐶𝐷 D C 040 240 𝐶𝐷 200 m 𝐶𝐸 E C 046 240 𝐶𝐸 206 m Vimos na Unidade 2 que o produto vetorial entre dois vetores de um plano é um vetor ortogonal ao plano O produto vetorial é dado por Desse modo temos 𝑢 𝑣 𝚤 𝚥 𝑘 𝑥 1 𝑦 1 𝑧 1 𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2 𝑛 𝐶𝐷 𝐶𝐸 𝚤 𝚥 𝑘 0 6 2 0 2 0 0 12𝚥 12𝚥 Portanto o vetor normal ao plano CDE é 𝑛 0120 Substituindo as componentes do vetor normal na equação do plano 𝑎𝑥 𝑏𝑦 𝑐𝑧 𝑑 0 0𝑥 12𝑦 0𝑧 𝑑 0 12𝑦 𝑑 0 Para encontramos o valor de 𝑑 vamos substituir as coordenadas de um dos pontos do plano na equação anterior Por exemplo para C240 temos 124 𝑑 0 𝑑 48 Assim a equação geral do plano CDE é 12𝑦 48 0 Vamos agora escrever as equações paramétricas do plano CDE As equações paramétricas são dadas por 𝑥 𝑥 1 ℎ𝑎 1 𝑡𝑎 2 𝑦 𝑦 1 ℎ𝑏 1 𝑡𝑏 2 𝑧 𝑧 1 ℎ𝑐 1 𝑡𝑐 2 Em que 𝑥 1 𝑦 1 𝑧 1 são as coordenadas do ponto C e 𝑎 1 𝑏 1 𝑐 1 e 𝑎 2 𝑏 2 𝑐 2 são as componentes dos vetores 𝐶𝐷 e 𝐶𝐸 respectivamente Portanto as equações paramétricas do plano CDE são 𝑥 2 ℎ 2 𝑡 2 𝑥 2 2ℎ 2𝑡 𝑦 4 ℎ0 𝑡0 𝑦 4 𝑧 0 ℎ0 𝑡6 𝑧 6t Vamos determinar os intervalos para os parâmetros 𝒉 e 𝒕 que definem os cortes da peça O intervalo de 𝑡 descreve a direção do plano descrito pelo vetor 𝐶𝐸 ou seja entre os pontos C e E Podemos obter o intervalo de valores para 𝑡 substituindo as coordenadas desses pontos na equação 𝑧 6t Ponto C240 𝑧 6𝑡 0 6𝑡 𝑡 0 Ponto E046 𝑧 6𝑡 6 6𝑡 𝑡 1 Portanto o intervalo para 𝑡 é 01 ou 0 𝑡 1 O intervalo para ℎ está compreendido entre os pontos C e D direção do vetor 𝐶𝐷 Para o ponto C240 temos 𝑡 0 𝑥 2 2ℎ 2𝑡 2 2 2ℎ 2 0 2 2 2ℎ ℎ 0 Antes de calcularmos o valor de ℎ no ponto D040 vamos achar o valor 𝑡 nesse ponto 𝑧 6𝑡 0 6𝑡 𝑡 0 O valor de ℎ no ponto D é 𝑥 2 2ℎ 2𝑡 2 2 2ℎ 2 0 0 2 2ℎ 21 ℎ 0 Portanto o intervalo para ℎ é 01 ou 0 ℎ 1 Tema 2 Equação geral do plano casos particulares Como podemos determinar as equações que definem os planos de cada uma das faces de uma peça Casos particulares da equação geral do plano Vamos estudar os casos particulares da equação geral do plano mostrada no Tema 1 No caso das constantes 𝑎 𝑏 𝑐 e 𝑑 serem nulas o plano irá ocupar uma posição particular no sistema de coordenadas cartesiano Equação do plano ax by cz d 0 com a b c e d não nulos Para a equação geral do plano 𝑎𝑥 𝑏𝑦 𝑐𝑧 d 0 em sua forma completa ou seja com todos as constantes 𝑎 𝑏 𝑐 e 𝑑 diferentes de zero o plano irá cortar os três eixos do sistema de coordenadas cartesiano Veremos um exemplo a seguir Seja o plano 𝜋 de equação 2𝑥 4𝑦 4𝑧 8 0 Vamos construir o gráfico do plano Começamos a construção do gráfico obtendo os pontos do plano 𝜋 que cortam os eixos do sistema de coordenadas cartesiano Vamos chamar de A o ponto do plano 𝜋 que toca o eixo 𝑥 Sabemos que um ponto do plano no eixo 𝑥 tem coordenadas 𝑦 0 e 𝑧 0 Substituindo na equação do plano temos 2𝑥 40 40 8 0 2𝑥 8 𝑥 4 Portanto o ponto de interseção do plano 𝜋 com o eixo 𝑥 é A400 Da mesma forma para obtermos o ponto B do plano 𝜋 que corta o eixo 𝑦 fazemos 𝑥 0 e 𝑧 0 na equação do plano 20 4𝑦 40 8 0 4𝑦 8 𝑦 2 O ponto de interseção do plano 𝜋 com o eixo 𝑦 é B020 Finalmente para o ponto C do plano 𝜋 que corta o eixo 𝑧 fazemos 𝑥 0 e 𝑦 0 na equação do plano 20 40 4𝑧 8 0 4𝑧 8 𝑧 2 O ponto do plano 𝜋 que intercepta o eixo 𝑧 é C002 Vamos representar os pontos de interseção A B e C de interseção do plano 𝜋 com os eixos do sistema cartesiano na Figura 5 Figura 5 Vamos agora fazer a representação do plano 𝜋 nos planos 𝑥O𝑧 𝑦O𝑧 e 𝑥O𝑦 Ao traçarmos um segmento de reta ligando os pontos A e C obtemos a interseção do plano 𝜋 com o plano 𝑥𝑧 𝑦 0 Da mesma forma o segmento de reta ligando os pontos A e B é a interseção do plano 𝜋 com o plano 𝑥𝑦 𝑧 0 e o segmento ligando os pontos B e C é a interseção do plano 𝜋 com o plano 𝑧𝑦 𝑥 0 Portanto o gráfico do plano 2𝑥 4𝑦 4𝑧 8 0 é mostrado na Figura 6 Figura 6 Plano paralelo ao eixo x a 0 Neste caso o plano é paralelo ao eixo 𝑥 Vamos considerar 𝑎 0 ao invés de 𝑎 2 na equação 2𝑥 4𝑦 4𝑧 8 0 ou seja 0𝑥 4𝑦 4𝑧 8 0 ou 4𝑦 4𝑧 8 0 equação do plano 𝜋 Os pontos de interseção do plano 𝜋 com os eixos 𝑦 e 𝑧 são B020 e C002 respectivamente conforme vimos no exemplo anterior Representamos na Figura 7 os pontos B e C e traçamos um segmento de reta ligando os pontos interseção do plano 𝜋 no plano 𝑦O𝑧 Figura 7 Vamos agora representar os pontos do plano 𝜋 para 𝑧 0 ou seja no plano 𝑥𝑂𝑦 Substituindo 𝑧 0 na equação do plano temos 4𝑦 40 8 0 4𝑦 8 𝑦 2 Sabemos que 𝑦 2 é uma reta paralela ao eixo 𝑥 pois para qualquer valor de 𝑥 temos 𝑦 2 Vamos construir uma tabela para obter pontos do gráfico atribuindo valores para 𝑥 x y 2 xy 1 2 12 2 2 22 3 2 32 UVA 1 UJ U N IJORGE Representamos na Figura 8 os pontos da tabela anterior no plano xy Já na Figura 9 tratamos uma reta passando pelos pontos no plano xy paralela ao eixo x Estamos representando uma parte do plano n no sistema de coordenadas cartesiano Sabemos que dois lados do plano paralelogramo são paralelos e têm o mesmo comprimento Podemos traçar o segmento no plano paralelo ao segmento CB na oulra extremidade do segmento no plano xy conforme ilustra a Figura 10 Finalmente tratamos o segmento do plano n no plano xz paralelo ao segmento no plano xy Figura 11 Plano paralelo ao eixo y b 0 Nesta situação o plano é paralelo ao eixo 𝑦 Como exemplo vamos considerar o plano 𝜋 de equação 2𝑥 0𝑦 4𝑧 8 0 ou 2𝑥 4𝑧 8 0 Os pontos de interseção do plano 𝜋 com os eixos 𝑥 e 𝑧 são A400 e C002 respectivamente Traçamos um segmento de reta ligando os pontos A e C para representamos a interseção do plano 𝜋 com o plano 𝑧𝑥 Figura 12 Figura 12 Vamos representar os pontos do plano para 𝑧 0 ou seja no plano 𝑥O𝑦 Substituindo 𝑧 0 na equação do plano temos 2𝑥 40 8 0 2𝑥 8 𝑥 4 Plano paralelo ao eixo z c 0 Neste caso o plano é paralelo ao eixo 𝑧 Vamos ver como exemplo o plano de equação 2𝑥 4𝑦 0𝑧 8 0 ou 2𝑥 4𝑦 8 0 equação do plano 𝜋 Os pontos de interseção do plano 𝜋 com os eixos 𝑥 e 𝑦 são A400 e B020 respectivamente Vamos representar os pontos do plano para 𝑦 0 ou seja no plano 𝑥𝑧 Substituindo 𝑦 0 na equação do plano temos 2𝑥 40 8 0 2𝑥 8 𝑥 4 Equação do plano com d 0 com dois dos coeficientes a b c iguais a zero Neste caso teremos um plano paralelo aos planos 𝑥𝑦 𝑦𝑧 ou 𝑥𝑧 Vamos ver a seguir cada uma dessas possibilidades Plano de equação 𝒛 𝐤 𝐤 é uma constante Seja o plano descrito pela equação 𝑧 2 Neste caso os coeficientes 𝑎 e 𝑏 e a constante 𝑑 da equação geral do plano 𝑎𝑥 𝑏𝑦 𝑐𝑧 𝑑 0 são iguais a zero Plano de equação 𝒚 𝐤 A equação do plano 𝑦 k em que k é um número real descreve os pontos de um plano paralelo aos planos 𝑥𝑦 Por exemplo a Figura 21 mostra o plano de equação 𝑦 2 Figura 21 Plano de equação 𝒙 𝐤 A equação do plano 𝑥 k em que k é um número real descreve os pontos de um plano paralelo aos planos 𝑥𝑧 Como exemplo a Figura 22 mostra o plano de equação 𝑥 4 Figura 22 Tema 3 Posições relativas entre planos Posições relativas entre planos e retas Utilização do siteaplicativo GeoGebra Como podemos determinar a direção dos painéis solares para posicionálos no local desejável para melhor aproveitamento da luz solar Ângulo entre dois planos No início desta unidade apresentamos uma situaçãoproblema envolvendo o cálculo do ângulo entre um painel solar e uma superfície plana horizontal Afinal como podemos saber o ângulo entres dois planos Na Figura 23 é indicado o vetor normal 𝑛 1 e 𝑛 2 de cada um dos planos e o ângulo 𝜃 entre os planos Vamos inicialmente verificar com o auxílio da Figura 24 que o ângulo entre os vetores 𝑛 1 e 𝑛 2 é igual ao ângulo 𝜃 entre os dois planos Figura 23 Estamos chamando de 𝛼 o ângulo entre o vetor 𝑛 2 e o plano horizontal Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 Desse modo para o triângulo retângulo da Figura 24 temos 𝜃 𝛼 90 180 Concluímos então que 𝜃 𝛼 90 Portanto o ângulo entre os vetores 𝑛 1 e 𝑛 2 é igual a 𝜃 pois a soma com o ângulo 𝛼 é igual a 90 Figura 24 Vamos aplicar a definição geométrica do produto escalar para calcular o ângulo entre os vetores 𝑛 1 e 𝑛 2 ângulo entre os planos ou seja 𝑛 1 𝑛 2 𝑛 1 𝑛 2 cos 𝜃 O ângulo entre dois planos é definido como o menor ângulo formado entre os vetores normais 𝒏 𝟏 e 𝒏 𝟐 de dois planos Destacamos na Figura 25 os vetores normais 𝑛 1 e 𝑛 2 aos dois planos da Figura 23 e o ângulo 𝜃 entre eles Figura 25 Devemos considerar nessa última equação o módulo do produto escalar pois o ângulo 𝜋 2 𝜃 entre os planos pode assumir valores entre 0 e 90 graus porque o cosseno de um ângulo entre 0 e 90 graus assume um valor entre 0 e 1 Portanto isolando cos 𝜃 na expressão anterior concluímos que cos 𝜃 𝑛 1 𝑛 2 𝑛 1 𝑛 2 0 𝜃 Vamos ver um exemplo de aplicação Um painel solar foi instalado formando um ângulo com relação a uma superfície plana de equação 𝑧 3 metros para melhor captação da luz solar A equação do plano que representa o painel solar na inclinação referida é 2𝑥 2𝑦 𝑧 2 0 Em qual ângulo foi posicionado o painel solar com relação à superfície Vamos chamar de 𝑛 1 o vetor normal do plano 𝑧 3 e de 𝑛 2 o vetor normal do plano 𝑥 𝑦 𝑧 2 0 Desse modo aplicando a equação anterior 0 2 0 2 5 2 1 2 1 2 1 2 cos 𝜃 0 0 5 1 1 1 cos 𝜃 5 0 1 0 1 51 5 3 87 cos 𝜃 057 Com o auxílio da calculadora encontramos o ângulo de 𝜃 55 entre o painel solar e a superfície Planos perpendiculares Dois planos são perpendiculares se o produto escalar entre o vetor normal de cada plano for igual a zero Podemos verificar se o ângulo entre o vetor normal 𝑛 1 e 𝑛 2 de cada um dos planos é de 90 graus Sabemos que o produto escalar entre dois vetores ortogonais é igual a zero Portanto dois planos são perpendiculares caso 𝑛 1 𝑛 2 0 𝑛 1 𝑛 2 Sejam as equações dos planos 2𝑥 3𝑦 2𝑧 1 0 e 3𝑦 2𝑧 3 0 que representam duas superfícies Verifique se os planos são perpendiculares O vetor normal ao plano 2𝑥 3𝑦 2𝑧 1 0 é 𝑛 1 231 e o vetor normal ao plano 𝑦 2𝑧 3 0 é 𝑛 2 0 33 Calculando o produto escalar entre os vetores 𝑛 1 e 𝑛 2 temos 𝑛 1 𝑛 2 231 0 13 𝑛 1 𝑛 2 2 0 3 1 13 𝑛 1 𝑛 2 0 Portanto os planos são ortogonais pois o produto escalar entre os vetores normais é zero Reta perpendicular a um plano A Figura 26 ilustra o caso de uma reta perpendicular a um plano Note que o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano são perpendiculares Portanto 𝑣 𝑛 0 𝑣 𝑛 Figura 26 Reta paralela a um plano Por outro lado caso a reta seja paralela ao plano conforme ilustra a Figura 27 o vetor diretor da reta é um múltiplo do vetor normal ou seja 𝑣 𝑘𝑛 0 𝑣 𝑛 Figura 27 Vamos ver um exemplo Seja um plano horizontal de equação 2𝑧 10 0 que descreve a altitude que os aviões devem manter em uma certa rota Dois aviões se movem com velocidade constante em trajetórias descritas por retas de equações paramétricas Avião 1 𝑥 1 400𝑡 km 𝑦 3 300𝑡 km 𝑧 6 km Avião 2 𝑥 50 km 𝑦 2 0 km 𝑧 3 400𝑡 km As distâncias são dadas em quilômetros e o tempo em horas Os aviões estão descrevendo trajetórias paralelas ou ortogonais com relação ao plano de equação 2𝑧 10 0 Um vetor normal ao plano 2𝑧 10 0 é 𝑛 002 Os vetores diretores das retas que descrevem as trajetórias dos aviões 1 e 2 são 𝑣 1 400 300 0 kmh e 𝑣 2 00 400 kmh respectivamente Vamos calcular o produto escalar entre o vetor normal do plano e os vetores diretores dos aviões 1 e 2 𝑛 𝑣 1 002 400 300 0 𝑛 𝑣 1 0 400 0 300 2 0 𝑛 𝑣 1 0 Portanto a trajetória do avião 1 é ortogonal ao plano de 2𝑧 10 0 pois o produto escalar é zero Para o avião 2 e o plano temos 𝑛 𝑣 2 002 00400 𝑛 𝑣 2 0 0 0 0 2 400 𝑛 𝑣 2 800 Como o produto é escalar não é nulo a reta não é perpendicular ao plano Agora vamos verificar se as retas são paralelas ao plano Para o avião 1 temos 𝑣 1 400 300 0 e o vetor normal do plano é 𝑛 002 Comparando os dois vetores podemos concluir que o vetor diretor da reta não é um múltiplo do vetor normal 𝑣 1 𝑘𝑛 Podemos fazer o produto vetorial entre os vetores 𝑣 1 e 𝑛 para verificarmos esse resultado Sabemos que o produto vetorial entre dois vetores paralelos é igual ao vetor nulo e calculamos o produto vetorial entre dois vetores 𝑢 𝑥 1 𝑦 1 𝑧 1 e 𝑣 𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2 pelo determinante 𝑢 𝑣 𝚤 𝚥 𝑘 𝑥 1 𝑦 1 𝑧 1 𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2 Substituindo as componentes do vetor 𝑣 1 e 𝑛 temos 𝑣 1 𝑛 𝚤 𝚥 𝑘 0 2 400 300 0 0 600𝚤 800𝚥 𝑣 1 𝑛 600𝚤 800𝚥 600 800 0 Portanto como o produto vetorial não é igual ao vetor nulo Logo os vetores 𝑣 1 e 𝑛 não são paralelos Para o avião 2 e o plano temos os vetores 𝑣 2 00 400 e o vetor normal do plano é 𝑛 002 Note que o vetor diretor da reta é um múltiplo do vetor normal do plano ou seja 𝑣 1 200𝑛 00400 Portanto a reta do avião 2 é paralela ao plano Podemos verificar esse resultado calculando o calcular o produto vetorial 𝑣 2 𝑛 𝚤 𝚥 𝑘 0 0 400 0 0 2 0𝚤 0𝚥 0𝑘 0𝑘 0𝚤 0𝚥 𝑣 2 𝑛 0 Vídeo Como o produto vetorial é igual ao vetor nulo a reta que descreve a trajetória do avião 2 é paralela ao plano 2𝑧 10 0 Para saber mais sobre reta contida em um plano interseção de dois planos e aplicação do GeoGebra assista ao vídeo Reta Contida em um Plano e Interseção de Dois Planos com o Geogebra publicado na unidade da disciplina no Ambiente Virtual de Aprendizagem Encerramento Como podemos determinar de maneira precisa a posição dos cortes de cada uma das faces planas de uma peça Podemos representar as dimensões de um dos planos de uma peça a partir dos vetores ℎ𝑢 e 𝑡𝑣 conforme ilustra a figura a seguir Sabemos como obter as equações paramétricas que descrevem um plano Conhecendo o intervalo de valores para os parâmetros ℎ e 𝑡 definimos o corte de cada plano conforme ilustra o exemplo mostrado no final do Tema 1 Como podemos determinar as equações que definem os planos de cada uma das faces de uma peça Precisamos conhecer o vetor normal de cada uma das faces planas da peça para encontrar a equação que descreve cada um dos planos Sabemos que o vetor normal de um plano que é paralelo a um dos eixos do sistema cartesiano somente tem uma componente diferente de zero na direção do respectivo eixo Por exemplo para um plano paralelo ao eixo 𝑥 o vetor normal é 𝑛 𝑎 00 Em uma peça formada por planos que cortam os três eixos do sistema de coordenadas o vetor normal de cada plano tem componentes na direção de cada um dos eixos Como podemos determinar a direção dos painéis solares para posicionálos no local desejável para o melhor aproveitamento da luz solar A direção de um painel solar plano é indicada pela direção do vetor normal ao plano Calculamos o ângulo entre o vetor normal do plano 𝑛 1 e o vetor normal da superfície horizontal 𝑛 2 aplicando o produto escalar a partir da seguinte equação cos 𝜃 𝑛 1 𝑛 2 𝑛 1 𝑛 2 Resumo da Unidade Tivemos a oportunidade de estudar nesta unidade diferentes formas de representação da equação do plano Usamos a equação vetorial do plano Aplicamos a equação paramétrica do plano para representar as faces planas de uma peça e determinar seus pontos de corte Podemos aplicar a equação vetorial do plano para determinar o ângulo entre dois planos e verificar se os pontos pertencem a um plano