Unidade II: Matemática - Plano Cartesiano e Funções

Profa Dra Deiby Gouveia UNIDADE II Matemática Plano Cartesiano Formado por duas retas reais perpendiculares denominadas eixo x e y Funções Plano cartesiano Fonte Livrotexto 2º quadrante 1º quadrante 3º quadrante 4º quadrante Ponto de origem Y eixo das ordenadas x eixo das abscissas 0 Par Ordenado Representa um único ponto no plano cartesiano e viceversa Notação P a b P a b ou P a b Exemplo A 1 3 C 0 2 B 1 2 D 3 0 Funções Par ordenado Fonte autoria própria 1 2 3 0 1 2 1 2 3 4 5 2 1 y x Os pontos 23 53 e 27 são vértices de um triângulo retângulo Determinar a área desse triângulo Funções Aplicação 0 1 2 3 4 5 7 6 5 4 3 2 1 x y Área do triângulo A b x h 2 Fonte autoria própria É o conjunto de todos os pares ordenados x y Notação matemática A e B não podem ser conjuntos vazios Representação Notação de conjuntos Diagrama de flechas e Plano Cartesiano Funções Produto cartesiano A x B A x B x x A e y B Exemplo Dados os conjuntos A 23 e B 013 pedese a Representar o Produto Cartesiano A x B utilizando 1 Notação do conjunto A x B Funções Produto cartesiano A x B 3 Plano Cartesiano 2 1 0 1 2 3 3 2 1 2 3 x y 2 Diagrama de Flechas Fonte autoria própria Função Funções Relação entre conjuntos f A B A e B não podem ser conjuntos vazios Cada elemento de A é relacionado a apenas um elemento de B R1 A B A 1 2 3 4 1 B 2 3 4 5 R3 A B A 1 2 3 4 B 1 2 3 4 5 A 1 2 3 4 B 1 2 3 4 5 R2 A B Fonte autoria própria Exemplo Verificar se o conjunto de pares 3 5 2 4 5 8 612 7 12 18 15 Constitui ou Não uma função Se a resposta for afirmativa determine o conjunto imagem dessa função Funções Relação entre conjuntos Fonte autoria própria Exemplo Verificar se o conjunto de pares 2 10 3 8 5 13 3 4 8 20 Constitui ou Não uma função Se a resposta for afirmativa determine o conjunto imagem dessa função Funções Relação entre conjuntos Fonte autoria própria Exemplos Determinar o Domínio das funções Funções Definindo o domínio de uma função O domínio da função é a 3 b 3 c 9 d R 0 e R Interatividade Resposta e R Resolução D R Resposta f A B pode ser representada por uma lei como y fx Tipos Funções de 1 grau Funções de 2 grau Função Exponencial Função Logarítmica Representação Tabela Diagrama de Flechas Representação no Plano Cartesiano Funções Funções definidas por fórmulas matemáticas Exemplo Dados os conjuntos A 1 2 3 e B 0 2 4 6 8 nos quais a relação de f A B é definida pela função fx 2x A Tabela B Diagrama de Flechas C Plano Cartesiano D f CD f Im f Funções Funções definidas por fórmulas matemáticas x y 2x x y Função do 1 grau é toda função f R R definida pela regra Obs a e b constantes coeficientes da função b coeficiente linear a coeficiente angular da reta Funções do 1º grau função linear ou afim y fx ax b com a e b R a 0 crescente a 0 decrescente a 0 constante Exemplo Representar graficamente as funções e identificar suas raízes a fx 2x 6 b fx 2x 6 c fx 2x 6 d fx 2x Função do 1º grau função linear ou afim Exemplo Dado o Sistema de Equações Ponto de intersecção de duas retas Função do 2 grau é toda função f R R definida pela regra 1º passo Análise do coeficiente a se a 0 CVC se a 0 CVB 2º passo Calcular os zeros ou raízes da função Função do 2º grau função quadrática y fx ax2 bx c com a b e c R OBS 0 a Equação admite duas raízes reais e iguais x x 0 a Equação admite duas raízes reais e diferentes x e x 0 a Equação não admite duas raízes reais 3º passo Calcular o vértice da parábola 4º passo Calcular o ponto que intercepta o eixo y eixo vertical Considerar x 0 Função do 2º grau função quadrática Exemplo Construa o gráfico da função fx x2 4x 5 Função do 2º grau função quadrática Exemplo Dada a função Rq q2 800q determinar a quantidade de peças que deve ser vendida para que a receita seja máxima Função do 2º grau função quadrática Aplicação Dado o Sistema de Equações 1 Passo Representar as duas funções no mesmo plano cartesiano y 2x 5 Raízes 0 5 25 0 Ponto de intersecção reta e parábola y x2 4x 4 32 x 083 x 483 Fonte Livrotexto 80 70 60 50 40 30 20 10 20 10 10 20 30 40 50 60 10 20 30 40 50 60 70 2 Passo Obter o PI das duas equações A Calcular as raízes da função 32 x 017 e x 583 B Achar os valores de y Substituir x e x em uma das equações y 2017 5 y 466 y 2583 5 y 666 Ponto de intersecção reta e parábola Ao igualar as duas funções uma nova função quadrática é formada Representação gráfica Ponto de intersecção reta e parábola Fonte Livrotexto PI 583 666 PI 017 466 80 70 60 50 40 30 20 10 20 10 10 20 30 40 50 60 10 20 30 40 50 60 70 Dadas as funções O Ponto de Intersecção das funções é a PI 140 720 b PI 720 140 c PI 140 720 d PI 20 240 e PI 240 20 Interatividade Resposta d PI 20 240 Resolução Determinar o PI das duas retas A Igualar as duas equações 6x 120 8x 400 14x 280 x 20 B Substituir o valor de x 20 em uma das equações para achar y y 620 120 y 240 PI 20 240 Resposta Definição Exemplo Determinar o valor de x da equação exponencial a 2x 16 b 13x 81 Equação Exponencial Definição ax1 ax2 x1 x2 Definição matemática Exemplos fx 2x função exponencial de base a 2 e b 1 fx 5 8x função exponencial de base a 8 e b 5 Comportamento da curva Função Exponencial Definição fx bax b 0 a 0 e a 1 a 1 e b 0 função crescente b 0 função decrescente 0 a 1 e b 0 função decrescente b 0 função crescente 1 caso a 1 e b 0 Função Exponencial Gráfico curva exponencial y bax Crescente 2 caso 0 a 1 e b 0 Decrescente 3 caso a 1 e b 0 Crescente Decrescente 4 caso 0 a 1 e b 0 Fonte autoria própria Exemplo Classifique as funções do tipo y bax em Crescente ou Decrescente a y 12x b y 2x c y 2x Função Exponencial Gráfico curva exponencial y bax a 1 e b 0 função crescente b 0 função decrescente 0 a 1 e b 0 função decrescente b 0 função crescente Definição matemática Exemplos log28 log232 Sistema de Logaritmo Decimal Neperiano de Neper Sistema de base e e 271828 também chamado de sistema de logaritmos naturais Logaritmo Definição log10x log x logex ln x logba x ax b a 0 a 1 e b 0 Propriedades Logaritmo Consequências da definição Fonte acervo próprio C1 loga10 C2 logaa1 C3 logaann C4 alogann C5 Se xy logax logay P1 Logaritmo do Produto loga MN loga M logaN P2 Logaritmo do Quociente logaa logaM logaN P3 Logaritmo da Potência logabnnlogab P4 Mudança de Base loga b M N logc b logc a Exemplo Utilizando as propriedades operatórias calcular log216 sabendo que log24 2 Logaritmo Definição matemática Exemplos fx 2log2 x fx log x Gráfico da função y blogax está localizado no I e IV quadrantes pois a função só é definida para x 0 Comportamento da curva Logaritmo Função logarítmica fx b logax com b 0 a 0 a 1 x 0 a 1 e b 0 função crescente b 0 função decrescente 0 a 1 e b 0 função decrescente b 0 função crescente Logaritmo Gráfico fx b logax Função Decrescente 0 a 1 e b 0 60 50 40 30 20 10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 x 20 10 10 20 30 40 50 y Fonte Livrotexto Logaritmo Gráfico fx b logax Função Crescente 0 a 1 e b 0 60 50 40 30 20 10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 x 20 10 10 20 30 40 50 y Fonte Livrotexto Logaritmo Gráfico fx b logax Função Crescente a 1 e b 0 60 50 40 30 20 10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 x 20 10 10 20 30 40 50 y Fonte Livrotexto Logaritmo Gráfico fx b logax Função Decrescente a 1 e b 0 60 50 40 30 20 10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 x 20 10 10 20 30 40 50 y Fonte Livrotexto Exemplo Classifique as funções Logarítmicas do tipo fx blogax em Crescente ou Decrescente a fx log2x b fx log12x c fx log2x Logaritmo Gráfico fx b logax a 1 e b 0 função crescente b 0 função decrescente 0 a 1 e b 0 função decrescente b 0 função crescente Definição Domínio Reais com Qx 0 Exemplo Outras funções Função Racional fx Px Qx 0 Qx Função Hipérbole Propriedades 1 Domínio são os reais exceto o zero 2 Quando x se aproxima de zero tende ao infinito Outras funções Função racional Fonte Livrotexto 60 50 40 30 20 10 60 50 40 30 20 10 10 20 30 40 50 60 10 20 30 40 50 Nos EUA em anos recentes a população pode ser modelada pela função exponencial pt 20510068t na qual p é a população em milhões e t é o tempo em anos com t 0 correspondendo a 1970 Em que ano a população ultrapassa a casa dos 300 milhões de pessoas a 1914 b 1970 c 1956 Interatividade d 2000 e 2026 Resposta correta e 2026 Resolução pt 205 10068t 300 205 10068t 300 10068t 205 146341 10068t Resposta OBS Como a variável está no expoente utiliza log dos dois lados da igualdade 146341 10068t log 146341 log 10068t log 146341 t log 10068 log 146341 t log 10068 t 0165366018 561856 0002943206 t 56 Se 1970 é t 0 então 1970 56 2026 Sistema linear com duas equações e duas incógnitas Sistema linear com três equações e três incógnitas Métodos 1 Método de substituição 2 Método de adição Sistema de equações Introdução É um conjunto de equações com duas ou mais incógnitas Está relacionada ao número de soluções que ele possui Sistema de equações Classificação do sistema Fonte acervo próprio Sistema Possível Impossível Sl sistema impossível Conjunto solução vazio Indeterminado SPl sistema possível e indeterminado Conjunto solução infinito Determinado SPD sistema possível e determinado Conjunto solução unitário Exemplos Sistema de equações Classificação do sistema SPI S 1 1 2 0 2 4 1 0 1 etc SI Não apresenta solução SPD S 1 6 Exemplo Resolver o sistema Sistema de equações Solução do sistema S x 1 e y 1 Dá a solução de um sistema de equações lineares em termos de determinantes Exigência número de equações número de incógnitas Resolução de sistemas usando a Regra de Cramer 1 passo Calcular o determinante da matriz dos coeficientes D 2 passo Verificar se a Regra de Cramer pode ser aplicada se D 0 se aplica a Regra de Cramer pois temos SPD se D 0 não se aplica a Regra de Cramer 3 passo Aplicar a Regra de Cramer x Dx y Dy D D Sistema de equações Regra de Cramer Exemplo Determinar os valores de x e y do sistema Sistema de equações S x 1 e y 1 Uso Sistemas do tipo 3 x 3 4 x 4 etc Passos Sistema de equações Regra de Sarrus Det Diagonal principal Diagonal secundária Fonte Adaptado de httpswwwtodamat eriacombrregra desarrus a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a21 a22 a31 a32 a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 Exemplo Determinar os valores de x e y do sistema Sistema de equações Regra de Sarrus Det 15 Dx 75 Dy 45 Dz 15 X 5 Y 3 Z 1 A relojoaria do Sr Joaquim consegue vender dez relógios a um preço de U 8000 Desejando aumentar as vendas ele resolveu reduzir o preço para R 6000 e verificou que a quantidade de relógios vendidos duplicou Utilizando a Regra de Cramer determine a função Demanda admitindo que seja uma função linear Sistema de equações Aplicação Dado o sistema a soma das incógnitas x e y é igual a a 05 b 15 c 19 d 35 e 2 Interatividade Resposta b 15 Resolução Logo a soma de x e y é igual a 15 Resposta ATÉ A PRÓXIMA