Matemática: Cadernos de Estudos e Pesquisas

Autores Prof Celso Ribeiro Campos Profa Deiby Santos Gouveia Profa Patrícia Alves Rodrigues Colaboradores Prof Flavio Celso Muller Martin Profa Ana Carolina Bueno Borges Prof Maurício Manzalli Matemática Professores conteudistas Celso Ribeiro Campos Deiby Santos Gouveia Patrícia Alves Rodrigues Todos os direitos reservados Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma eou quaisquer meios eletrônico incluindo fotocópia e gravação ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem permissão escrita da Universidade Paulista Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP C198m Campos Celso Ribeiro Matemática Celso Ribeiro Campos Deiby Santos Gouveia Patrícia Alves Rodrigues São Paulo 2022 140 p il Nota este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e Pesquisas da UNIP Série Didática ISSN 15179230 1 Números reais 2 Expressões algébricas 3 Funções I Gouveia Deiby Santos II Rodrigues Patrícia Alves III Título CDU 51 Celso Ribeiro Campos É físico engenheiro mecânico mestre em Ensino de Matemática pela PUCSP e doutor em Educação Matemática pela Unesp É professor de Matemática desde 1990 tendo passado por diversas instituições de Ensino Superior em São Paulo Atua na UNIP desde 2007 na qual é professor e líder de diversas disciplinas na área de Matemática e Estatística nas instituições de ensino FIEO nas Faculdades Integradas Campos Salles e na PUCSP é membro do grupo de pesquisa em educação estatística da Unesp e é associado da Sociedade Brasileira de Educação Matemática SBEM Também é autor do livro Matemática Financeira lançado em 2010 pela editora LCTE coautor do livro Educação Estatística Teoria e Prática em Ambientes de Modelagem Matemática lançado em 2011 pela editora Autêntica e autor de diversos materiais didáticos na área de Matemática e Estatística para o segmento de Educação a Distância da UNIP Deiby Santos Gouveia É licenciada em Química 2000 e mestre em Química 2002 pela Universidade Federal da Paraíba Atuou em 2003 como técnica na área de Células a Combustível pelo Instituto de Pesquisas Energéticas e Nucleares IPENUSP Em 2008 obteve o título de doutora em Engenharia de Materiais pelo mesmo instituto na área de Biomateriais É professora desde 2006 tendo trabalhado em diversas instituições de ensino Na Universidade Paulista UNIP atua desde 2008 como professora em diversas disciplinas na área de Matemática Estatística e Tecnologia da Informação Na EaD ministra aula para os cursos de Economia e para o Pronatec Além disso é coordenadora auxiliar da Empresa Júnior JUNIP Patrícia Alves Rodrigues É licenciada em Matemática mestre em Ciências da Computação pelo IMEUSP e doutoranda em Ciências da Computação também pelo IMEUSP É professora de Matemática e computação desde 2001 tendo trabalhado em diversas instituições de ensino em São Paulo Na UNIP atua desde 2008 como professora e líder de diversas disciplinas na área de Matemática Estatística e Tecnologia de Informação Além disso atua também no desenvolvimento e na aplicação de cursos para aperfeiçoamento de professores de Matemática no IMEUSP e faz parte do grupo de pesquisa do Laboratório de Ensino de Matemática da USP LEMUSP trabalhando no desenvolvimento de ferramentas matemáticas para EaD U51561 22 Prof Dr João Carlos Di Genio Reitor Profa Sandra Miessa Reitora em Exercício Profa Dra Marilia Ancona Lopez ViceReitora de Graduação Profa Dra Marina Ancona Lopez Soligo ViceReitora de PósGraduação e Pesquisa Profa Dra Claudia Meucci Andreatini ViceReitora de Administração Prof Dr Paschoal Laercio Armonia ViceReitor de Extensão Prof Fábio Romeu de Carvalho ViceReitor de Planejamento e Finanças Profa Melânia Dalla Torre ViceReitora de Unidades do Interior Unip Interativa Profa Elisabete Brihy Prof Marcelo Vannini Prof Dr Luiz Felipe Scabar Prof Ivan Daliberto Frugoli Material Didático Comissão editorial Profa Dra Christiane Mazur Doi Profa Dra Angélica L Carlini Profa Dra Ronilda Ribeiro Apoio Profa Cláudia Regina Baptista Profa Deise Alcantara Carreiro Projeto gráfico Prof Alexandre Ponzetto Revisão Marcilia Brito Ana Fazzio Sumário Matemática APRESENTAÇÃO 7 INTRODUÇÃO 7 Unidade I 1 NÚMEROS REAIS 9 11 Introdução 9 12 Conjunto elemento e pertinência9 121 Principais classificações 12 122 Operações 13 13 Conjuntos numéricos representações e operações 18 131 Conjunto dos números naturais 18 132 Conjunto dos números inteiros 18 133 Conjunto dos números racionais19 134 Conjunto dos números irracionais 21 135 Conjunto dos números reais 21 14 Arredondamento 22 15 Intervalos 23 151 Operações com intervalos 27 2 EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 28 21 Operações com frações 28 22 Operações com expressões numéricas31 23 Potenciação e radiciação 32 24 Operações com expressões algébricas 34 25 Valor numérico de expressões algébricas 35 26 Fatoração e simplificação 36 3 EQUAÇÕES 37 31 Introdução 37 32 Equação do 1º grau 38 33 Equação do 2º grau 40 4 INEQUAÇÕES 42 41 Introdução 42 42 Inequação do 1º grau 43 43 Inequação do 2º grau 45 Unidade II 5 FUNÇÕES 53 51 Conceitos introdutórios 53 511 Plano cartesiano 53 512 Par ordenado 54 513 Produto cartesiano AxB 55 514 Relações 58 515 Domínio e imagem 58 52 Conceitos elementares de função 59 521 Domínio e imagem análise gráfica 62 53 Funções definidas por fórmulas matemáticas 63 54 Função do 1º grau função linear ou afim66 541 Ponto de intersecção de duas retas 73 55 Função do 2º grau função quadrática 75 551 Ponto de intersecção reta e parábola 83 56 Equação exponencial 86 57 Função exponencial 89 571 Crescimento exponencial 94 58 Logaritmos 95 59 Função logarítmica 97 510 Outras funções 100 5101 Função polinomial100 5102 Função racional 101 6 SISTEMA DE EQUAÇÕES102 61 Introdução 102 62 Identificando um sistema de equações 102 63 Classificação dos sistemas 103 64 Solução do sistema 105 641 Métodos de adição e subtração 105 642 Regra de Cramer 109 Unidade III 7 REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA 121 71 Introdução 121 72 Grandezas diretamente proporcionais121 73 Grandezas inversamente proporcionais 122 74 Regra de três simples 123 75 Regra de três composta 124 8 PORCENTAGEM 126 81 Porcentagens ou taxas percentuais 126 82 Fator multiplicativo 128 83 Taxa percentual de variação 130 84 Lucro sobre o preço de custo e sobre o preço de venda 131 7 APRESENTAÇÃO Caro aluno Seja bemvindo ao nosso curso É grande a satisfação de recebêlo na qualidade de aprendiz dessa disciplina que tanto nos intriga e nos desafia Preparamos este material para que você possa evoluir de forma consistente e progressiva ao longo dos principais conceitos básicos que norteiam o estudo da Matemática Os módulos apresentam os conteúdos de forma progressiva e estão repletos de exemplos dos tópicos conceituais Além disso apresentamos referências e indicações de leitura para que você possa compreender melhor e aprofundar os assuntos estudados De maneira genérica podemos dizer que o objetivo desse curso é possibilitar a você um sólido desenvolvimento dentro dos conceitos básicos da Matemática de modo que seja possível entender e operar suas principais ferramentas Esperamos que você construa uma base de conhecimento que possibilite entender a Matemática como uma aliada em sua formação profissional INTRODUÇÃO A Matemática é uma ciência de grande relevância na formação profissional do aluno das mais diversas carreiras Assim nesta disciplina procuraremos dar prioridade aos conteúdos que apresentam ferramentas essenciais para o entendimento dessa ciência tendo em vista a aplicabilidade a ser trabalhada em outras disciplinas Dessa forma objetivamos apresentar os conteúdos básicos de Matemática de forma gradual ou seja desde seus princípios mais rudimentares até uma álgebra mais elaborada representada pelo estudo das funções No estudo das funções particularmente buscaremos aparelhálo com as ferramentas necessárias à modelização de problemas que envolvem a relação de dependência entre duas variáveis quantitativas Por outro lado visamos ainda possibilitar o desenvolvimento de um modo de expressão mais crítico e criativo quando da aplicação das funções matemáticas porcentagens e demais conteúdos aqui abordados na solução de problemas Acreditamos que o conhecimento matemático ilustrado neste trabalho auxiliará sobremaneira o futuro profissional a enfrentar os desafios típicos do exercício da profissão com a devida confiança e competência 9 MATEMÁTICA Unidade I 1 NÚMEROS REAIS 11 Introdução A origem da Matemática se deu há milhares de anos ou seja desde que o homem sentiu a necessidade de fazer contagens Ao longo de muitas civilizações as representações numéricas e suas operações foram evoluindo e a notação que prevaleceu foi a dos algarismos hinduarábicos Uma forma de organização dos números muito difundida foi a dos conjuntos na qual existe certa hierarquia de classificação dos números Começaremos nosso curso com o estudo dos conjuntos de maneira genérica para aplicarmos em diversos contextos essa noção de organização numérica que é mais utilizada atualmente pelos estudiosos da Matemática Estudada desde os primeiros anos da Educação Básica a teoria dos conjuntos é vista como um fator integrador de toda a Matemática pois todos os assuntos dos quais ela trata acabam de uma forma ou de outra derivando da noção de conjunto 12 Conjunto elemento e pertinência Três noções básicas são consideradas primitivas isto é são aceitas sem a necessidade de definição São elas conjunto elemento pertinência entre elemento e conjunto Embora não seja preciso fazer definição alguma sobre essas ideias podemos indicar algumas de suas características conjunto sua noção matemática se assemelha ao significado comum da palavra que indica coleção ou agrupamento Alguns exemplos conjunto das letras do alfabeto 10 Unidade I conjunto dos planetas do Sistema Solar conjunto dos meses do ano conjunto dos algarismos romanos conjunto dos números pares conjunto dos números primos conjunto das soluções da equação x² 4 elemento cada item que compõe um conjunto é chamado de elemento Nos conjuntos citados anteriormente temos os seguintes elementos conjunto das letras do alfabeto a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z conjunto dos planetas do Sistema Solar Mercúrio Vênus Terra Marte Júpiter Saturno Urano Netuno conjunto dos meses do ano janeiro fevereiro março abril maio junho julho agosto setembro outubro novembro dezembro conjunto dos algarismos romanos I V X L C D M conjunto dos números pares 0 2 4 6 8 etc conjunto dos números primos 2 3 5 7 11 13 etc conjunto das soluções da equação x² 4 2 2 pertinência entre elemento e conjunto quando um elemento faz parte de um conjunto afirmamos que ele pertence a esse conjunto Por exemplo o número 2 pertence ao conjunto dos números pares mas o número 3 não pertence a esse conjunto Um conjunto pode ser formado por números letras nomes ou até mesmo por outros conjuntos o que indica que um conjunto pode ser elemento de outro conjunto Podemos pensar por exemplo no conjunto dos clubes de futebol que disputam a primeira divisão do Campeonato Brasileiro Esse conjunto é formado por times de futebol e cada time por sua vez é formado por um conjunto de jogadores Geralmente um conjunto é indicado por letras maiúsculas A B C etc e seus elementos são indicados por letras minúsculas x y a b c etc 11 MATEMÁTICA Um conjunto ainda pode ser indicado com seus elementos representados entre chaves ou por uma descrição Exemplo A conjunto dos números de um dado A 1 2 3 4 5 6 Quando um conjunto é infinito representamos alguns de seus elementos e depois colocamos reticências Exemplo B conjunto dos números pares B 0 2 4 6 Se um conjunto for finito mas tiver uma quantidade muito grande de elementos também podemos usar reticências basta que indiquemos o último elemento do conjunto para representar sua finitude Exemplo C conjunto dos múltiplos de 3 menores que 100 C 0 3 6 9 99 Em notação matemática usase o símbolo para indicar que um elemento pertence a um conjunto e para indicar que um elemento não pertence a um conjunto Por exemplo sendo A o conjunto dos números pares e B o conjunto dos números ímpares em notação de conjuntos temos A 0 2 4 6 8 10 B 1 3 5 7 9 11 Para indicar que o 2 pertence ao conjunto dos números pares escrevemos 2 A Para indicar que o 2 não pertence ao conjunto dos números ímpares escrevemos 2 B De um modo geral se A é um conjunto e x é um elemento desse conjunto podemos escrever x A Por outro lado se x não é um elemento do conjunto A escrevemos x A Costumase usar um círculo para representar um conjunto e seus elementos Esse tipo de notação se chama diagrama de Venn Veja a seguir a representação dos conjuntos dos números pares A e dos números ímpares B 12 Unidade I A B 0 2 6 4 8 1 3 7 5 9 Figura 1 Diagrama de Venn Também podemos designar um conjunto por meio de uma propriedade ou característica Por exemplo o conjunto dos estados da região Sudeste do Brasil pode ser representado pela seguinte notação D x x é um estado da região Sudeste do Brasil lêse conjunto dos elementos x tal que x é um estado da região Sudeste do Brasil 121 Principais classificações Existem três classificações de conjuntos muito utilizadas no que diz respeito ao número de elementos São elas Conjunto vazio é aquele que não possui elemento algum e é indicado por ou Exemplo Seja M o conjunto dos meses do ano que começam com a letra P assim M ou M Já que nenhum mês do ano começa pela letra P o conjunto M é vazio Vejamos outro exemplo C x x 4 e x 3 Essa notação indica que o conjunto C é composto pelos elementos maiores que 4 e simultaneamente menores que 3 Porém como não existe nenhum número que satisfaça essa condição o conjunto C é vazio Conjunto unitário é aquele que possui um único elemento Exemplo Seja M o conjunto dos meses do ano que possuem exatamente quatro letras assim 13 MATEMÁTICA M maio Como apenas o mês de maio satisfaz a condição apresentada esse conjunto possui apenas um elemento e recebe a denominação de conjunto unitário Vejamos outro exemplo C x x 2 5 3 Essa notação indica que o conjunto C é composto pelos elementos que ao serem somados ao número 2 resultam em 5 Nesse caso especificamente apenas o número 3 satisfaz a condição assim o conjunto C é composto apenas por um elemento e também recebe a denominação de conjunto unitário Conjunto universo essa designação é usada geralmente quando se desenvolve um assunto em Matemática e se quer indicar todos os elementos utilizados no referido assunto Esse conjunto é representado por U Por exemplo em um estudo sobre pesos de pessoas o conjunto universo tem por elementos os números positivos afinal não faz sentido usar números negativos para representar pesos Outro exemplo em um estudo sobre os meses do ano o conjunto universo terá como elementos os 12 meses do ano 122 Operações Igualdade Dizemos que dois conjuntos A e B são iguais quando todos os elementos de A são também elementos de B e viceversa Por exemplo seja A o conjunto das vogais em ordem crescente assim A a e i o u e B o conjunto das vogais em ordem decrescente assim B u o i e a Observe que todos os elementos do conjunto A são iguais aos do conjunto B portanto o conjunto A é igual ao conjunto B Em notação A B Considere agora os seguintes conjuntos C x x 5 12 D 7 O conjunto C é composto dos elementos que somados ao número 5 resultam em 12 Nesse caso apenas o número 7 satisfaz a condição Como o conjunto C é composto apenas do elemento 7 e o conjunto D também esses conjuntos são iguais Logo C D Como consequência da definição de igualdade temos A B A diferente de B se ao menos um elemento de A não pertence a B ou ao menos um elemento de B não pertence a A 14 Unidade I Observação Note que a ordem dos elementos do conjunto não é importante para a noção de igualdade Outra observação que precisamos fazer é que os elementos na notação de conjuntos não devem ser repetidos Subconjunto Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se e somente se todo elemento de A também for elemento de B Para indicar a situação de subconjunto escrevemos A B Por exemplo a a b c d e Essa ideia de inclusão também pode ser representada por meio do diagrama de Venn A B Figura 2 Subconjunto Outra notação que deriva da ideia de inclusão é B A que indica que o conjunto B contém o conjunto A Além disso se o conjunto A não for subconjunto de B podemos escrever A B Exemplo a b c a e i o u Assim usando a premissa de inclusão podemos escrever a igualdade da seguinte forma A B A B e B A Lembrete O símbolo significa se e somente se Sendo A B e C três conjuntos genéricos podemos observar quatro propriedades relativas ao conceito de inclusão 15 MATEMÁTICA A o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto A A todo conjunto é subconjunto de si mesmo se A B e B C A C propriedade transitiva se A B e B A A B União ou reunião Dados dois conjuntos A e B quaisquer chamase união de A com B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B Em símbolos a união é indicada assim A B x x A ou x B Por exemplo A 1 2 3 4 e B 2 4 6 8 10 A B 1 2 3 4 6 8 10 No diagrama de Venn podemos indicar a união de seguinte forma B 2 4 8 6 10 A 1 2 4 3 A B 1 2 3 6 10 4 8 União de A com B Figura 3 União de conjuntos no diagrama de Venn Intersecção Dados dois conjuntos A e B quaisquer chamase intersecção de A com B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B Em símbolos a intersecção é indicada assim 16 Unidade I A B x x A e x B Por exemplo A 1 2 3 4 e B 2 4 6 8 10 A B 2 4 No diagrama de Venn podemos indicar a intersecção por meio da área sombreada 8 6 10 A 1 2 4 3 B Figura 4 Intersecção de conjuntos no diagrama de Venn Observação Quando a intersecção dos conjuntos é um conjunto vazio denominamonos conjuntos disjuntos ou seja se A B dizemos que os conjuntos A e B são disjuntos Diferença Dados dois conjuntos A e B quaisquer chamase diferença entre o conjunto A e o conjunto B o conjunto de todos os elementos de A que não pertencem ao conjunto B Em símbolos a diferença entre conjuntos é indicada assim A B x x A e x B Por exemplo A 1 2 3 4 e B 2 4 6 8 10 A B 1 3 17 MATEMÁTICA No diagrama de Venn podemos indicar a diferença entre conjuntos por meio da área sombreada 8 6 10 A 1 2 4 3 B Figura 5 Diferença de conjuntos no diagrama de Venn Complementar Dados dois conjuntos A e B quaisquer se B é subconjunto de A a diferença entre os conjuntos A e B é denominada complementar do subconjunto B Em símbolos a complementar de B em relação a A é indicada assim B A Bc A B x x A e x B Por exemplo A 2 4 6 8 10 e B 2 4 A B 6 8 10 No diagrama de Venn podemos indicar a complementar do subconjunto B por meio da área sombreada A B 8 6 10 2 4 Figura 6 O complementar do subconjunto B no diagrama de Venn Adotando U para o conjunto universo e A e B como dois subconjuntos quaisquer de U são válidas as seguintes propriedades c U Uc 18 Unidade I A Ac U A Ac Acc A A Bc Ac Bc A Bc Ac Bc 13 Conjuntos numéricos representações e operações 131 Conjunto dos números naturais O conjunto dos números naturais é composto de todos os números inteiros não negativos Ele é representado pela seguinte notação N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Observação Usase o asterisco para indicar que o zero não pertence ao conjunto Veja o exemplo N 1 2 3 4 5 6 7 8 132 Conjunto dos números inteiros O conjunto dos números inteiros é composto de todos os números inteiros positivos e negativos e também pelo zero Esse conjunto é representado pela seguinte notação Z 4 3 2 1 0 1 2 3 4 Z 4 3 2 1 1 2 3 4 Observação O conjunto dos números naturais é um subconjunto do conjunto dos números inteiros já que todos os seus elementos também pertencem ao conjunto dos inteiros Essa relação pode ser assim representada N Z Módulo de um número inteiro O módulo de um número inteiro é a distância entre 0 zero e o número x em unidades Por exemplo a distância do número 5 até 0 zero em unidades é 5 e a distância do número 5 até 0 zero também é 5 Como o módulo mede a distância de um número até o zero ele nunca assumirá valores negativos Por essa razão ao se extrair um número de um módulo ele sempre será positivo A notação de módulo é dada por duas barras verticais como demonstrado a seguir 5 5 5 5 Observe que para extrair um número do módulo é só tirar as barras verticais e o sinal do número quando este for negativo 133 Conjunto dos números racionais O conjunto dos números racionais é composto de todos os números que podem ser escritos na forma de fração com denominador não nulo Esse conjunto pode ser representado pela seguinte notação Q a b a Z e b Z lêse a b tal que a pertence ao conjunto dos números inteiros e b pertence ao conjunto dos números inteiros não nulos Vejamos alguns exemplos 2 5 1 3 5 3 05 1 2 0333 Note que todos os números inteiros podem ser escritos em forma de fração já que todos eles são divisíveis pelo número 1 e podem ser escritos da seguinte forma x 1 onde x Alguns exemplos de números inteiros escritos em forma de fração podem ser verificados a seguir 5 5 1 2 2 1 12 12 1 Portanto o conjunto dos números inteiros é um subconjunto do conjunto dos números racionais e pode ser representado pela notação Z Q Decimal finito Todo número decimal finito ou seja que possui um número exato de algarismos após a vírgula pertence ao conjunto dos números racionais já que é possível que ele seja escrito em forma de fração Veja alguns exemplos 05 1 2 075 3 4 01 1 10 025 1 4 Decimal infinito periódico Todo número decimal infinito periódico possui um número sequencial repetitivo e infinito de algarismos após a vírgula e pertence ao conjunto dos números racionais já que é possível que ele seja escrito em forma de fração Por exemplo 1 3 033333033 5 3 16666166 Observação Note que usamos um traço sobre o valor que será repetido infinitamente no número decimal infinito periódico Para encontrar o valor decimal periódico de uma fração basta dividir o numerador pelo denominador Para obter o decimal da fração 13 por exemplo basta dividir o número 1 pelo número 3 obtendo como resultado 033333 Lembrete Um número decimal infinito periódico também é conhecido por dízima periódica A fração que dá origem à dízima periódica por sua vez é denominada fração geratriz 21 MATEMÁTICA No entanto escrever a fração de um valor expresso em decimal infinito periódico não é tão simples Para isso podese usar a seguinte estratégia 1º passo faça x 033333 2º passo multiplique ambos os lados por 10 10x 333333 3º passo subtraia 10x 333333 x 033333 9x 3 4º passo Isole o x e obtenha a fração geratriz de 03333 x 3 9 1 3 134 Conjunto dos números irracionais O conjunto dos números irracionais é composto de todos os números que não possuem representação na forma de fração ou seja são números que na forma decimal não são periódicos e não têm um número finito de casas É comum representar o conjunto dos números irracionais pelo símbolo I Vejamos alguns exemplos 0123456 1401020304 π 314 2 14142135 3 17320508 135 Conjunto dos números reais O conjunto dos números reais é formado pela união dos números racionais e irracionais ou seja Q I R O mais comum é representar os números reais pela reta geométrica dos reais formada por todos os números reais nela inseridos uma única vez e em ordem crescente 22 Unidade I Exemplo da representação geométrica de R 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 05 π R 3 4 2 Figura 7 Reta dos números reais R Q Z N I N Z Q R Figura 8 Representação do conjunto dos números reais no diagrama de Venn 14 Arredondamento A aplicação da regra de arredondamento nos números se mostra particularmente útil quando estes possuem infinitos algarismos Para isso basta aplicar a seguinte regra verifique se o algarismo que se encontra imediatamente à direita do algarismo da ordem que se deseja arredondar é maior ou igual a 5 Se for incrementeo em 1 caso contrário mantenhao A seguir alguns exemplos Ao arredondar o número 126378 para duas casas decimais obtemos 1264 Acompanhe 126378 Ao arredondar o número para duas casas decimais iremos cortálo no segundo algarismo após a vírgula sendo o número 3 o algarismo da ordem 126378 O número que vem imediatamente após o 3 é o 7 que é maior do que 5 assim o número 3 deve ser incrementado em 1 1264 23 MATEMÁTICA Assim substitua o número 3 por 4 e teremos que o número 126378 foi arredondado para duas casas decimais ficando 1264 Se o número fosse 126328 veja como ficaria 126328 O número que vem imediatamente após o 3 é o 2 que é menor do que 5 assim o número 3 deve ser mantido 126328 Ao arredondar o número para duas casas decimais iremos cortálo no segundo algarismo após a vírgula sendo o número 3 o algarismo da ordem 1263 Desse modo o número 126328 foi arredondado para duas casas decimais ficando 1263 15 Intervalos Intervalos são subconjuntos do conjunto dos números reais Eles podem ser expressos diretamente na reta dos reais ou pelos delimitadores Dados dois números reais a e b com a b temse as seguintes notações de intervalos Intervalo aberto Quadro 1 Representado na reta dos reais Representado pelos delimitadores a b R abx R a x b Observação A bolinha aberta indica que os extremos a e b não pertencem ao intervalo 24 Unidade I Por exemplo 3 5 R 35x R 3 x 5 Figura 9 O intervalo ilustrado anteriormente representa todos os números maiores que 3 e menores que 5 ou seja todos os números entre 3 e 5 Intervalo fechado Quadro 2 Representado na reta dos reais Representado pelos delimitadores a b R abx R a x b Observação A bolinha fechada indica que os extremos a e b pertencem ao intervalo Por exemplo 35x R 3 x 5 3 5 R Figura 10 O intervalo ilustrado representa todos os números maiores ou iguais a 3 e menores ou iguais a 5 ou seja todos os números entre 3 e 5 incluindo o 3 e o 5 Intervalo aberto à direita Quadro 3 Representado na reta dos reais Representado pelos delimitadores a b R abx R a x b 25 MATEMÁTICA Por exemplo 35x R 3 x 5 3 5 R Figura 11 O intervalo ilustrado na imagem anterior representa todos os números maiores ou iguais a 3 e menores que 5 ou seja todos os números entre 3 e 5 incluindo o 3 Intervalo aberto à esquerda Quadro 4 Representado na reta dos reais Representado pelos delimitadores a b R abx R a x b Exemplo 35x R 3 x 5 3 5 R Figura 12 O intervalo ilustrado na figura 12 representa todos os números maiores que 3 e menores ou iguais a 5 ou seja todos os números entre 3 e 5 incluindo o 5 Intervalos infinitos Quadro 5 Representado na reta dos reais Representado pelos delimitadores b R bx R x b b R bx R x b a R a x R x a a R a x R x a 26 Unidade I Observação O símbolo representa o infinito positivo e o representa o infinito negativo Observe mais alguns exemplos 5x R x 5 5 R Figura 13 O intervalo ilustrado anteriormente representa todos os números menores ou iguais a 5 5x R x 5 5 R Figura 14 O intervalo ilustrado anteriormente representa todos os números menores que 5 3 x R x 3 3 R Figura 15 O intervalo ilustrado anteriormente representa todos os números maiores ou iguais a 3 3 x R x 3 3 R Figura 16 O intervalo ilustrado anteriormente representa todos os números maiores que 3 27 MATEMÁTICA 151 Operações com intervalos Seja A e B os seguintes intervalos numéricos Ax R 1 x 111 1 R 1 Bx R 0 x 505 0 R 5 Figura 17 A configuração da união desses intervalos seria representada por 1 1 A Bx R 1 x 515 0 5 A 1 5 B A B Figura 18 A seguir a representação da intersecção dos intervalos A e B 1 1 A Bx R 0 x 101 0 5 A B A B 0 1 Figura 19 28 Unidade I A diferença entre os intervalos em questão ficaria conforme ilustram as imagens a seguir 1 1 A Bx R 1 x 010 0 5 A B A B 0 1 Figura 20 1 1 B Ax R 1 x 515 0 5 A B B A 5 1 Figura 21 Saiba mais Você encontrará curiosidades e informações interessantes sobre os números em BELLOS A Alex no país dos números uma viagem ao mundo maravilhoso da matemática São Paulo Companhia das Letras 2011 2 EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 21 Operações com frações Adição ou subtrações de frações Nas adições ou subtrações de frações de mesmo denominador mantémse o denominador e efetuase o cálculo apenas dos valores do numerador Observe os exemplos a seguir Porém em adições ou subtrações de frações de denominadores diferentes uma forma rápida de realizar o cálculo é aplicar a seguinte regra a b c d adcb bd Vejamos alguns exemplos 2 5 4 3 2345 53 620 15 26 15 2 5 4 3 2345 53 620 15 14 15 Outra técnica para efetuar essas somas e subtrações de frações de denominadores diferentes é por meio do Mínimo Múltiplo Comum MMC Por exemplo para calcular 2 10 4 6 3 2 1 passo calcular o MMC dos denominadores 1062 2 531 3 511 5 Ao multiplicar os divisores entre si obtemos o MMC 10 6 2 235 30 2 passo reescrever a fração alocando no denominador o MMC encontrado 3010230643023 30 3254153 62045 30 1445 30 31 30 Portanto 2 10 4 6 3 2 31 30 Multiplicação de frações Para multiplicar frações multiplique o numerador pelo outro numerador e o denominador pelo outro denominador como exemplificado a seguir a b c d ac bd 2 5 4 3 24 53 8 15 A regra dos sinais para multiplicação é 1 x 1 1 1 x 1 1 1 x 1 1 1 x 1 1 Observação Sempre que possível expresse as frações de forma irredutível ou seja de tal modo que o denominador e o numerador não tenham divisores comuns Veja o exemplo 2 10 1 5 Divisão de frações O processo de divisão de frações é simples Para realizálo é preciso apenas multiplicar o numerador pelo inverso do denominador como demonstrado a seguir a b c d b c a d A regra dos sinais para a divisão é idêntica à da multiplicação pois uma operação é a inversa da outra 22 Operações com expressões numéricas Nos cálculos de expressões numéricas é necessário obedecer a seguinte ordem e prioridade Ordem 1º Potenciação ou radiciação 2º Multiplicação ou divisão 3º Adição ou subtração Prioridade 1º Parênteses 2º Colchetes 3º Chaves Veja alguns exemplos Exemplo 1 14 6 2 14 3 17 Exemplo 2 14 6 2 20 2 10 Exemplo 3 3 x 2 15 3 6 5 1 Exemplo 4 3 x 2 15 3 3 x 13 39 3 13 Ao compararmos o exemplo 1 com o 2 e o 3 com o 4 observamos que apesar das expressões serem muito semelhantes os resultados são diferentes Isso se dá pela prioridade dos parênteses presentes nos exemplos 2 e 4 Exemplo 5 30 5 12 3 x 3 x 2 15 3 14 6 2 30 5 4 x 6 5 20 2 6 4 x 1 20 2 2 x 1 10 2 2 10 12 23 Potenciação e radiciação A potenciação representa a multiplicação de um número por ele mesmo diversas vezes como mostra o esquema a seguir aⁿ a a a n vezes A operação oposta à potenciação é a radiação expressa pela seguinte relação a b bⁿ a E que a e b são números reais e n é um número inteiro positivo Além disso n é o índice a é o radicando b é a raiz e é o radical Propriedades da radiação aⁿ a ab ab na na ma aⁿ ab ab b 0 Observação Quando o índice da raiz for 2 não precisamos escrevêlo ele fica subentendido como no exemplo 5 5 Observe 25 5 8 2³ 22²2 22 ³5³ ³15 15 24 Operações com expressões algébricas As expressões algébricas são operações matemáticas compostas de números eou letras e classificadas por Monômio expressão algébrica composta de apenas um termo Exemplos 35 MATEMÁTICA 100 5x 43ab3 Binômio expressão algébrica composta de dois monômios Exemplos 100 5x 5x 43ab3 x 2 Trinômio expressão algébrica composta de três monômios Exemplos 100 5x 43ab3 2x2 x 2 a3 bc ab2 Polinômio expressão algébrica composta de mais de três monômios Exemplos 2x2 x 2 y b a3 bc ab2 3ac 5b Adição e subtração A adição e a subtração de expressões algébricas só são possíveis a partir da soma ou da subtração de monômios que possuem exatamente a mesma parte literal como ilustrado a seguir 3x 4y 2y 5x 2 8x 2y 2 2xy 4x xy x 2xy 4x xy x xy 3x Multiplicação e divisão Na multiplicação e na divisão de expressões algébricas utilizamse principalmente as propriedades de potenciação Exemplos 2x2y5xz 10x3yz 2xy 4xxy x 2x2y2 2x2y 4x2y 4x2 25 Valor numérico de expressões algébricas Para calcular o valor numérico de uma expressão algébrica é preciso substituir a parte literal por valores numéricos Por exemplo para calcular o valor da expressão algébrica 2x2 x 2 para x 2 basta substituir o x por 2 222 2 2 8 2 2 12 Para x 1 faça 21² 1 21 2 2 1 2 3 26 Fatoração e simplificação Fatorar uma expressão é apresentála na forma de uma multiplicação Veja exemplos de expressões fatoradas 2x x²y a²3b² 2xy 4xxy x A fatoração é muito utilizada no processo de simplificação de expressões algébricas como apresentado a seguir x² 4x 2x xx 4 2x x 4 2 Para facilitar o processo de simplificação os produtos notáveis também são muito utilizados Os principais produtos notáveis estão apresentados a seguir a b² a ba b a² ab ba b² a² 2ab b² a b² a ba b a² ab ba b² a² 2ab b² a b³ a ba b²a b a³ 3a²b 3ab² b³ a b³ a ba b²a b a³ 3a²b 3ab² b³ a ba b a² ab ba b² a² b² A seguir um exemplo de uma simplificação usando produtos notáveis x² 9x 3 x 3x 3x 3 x 3 37 MATEMÁTICA Saiba mais Para aprofundar seus conhecimentos a respeito de aplicações matemáticas na Administração leia BONORA JUNIOR D ALVES J B Matemática complementos e aplicações nas áreas de ciências contábeis administração e economia São Paulo Ícone 2000 3 EQUAÇÕES 31 Introdução A finalidade de uma equação é encontrar o valor da incógnita que torna a igualdade verdadeira Acompanhe o exemplo a seguir João tem R 1000 e quer gastar seu dinheiro comprando trufas de chocolate Se cada trufa custa R 250 quantas trufas João pode comprar com seu dinheiro Para a resolução adote x para representar a quantidade de trufas que João pode comprar com R 1000 assim x será a incógnita do problema Agora estruturemos a equação do problema 25x 10 Nessa igualdade está implícita a seguinte pergunta qual é o valor de x que ao ser multiplicado por 25 resulta em 10 Para responder a essa pergunta é necessário resolver a equação ou seja 25x 10 x 10 2 5 4 Portanto João pode comprar quatro trufas de chocolate com seus R 1000 Para conferir se os cálculos foram realizados corretamente substitua o valor encontrado na equação inicial Se a igualdade se mantiver o cálculo está correto caso contrário está errado 38 Unidade I 25x 10 254 10 10 10 Observação É comum o uso das letras x e y para representar as incógnitas nas equações no entanto podem ser utilizadas quaisquer letras do alfabeto símbolos e até mesmo desenhos para esse fim As equações são nomeadas de acordo com o maior grau do expoente das incógnitas nelas presentes Por exemplo 25x 10 é uma equação do 1º grau pois o expoente do x é 1 Vejamos outros exemplos x2 5x 0 é uma equação do 2º grau pois o maior expoente do x é 2 2x 3x2 5x 1 é uma equação do 2º grau pois o maior expoente do x é 2 y3 y 5y2 1 é uma equação do 3º grau pois o maior expoente do y é 3 32 Equação do 1º grau A estrutura geral da equação do 1º grau é dada pela expressão ax b 0 sendo que a e b são números reais e a 0 Para resolver equações do 1º grau é preciso isolar a incógnita em um dos lados da equação e apresentar o resultado no conjunto solução S O valor da incógnita que torna a equação verdadeira é denominado raiz da equação Observe Exemplo 1 5x 10 0 5x 10 x 105 x 2 S 2 Assim 2 é a raiz da equação do exemplo 1 Exemplo 2 52 x 4 0 52 x 4 x 425 x 85 S 85 Assim 85 é a raiz da equação do exemplo 2 Exemplo 3 2x 12 x 23 32x 1 2x 2 6x 3 2x 4 6x 2x 4 3 4x 7 x 74 S 2 3 42 Unidade I Portanto a raiz da equação é 1 Exemplo 3 Encontremos as possíveis soluções ou raízes da equação quadrática x2 2x 2 0 1º passo identificar os coeficientes a 1 b 2 c 2 2º passo calcular b2 4ac e analisar o resultado 22 4 1 2 4 8 4 Como 0 a equação não admite raízes reais logo o conjunto solução é vazio S 4 INEQUAÇÕES 41 Introdução As inequações são muito semelhantes às equações A única diferença é que os resultados das inequações são intervalos de valores e nas equações os resultados são valores pontuais A finalidade de uma inequação é encontrar todos os valores da incógnita que tornam a desigualdade verdadeira Acompanhe o exemplo a seguir João tem R 1000 e considerando que cada trufa custa R 250 quer saber até quantas trufas de chocolate pode comprar com seu dinheiro Para a resolução adote x para representar a quantidade de trufas que João pode comprar com seu dinheiro ou seja x será a incógnita do problema Agora estruturemos a equação do problema 25x 10 Nessa igualdade está implícita a seguinte pergunta quais são os valores de x que ao serem multiplicados por 25 resultam em um valor menor ou igual a 10 43 MATEMÁTICA Para responder a essa pergunta basta resolver a inequação 25x 10 x 10 2 5 4 Portanto João pode comprar até quatro trufas de chocolate com seus 10 reais Assim como nas equações as inequações são nomeadas de acordo com o maior grau do expoente das incógnitas presentes na expressão Por exemplo 25x 10 é uma inequação do 1º grau pois o expoente do x é 1 Verifique outros exemplos x2 5x 0 é uma inequação do 2º grau pois o maior expoente do x é 2 2x 3x2 5x 1 é uma inequação do 2º grau pois o maior expoente do x é 2 y3 y 5y2 1 é uma inequação do 3º grau pois o maior expoente do y é 3 42 Inequação do 1º grau A estrutura geral da inequação do 1º grau é dada pelas seguintes expressões ax b 0 ax b 0 ax b 0 ax b 0 Sendo que a e b são números reais e a 0 Para resolver inequações do 1º grau usase a mesma técnica de resolução das equações com a manutenção do sinal da desigualdade O resultado deve ser apresentado usando a notação de intervalos Observe alguns exemplos Exemplo 1 5x 10 0 5x 10 Unidade I 3 2x 1 2 x 2 6x 3 2x 4 6x 2x 4 3 4x 7 1 4x 17 4x 7 x 74 S x ℝ x 74 74 46 Unidade I mesmo sinal do coeficiente a sinal contrário ao do coeficiente a mesmo sinal do coeficiente a x x Figura 22 Se 0 o intervalo da solução segue o seguinte esquema mesmo sinal do coeficiente a mesmo sinal do coeficiente a x x Figura 23 Se 0 o intervalo da solução segue o esquema mesmo sinal do coeficiente a Figura 24 Para que os conceitos fiquem mais claros observe a seleção de exemplos Exemplo 1 Encontremos os valores que tornam a inequação x2 5x 6 0 verdadeira 1º passo identificar os coeficientes a 1 b 5 c 6 2º passo calcular b2 4ac e analisar o resultado 52 4 1 6 25 24 1 Como 0 a inequação admite duas raízes reais e diferentes 3º passo calcular as raízes x b Δ 5 1 2 2 1 5 1 2 62 3 x b Δ 5 1 2 2 1 5 1 2 42 2 4º passo fazer o estudo do sinal Como Δ 0 o intervalo da solução segue o seguinte esquema Assim após substituir as informações no esquema temos 2 3 Como se deseja que na inequação os valores sejam maiores que zero x² 5x 6 0 o intervalo que torna a inequação verdadeira se configura sob o sinal positivo 2 3 Logo a solução da inequação x² 5x 6 0 é o intervalo S x ℝ x 2 ou x 3 2 3 49 MATEMÁTICA Como se deseja que na inequação os valores sejam menores que zero x2 2x 1 0 não há solução nos reais para essa inequação pois no estudo dos sinais só existe o sinal positivo portanto o conjunto solução será vazio S Exemplo 3 Encontremos os valores que tornam a inequação x2 2x 2 0 verdadeira 1º passo identificar os coeficientes a 1 b 2 c 2 2º passo calcular b2 4ac e analisar o resultado Como 0 a inequação não admite raízes reais 22 4 1 2 4 8 4 3º passo fazer o estudo do sinal Como 0 o intervalo da solução segue a estrutura mesmo sinal do coeficiente a Figura 30 Assim após substituir as informações no esquema temos Figura 31 Como se deseja que na inequação os valores sejam maiores que zero x2 5x 6 0 todos os valores da reta dos reais tornam essa inequação verdadeira logo o conjunto solução será o conjunto dos números reais S R 50 Unidade I Resumo Dentre os assuntos expostos nesta unidade vale destacar os fundamentos elementares da Teoria dos Conjuntos principalmente o conceito de conjunto Assim relembrando conjunto indica coleção ou agrupamento no qual cada item que o compõe é chamado de elemento Quando um elemento faz parte de um conjunto dizemos que ele pertence a esse conjunto Um conjunto pode ser formado por números letras nomes ou até mesmo por outros conjuntos Isso quer dizer que um conjunto pode ser elemento de outro Geralmente um conjunto é indicado por letras maiúsculas e seus elementos são indicados por letras minúsculas Vimos que um importante grupo de conjuntos são os conjuntos numéricos o conjunto dos números naturais é composto de todos os números inteiros não negativos o conjunto dos números inteiros é composto de todos os números inteiros positivos negativos e pelo zero o conjunto dos números racionais é composto de todos os números que podem ser escritos na forma de fração com denominador não nulo o conjunto dos números irracionais é composto de todos os números que não possuem representação na forma de fração ou seja são números que na forma decimal não são periódicos e não têm um número finito de casas e o conjunto dos números reais é formado pela união dos números racionais aos irracionais As equações e inequações foram outros dois tópicos abordados na unidade Desse modo aprendemos que a finalidade de uma equação é encontrar o valor da incógnita que torna a igualdade verdadeira As equações são nomeadas de acordo com o maior grau do expoente das incógnitas presentes na equação Já as inequações são muito semelhantes às equações a única diferença é que os resultados das inequações são intervalos de valores e nas equações os resultados são valores pontuais A finalidade de uma inequação é encontrar todos os valores da incógnita que tornam a desigualdade verdadeira 51 MATEMÁTICA Exercícios Questão 1 Enade 2011 Considerando a b e c pertencentes ao conjunto dos números naturais e representando por ab a relação a divide b analise as afirmativas a seguir I Se ab c então ab ou ac II Se abc e mdca b 1 então ac III Se a não é primo e abc então ab ou ac IV Se ab e mdcb c 1 então mdca c 1 É correto apenas o que se afirma em A I B II C I e III D II e IV E III e IV Resposta correta alternativa D Análise da afirmativas I Afirmativa incorreta Justificativa se a 2 b 5 e c 7 teremos que 2 divide 5 7 2 não divide 5 e 2 não divide 7 Em outros termos a divide b c mas a não divide b e a não divide c II Afirmativa correta Justificativa se fizermos o mdc a b 1 significa que a e b não possuem fatores primos em comum porque são primos entre si e por isso a não divide b Logo como a divide bc e a não divide b então a tem que dividir c Unidade I III Afirmação incorreta Justificativa se a 8 não primo b 4 e c 10 então a divide bc porque bc 40 e 8 divide 40 mas a não divide b 8 não divide 4 e a não divide c 8 não divide 10 IV Afirmação correta Justificativa se a divide b significa que todos os fatores primos de a também estão em b Mas se mdc b c 1 é porque b e c não têm nenhum fator primo em comum logo nenhum comum em a e c Assim mdc a c 1 Questão 2 Amazul Cargo Engenheiro 2015 Sobre o assunto expressões algébricas analise as assertivas abaixo I O resultado da expressão 5 6 x y 3 5 x é 625 216 x 4 y 3 II A expressão algébrica 108x 3 y 2 189x 2 y 2 24x 42 pode ser escrita na forma 39x 2 y 2 2 4x 7 III A forma simplificada da expressão 4x 2 18 x 3 é 4x 6 É correto o que se afirma em A I apenas B II apenas C I e II apenas D II e III apenas E I II e III Resposta desta questão na plataforma