Regra de Três Simples e Composta em Grandezas Proporcionais

121 MATEMÁTICA Unidade III 7 REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA 71 Introdução Grandeza é tudo o que pode ser medido ou quantificado como massa volume capacidade velocidade tempo etc Observação Uma grandeza está sempre relacionada com alguma unidade metro quilo horas etc 72 Grandezas diretamente proporcionais Duas grandezas são consideradas diretamente proporcionais quando ao dobrarmos uma delas a outra também dobrar ao triplicarmos uma delas a outra também triplicar e assim sucessivamente Por exemplo Tabela 4 Quitanda do sr Manoel Preço do abacaxi em unidades em reais 1 250 2 500 3 750 10 2500 Nesse exemplo duas grandezas estão associadas quantidade e preço Observe que ao dobrar a quantidade de abacaxis o valor a ser pago também dobra ao triplicar a quantidade de abacaxis o valor a ser pago também triplica Logo as grandezas expostas na tabela de quantidade e preço são diretamente proporcionais 122 Unidade III Toda grandeza proporcional está associada a uma razão de proporcionalidade que se mantém constante em todas as relações das grandezas Verifique os exemplos a seguir 1 2 2 50 5 00 0 5 abacaxi abacaxis 2 3 5 00 7 50 0 67 abacaxis abacaxis 2 10 5 00 25 0 0 2 abacaxis abacaxis 73 Grandezas inversamente proporcionais Duas grandezas são consideradas inversamente proporcionais quando ao dobrarmos uma delas a outra se reduzir pela metade ao triplicamos uma delas a outra se reduzir a uma terça parte e assim sucessivamente Por exemplo todas as sextasfeiras Antonio um homem muito caridoso distribui pães aos moradores de rua do centro de São Paulo no início da noite Ele sempre leva 120 pães para serem distribuídos Ao chegar ao local ele verifica o número de pessoas e divide os pães igualmente entre eles Na tabela a seguir podemos verificar a quantidade de pães que cada pessoa recebe Tabela 5 Quantidade de pessoas Quantidade de pães por pessoa 10 12 20 6 30 4 Nesse exemplo duas grandezas estão associadas pessoas e pães Observe que ao dobrar a quantidade de pessoas a quantidade de pães por pessoa cai pela metade ao triplicar a quantidade de pessoas a quantidade de pães por pessoa cai para a terça parte Portanto as grandezas pessoas e pães são inversamente proporcionais Veja o exemplo a seguir 10 20 1 2 pessoas pessoas que é o inverso de 12 6 2 1 paes paes ã ã 10 30 1 3 pessoas pessoas que é o inverso de 12 4 3 1 paes paes ã ã 123 MATEMÁTICA 20 30 2 3 pessoas pessoas que é o inverso de 6 4 3 2 paes paes ã ã 74 Regra de três simples A regra de três simples possibilita relacionar duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais A ideia principal dessa regra é a partir de uma relação obter um dos valores com base em três valores já conhecidos Vejamos alguns exemplos Exemplo 1 Na quitanda do sr Manoel três quilos de batata custam R 500 Assim quanto custaria 65 quilos de batata 30 quilos R 500 65 quilos x Note que as grandezas são diretamente proporcionais e assim ao transferir a relação para a notação de razão temos que 3 6 5 5 x 3x 5 650 x 32 5 3 x1083 Desse modo 65 quilos de batatas na quitanda do sr Manoel custam R 1083 Lembrete As setas representam o sentido da proporcionalidade setas de mesmo sentido indicam que as relações são diretamente proporcionais e setas de sentido contrário indicam que as relações são inversamente proporcionais Exemplo 2 O professor Isaac ministra aulas de Matemática e adora seus alunos Para incentiválos costuma distribuir de vez em quando bombons aos alunos que realizam as tarefas de casa Em sua última aula o 126 Unidade III Portanto os 5 marceneiros levarão aproximadamente 13 dias para fabricar 4 mesas Saiba mais Para aprofundar seus conhecimentos a respeito do tema consulte SEITER C Matemática para o dia a dia Rio de Janeiro Campus 2000 8 PORCENTAGEM 81 Porcentagens ou taxas percentuais Porcentagem ou percentagem é qualquer razão centesimal ou seja é uma fração cujo denominador é 100 As porcentagens podem ser expressas de duas maneiras na forma de fração com denominador 100 percentual ou na forma decimal A ilustração a seguir representa a transformação da forma percentual para a unitária e viceversa Forma percentual Forma unitária 100 100 Figura 80 Observação O símbolo indica que o valor está sendo dividido por 100 A passagem da forma percentual para a unitária ou decimal é feita como demonstrado a seguir 30 30 100 030 4 4 100 004 1 1 100 001 127 MATEMÁTICA 115 15 100 115 135 135 100 135 279 27 9 100 0279 A passagem da forma unitária para a percentual por sua vez é como segue 030 x 100 30 004 x 100 4 001 x 100 1 115 x 100 115 135 x 100 135 0279 x 100 279 Exemplo 1 Quanto é 155 de R 250000 155 de R 250000 2500 15 5 100 3875 Resposta 155 de R 250000 é R 38750 Exemplo 2 Um produto vendido no valor de R 250000 sofre um acréscimo de 155 Qual é o valor final do produto 155 de R 250000 2500 15 5 100 3875 Acrescentar 155 em R 250000 2500 3875 R 288750 Resposta o valor final do produto é R 288750 128 Unidade III Exemplo 3 Um produto vendido no valor de R 250000 sofre um desconto de 155 Qual é o valor final do produto 155 de R 250000 2500 15 5 100 3875 Descontar 155 em R 250000 2500 3875 R 211250 Resposta o valor final do produto é R 211250 Exemplo 4 Num lote de 85 lâmpadas 13 delas apresentaram defeito A razão entre o número de lâmpadas defeituosas e o total de lâmpadas é dada por 13 85 0 1529 15 29 100 O número 15 29 100 é a taxa percentual de lâmpadas defeituosas Exemplo 5 O que significaria se o lote tivesse 100 lâmpadas e aproximadamente 15 delas estivessem com defeito 82 Fator multiplicativo A fórmula geral do fator multiplicado é expressa por fator multiplicativo de aumento Valor 1 p fator multiplicativo de desconto Valor 1 p Veja a aplicação do conceito no seguinte exemplo se uma bolsa inicialmente vendida a R 3200 tiver seu preço aumentado em 20 ela passaria a custar R 3840 como nos mostram os cálculos um aumento de 20 sobre 32 é igual a 02 32 64 assim o novo preço passaria a ser de 32 64 384 Frente ao exposto poderíamos simplesmente fazer 32 02 32 32102 32 12 3840 preço inicial aumento preço final 129 MATEMÁTICA Perceba que o preço inicial foi multiplicado por 12 Esse é o fator multiplicativo de aumento Poderíamos ainda ter aplicado a fórmula do fator multiplicativo direto Valor 1 p 32 1 02 32 12 384 Assim se estivéssemos um aumento de 30 multiplicaríamos o preço original por 13 16 multiplicaríamos o preço original por 116 5 multiplicaríamos o preço original por 105 Se por outro lado houvesse uma liquidação na qual fosse anunciado um desconto de 20 sobre o preço original da bolsa o cálculo seria 32 02 32 321 02 32 08 2560 preço inicial desconto preço final Note que o preço inicial foi multiplicado por 08 Esse é o fator multiplicativo de desconto Também poderíamos ter aplicado a fórmula do fator multiplicativo direto Veja Valor 1 p 32 1 0232 08 256 Assim se tivéssemos um desconto de 30 multiplicaríamos o preço original por 07 16 multiplicaríamos o preço original por 084 5 multiplicaríamos o preço original por 095 Exemplo 1 Um carro modelo Prisma 14 com motor flex arcondicionado direção elétrica controle de velocidade e bluetooth custa R 5800000 Devido à redução do IPI Imposto sobre Produtos Industrializados de 20 qual será o valor a ser pago pelo carro 130 Unidade III Inicialmente devemos calcular o fator de multiplicação para desconto Fator de multiplicação 1 taxa de desconto IPI forma decimal Fator de multiplicação 1 002 Fator de multiplicação 098 Para sabermos o valor do Prisma já com desconto de 2 basta multiplicar o valor do carro pelo fator de multiplicação R 5800000 x 098 R 5684000 O Prisma irá custar R 5684000 Exemplo 2 O salário mínimo de um trabalhador no ano de 2016 sofreu um aumento de 1168 Sabendo que no ano de 2015 o salário mínimo era de R 78800 qual será o valor para 2016 Inicialmente devemos calcular o fator de multiplicação para aumento Fator de multiplicação 1 taxa de aumento forma decimal Fator de multiplicação 1 01168 Fator de multiplicação 11168 O valor em reais do salário mínimo em 2016 será dado pelo produto do fator de multiplicação por R 78800 R 78800 x 11168 R 88000 O valor do salário mínimo em 2016 será R 88000 83 Taxa percentual de variação A taxa percentual de variação entre dois valores pode ser calculada usando a seguinte fórmula diferença de valores valor antigo Nela a diferença de valores é a subtração do maior valor pelo menor dividido pelo valor mais antigo no tempo Observe os exemplos a seguir 132 Unidade III lucro sobre a venda lucro preço de venda 100 Exemplo 1 Uma loja compra determinado artigo à vista por R 54000 e o revende por R 59400 a Qual o percentual do lucro calculado sobre o preço de custo Lembrando que lucro preço de venda preço de custo podemos reescrever a equação da seguinte forma preço de venda preço de custo lucro sobre o custo 100 preço de custo 594 540 lucro sobre o custo 100 540 lucro sobre o custo 10 O percentual do lucro sobre o preço de custo é de 10 b Qual o percentual do lucro sobre o preço de venda Utilizando o mesmo raciocínio da letra a temos preço de venda preço de custo lucro sobre a venda 100 preço de venda 594 540 lucro sobre a venda 100 594 lucro sobre a venda 909 Logo o percentual do lucro sobre o preço de venda é de 909 A diferença no lucro quando este é calculado sobre o preço de custo e sobre o preço de venda é um ponto importante a ser observado 133 MATEMÁTICA Mas antes de observarmos essa diferença vale destacar alguns conceitos preliminares custo é o valor bruto do produto eou serviço ou seja é o valor do produto sem adicionar qualquer ganho lucro é o valor adicionado ao valor bruto do produto e ele representa o ganho pela fabricação e ou comercialização do produto preço de venda é o valor final do produto a ser oferecido ao consumidor preço de venda custo lucro O preço de venda pode ser calculado com um lucro sobre o custo ou sobre o valor de venda Vejamos essa diferença a partir do seguinte exemplo uma loja de equipamentos de informática comprou um notebook básico por R 150000 Se o lucro for de 25 sobre o preço de custo desse equipamento por quanto ele deverá ser vendido Para realizar esse cálculo adote V C L onde V é o preço de venda C é o preço de custo e L é o lucro Após substituir os valores dados teremos V C 25 sobre o custo V 1500 025 x 1500 V 1500 375 1875 Portanto o preço de venda será de R 187500 calculado com base no lucro sobre o custo Entretanto se o lucro for sobre o preço de venda por quanto o notebook deverá ser vendido Nesse caso temos que o preço de venda será V C 25 sobre o preço de venda V C 025V V 025V C V1 025 C V075 C 135 MATEMÁTICA quebrando o problema em várias partes e analisandoo separadamente em relação à incógnita isto é o valor que queremos achar e verificar se é diretamente ou inversamente proporcional Posteriormente vimos porcentagem ou percentagem que é qualquer razão centesimal ou seja é uma fração cujo denominador é 100 As porcentagens podem ser expressas de duas maneiras na forma de fração com denominador 100 percentual ou na forma decimal Para calcularmos decréscimos descontos aumentos acréscimos diminuição redução ou inflação podemos utilizar o fator de multiplicação Vale ressaltar ainda a importância de se estudar o lucro sobre preço de custo e sobre o preço de venda Exercícios Questão 1 Enade 2011 Para tentar liquidar o estoque de televisores cujo valor oferecido no crédito após acréscimo de 20 sobre o valor da tabela era de R 132000 uma loja lançou uma nova campanha de vendas que ofereceu as seguintes condições promocionais com base no valor da tabela Opção I uma entrada de 25 e o restante em 5 parcelas iguais e mensais ou Opção II uma entrada de 60 e o restante em 8 parcelas iguais mensais O cliente que comprar o televisor nessa promoção pagará em cada parcela A R 5500 se escolher a opção II B R 6600 se escolher a opção I C R 19250 se escolher a opção II D R 19800 se escolher a opção II E R 27500 se escolher a opção I Resposta correta alternativa A 138 REFERÊNCIAS Textuais BELLOS A Alex no país dos números uma viagem ao mundo maravilhoso da matemática São Paulo Companhia das Letras 2011 BONORA JUNIOR D ALVES J B Matemática complementos e aplicações nas áreas de ciências contábeis administração e economia São Paulo Ícone 2000 DANTE L R Matemática São Paulo Ática 2006 FUNÇÃO de 1º grau Só matemática 2017 Disponível em httpwwwsomatematicacombremedio funcao1funcao1php Acesso em 5 jun 2017 IEZZI G DOLCE O Matemática ciência e aplicação 4 ed São Paulo Atual 2006 MORETTIN P HAZZAN S BUSSAB W Introdução ao cálculo para administração economia e contabilidade São Paulo Saraiva 2009 PUCCINI A L Matemática financeira objetiva e aplicada Rio de Janeiro Saraiva 1998 RIBEIRO A G Regra de Sarrus Brasil Escola sd Disponível em httpbrasilescolauolcombr matematicaregrasarrushtm Acesso em 7 jun 2017 SEITER C Matemática para o dia a dia Rio de Janeiro Campus 2000 SILVA S M Matemática básica para cursos superiores São Paulo Atlas 2002 et al Matemática para os cursos de economia administração e ciências contábeis São Paulo Saraiva 2007 SISTEMAS lineares Só matemática 2017 Disponível em httpwwwsomatematicacombremedio sistemassistemas3php Acesso em 7 jun 2017 Sites httpecalculoifuspbr Exercícios Unidade I Questão 1 INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA INEP Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes ENADE 2011 Matemática Questão 20 Disponível em httpdownloadinepgovbreducacaosuperiorenadeprovas2011MATEMATICA pdf Acesso em 9 maio 2017 139 Unidade I Questão 2 AMAZÔNIA AZUL TECNOLOGIA DE DEFESA SA AmazulCETRO Prova objetiva 2015 Engenharia da Computação Questão 6 Disponível em httpsarquivopciconcursoscombr provas220040914af605231107engenhcomputacaopdf Acesso em 17 jul 2019 Unidade II Questão 1 INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA INEP Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes ENADE 2011 Matemática Questão 16 Disponível em httpdownloadinepgovbreducacaosuperiorenadeprovas2011MATEMATICA pdf Acesso em 9 maio 2017 Unidade II Questão 2 INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA INEP Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes ENADE 2014 Matemática Questão 11 Disponível em httpdownloadinepgovbreducacaosuperiorenadeprovas201433 matematicabachareladopdf Acesso em 9 maio 2017 Unidade III Questão 1 INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA INEP Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes ENADE 2011 Matemática Questão 15 Disponível em httpdownloadinepgovbreducacaosuperiorenadeprovas2011MATEMATICA pdf Acesso em 9 maio 2017 Unidade III Questão 2 AMAZÔNIA AZUL TECNOLOGIA DE DEFESA SA AmazulCETRO Prova objetiva 2014 Auditor Questão 30 Disponível em httpsarquivopciconcursoscombrprovas21915 62489091ad100b0209auditorpdf Acesso em 17 jul 2019 Informações wwwsepiunipbr ou 0800 010 9000