Aula sobre Flexão Oblíqua em Resistência dos Materiais II

11112021 1 UNIJUÍ UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E ENGENHARIAS DCEENG CURSOS DE ENGENHARIA Profº Me Paulo Cesar Rodrigues RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Unidade 5 Flexão Oblíqua 5 Flexão oblíqua 51 Introdução Profº Paulo Cesar Rodrigues Resistência dos Materiais II 0235 Flexão Flexão Simples M 0 V 0 N 0 Se V 0 Flexão Pura Normal ou Reta Oblíqua Flexão Composta M 0 V 0 N 0 Se V 0 Tração ou compressão excêntrica Normal ou Reta Oblíqua 11112021 2 5 Flexão oblíqua 52 Flexão Oblíqua Simples A flexão oblíqua simples ocorre quando na seção transversal de uma viga por exemplo os esforços solicitantes são o momento fletor e o esforço cortante com a restrição do plano de ação do momento fletor não conter nenhum eixo central de inércia da seção transversal Profº Paulo Cesar Rodrigues Resistência dos Materiais II 0335 Figura 501 Flexão oblíqua O momento fletor gira a seção em torno de uma linha que não é um dos eixos centrais de inércia ou uma linha paralela a eles A figura 501 mostra uma flexão oblíqua simples de uma seção transversal qualquer 5 Flexão oblíqua Notese na figura 501 que entre o plano do momento e o eixo y existe uma inclinação com um ângulo α Como o momento é uma quantidade vetorial ele pode ser determinado por suas componentes em dois planos perpendiculares entre si como mostra a figura 502 Profº Paulo Cesar Rodrigues Resistência dos Materiais II 0435 Figura 502 Componentes do momento fletor em uma flexão oblíqua 11112021 3 5 Flexão oblíqua Estas componentes giram a seção em torno dos eixos centrais de inércia y e z Portanto é possível encarar a flexão oblíqua como a superposição entre duas flexões normais simples A tensão normal resultante em cada ponto pode ser obtida pela soma algébrica entre as tensões normais desenvolvidas neste ponto pelas componentes do momento fletor M ou seja Lembrando que Profº Paulo Cesar Rodrigues Resistência dos Materiais II 0535 z I M sen y I cos M y z x M sen M M cos M y z e 2 1 5 Flexão oblíqua Substituindo a equação 2 em 1 podemos escrever A figura 503 mostra a distribuição das tensões na seção transversal de uma viga retangular Profº Paulo Cesar Rodrigues Resistência dos Materiais II 0635 z I M y I M y y z z x 3 Figura 503 Superposição de tensões Linha neutra 11112021 4 5 Flexão oblíqua 53 Tensões Extremas e Posição da Linha Neutra As tensões extremas ocorrem nos pontos mais afastados da linha neutra e a linha neutra é formada pelos pontos onde a tensão normal resultante é igual a zero Para a determinação da posição da linha neutra se deve tomar a expressão 1 e igualála a zero isto é Profº Paulo Cesar Rodrigues Resistência dos Materiais II 0735 tg α I I z y z cosα I M M sen α I y z I M sen y I M cos z I M sen y I cos M y z y z y z y z x 0 4 5 Flexão oblíqua Notese pela expressão 4 que os pontos da linha neutra formam uma reta inclinada em relação ao par de eixos centrais de inércia y z Esta inclinação depende da posição relativa entre o plano do momento e o par de eixos centrais de inércia ângulo α e depende da relação existente entre os momentos de inércia da seção em relação a estes eixos Desta maneira a linha neutra é inclinada em relação a este par de eixos e oblíqua em relação ao plano do momento daí o nome flexão oblíqua Ela é uma linha reta e a seção gira em torno dela A figura 504 mostra a linha neutra para uma flexão oblíqua simples para uma seção retangular A localização dos pontos onde ocorrem as tensões extremas dependem da inclinação do plano do momento em relação a este par de eixos Profº Paulo Cesar Rodrigues Resistência dos Materiais II 0835 11112021 5 5 Flexão oblíqua A figura 504 mostra a localização dos pontos onde ocorrem as tensões extremas para uma seção retangular à flexão oblíqua simples Profº Paulo Cesar Rodrigues Resistência dos Materiais II 0935 Figura 504 Linha neutra em uma seção retangular flexão oblíqua 5 Flexão oblíqua Exercícios 1 Uma viga de madeira de 12x20 cm é usada para suportar uma carga uniformemente distribuída de 10 kNm em um vão de 32 metros A carga aplicada age em um plano que faz um ângulo de 30o com a vertical como mostra a figura abaixo Determinar a distribuição das tensões as máximas tensões de flexão momento resultante e a localização da linha neutra Desprezar o peso próprio da viga Profº Paulo Cesar Rodrigues Resistência dos Materiais II 1035 10 kNm 32 m 12 cm 20 cm z y 10 kNm 11112021 6 5 Flexão oblíqua 54 Flexão Oblíqua Composta Introdução Profº Paulo Cesar Rodrigues Resistência dos Materiais II 1435 Flexão Flexão Simples M 0 V 0 N 0 Se V 0 Flexão Pura Normal ou Reta Oblíqua Flexão Composta M 0 V 0 N 0 Se V 0 Tração ou compressão excêntrica Normal ou Reta Oblíqua 5 Flexão oblíqua A flexão oblíqua composta frequentemente aparece quando a força P neste caso de tração que atua paralelamente ao eixo longitudinal da seção transversal de um pilar conforme figura 505 é aplicada excentricamente em relação ao centro de gravidade da seção transversal Profº Paulo Cesar Rodrigues Resistência dos Materiais II 1535 Figura 505 Pilar com carga excêntrica 11112021 7 5 Flexão oblíqua O problema passa para o de uma força aplicada axialmente P e flexão oblíqua no plano da força P e do eixo da seção transversal Esse momento fletor oblíquo pode ser decomposto em duas componentes My P z atuando em torno do eixo y e Mz P y atuando em trono do eixo z figura 506 Profº Paulo Cesar Rodrigues Resistência dos Materiais II 1635 x x Figura 506 5 Flexão oblíqua A tensão normal composta em qualquer ponto yz da seção transversal para uma pilar excentricamente carregado pode ser determinada pela equação 5 onde P é tomada positiva para forças de tração e negativa para forças de compressão O restante da convenção é pela orientação momento fletor e sua posição em relação a seção transversal Profº Paulo Cesar Rodrigues Resistência dos Materiais II 1735 z I M y I M A P y y z z x 5 11112021 8 5 Flexão oblíqua 55 Tensões Extremas e Posição da Linha Neutra As tensões extremas ocorrem nos pontos mais afastados da linha neutra e a linha neutra é formada pelos pontos onde a tensão normal resultante é igual a zero Para a determinação da posição da linha neutra se deve tomar a equação 5 e igualála a zero isto é Profº Paulo Cesar Rodrigues Resistência dos Materiais II 1835 0 0 c z b y a z I M y I M A P y y z z x 6 5 Flexão oblíqua Exercícios 1 O pilar retangular de peso desprezível mostrado na figura abaixo está sujeito a uma força vertical de 40 kN aplicada em seu canto Determine a distribuição da tensão normal que age sobre uma seção que passa por ABCD Profº Paulo Cesar Rodrigues Resistência dos Materiais II 1935 11112021 9 5 Flexão oblíqua 56 Núcleo central de inércia Imaginemos uma seção qualquer figura 507 submetida a um esforço normal excêntrico Os eixos y e z são principais centrais de inércia Profº Paulo Cesar Rodrigues Resistência dos Materiais II 2535 Figura 507 Seção 1 LN 3 LN 2 LN 1P 2P 3P z y cg z 5 Flexão oblíqua Para a carga aplicada em P1 a linha neutra é LN1 a qual neste caso não corta a seção transversal então só ocorrem tensões de um tipo que é o mesmo da carga P1 isto é carga de compressão causará somente tensões de compressão e carga de tração causará somente tensões de tração Se a carga for aplicada em P3 admitimos que a linha neutra correspondente seja LN3 a qual corta a seção Neste caso acorrerão na seção tensões de tração e tensões de compressão É lógico admitir que para uma posição da carga em P2 entre P1 e P3 a linha neutra seja tangente a seção transversal no caso LN2 Nesta situação só existirão tensões de um tipo o qual é o tipo da carga Profº Paulo Cesar Rodrigues Resistência dos Materiais II 2635 11112021 10 5 Flexão oblíqua Portanto é possível concluir Para y z a linha neutra não corta a seção e ocorrerem somente tensões de um tipo Para y z a linha neutra corta a seção e ocorrem tensões de dois tipos Costumamos dizer que P2 é um ponto do contorno do núcleo central da seção As mesmas idéias apresentadas para o ponto de aplicação da carga deslocandose sobre o eixo z podem ser extendidas para o ponto de aplicação deslocandose sobre qualquer reta baricêntrica chegandose a imaginar uma afinidade de pontos que caracterizam o contorno do núcleo central Profº Paulo Cesar Rodrigues Resistência dos Materiais II 2735 5 Flexão oblíqua Todos os esses pontos tem como propriedade comum aquela de que se a carga for aplicada neles a linha neutra correspondente será tangente a seção Assim na figura 508 para a carga aplicada em A a linha neutra é LNA para a carga aplicada em B a linha neutra é LNB e assim por diante Profº Paulo Cesar Rodrigues Resistência dos Materiais II 2835 A LN B LN A B z y cg Figura 508 Núcleo central 11112021 11 5 Flexão oblíqua O núcleo central da seção da figura 508 é a região hachurada Tal região apresenta a seguinte propriedade Se a carga está aplicada no interior ou no contorno do núcleo central só ocorrerão na seção transversal tensões normais de um tipo Profº Paulo Cesar Rodrigues Resistência dos Materiais II 2935 5 Flexão oblíqua Exemplo Determinar o núcleo central para a seção retangular Profº Paulo Cesar Rodrigues Resistência dos Materiais II 3035 b h Figura 509 Núcleo central 11112021 12 5 Flexão oblíqua Usamos a condição de que para a carga aplicada no contorno do núcleo central a linha neutra LN é tangente a seção Então na figura 510 supomos um ponto A zA yA o ponto de aplicação da carga P ao qual corresponde a linha neutra passando no ponto M Profº Paulo Cesar Rodrigues Resistência dos Materiais II 3135 b h z y A M Figura 510 5 Flexão oblíqua Calculando a área da seção transversal e os momentos de inércia Escrevendo a condição que caracteriza a linha neutra LN Simplificando a equação dividindo por P e multiplicando por bh temos Profº Paulo Cesar Rodrigues Resistência dos Materiais II 3235 12 e 12 3 3 h b I b h I b h A y z 12 2 12 2 0 3 3 b h b z P h b h y P A P A A 2 2 2 12 2 12 0 h b z P b h y P b h P A A b z h y A A 6 6 1 0 11112021 13 5 Flexão oblíqua Esta equação pode ser escrita na forma Equação da reta R na forma normal que intercepta os eixos z e y em pontos distintos do centro O respectivamente b6 e h6 Profº Paulo Cesar Rodrigues Resistência dos Materiais II 3335 1 6 6 b z h y A A Figura 511 6 0 6 0 1 6 6 h y z b z y b z h y A A A A A A y z R b6 h6 5 Flexão oblíqua Enquanto a carga estiver aplicada sobre o segmento BC a linha neutra passará pelo ponto M Para a carga aplicada em C a linha neutra passará pelo segmento RM para a carga aplicada em B a linha neutra passará pelo segmento MN Logo o segmento BC é um lado do núcleo central figura 512 Profº Paulo Cesar Rodrigues Resistência dos Materiais II 3435 y z R b6 h6 M N Q R B C D E Figura 512 11112021 14 5 Flexão oblíqua Raciocínios análogos nos levam a Carga sobre o segmento CD corresponde a linha neutra passando pelo ponto R carga em D correspondente a linha neutra passando em QR Carga sobre o segmento DE corresponde a linha neutra passando pelo ponto Q carga em E correspondente a linha neutra passando em QN Carga sobre o segmento EB corresponde a linha neutra passando pelo ponto N Assim os quatro lados do núcleo central são os segmentos BC CD DE e EB e concluímos que o núcleo central é um losango de diagonais b3 e h3 Profº Paulo Cesar Rodrigues Resistência dos Materiais II 3535